Logik (Prof. Dr. Wagner FB AI) LERNZIELE: Über die Kenntnis und das Verständnis der gegebenen Definitionen hinaus verfolgt dieser Teil der Lehrveranstaltung die folgenden Lernziele: Bei gegebenen sprachlichen Formulierungen Aussagen von anderen Sätzen unterscheiden können. Syntaktisch korrekte aussagenlogische Formeln identifizieren und bilden können. Die Fachbegriffe Syntax, Semantik, Junktor, Konjunktion, Disjunktion und Negation sowie Implikation und Äquivalenz verstehen und einsetzen können. Den prinzipiellen Aufbau einer induktiven Definition kennen. Sich die Bedeutung einer unbekannten induktiven Definition selbst erarbeiten können. Benennen können, ob ein Junktor in Prefix-, Infix- oder Postfix-Notation verwendet wird. Wahrheitstafeln aufstellen und benutzen können. Die Bedeutung der Formelklassen Tautologie, Kontradiktion und erfüllbar kennen sowie für eine gegebene Formel die Zuordnung zu diesen Klassen mit Hilfe von Wahrheitstafeln nachweisen können. Die Gesetze der Aussagenlogik kennen. Formeln mit Hilfe der Gesetze der Aussagenlogik in äquivalente Formeln umformen können. Eine zusammengesetzte, umgangssprachliche Aussage durch eine Formel adäquat ausdrücken, d.h. formalisieren können. Beurteilen können, ob eine Formel in konjunktiver bzw. disjunktiver Normalform vorliegt. Eine Formel in ihre kanonische konjunktive bzw. disjunktive Normalform überführen können. Def. (Aussage(nvariable)) Unter einer Aussage versteht man einen Satz, der nach allgemein gültigem Verständnis entweder den Wahrheitswert "wahr" oder den Wahrheitswert "falsch" haben kann. Aussagen werden durch Aussagenvariablen (Kleinbuchstaben a, b, c,...) abgekürzt. Def. (Belegung) Eine Belegung B ordnet jeder Aussagenvariablen x 1, x 2,..., x n einen Wahrheitswert (w oder f) zu, d.h. B(x i ) = w oder B(x i ) = f.
Def. (Primitive aussagenlogische Formel) Syntaktisch korrekte primitive aussagenlogische Formeln sind wie folgt induktiv definiert: Jede Aussagenvariable x ist eine primitive aussagenlogische Formel. Man bezeichnet solche Formeln auch als atomar. w und f als Abkürzung der Wahrheitswerte sind primitive aussagenlogische Formeln. Sie sind ebenfalls atomar. Sind a und b bereits primitive aussagenlogische Formeln, dann sind auch (a b) sowie (a b) primitive aussagenlogische Formeln. Ist a bereits eine primitive aussagenlogische Formel, dann ist auch a eine primitive aussagenlogische Formel. Man bezeichnet, und als die Junktoren,d.h. Verknüpfungssymbole der Aussagenlogik. Dabei heißt Konjunktion, Disjunktion und Negation. Def. (Wahrheitswert einer Formel) Der Wahrheitswert W B einer aussagenlogischen Formel F(x 1, x 2,..., x n ) ist wie folgt rekursiv definiert: W B (x i ) = B(x i ) W B (w) = w; W B (f) = f W B (G H) = w, falls W B (G) = w und W B (H) = w; f sonst. W B (G H) = w, falls W B (G) = w oder W B (H) = w; f sonst. W B ( G) = w, falls W B (G) = f; f sonst. Dabei bezeichnen G(x 1, x 2,..., x n ) und H(x 1, x 2,..., x n ) aussagenlogische Formeln, für die wir kurz G und H schreiben. Def. (Formelklassen) Eine Formel F(x 1, x 2,..., x n ) heißt Tautologie, falls sie für jede Belegung B für x 1, x 2,..., x n den Wahrheitswert wahr hat, d.h. W B (F) = w für alle Belegungen B; Kontradiktion, falls sie für keine Belegung B für x 1, x 2,..., x n den Wahrheitswert wahr hat, d.h. W B (F) = f für alle Belegungen B; erfüllbar, falls es eine Belegung B für x 1, x 2,..., x n gibt, für die sie den Wahrheitswert wahr hat, d.h. W B (F) = w für irgendeine Belegung B.
