Ähnlichkeit: Ähnliche Figuren: https://www.youtube.com/watch?v=xvpd9cep7qu 1.1 Welche der Figuren sind ähnlich zueinander? Kreuze an! Miss benötigte Winkel und Längen in der Zeichnung ab! 1.2 Welche Vierecke sind ähnlich zueinander?
1.3 Welche Dreiecke sind ähnlich zueinander? 1.4 Welche Eigenschaften führen sicher zur Ähnlichkeit von Dreiecken? Ordne richtig zu.
1.5 Die beiden Figuren sind ähnlich (Maße in cm). Wie groß sind a, b und c? 1.6 Konstruiere zu dem Dreieck a = 4cm, b = 5cm und γ = 80 ein ähnliches Dreieck mit a 1 = 5cm. 1.7 Wie viele ähnliche Dreiecke gibt es in dieser Abbildung? Gib diese an! Gib auch die Größe der Winkel γ und δ an! 1.8 Ein Dia mit 24mm Höhe und 36mm Breite wird auf eine Wand projiziert. Welche Höhe muss die Projektionsfläche mindestens haben, wenn das Dia mit einer Breite von 2,16m an der Wand sichtbar ist? 1.9 Ist ein Rechteck mit a = 6cm und b = 4cm zu einem Rechteck mit a 1 = 12cm und b 1 = 10cm ähnlich? Begründe! 1.10 Begründe, warum Quadrate immer zueinander ähnlich sind! 1.11 Sind die beiden Figuren zueinander ähnlich? 1.12 Sind zwei Parallelogramme immer zueinander ähnlich? Begründe!
Verhältnisse und Proportionen Verhältnisgleichung: https://www.youtube.com/watch?v=t2ic_vvmp0q 2.1 Berechne die Anzahl der gesuchten Personen. Markiere die richtige Lösung. 2.2 Ergänze zu einer richtigen Verhältnisgleichung 2.3 Wie verhalten sich die Größen zueinander? Gib die Verhältnisse mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen an. 2 km verhalten sich zu 2 m wie :. 1,2 kg verhalten sich zu 6,4 kg wie :. 2,5 l verhalten sich zu 5 dl wie :. 15 Cent verhalten sich zu 3 wie :. 82 kg verhalten sich zu 4,2 kg wie :. 2.4 Eine Spedition hat LKWs in zwei Größen. Die Größen verhalten sich wie 2 : 3. Mit den kleineren LKWs braucht die Spedition sechs Fahrten, um einen Auftrag zu erledigen. Wie viele Fahrten sind mit den größeren nötig? 2.5 Es ist jeweils eine Streckenlänge und ein Vergrößerungsverhältnis gegeben. Ordne die passenden Längen zu.
2.6 Drücke das Verhältnis mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen aus 2.7 Berechne den gesuchten Anteil! a) Bei einer Wahl nahmen sieben von acht Wahlberechtigten teil. 735 680 Personen waren wahlberechtigt. Wie viele nahmen an der Wahl teil? b) Jeder dritte Bienenstock ist mit einem Virus infiziert. Ein Imker besitzt 450 Bienenstöcke. Wie viele seiner Stöcke sind vom Virus befallen? c) Eine Abstimmung im Nationalrat ging im Verhältnis 5 : 2 für den gestellten Antrag aus. Wie viele der 182 Abgeordneten haben für den Antrag gestimmt? 2.8 Überprüfe, ob die Proportion richtig ist! Wenn nicht, ändere die letzte Zahl so, dass die Proportion stimmt! a) 56 : 8 = 7 : 1 richtig falsch Korrektur: b) 4 : 12 = 75 : 220 richtig falsch Korrektur: c) 35 : 55 = 42 : 65 richtig falsch Korrektur: 2.9 Es ist die Länge einer Strecke im Plan und der Maßstab gegeben. Wie lang ist die Strecke in der Wirklichkeit? 2.10 Zwei Zahlen verhalten sich wie 5 : 9. Ihre Summe beträgt 168. Wie lauten die beiden Zahlen? 2.11 Berechne die Unbekannte! a) 3 2 = x 18 b) 2 3 : y = 9 4 : 9 6 c) 4 10 = z+6 z+24 2.12 Teile eine Strecke von 14cm im Verhältnis 3:4:5 und zeichne diese ungefähr! 