3.3 Der Seitenverband

Diskrete Geometrie (Version 3) 10. Januar 2012 c Rudolf Scharlau 217 3.3 Der Seitenverband Wir setzen die Untersuchung der Relation ist Seite von auf der Menge aller konvexen Polytope in einem gegebenen R-Vektorraum fort. Wir werden unter anderem zeigen, dass ein Polytop genügend viele Seiten in jeder denkbaren Dimension besitzt (anders als eine runde konvexe Menge wie die Kugel, die nur nulldimensionale Seiten besitzt). Bevor wir dieses Programm durchführen, müssen wir einige Begriffe betreffend Ordnungsrelationen einführen. Wir erinnern an den Begriff einer (binären) Relation auf (oder in) einer Menge M. Eine solche Relation heißt Halbordnungsrelation, meist kurz Halbordnung, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Letzteres bedeutet x,y M : x y y x x = y. Dieses gilt für das übliche von Zahlen und für die Inklusion von Mengen, genauso aber auch für die zugehörigen strikten Relationen < bzw.. Ein weiteres Beispiel einer Halbordung ist die Teilbarkeitsrelation auf den natürlichen Zahlen. Die gesamte Struktur (M, ) wird ebenfalls als Halbordnung bezeichnet. Die strukturerhaltenden Abbildungen f : (M, ) (N, ) sind definitionsgemäß die monotonen oder ordnungserhaltenden Abbildungen: x y f(x) f(y). Ein Isomorphismus von Halbordnungen ist eine bijektive monotone Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls monoton ist: x y f(x) f(y). Wenn (M, ) eine Halbordnung ist und N M eine Teilmenge, so ist klar, was eine obere Schranke für N ist. Ein Supremum s für N ist eine kleinste obere Schranke: Für eine zweielementige Teilmenge N = {x, y} bedeutet das: x s, y s, (z M x z y z) s z. (In Worten: s ist eine gemeinsame obere Schranke für x und y, und wenn z eine weitere gemeinsame obere Schranke ist, dann ist s z.) Der Begriff Infimum ist analog als größte untere Schranke definiert. Eine Verband ist eine Halbordnung, in der jede zweielementige Teilmenge (und damit per Induktion jede endliche Teilmenge) ein Supremum und ein Infimum besitzt. Ein typischer Verband ist die Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen einer festen (z.b. endlichen) Menge. Supremum und Infimum von {A, B} sind hier einfach die Vereinigung A B bzw. der Durchschnitt A B. Eine endliche Halbordnung wird oft durch ihr so genanntes Hasse-Diagramm beschrieben: hiernotiertmandieelemente alspunkte( Knoten einesgraphen), und zwei Elemente x, y werden durch eine (aufwärtsgerichtete) Kante verbunden, wenn x y ist und kein z M existiert mit x z y, x z y. (Anschaulich: y liegt unmittelbar über x.) Hier als Beispiel der Potenzmengenverband einer dreielementigen Menge:

218 Diskrete Geometrie (Version 3) 10. Januar 2012 c Rudolf Scharlau {1,2,3} {1,2} {1,3} {2,3} {1} {2} {3} Abb. 3.10: Hasse-Diagramm des Potenzmengenverbandes (P({1, 2, 3}), ) Satz und Definition 3.3.1 Es sei P ein Polytop. Mit F(P) bezeichnen wir die Menge aller Seiten von P. a) Auf F(P) stimmt die Relation ist Seite von mit der Inklusion überein. b) Für A F(P) gilt F(A) F(P). Die durch Inklusion halbgeordnete Menge(F(P), ) heißt auch der Seitenverband von P. Beweis: Teil a) folgt aus Bemerkung 3.2.6. Für Teil b) bemerken wir zunächst, dasanachsatz3.2.4selbst einpolytopist; F(A)istalso definiert. Diegewünschte Inklusion folgt nun aus der Transitivität der Seiten-Relation Satz 3.2.7. Dass (F(P), ) tatsächlich ein Verband ist, wird in dem unten folgenden Satz 3.3.8 weiter ausgeführt. Das Hasse-Diagramm des Seitenverbandes eines Vierecks sieht wie folgt aus: Abb. 3.11: Seitenverband eines Vierecks