Def. (Erweiterte aussagenlogische Formel und ihre Semantik) Erweiterte aussagenlogische Formeln sind wie folgt induktiv definiert: Jede primimitve aussagenlogische Formel ist eine erweiterte aussagenlogische Formel. Sind a und b bereits erweiterte aussagenlogische Formeln, so sind auch (a b), (a b), (a b), (a b) und a erweiterte aussagenlogische Formeln. Soll nicht explizit zwischen primitiven und erweiterten aussagenlogischen Formeln unterschieden werden, so sprechen wir in Zukunft nur noch von aussagenlogischen Formeln oder sogar nur noch von Formeln. Man bezeichnet den Junktor als Subjunktion und den Junktor als Bijunktion. Die Junktoren haben eine unterschiedlich starke Bindung: Die Negation bindet stärker als die Konjunktion und Disjunktion binden stärker als die Subjunktion und die Bijunktion. Der Wahrheitswert WB einer erweiterten aussagenlogischen Formel F(x1, x2,..., xn) ist als Erweiterung der rekursiven Definition des Wahrheitswertes einer primitiven aussagenlogischen Formel definiert. Für die Subjunktion und Bijunktion gelten die folgenden Regeln: WB(G H) = f, falls WB(G) = w und WB(H) = f; w sonst. WB(G H) = w, falls WB(G) = WB(H); f sonst. Def. (Äquivalenz logischer Formeln) Zwei aussagenlogische Formeln F(x 1, x 2,..., x n ) und G(x 1, x 2,..., x n ) sind äquivalent, wenn sie für jede Belegung B der Variablen x 1, x 2,..., x n den gleichen Wahrheitswert liefern, d.h. W B (F) = W B (G) für alle Belegungen B. Theorem (Substitutionstheorem) Wenn eine Formel G äquivalent ist zu einer Formel H und wenn F' das Ergebnis der Ersetzung von G in F durch H ist, dann ist auch F äquivalent zu F'. Theorem (Äquivalenzumformung) Wenn zwei Formeln G und H äquivalent sind, dann können sie auch durch (wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch eine gemäß den Gesetzen der Aussagenlogik äquivalente Formel ineinander überführt werden.
Theorem (Gesetze der Aussagenlogik) Die folgenden Gesetze der Aussagenlogik lassen sich mit Hilfe von Wahrheitstafeln beweisen: Name Tertium non datur (a a) w Tautologie Gesetz des Widerspruchs (a a) f Neutralität von w bzw. f Übergewicht von w bzw. f Idempotenzgesetze Kommutativgesetze Assoziativgesetze Absorbtionsgesetze Distributivgesetze Doppelte Negation DeMorgansche Regeln (a w) a (a f) a (a f) f (a w) w (a a) a (a a) a (a b) (b a) (a b) (b a) ((a b) c) (a (b c)) ((a b) c) (a (b c)) (a (a b)) a (a (a b)) a (a (b c)) ((a b) (a c)) (a (b c)) ((a b) (a c)) ( a) a (a b) ( a b) (a b) ( a b) Elimination Implikation (a b) ( a b) Elimination Äquivalenz Kontraposition (a b) ((a b) (b a)) (a b) ((a b) ( a b)) (a b) ( b a)
Def. (Literal) Seien a 1, a 2,..., a n paarweise verschiedene Aussagenvariablen. Dann bildet sowohl jede Aussagenvariable a i als auch deren Negation a i einen Literal. Beide Literale gelten dabei als voneinander verschieden. Def. (Konjunktions-/Diskjunktionsterme) Seien x 1, x 2,..., x n paarweise verschiedene Literale für n 1. Dann heißt der Ausdruck x 1 x 2... x n n-stelliger Konjunktionsterm und x 1 x 2... x n n-stelliger Disjunktionsterm. Def. (Konjunktive und disjunktive Normalform) Seien K 1, K 2,..., K m paarweise verschiedene Konjunktionsterme und D 1, D 2,..., D m paarweise verschiedene Disjunktionsterme für m 1. Dann heißt K 1 K 2... K m disjunktive Normalform und D 1 D 2... D m konjunktive Normalform. Bemerkung: Konjunktive und disjunktive Normalformen sind primitive, aussagenlogische Formeln. Satz (Überschneidung zwischen Normalformen) Jeder Konjunktionsterm sowie jeder Disjunktionsterm bildet bereits sowohl eine konjunktive als auch eine disjunktive Normalform. Beweis: Sei x 1 x 2... x n n-stelliger Konjunktionsterm. Dann bildet er gemäß Definition eine disjunktive Normalform mit nur einem Konjunktionsterm. Außerdem bildet jedes x i als Literal einen einstelligen Disjunktionsterm. Somit liegt x 1 x 2... x n nach der Definition ebenfalls in konjunktiver Normalform mit n Disjunktionstermen vor.
Satz(Existenz mehrerer Normalformen) Die konjunktive bzw. disjunktive Normalform einer primitiven aussagenlogischen Formel ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Beweis: Betrachte die Formel F über drei Variablen mit F(a, b, c) = (a b) ( a b c). Dann liegt F bereits in disjunktiver Normalform vor. Die zu F äquivalente Formel G(a, b, c) = (a b c) (a b c) ( a b c) ist aber auch eine disjunktive Normalform. Def. (Kanonische konjunktive und disjunktive Normalform) Seien K 1, K 2,..., K m paarweise verschiedene Konjunktionsterme und D 1, D 2,..., D m paarweise verschiedene Disjunktionsterme. Dann heißt DN = K 1 K 2... K m oder KN = D 1 D 2... D m kanonisch, kurz kdn oder kkn, wenn jeder Konjunktionsterm bzw. jeder Disjunktionsterm alle Variablen, über denen die Formel definiert ist, genau einmal enthält. Satz (Existenz kanonischer Normalformen) Zu jeder aussagenlogische Formel, die keine Tautologie ist, existiert eine äquivalente aussagenlogische Formel in kanonischer konjunktiver Normalform. Zu jeder aussagenlogischen Formel, die keine Kontradiktion ist, existiert eine äquivalente aussagenlogische Formel in kanonischer konjunktiver Normalform.