Aussagenverknüpfungen in der Sprache (1) Betrachten Sie die Aussage S := «Thomas und Sara gehen in den Park.» Wir definieren die beiden Aussagen P := «Thomas geht in den Park.» und Q := «Sara geht in den Park.» Wir behaupten: P Q und S sind logisch äquivalent, (P Q) S. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 1/13
Aussagenverknüpfungen in der Sprache (1) Betrachten Sie die Aussage S := «Thomas und Sara gehen in den Park.» Wir definieren die beiden Aussagen P := «Thomas geht in den Park.» und Q := «Sara geht in den Park.» Wir behaupten: P Q und S sind logisch äquivalent, (P Q) S. P Q P Q S (Def. 3) w w w w w f f f f w f f f f f f C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 1/13
Aussagenverknüpfungen in der Sprache (1) Betrachten Sie die Aussage S := «Thomas und Sara gehen in den Park.» Wir definieren die beiden Aussagen P := «Thomas geht in den Park.» und Q := «Sara geht in den Park.» Wir behaupten: P Q und S sind logisch äquivalent, (P Q) S. P Q P Q S (Def. 3) w w w w w f f f f w f f f f f f Für alle möglichen Wahrheitswerte der Aussagen P und Q haben die Aussagen P Q und S jeweils denselben Wahrheitswert. Daher sind P Q und S gemäss Def. 2 der Vorlesung logisch äquivalent, (P Q) S. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 1/13
Folgerungen aus der Wahrheitstabelle P Q P Q S P = «Thomas geht in den Park.» Q = «Sara geht in den Park.» S = «Thomas und Sara gehen in den Park.» 1 w w w w 2 w f f f 3 f w f f 4 f f f f C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 2/13
Folgerungen aus der Wahrheitstabelle P Q P Q S P = «Thomas geht in den Park.» Q = «Sara geht in den Park.» S = «Thomas und Sara gehen in den Park.» 1 w w w w 2 w f f f 3 f w f f 4 f f f f Wenn Q und S wahr sind, dann ist auch P wahr (1) C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 2/13
Folgerungen aus der Wahrheitstabelle P Q P Q S P = «Thomas geht in den Park.» Q = «Sara geht in den Park.» S = «Thomas und Sara gehen in den Park.» 1 w w w w 2 w f f f 3 f w f f 4 f f f f Wenn Q und S wahr sind, dann ist auch P wahr (1) Wenn S falsch und P wahr sind, dann muss Q falsch sein (2) C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 2/13
Folgerungen aus der Wahrheitstabelle P Q P Q S P = «Thomas geht in den Park.» Q = «Sara geht in den Park.» S = «Thomas und Sara gehen in den Park.» 1 w w w w 2 w f f f 3 f w f f 4 f f f f Wenn Q und S wahr sind, dann ist auch P wahr (1) Wenn S falsch und P wahr sind, dann muss Q falsch sein (2) Wenn P falsch und Q wahr sind, dann ist S falsch (3) C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 2/13
Folgerungen aus der Wahrheitstabelle P Q P Q S P = «Thomas geht in den Park.» Q = «Sara geht in den Park.» S = «Thomas und Sara gehen in den Park.» 1 w w w w 2 w f f f 3 f w f f 4 f f f f Wenn Q und S wahr sind, dann ist auch P wahr (1) Wenn S falsch und P wahr sind, dann muss Q falsch sein (2) Wenn P falsch und Q wahr sind, dann ist S falsch (3) Wenn S und P falsch sind, dann kann Q wahr oder falsch sein (3 & 4) C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 2/13
Mögliche «Fehl»-Interpretation Die meisten Leute werden den Satz «Thomas und Sara gehen in den Park.» vermutlich so interpretieren, dass Thomas und Sara zusammen in den Park gehen. Für die Aussage T := «Thomas und Sara gehen zusammen in den Park.» gilt jedoch (P Q) T, denn Thomas und Sara können auch unabhängig voneinander in den Park gehen. Mit der Aussage R := «Thomas und Sara sind zusammen.» gilt schliesslich (P Q R) T. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 3/13
Nachprüfung P Q R P Q P Q R S T w w w w w w w w w f w f w f w f w f f f f w f f f f f f f w w f f f f f w f f f f f f f w f f f f f f f f f f f Tatsächlich gilt (P Q R) T. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 4/13 dummy text P = «Thomas geht in den Park.» Q = «Sara geht in den Park.» R = «Thomas und Sara sind zusammen.» S = «Thomas und Sara gehen in den Park.» T = «Thomas und Sara gehen zusammen in den Park.»
