(Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever 28.09.207 Klausur zum Fach Höhere Mathematik 2 für Elektrotechnik Teil 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: mein Buch Höhere Mathematik kompakt (als Buch oder ausgedruckt) und das Skript zum zweiten Teil (jeweils inklusive handschriftlicher Eintragungen), maximal 4 handgeschriebene Formelblätter, ein einfacher Taschenrechner. Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 7.0. statt, ggf. nötige mündliche Ergänzungsprüfungen finden am 23.0. statt. Mit Ihrer Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie die obigen Klausurbedingungen gelesen haben, und dass alle 9 Aufgaben in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ Max 5 3 5 4 4 4 3 4 8 40
Aufgabe (2+3 = 5 Punkte) Sei f : R 3 R 3 gegeben durch f(x,y,z) = cos(xy 2 )+z x 2 cos(y) xyz 3. a) Geben Sie die Jakobimatrix J f zu f an. ( x0 ) ( ) 0 b) Führen Sie ausgehend von y 0 z 0 = einen Schritt des mehrdimensionalen Newtonverfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle von f 2 aus.
Aufgabe 2 (3 Punkte) Kreuzen Sie an, ob die Integrale f(x,y)d(x,y) zu den angegebenen Funktionen f und D Integrationsbereichen D negativ, gleich Null oder positiv sind. (K R bezeichnet den Kreis in R 2 mit Radius R um den Ursprung.) Jede richtige Angabe zählt +0.5 Punkte, jede falsche 0.5 Punkte; Sie brauchen Ihre Angaben nicht zu begründen. Tipp: Versuchen Sie, sich den Integranden vorzustellen. f(x,y)d(x,y) < 0 = 0 > 0 D D = [0,] [,] f(x,y) = xy 2 D = [,] [0,] D = K f in Polarkoordinaten gegeben durch f(r) = sin(r) D = K D = K 2 D = [0,] [0,]
Aufgabe 3 (5 Punkte) Bestimmen Sie das Volumenintegral f d(x,y,z) zur K in Kugelkoordinaten gegebenen Funktion z 2 f : R 3 R : f(r,ϕ,ϑ) = r cosϕ sinϑ, y wobei K die rechts der (y, z)-ebene und oberhalb der (x, y)-ebene um 0 liegende Viertelkugel mit Radius 2 ist (s. Skizze). 2 2 x
Aufgabe 4 (2+2 = 4 Punkte) 3 Gegeben sei das konstante Vektorfeld F : R 3 R 3, F(x,y,z) =. 2 a) Welchen Wert hat F da, z wobei die ( Fläche ) A ( das ) 03 00 2 wie in der Skizze dargestellte von und 0 2 aufgespannte Rechteck ist? A 3 y x b) WelchenWerthat ( )geradlinigzu( ) F 00 02 d r,wobei r derwegist,dervon führt? 0
Aufgabe 5 (4 Punkte) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung zur Differenzialgleichung y +y +2y 4y = 0.
Aufgabe 6 (maximal 4, minimal 0 Punkte) Betrachtet werden verschiedenen Populationsmodelle für die zeitliche Entwicklung der Populationsgrößen u(t) und v(t) zweier Spezies U und V:. Synergie: Eine größere Population von U bewirkt ein stärkeres Wachstum bei V und eine größere Population von V bewirkt ein stärkeres Wachstum bei U. 2. Konkurrenz: Eine größere Population von U bewirkt ein schwächeres Wachstum bei V und eine größere Population von V bewirkt ein schwächeres Wachstum bei U. 3. Räuber-Beute: Eine größere Population von U bewirkt ein schwächeres Wachstum bei V und eine größere Population von V bewirkt ein stärkeres Wachstum bei U. Kreuzen Sie zu den folgenden Diferenzialgleichungssystemen an, welches Modell qualitativ repräsentiert wird. Jeder richtige Eintrag zählt + Punkte, jeder falsche ; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Synergie Konkurrenz Räuber-Beute u = u v v = v u u = u v v = v u u = u v v = u+v u = u v v = u v
Aufgabe 7 (3 Punkte) Welche der Bilder werden durch die Fourierreihe 2 a 0 + 2 ( an cos(nx)+b n sin(nx) ) n= mit den angegebenen Fourierkoeffizienten dargestellt? (a n, b n sind für n > 2 gleich Null) Jedes richtige Kreuz zählt + Punkt, jedes falsche Punkt. a) a 0 = 0, a =, a 2 = 0, b = 0, b 2 = 2 2 2 b) a 0 = 0, a = 0, a 2 = 0.2, b =.5, b 2 = 0 2 2 2 c) a 0 =, a = 0.5, a 2 = 0.5, b = 0.5, b 2 = 0.5 2 2 2
Aufgabe 8 (2+2 = 4 Punkte) Welche Funktionen f i besitzen die folgenden Laplace-Transformierten? a) F (s) = (2s ) 2, b) F 2 (s) = s 2 +2s 3.
Aufgabe 9 (2+2+2+2 = 8 Punkte) Es wird ein (fairer) Würfel W mit den folgenden Augenzahlen betrachtet: 2, 4, 4, 4, 6, 6. a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung des Würfels. b) Wie wahrscheinlich ist es, nach vier Würfen noch keine 2 gewürfelt zu haben? c) Wie wahrscheinlich ist es, beim dritten Wurf die erste 6 zu würfeln? d) Nun wird ein zweiter Würfel W 2 mit den Augenzahlen,, 3, 5, 5, 5 hinzugenommen. Wie wahrscheinlich ist, dass bei einem Wurf mit beiden Würfeln der Würfel W eine größere Zahl zeigt als der Würfel W 2?