6. Sie haben die Klausur bestanden, wenn Sie mindestens 30 Punkte erreicht haben. Aufgabe bearbeitet:(bitte ankreuzen)

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1 Matrikelnummer (unbedingt eintragen) FAKULTÄT für Mathematik und Informatik Postanschrift: FernUniversität in Hagen, Hagen NAME: Vorname: Straße, Nr.: Klausurort:... bitte eintragen PLZ, Wohnort: Geburtsdatum: Hörerstatus: Kurs: Maß- und Integrationstheorie, WS 2015/2016 PRÜFUNGSKLAUSUR am 12. März 2016, Uhr Hinweise zur Bearbeitung (Bitte vor Arbeitsbeginn durchlesen!) 1. Füllen Sie das Deckblatt komplett und gut leserlich aus. 2. Beginnen Sie mit der Lösung einer Aufgabe stets auf einem neuen Blatt und versehen Sie dieses mit Ihrem Namen, Ihrer Matrikelnummer und der Nummer der Aufgabe. 3. Schreiben Sie bitte deutlich und nicht mit Bleistift. 4. Heften Sie zum Schluss dieses Deckblatt, die Aufgabenblätter und Ihre Lösungsblätter (nach Aufgaben sortiert) zusammen und kreuzen Sie in der Zeile bearbeitet die von Ihnen bearbeiteten Aufgaben an. 5. Es sind keine Hilfsmittel wie Studienbriefe, Bücher, Aufzeichnungen, Taschenrechner etc. zugelassen. 6. Sie haben die Klausur bestanden, wenn Sie mindestens 30 Punkte erreicht haben. 7. Über das Ergebnis werden Sie schriftlich unterrichtet. Gleichzeitig wird Ihnen eine Bescheinigung zur Vorlage beim Finanzamt zugestellt. 8. Die Klausur ist Eigentum der FernUniversität. Klausuren, die nicht vollständig zurückgegeben werden, sind von Korrektur und Benotung ausgeschlossen. Aufgabe bearbeitet:(bitte ankreuzen) Summe: erreichbare Punkte: erreichte Punktezahl: 1. Prüfer: 2. Prüfer: Prüfergebnis/Note: c 2016 FernUniversität in Hagen

2 Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Grenzwert lim n [ 2,2] 1 3+sin ( ) x 2n +x 4n dλ(x).

3 Aufgabe 2 Sei R > 0. Wir bezeichnen mit D 0 (R) := { (x,y) R 2 ; x 2 +y 2 R 2} die Kreisscheibe mit Radius R und Mittelpunkt (0, 0). Ziel dieser Aufgabe ist es, die Fläche (2-dimensionales Volumen) der Kreisscheibe mittels einer Polarkoordinatentransformation und einer anschliessenden Anwendung des Satzes von Fubini zu berechnen. 1. Bestimmen Sie Koordinatentransformation Φ : [0, ) [0,2π) R 2 (1) von Polarkoordinaten (r,θ) [0, ) [0,2π] auf kartesische Koordinaten (x,y) R 2. Bestimmen Sie auch die Funktionaldeterminante detφ (r,θ). 2. Bestimmen Sie eine (rotationssymmetrische) Funktion f : R 2 R, so dass die Fläche von D 0 (R) durch eine Integration über f ausgedrückt werden kann: ( λ 2 D0 (R) ) = f(x,y)dλ 2 (x,y). (2) 3. Verwenden Sie den Transformationssatz, um f(x,y)dλ 2 (x,y) mit Hilfe von (??) in ein Integral, das Polarkoordinaten (r, θ) [0, ) [0, 2π] verwendet, umzuschreiben. 4. Zeigen Sie, dass Sie obiges Integral in Polarkoordinaten (r,θ) [0, ) [0,2π] mittels Fubini ausrechenen können. In anderen Worten, zeigen Sie, dass Sie Fubini auf das gegeben Integral anwenden dürfen. 5. Berechnen Sie nun expliziet λ 2 ( D0 (R) ) unter Anwendung obiger Zwischenschritte.

4 Aufgabe 3 Sei E = { {1},{2},{3} } ein Mengensystem über der Grundmenge Ω = {1,2,3}. 1. Berechnen Sie die von E erzeugte σ-algebra σ(e) über der Grundmenge Ω. 2. Vergleichen Sie σ(e) mit der Potenzmenge P(Ω). Welche Relation erfüllen beide Mengensysteme zueinander? 3. Sei µ : σ(e) R ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das µ ( {1} ) = 1 3 = µ( {2} ) erfüllt. Zeigen Sie, dass µ bereits eindeutig festgelegt ist und geben Sie µ vollständig an. Hinweis:Sie könneneinmaßµ : σ(e) R vollständigangeben,wennsiedie Werteµ(A) für allea σ(e) angeben.

5 Aufgabe 4 Hinweis zur Punktevergabe: Jede richtige Antwort wird mit +2 Punkten, jede e Antwort wird mit 2 Punkten bewertet. Keine Antwort wird mit 0 Punkte bewertet. Sie können jedoch insgesammt in dieser Aufgabe keine negative Punkte erziehlen. Ein Beispiel: Sie haben 4 von 6 Fragen beantwortet, 1 richig, 3. Sie erhalten daher 1 +3 Punkte, 3 3 = 6 Punkte und 2 0 = 0 Punkte. Insgesammt wären das 4 Punkte. Da Sie jedoch mindestens 0 Punkte für die Aufgabe bekommen, erhalten Sie für die gesammte Aufgabe 0 Punkte. Sei ( [1, ),B ( [1, ) )) dermessraummitgrundmenge[1, ) unddenborelmengen B ( [1, ) ) = { A [1, ); A B ( R )}. Wir definieren ein Maß µ auf diesen Messraum durch µ(a) := A 1 x dλ 1(x) (für alle A B ( [1, ) ) ). Bitte kreuzen Sie entweder Richtig oder Falsch an: 1. Es gilt B ( [1, ) )) = P ( [1, ) ). 2. Das Maß µ ist auf ( [1, ),B ( [1, ) ),µ ) endlich. 3. Das Maß µ ist auf ( [1, ),B ( [1, ) ),µ ) σ-endlich. 4. Die durch [1, ) R; x 1 x gegebene Funktion ist λ 1 integrierbar. 5. Die durch [1, ) R; x 1 x gegebene Funktion ist µ integrierbar. 6. Es gilt µ ( (1,2) ) = log(2).

6 Aufgabe 5 Wir wählen uns ein x 0 R, welches von jetzt an fest ist. Wir definieren die Mengenfunktion { 1 falls x 0 A, δ x0 : P(R) R; A δ x0 (A) := 0 sonst. 1. Beweisen Sie: δ x0 ist ein Maß. 2. Betrachten Sie die Integrale (a) (b) (x 2 +e x2 ) dδx0 (x) (x 2 +e x2 ) dλ(x). und Argumentieren Sie, warum die Integrale existieren bzw. nicht existieren. Bitte berechnen Sie die Integrale, falls Sie existieren. Hinweis: Um zu beweisen, dass eine Mengenfunktion ein Maß ist, können Sie beispielsweise die definierenden Eigenschaften eines Maßes für die Mengenfunktion nachweisen.