2.13 Sabine möchte ein Modell der Erde und des Mondes basteln. Dazu muss sie die Himmelskörper im selben Verhältnis verkleinern. a) Für die Erde mit ca. 12800km Durchmesser nimmt sie eine Styroporkugel mit 30cm Durchmesser. Wie groß muss die Kugel für den Mond mit ca. 3500km Durchmesser sein? b) Mit welchem Abstand muss sie die Kugel aufhängen, wenn die mittlere Entfernung zwischen Erde und Mond ungefähr 385 000km beträgt und sie denselben Maßstab verwendet? 2.14 Aus einer Lieferung von 4000 PC-Bauteilen werden 200 zufällig herausgenommen und getestet. 4 davon sind defekt. Wie viele defekte Bauteile sind voraussichtlich in der ganzen Lieferung? 2.15 Hannah, Bernd und Ferdinand bilden eine Spielgemeinschaft im Lotto. Hannah gibt einen Tipp ab, Bernd zwei und Ferdinand drei. Sie schaffen einen 5er mit Zusatzzahl und gewinnen 150 000. Wie viel erhält jeder, wenn das Geld gerecht aufgeteilt werden soll? 2.16 Die Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie 3:4:5. Die längere Seite ist 8cm lang. Berechne die beiden anderen!
Strahlensatz Strahlensätze: https://www.youtube.com/watch?v=fztlvokjlw0 3.1 Berechne die orange markierten Streckenlängen mit dem Strahlensatz! (Maße in Zentimeter) 3.2 Verwende die Strahlensätze, um x und y zu berechnen! 3.3 Zeige, dass die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind und beschrifte gleich große Winkel mit demselben Buchstaben. Berechne danach a und b! 3.4 Von zwei Strecken a und b kennt man ihr Längenverhältnis und die Länge einer Strecke. Konstruiere die andere Strecke mit Hilfe des Strahlensatzes! Berechne sie und miss nach! a: b = 3: 4, a = 6, 2cm
Längen- und Flächenbeziehungen bei ähnlichen Figuren: 4.1 Von einem Dreieck kennt man die Seitenlängen a = 5cm, b = 6cm, c = 7cm. Ein dazu ähnliches Dreieck hat die Seitenlänge a 1 = 2, 5cm. a) Berechne die beiden anderen Seiten und konstruiere beide Dreiecke. b) Berechne die Umfänge der beiden Dreiecke und gib deren Verhältnis an. c) Vergleiche das Verhältnis der Umfänge mit dem Verhältnis der Seitenlängen. 4.2 Die Seitenlänge a eines Parallelogramms beträgt 5cm, die Seite b ist 6cm lang. Ein dazu ähnliches Parallelogramm hat einen Umfang von 5,5cm. Berechne dessen Seitenlängen! 4.3 Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Deltoids, wenn sich beide Diagonalen verdoppeln? a) Stelle mit Hilfe eines Zahlenbeispiels eine Vermutung auf! b) Beweise deine Vermutung! 4.4 Von einem Quadrat kennt man die Seitenlänge a = 4cm. Der Flächeninhalt dieses Quadrats verhält sich zu Flächeninhalt eines ähnlichen Quadrats wie 1:9. a) Berechne die Seitenlänge des zweiten Quadrats! b) Berechne die Flächeninhalte beider Quadrate! 4.5 In den beiden ähnlichen Parallelogrammen ABC und A 1 B 1 C 1 verhalten sich die Seitenlängen wie 1:2. a) Begründe die Ähnlichkeit der Dreiecke AED und A 1 E 1 D 1 und zeige dann, dass h 2 = h 1. b) Beweise, dass sich die Flächeninhalte der beiden Parallelogramme wie 1:4 verhalten. Verwende dafür die Formel A = a h! 4.6 Von einem Würfel kennt man die Kantenlänge s = 4cm. Die Kantenlänge s verhält sich zur Kantenlänge s 1 eines zweiten Würfels wie 2:3. a) Berechne s 1. b) Wie verhalten sich die beiden Oberflächen bzw. die Rauminhalte der beiden Würfel?