Aussagenverknüpfungen in der Sprache (2) Betrachten Sie den Satz «Wenn ich krank bin, dann gehe ich nicht zur Schule.» Aufgaben: 1. Prüfen Sie nach, dass dieser Satz eine Aussage ist. Wir nennen sie im Folgenden R. 2. Postulieren Sie eine Verknüpfung?? der beiden Aussagen P := «Ich bin krank» und Q := «Ich gehe nicht zur Schule», so dass (P??Q) R gilt. 3. Prüfen Sie die in 2. postulierte logische Äquivalenz mithilfe einer vollständigen Wahrheitstabelle nach. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 5/13
Lösungen 1. Wir haben hier ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, es sei wahr oder falsch. Also handelt es sich hierbei um eine Aussage im Sinne von Def. 1. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 6/13
Lösungen 1. Wir haben hier ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, es sei wahr oder falsch. Also handelt es sich hierbei um eine Aussage im Sinne von Def. 1. 2. Aufgrund der sprachlichen «wenn... dann»-verknüpfung postulieren wir eine Implikation, nämlich (P Q) R. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 6/13
Lösungen 1. Wir haben hier ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, es sei wahr oder falsch. Also handelt es sich hierbei um eine Aussage im Sinne von Def. 1. 2. Aufgrund der sprachlichen «wenn... dann»-verknüpfung postulieren wir eine Implikation, nämlich (P Q) R. 3. Wir erstellen die Wahrheitstabelle P Q P P Q Def. = 4 P Q R w w f w w w f f f f f w w w w f f w w w C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 6/13
Aufgaben (Forts.) 4. Formulieren Sie mithilfe der Negation, Konjunktion und Disjunktion die Aussagen a) Q P, b) Q P, c) (P Q). 5. Formulieren Sie die Aussagen aus 4. sprachlich, und erstellen Sie Wahrheitstabellen dafür. 6. Welche der Aussagen aus 4. sind logisch äquivalent zu P Q? C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 7/13
Lösungen (Forts.) 4. Mit der Def. 4 sowie mit Satz 1 erhalten wir a) Q P Def. = 4 Q P, b) Q P Def. = 4 ( Q) P Satz = 1 Q P, c) (P Q) Def. = 4 ( P Q) Satz = 1 ( P ) Q Satz = 1 P Q. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 8/13
Lösungen (Forts.) 4. Mit der Def. 4 sowie mit Satz 1 erhalten wir a) Q P Def. = 4 Q P, b) Q P Def. = 4 ( Q) P Satz = 1 Q P, c) (P Q) Def. = 4 ( P Q) Satz = 1 ( P ) Q Satz = 1 P Q. 5. a) «Wenn ich nicht zur Schule gehe, dann bin ich krank.» bzw. «Ich gehe zur Schule oder ich bin krank (oder beides).» b) «Wenn ich zur Schule gehe, dann bin ich gesund.» bzw. «Ich gehe nicht zur Schule oder ich bin gesund (oder beides).» c) «Ich bin krank und ich gehe zur Schule.» C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 8/13
Lösungen (Forts.) 6. Mit 4. erhalten wir die Wahrheitstabellen P Q P Q Q P Q P (P Q) P Q 4. a) = Q P 4. b) = Q P 4. c) = P Q 3. = P Q w w f f w w f w w f f w w f w f f w w f f w f w f f w w w w f w Offenbar sind nur Q P und P Q logisch äquivalent, d. h. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 9/13
Lösungen (Forts.) 6. (Forts.) die Aussagen P Q = «Wenn ich krank bin, dann gehe ich nicht zur Schule.» und Q P = «Wenn ich zur Schule gehe, dann bin ich gesund.» sind logisch äquivalent. P ist hinreichend für Q, Q ist notwendig für P, Q ist hinreichend für P, P ist notwendig für Q. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 10/13