Diskrete Geometrie (Version 3) 10. Januar 2012 c Rudolf Scharlau 219 Das Hauptergebnis dieses Abschnitt wird der Satz 3.3.5 sein. Der folgende Satz ist hiervon ein Spezialfall, der aber entscheidend für den allgemeinen Beweis (durch Induktion nach der Dimension) ist. Aus diesem Grund und wegen seiner einfachen Formulierung halten wir ihn als separaten Satz fest. Wir erinnern daran, dass eine echte Seite F eines Polytopes P eine Seite mit F P ist. Eine Seite der Dimension dimp 1 wird auch als Wand oder Facette bezeichnet. Satz 3.3.2 Jede echte Seite F eines Polytops P ist in einer Wand enthalten. Vor dem Beweis des Satzes führen wir noch eine naheliegende Sprechweise ein und beweisen einen Hilfssatz. Definition 3.3.3 Das relative Innere einer Teilmenge K E besteht aus allen Punkten, die inneren Punkte von K in dem von K erzeugten affinen Unterraum Aff K sind Bezeichnung relint K. Wenn K eine nicht-leere konvexe Menge ist, so ist immer auch relint K nicht-leer. DasrelativeInnereeinerStrecke[x,y],x y istdie offenestrecke [x,y] {x,y}. Allgemeiner ist das relative Innere eines k-simplexes = conv{x 0,...,x k } mit affinenen unabhängigen Punkten x 0,x 1,...,x k das sogenannte offene Simplex, bestehend aus allen Punkten k t i x i mit echt positiven t i und k t i = 1. Lemma 3.3.4 Es sei K eine beliebige Teilmenge von E und F eine konvexe Teilmenge von K. Es sei x relintf und H eine Stützhyperebene an K in x. Dann ist F H. Beweis: Setze A := AffF und m = dima. Es ist x innerer Punkte eines in A enthaltenen m-simplexes: x = t i x i, t i > 0, t i = 1, i=1 wobei x 0,...,x m F affin unabhängig sind, also Aff{x 0,...,x m } = A. Sei nun H = H f,α für ein f E und α R, und f(y) α für alle y K. Dann gilt α = f(x) = t i f(x i ) mit f(x i ) α. Da alle t i echt positiv sind, folgt hieraus f(x i ) = α für alle i, also x i H für alle i und somit A H, erst recht F H, wie gewünscht. Beweis von Satz 3.3.2:WirbenutzenSatzeineErgänzungzuSatz3.2.5,diewir allerdings oben nicht formuliert haben: Der Rand von P ist genau die Vereinigung der Wände von P. Wähle eine Darstellung von P wie in Satz 3.2.5 sowie einen

220 Diskrete Geometrie (Version 3) 10. Januar 2012 c Rudolf Scharlau relativ inneren Punkt p F. Dieser Punkt ist jedenfalls ein Randpunkt von P. Es gilt also p F i := H i P für passendes i, wobei F i eine Wand von P ist. Nach Lemma 3.3.4 ist F F i, wie gewünscht. Per Induktion erhalten wir nun wie oben angekündigt aus Satz 3.3.2 die Existenz von Seiten beliebiger (passender) Dimension, die eine gegebene Seite umfassen. Satz 3.3.5 Es seien F k,f m zwei Seiten eines Polytops mit F k F m, k = dimf k und m = dimf m. Dann gibt es eine Kette von Seiten F k F k+1 F k+2... F m 1 F m mit dimf j = j für alle j. Beweis: Das folgt sofort durch Induktion über m k durch Anwendung des vorigen Satzes 3.3.2 auf P = F m und F = F k. Wir befassen uns nun mit dem Verhalten von Seiten unter Durchschnitten. Satz 3.3.6 Es sei K eine kompakte konvexe Menge und F 1,...,F r Seiten von K. Dann ist auch der Durchschnitt F 1 F 2... F 2 eine Seite von K. Beweis: Es sei o.b.d.a. jedes F i eine echte Seite, F i = H i K mit einer Hyperebene H i = H fi,α i, f i E, α i R und K H i. Ferner sei der Durchschnitt F der F i als nicht-leer angenommen. Nach einer geeigneten Translation von K können wir 0 F annehmen; dann ist α i = 0 für alle i. Betrachte nun die Linearform f := f 1 +f 2 +...+f r. Für x K gilt f(x) 0 und f(x) = 0 genau dann, wenn f i (x) = 0, d.h. x F i für alle i ist. Für H := kerf bedeutet das H K = F. Insbesondere muß H E sein, d.h. f 0 und H eine Hyperebene. Also ist F eine Seite von K. Der nächste Satz ist eine Art verschärfte Umkehrung des vorigen. Satz 3.3.7 Es sei P ein n-dimensionales Polytop und F eine k-dimensionale Seite von P, mit k n 2. Fixiere eine Zahl m mit k < m < n. Dann ist F ein Durchschnitt von m-dimensionalen Seiten. Beweis: Wir behandeln zuerst den Fall k = n 2 und m = n 1 und zeigen, dass jede Seite G der Dimension n 2 Durchschnitt von zwei Wänden ist. Nach Satz 3.3.2 ist jedenfalls G in einer Wand F 1 enthalten. Stelle nun das gesamte Polytop P als Durchschnitt von Halbräumen dar, P = s, wobei o.b.d.a. H i i=1 das System der H i minimal ist, also nach Satz 3.2.5 jedes F i = H i P eine Wand (F 1 wie oben). Also ist F 1 = H 1 P = s H 1 H i. Wenn wir hier zunächst die H 1 H i weglassen, für die H 1 H i keine Hyperebene in H 1 ist und weiter zu einem minimalen Durchschnitt übergehen, sehen wir mittels 3.2.5, dass jede Wand von F 1, insbesondere das obige G, von der Form F 1 H i = F 1 F i für ein geeignetes i {2,...,n} ist. i=2