Praktische Anwendung der Ähnlichkeit 5.1 Vergrößere eine Strecke von 87mm im Verhältnis 3:5. 5.2 Verkleinere eine Strecke von 92mm im Verhältnis 4:3. 5.3 Vergrößere das gegebene Dreieck ABC (a = 5cm, β = 55, γ = 60 ) im Verhältnis 2:3. Wähle dafür einen beliebigen Eckpunkt als Streckzentrum. 5.4 Konstruiere das Dreieck ABC (b = 6cm, c = 7cm, α = 45 ) und seinen Inkreismittelpunkt I. Nimm I als Streckzentrum an und verkleinere das Dreieck im Verhältnis 2:1. 5.5 Berechne die Höhe des Baumes! 5.6 Berechne, wie weit D-Dorf und E-Dorf voneinander entfernt sind. Die Entfernungen der anderen Orte sind aber zum Teil bekannt. A-Dorf ist 7 km von B-Dorf entfernt. A- Dorf ist 17 km von D-Dorf entfernt. B-Dorf und C-Dorf liegen 9 km auseinander. 5.7 Jana will die Höhe des Maibaums bestimmen. Sie kann seinen Schatten messen. Er ist 8 m lang. Sie selbst ist 1,60 m groß und stellt sich so, dass ihr Schatten genau mit dem Schattenende zusammenfällt. Jana selbst steht 6 m vom Maibaum entfernt. Wie hoch ist der Maibaum?
5.8 Als Goldener Schnitt wird das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe bezeichnet, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil a dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil b gleich ist: a+b = a. a b Ein Beispiel für die Anwendung des goldenen Schnitts in der Architektur ist das alte Leipziger Rathaus. Zeige, dass der Turm das gesamte Gebäude ungefähr im goldenen Schnitt teilt. Miss dafür die beiden eingezeichneten Strecken ab. 5.9 Bestimme den Abstand der Punkte A und B! 5.10 Berechne die Entfernung der Punkte A und B, wenn folgende Streckenlängen vermessen werden: m = 100m, n = 25m, a = 20m 5.11 Berechne die Breite des Flusses.
5.12 Schließt man abwechselnd das linke und das rechte Auge, so macht der mit ausgestrecktem Arm aufrecht gehaltene Daumen scheinbar im Gelände einen Sprung. Cora hat die Armlänge l = 64cm und den Augenabstand a = 6, 4cm. Sie schätzt bei einer Mauer die "Sprungstrecke" s auf 5m. Wie weit ist Cora von der Mauer entfernt, wenn die Schätzung stimmt? 5.13 Eine Polizeistreife steht in einer Einfahrt. a) Wie viel Meter der gegenüberliegenden Straßenfront kann sie überblicken? b) Wie viel Meter kann sie überblicken, wenn sie 1m näher zur Straße vorfährt?
Gleichungen und Formeln: Beispiele zu Äquivalenzumformungen: https://www.youtube.com/watch?v=eve3fa7gtrw 6.1 Löse die Gleichung, indem du die angegebenen Äquivalenzumformungen durchführst! 6.2 Berechne die Unbekannte! Überprüfe mit einer Probe! 6.3 Gib zur gegebenen Gleichung drei äquivalente Gleichungen an! 2x + 3 = 7 6.4 Gib drei Gleichungen an, die genau die Lösung x = 5 besitzen. Sind diese Gleichungen äquivalent? 6.5 Berechne die Unbekannte! a) 3(x + 9) 6 = 2x + 6 c) 4z + 7 = 4 + 5z 3 2 b) (4y + 5)(6y 2) = 3y(8y + 7) d) a + a = a 2 3 4 6.6 Drücke aus der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes mit den parallelen Seiten a und c die Höhe h aus. 6.7 Drücke aus der Formel für Geschwindigkeit v = s die Variable t durch die beiden anderen aus! t 6.8 Drücke jede Variable durch die übrigen aus! a) a b c = d b) v w x = z
