Prbudiu dr Phik. Vrpnn Bchribung dr Bwgung in Mnpunk i Ru durch "Bhnkur" ("Wg- Zi-Digr") x indininl in x-richung x x( ) Durchchnigchwindigki i Ziinrll bi (, ) x ( ) x( ) Durch ir ärkr Vrklinrung n ( ) li 0 x ( ) x( ) dx d : x (Mnn) Gchwindigki u Zipunk ( ) Bchlunigung ilich Ändrung dr Gchwindigki ( ) ( ) x ( ) Nwn'. Axi (Nwn'ch Grundglichung dr Mchnik) Bchlunigung in Körpr hrrgrufn durch Krf k i k x in dri Dininn k x. W i in Schwingung? Exprin: Fdrpndl, Vgl, Pndl, Pndl "i Ngl", hüpfndr Tichnnibll, Wgn uf Lufkinchin, Elkrichr Schwingkri Df.: Schwingung pridich Aulnkung in S u Glichgwichlg ("Ruhlg")
Allg. : x, ( ) ( T) x ϕ ϕ "P ridndur" (Schwingungdur) B.: ( ) knn hr kpliir in (. B. Pndl i Ngl). 3. Di ungdäpf hrnich Schwingung Df.: Schwingung hiß "hrnich", wnn ( ) bw. inuförig rläuf kinu- π ( ) A c α T Apliud α 0 0 α π/ Für α 0 : 3 0 für T, T,... 4 4 Bichnung: π T "Krifrqun" dr Schwingung ( ) A c( ) ( α 0) Brchn Gchwindigki und Bchlunigung: ( ) A in (Knrgl)! ( ) A c A c( ) ( ) ( ) 0 "Schwingungglichung "
3 Di Glichung nnn n uch di Diffrnilglichung d hrnichn Oillr Wi rug n in lch Schwingung? Brch. B. S u M Fdr [Exp.: Hk'ch G, Fdrwg n Sprühd] - - 0 Bfund: Aulnkung dr M rückribnd Krf k F D "Fdrknn " Di i di Krf, wlch n dr M ngrif und di in (-)-Richung bchlunig Au Nwn'chr Grundglichung K F Ufrn lifr: ( ) D ( ) D ( ) ( ) 0 : Wir hn: π D bw. T π T D B.: Hir hbn wir phiklich Knngrößn d S (D und ) i dr Schwingungdur T bw. dr Krifrqun rknüpf. Eignlich i d Prbl für Phikr di glö, Löung dr Schwingungglichung j in hich Prbl. Abr: i nich gn! Mhik : (gl. dn hichn Vrkuril) llginr An ( ) ( ) und ( )
4 Einn in di Schwingungglichung lifr: 0 : Löungn: ± ± i i i llg. Löung ( ) Swi di Mhik! Prbl j: i c i in i kplx! Phikr frdr br: ( ) i in Aulnkung und dhr rll! Flgrung: und - ün uch kplx in, und wr, d ( ) rll - ib ; - ib ( ) c b in A c ( α ) Zunhäng: A b ; gα b (ih Übungufgb) Wir Frg n dn Phikr: Whr kn di Wr n A und α (bw. und b)? Anwr: "Rndbdingungn", hängn dn b, wi di Schwingung gr wird Bp: Angb n Or und Gchwindigki ẏ ur Zi 0 Al Bipil i ( 0 ) und ( 0) 0 ( 0) A c( α ) ( 0) A in( α ) 0
5 α 0 A Exp.: Fdrpndl i Sprühd hn Däpfung Enrgibrchungn: Brchn di Bwgungnrgi ("kinich Enrgi ") l E kin α [ ( )] A in ( 0) E kin E g Ekinibhängig! 0 T/ T 3T/ Fundnl Prinip dr Phik: Enrgi E g cn.! "fhlnd" Enrgi : E E u in dr Fdr gpichr in! g kin "pnill Enrgi " E E E p g kin A in c A c 4. Di gdäpf hrnich Schwingung B.: Abr: Ungdäpf Schwingung Apliud blib glich. In Wirklichki ni di Apliud i dr Zi b di Schwingung wird gdäpf Phänn: Durch Ribung rgib ich (nbn dr Fdrkrf) in uälich "Ribungkrf" k R, di in rr Nährung l prprinl ur Gchwindigki ngnn wird.
6 Kräfbiln D ( ) ( ) ( ) 0 D Di i di Bwgungglichung dr frin gdäpfn Schwingung Widr Löungn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [Hir rknn n j dn gwlign Vril dr Expnnil-Schribwi.] Einn lifr: ( ) ( ) ( ) ( ) D q D p D ± ± 0 0 : Bichnung: D "Eignkrifrqun" d S Dru flg: ( ) ( ) blibig Knn!
7 W i d nun für in Bwgung? Mch hiru in Fllunrchidung: ) < ("chwch Däpfung") Dnn i < 0 i 0 : ( ) { } i i bnhnd Apliud Schwingung A c α Einhüllnd Exp: Fdrpndl. Sprühd und Ribung ) ("rk Däpfung") rll nur rll Expnnn Kin Schwingung! "Krichfll" [Wichig. B. für Au- Sßdäpfr]
8 5. Di rwungn Schwingung (i hrnichr Errgung) Brch in chwingungfähig S, d i dr Krifrqun rrg wird Di Bwgungglichung u dr Kräfbiln lu j c i Di Bwgungglichung h hr il und kpliir Löungn. Exp.: Fdrpndl i Vgl Wir brchn in pill ( ingchwungn ) Löung durch dn An: i ( ) Anrgungfrqun! Einn lifr: i i i i i : i ( i ) kplx Apliud i iϕ ( ) ( ) i ϕ ( ) Di Löung bchrib in hrnich Schwingung i dr Apliud und dr Phnrchibung ϕ ggnübr dr Anrgung.