Diskrete Geometrie (Version 3) 10. Januar 2012 c Rudolf Scharlau 221 Wir behandeln nun den allgemeinen Fall durch Induktion nach n k mit dem gerade behandelten Induktionsanfang n k = 2. Wähle nach Satz 3.3.5 eine Seite F k+2 der Dimension k +2 von P mit F F k+2. Anwenden des Spezialfalls auf F und F k+2 liefert Seiten F k+1 und F k+1 von F k+2 der Dimension k +1 mit F = F k+1 F k+1. Nach Satz 3.2.7 sind F k+1 und F k+1 auch Seiten von P. Nach Induktionsannahme sind sie Durchschnitte von m-dimensionalen Seiten von P. Also gilt dieses auch für F. Die Bezeichnung Seitenverband wird im folgenden Satz gerechtfertigt: Satz 3.3.8 Für ein n-dimensionales Polytop P hat die Halbordnung (F(P), ) die folgenden kombinatorischen Eigenschaften. a) Jede maximale Kette F 1 = F 0 F 1... F m = P in F(P) hat dieselbe Länge m = n. b) Je zwei Elemente F,G F(P) besitzen ein Infimum, nämlich F G, und ein Supremum. c) F(P) besitzt ein kleinstes und ein größtes Element. d) Der Verband ist atomar, d.h. jedes Element ist Supremum einer geeigneten Menge von Atomen, das sind die minimalen vom kleinsten Element verschiedenen Elemente von F(P). e) Der Verband ist coatomar, d.h. jedes Element ist Infimum einer geeigneten Menge von Coatomen, das sind die maximalen vom größten Element verschiedenen Elemente von F(P). f) Für F,G F(P) mit F G, dimg = dimf + 2 gibt es genau zwei K F(P) mit F K G und dimk = dimf +1. In diesem Satz kommen eine Reihe neuer Begriffe vor, in der Substanz ist er jedoch abgesehen von Teil f) durch die Sätze 3.3.5, 3.3.6, 3.3.7 bereits bewiesen. Neu ist die Einsicht, dass sich diese drei Sätze als Eigenschaften der Halbordnung (F(P), ) formulieren lassen. Man kann die konkrete geometrische Gestalt des Polytops als Teilmenge eines affinen Raumes völlig vergessen und trotzdem diesen Satz formulieren. Man spricht deshalb von kombinatorischen Eigenschaften eines Polytops bzw. der Klasse aller Polytope. Auch die Dimension einer Seite kann als rein kombinatorische Eigenschaft aufgefaßt werden: für F F(P) ist dimf die größte Zahl d so, dass eine Kette F 0 F 1 F d in F(P) mit F d = F existiert. Insofern ist auch der (hier nicht bewiesene) Teil f) des Satzes eine Aussage, die nur vom Seitenverband handelt, aber nicht vom Polytop selbst.