Lösungen: 1.1 Ähnlich: mitte oben, rechts oben, links unten, rechts unten 1.2 Die Quadrate 1.3 Ähnlich: links oben, links unten, rechts unten 1.4 Ähnlich: 2. Und 4. 1.5 a = 6cm, b = 4,5cm, c = 6,75cm 1.6 Konstruieren mit b=6,25cm und γ = 80 1.7 Zwei, HJI ~ EJG, γ = δ = 45 1.8 1,44m 1.9 Nein, da 6 : 4 = 1,5 und 12 : 10 = 1,2 1.10 Quadrate sind immer zueinander ähnlich, da alle Quadrate vier rechte Winkel haben und das Verhältnis der Seiten innerhalb eines Quadrats immer 1:1 ist und zwischen den Quadraten immer a:a1. 1.11 Nein, da die Längenverhältnisse nicht gleich sind 1.12 Parallelogramme sind nicht immer zueinander ähnlich. Parallelogramme können trotz gleicher Seitenlängen unterschiedlich große Winkel haben. 2.1 200, 140, 392 2.2 1., 3., 1. 2.3 1000:1, 3:16, 5:1, 1:20, 410:21 2.4 Vier Fahrten 2.5 1C, 2A, 3D,4B 2.6 2.7 643720 Personen, 150 Stöcke, 130 Abgeordnete 2.8 a) richtig, b) falsch, 225, c) falsch, 66 2.9 2.10 60 und 108 2.11 x = 27, y = 4 9, z = 6 2.12 3,5cm, 4 2, 5,83 3 2.13 Ungefähr 8,2cm, b) ungefähr 9m 2.14 Ungefähr 80 2.15 25000, 50000, 75000 2.16 4,8cm, 6,4cm 3.1 3,5cm, 3cm 3.2 x = 8, y = 3 3.3 Die Winkel der beiden Dreiecke sind Parallelwinkel, also gleich groß. a = b = 3 3.4 b = 8,26 4.1 Das Verhältnis der Umfänge und Seitenlängen ist 2:1, b 1 = 3cm, c 1 = 3,5cm 4.2 a=5/4cm und b=3/2cm 4.3 Wenn A = e f gilt A 2 1 = 2e 2f = 2 2 e f = 4 A 2 2 4.4 a 1 = 12cm, A = 16cm 2, A 1 = 144cm 2 4.5 a) Da a a 1, d d 1, h h 1 sind die Winkel in den beiden Dreiecken AED und A 1 E 1 D 1 paarweise gleich groß. Da sich die Seiten d und d 1 wie 1:2 verhalten und die beiden Dreiecke AED und A 1 E 1 D 1 ähnlich sind, verhalten sich auch die Seiten h und h 1 wie 1:2. b) A = a h und A 1 = a 1 h 1 = 2 a 2 h = 2 2 a h = 4 a h = 4 A 4.6 s 1 = 6cm, O: O 1 = 4: 9, V: V 1 = 8: 27 5.1 145mm 5.2 69mm 5.3 Konstruieren mit a 1 = 7,5cm 5.4 Verkleinern mit b 1 = 3cm und c 1 = 3,5cm
5.5 Der Baum ist 6m hoch. 5.6 ~21,857km 5.7 Der Maibaum ist 6,4m hoch. 5.8 Der Quotient der längeren und der kürzeren Strecke ergibt ungefähr 1,618. 5.9 Ungefähr 373,33 m 5.10 80m 5.11 Ca. 7,67 m 5.12 Ihr ausgestreckter Daumen ist 50 m von der Mauer entfernt. 5.13 a) Sie kann 16m der Straßenfront überblicken. b) Sie kann 28m der Straßenfront überblicken. 6.1 6.2 6.3 Beliebige Äquivalenzumformungen verwenden 6.4 Die Gleichung x = 5 mit beliebigen Äquivalenzumformungen verändern. Die Gleichungen sind äquivalent, da sie dieselbe Lösung besitzen (und logischerweise äquivalent, da man sie mit Äquivalenzumformungen gefunden hat). 6.5 x = 15, y = 10, z = 18, a = 0 7 6.6 A = (a+c) h 2 6.7 t = s v 6.8 a b d = c, a = c+d b v = z + w x 2 2A = (a + c) h :(a+c), b = c+d, w = (v z) x, x = w v z a 2A a+c = h