Aussagenverknüpfungen in der Sprache (3) Betrachten Sie die beiden Sätze «Pro Tasse oder Glas einen Teebeutel immer mit frischem, sprudelnd kochendem Wasser übergiessen und mindestens 6 Minuten ziehen lassen! Nur so erhalten Sie ein sicheres und wohlschmeckendes Lebensmittel!» C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 11/13
Aussagenverknüpfungen in der Sprache (3) Betrachten Sie die beiden Sätze «Pro Tasse oder Glas einen Teebeutel immer mit frischem, sprudelnd kochendem Wasser übergiessen und mindestens 6 Minuten ziehen lassen! Nur so erhalten Sie ein sicheres und wohlschmeckendes Lebensmittel!» Aufgaben: 1. Offenbar ist der erste Satz eine Anweisung. Wir definieren die Aussage R := «Ich befolge die Anweisung». Definieren Sie zwei weitere Aussagen P, Q, so dass Sie eine Implikation (P Q) R erhalten, und erstellen Sie eine Wahrheitstabelle dafür. 2. Die Implikation aus 1. sei wahr. Welche Eigenschaften hat das erhaltene Lebensmittel, wenn Sie die Anweisung nicht befolgen? C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 11/13
Lösung (1) 1. Wir definieren die beiden Aussagen P := «Ich erhalte ein sicheres Lebensmittel.» Q := «Ich erhalte ein wohlschmeckendes Lebensmittel.» P Q R P Q (P Q) = P Q (P Q) R = (P Q) R w w w f f f w w w f f f f f w f w f w w w w f f f w w w f w w w f w w f w f w f w w f f w w w w w f f f w w w w C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 12/13
Lösung (2) 1. Aus der Wahrheitstabelle entnehmen wir für den Fall, dass (P Q) R wahr und R falsch sind die drei Möglichkeiten P Q R P Q (P Q) = P Q (P Q) R = (P Q) R w f f f w w w f w f w f w w f f f w w w w Daher wird das erhaltene Lebensmittel in diesem Fall nicht sicher oder nicht wohlschmeckend (oder beides) sein. C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 13/13
Lösung (2) 1. Aus der Wahrheitstabelle entnehmen wir für den Fall, dass (P Q) R wahr und R falsch sind die drei Möglichkeiten P Q R P Q (P Q) = P Q (P Q) R = (P Q) R w f f f w w w f w f w f w w f f f w w w w Daher wird das erhaltene Lebensmittel in diesem Fall nicht sicher oder nicht wohlschmeckend (oder beides) sein. Vermutlich würde man den Satz sogar als Bikonditional (P Q) R interpretieren (d. h. das Befolgen der Anweisung ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend dafür, ein sicheres und wohlschmeckendes Lebensmittel zu erhalten) C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 13/13
Lösung (2) 1. Aus der Wahrheitstabelle entnehmen wir für den Fall, dass (P Q) R wahr und R falsch sind die drei Möglichkeiten P Q R P Q (P Q) = P Q (P Q) R = (P Q) R w f f f w w w f w f w f w w f f f w w w w Daher wird das erhaltene Lebensmittel in diesem Fall nicht sicher oder nicht wohlschmeckend (oder beides) sein. Vermutlich würde man den Satz sogar als Bikonditional (P Q) R interpretieren (d. h. das Befolgen der Anweisung ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend dafür, ein sicheres und wohlschmeckendes Lebensmittel zu erhalten) «so und nur so». C. Kirsch: Aussagenlogik und Sprache. MAE1, 23. September 2017. p. 13/13