9 Mhik : Brchnung n durch Erwirung i knjugir kplx Nnnr Einn lifr: * Errgrpliud ( ) 4 Eignkrifrqun Errgrfrqun Däpfung hn Däpfung Rnnkur i Däpfung Exp.: Fdrpndl i Vgl 6. W i in Wll Exp.: Silwll, Wllnchin, Lngiudinlwll Lichgchwindigki, Schllgchwindigki Dfiniin inr Wll: Aubriung inr Sörung ( Aulnkung") i Ru (kin Mrirnpr, br Enrgirnpr) Prinipill Urch dr Wllnubriung: Kpplung wichn örlich grnnn phiklichn Sn
0 Drllung n Wlln: wnlich Prr: Zi und Or [ r ] Bchribung dr Sörung durch Aulnkung bw. in S u Glichgwichlg ( Ruhlg ), r, ( ) bw. in 3 Dininn ( ) Bchribung dr Aubriung (nlng ) inr Sörung, di ihr Fr dbi nich rändr: f() f(- 0 ) 0 Zu in bin Zipunk 0 (bi d di Uhr ingchl wird) i f bchribn durch Funkin ( ) (, 0) f ( ) Nch inr Zi ll Sörung u nch rch gwndr in. (, ) f ( ) Bwgung nch rch rflg i knnr Gchwindigki rchluf nd Wll, linkluf nd Wll ( ) f ( ) (, ) f ( ) 7. Bchribung dr Wllnubriung: Diffrnir ( ), wil nch Or ( ) bw. Zi ( ) i u df u du d f du df du df du u df du d f du ( ) ( )
dr Wllnglichung, gil unbhängig n Fr n f Spilfll: Hrnich Wll f ( ) i Sinu- dr Kinufunkin f() Anlg ur Schwingungdur T hir Wllnläng Mhich Bchribung: f ( ) π A c : k Wllnhl, nlg ur Krifrqun (, ) Ac k ( ) Ac( k k ) Brch nun d ilich Vrhln n f Or ( 0) (, ) f ( ) A c( k ) : Di i in Schwingung i dr Krifrqun k (, ) Ac( k ) Di bchrib in hrnich Wll, di ich i dr Aubriunggchwindigki
Phngchwindigki k nlng dr -Ach frpfln Dfiniin: Diprin, fll nich für ll bw. k glich i. (Eignchf d Mdiu, in wlch ich di Wll ubri!) 8. Phiklich Bipil Frg: wi rliir n in S, für d WGL gil? wn häng Phngchwindigki b? Brch. B. Silwll: F θ Aulnkung lifr rückribnd Krf F ( F inϑ) ( F inϑ) Wir: Für klin Aulnkung i ϑ << in ϑ gϑ Nwn-Glichung lifr [ ( ) ( ) ] F F M d Silln dr Läng : ρ F ρ ( ) ( ) Dich Diffrnilquin, gh i Grnfll 0 ggn di Abliung
3 F (, ), ρ ( ) Wllnglichung Spnnung d. Sil F ρ Silril 9. Enrgirnpr in inr Wll Brch nchl in hrnich Silwll: Jd inln Mnln Krifrqun (, ) Ac( k ) [ Ac( k ) ] Enrgi in di Oillr: E g E kin Or ch hrnich Schwingung i E A A p in Di Gnrgi pr Längninrll E g ρ ε A ( k ) A c ( k ) ( Enrgidich ") i dhr: ρ A Wir: Di Wll und di di in dr Wll gpichr Enrgi bwg ich i dr Phngchwindigki wir. I Ziinrll wird d Enrgipk E ε ε n in fn Or rbigrgn
4 Enrgir pr Ziinhi: A E I ρ ε Inniä d. Wll B.: In iln Fälln i nur di Inniä inr Wll bbchbr (. B. Hlligki n Lich) 0. D Suprpiinprinip Erinnrung n diwllnglichung Brch nun wi Löungn ( ), und ( ), und bild in linr Übrlgrung ( Suprpiin ) ( ) ( ) ( ),,, Einn lifr: ( ) d. h.: (gn wichig Eignchf dr Wllnglichung). Inrfrn Knqun d Suprpiinprinip: Exp.: Wllnchin i Anrgung n bidn Endn D Vrichn-bhf, xiirn wi Möglichkin: Suprpiin wir Löungn i widr Löung! Trffn ich wi Wlln lbn Or ur lbn Zi, ddirn ich dr infch ihr Aulnkungn
5 und bin glich Vrichn und bin nggng. Vrichn Exrfäll: Wlln rärkn ich ggniig Wlln chwächn ich b Knruki Inrfrn Druki Inrfrn Exp.: Inrfrn n Wrwlln in Wllnwnn Bp.: Zwi punkförig Errgr P Druki Inrfrn, fll r r n ( ) r r Knruki Inrfrn, fll r n r E E. Shnd Wlln Bipil inr pilln Übrlgrung: rch- und linklufnd Wll i glichr Apliud und Wllnläng ( k ) A ( k ) Ac c A A A c k c A [ c kc in k in ] [ c k c in k in ]
6 Di i in hrnich Schwingung n jd Or i -bhängigr Apliud und -unbhängigr Ph di Wll läuf nich hr! ("hnd Wll ") Wi rug n w? Du Aunuung dr Rflxin dr Wll End in räulich bgrnn Mdiu. Exp.: Wllnchin i ffn und f End. Bi hrfchr Rflxin n bidn Endn: L Wllnläng p nich Wllnläng p, iich Aulöchung Rprdukin d. Wll. B. L /,,3 /,... L n Exp.: Shnd Wlln uf Sil Dnrin Wllnchin Orglpfif, Mncrd, Girr