1. Kapitel (Aufgaben) Wandle die Gleichungen in die Normalform um: 1A) 1B) 1C) + 8+ 6 0 4 + 8+ 16 0 5 + 5+ 5 0 Wandle die Gleichungen in die Normalform bzw. Allgemeine Form um: 1D) ( + )( 5) 0 1E) ( + 1F) 6) 16 10( 3)( 4) 0 1G) Welche Arten von quadratischen Gleichungen unterscheidet man?. Kapitel (Aufgaben) Gemischt-quadratische Gleichungen ohne Absolutglied. Bestimme die Lösung(en): A) + 5 0 B) 3 3 0 C) 4 0 D) E) F) 4 + 8 0 10 0 5 + 8 0 3. Kapitel (Aufgaben) Quadratischen Gleichungen, die in Produktform vorliegen. Achtung: Die Klammern nicht auflösen. Bestimme die Lösung(en): 3A) ( ) ( 3) 0 3B) ( + 4) ( + 5) 0 3C) ( 6) ( + 7) 0 3D) ( + ) ( ) 0 3E) ( + 3) ( + 6) 0 3F) ( a) ( b) 0 3G) ( p) ( + q) 0 3H) ( 4) ( 4) 0 3i) ( + 3) ( 3) 0 3J) 3K) 3L) ( a) ( a) 0 ( 3) 0 ( + a) 0 4. Kapitel (Aufgaben) Reinquadratische Gleichungen. Bestimme die Lösungen: 4a) 64 4b) 56 4c) 0,01 4d) 7 567 1 9 4e) 4f) 4g) 16 400 3 7 4 5 5. Kapitel (Aufgaben) 4h) Hier geht es um Gleichungen, die in der Form (+a) c vorliegen: (+1) 9 ( 7) 49 (+4) 5 49 5 Löse die quadrat. Gleichungen mit Hilfe der Lösungsformel a ± c: 5a) 5b) 5c) Löse die quadratischen Gleichungen mit Hilfe der Betragsschreibweise: ( 5) 4 (+1) 36 ( 5) 64 (+) 16 ( 4) 100 5d) 5e) 5f) 5g) 5h)
6. Kapitel (Aufgaben) Löse die Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung : 6a) 6b) 6c) +6 70 8 1 +10 +1 0 6d) + 8+ 15 0 6e) + 6f) + 6 0 6g) 6h) 10+ 4 0 + 10+ 4 0 7. Kapitel (Aufgaben) Lösedie Aufgabenmit Hilfeder p-q- Formel : 7a) 7b) 7c) 10 4 0 + 10 4 0 3 18 0 7d) + 7e) + 7f) + 63 0 15 54 0 18 43 0 7g) + 6 16 0 7h ) 9 0 8. Kapitel (Aufgaben) Löse die Aufgaben mit der allg.lösungsformel: 14+40 3 15+180 6 +6 10 8a) 8b) 8c) 6 560 4 +36+800 4 900 8d) 8e) 8f) 8g) 5 +50+450 8h) 3 66+3600 8i) 10 +10 3000
Lösung zu 1a Gegeben: + 8+ 6 0 Gesucht: Normalform Umwandlung: 8 6 0 : + + 8 6 + + 0 Ergebnis: + 4+ 3 0 Lösung zu 1b Gegeben: 4 + 8+ 16 0 Gesucht: Normalform Umwandlung: 4 + 8+ 16 0 :4 8 16 + + 0 4 4 Ergebnis: Lösung zu 1c Gegeben: + + 4 0 5 + 5+ 5 0 Gesucht: Normalform Umwandlung: 5 + 5+ 5 0 :5 5 5 + + 0 5 5 Ergebnis: + + 5 0
Lösung zu 1d Gegeben: (+ )( 5) 0 Gesucht: Normalform bzw. Allgemeine Form Umwandlung: (+ )( 5) 0 5+ 100 3 100 Ergebnis: Lösung zu 1e Gegeben: ( 6) 16 ( + 6)( + 6) 16 3 100 ( 6) 16 16 + 6 + 6 + 36 16 + 1+ 0 0 + Gesucht: Normalform bzw. Allgemeine Form Umwandlung: + Ergebnis: + 1 + 0 0 Lösung zu 1f Gegeben: 10( 3)( 4) 0 Gesucht: Normalform bzw. Allgemeine Form Umwandlung: 10( 3)( 4) 0 ( ) 10 4 3+1 0 ( ) 10 7+1 0 10 70+100 Ergebnis: 10 70+100
Lösung zu 1g Man unterscheidet zwischen reinquadratischen Gleichungen, gemischt-quadratischen Gleichungen mit Absolutglied und gemischt-quadratischen Gleichungen ohne Absolutglied.
Lösung zu a Gegeben: + 5 0 ausklammern: ( + 5) 0 Ergebnis: 0 oder 5 Lösung zu b Gegeben: 3 3 0 ausklammern: 3 3 ( ) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen d.h. Klammer nullsetzen: 3 3 0 +3 33 :3 1 Ergebnis: 0 oder 1 Lösung zu c Gegeben: 4 0 ausklammern: ( 4) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: 4 0 +4 4 : Ergebnis: 0 oder
Lösung zu d Gegeben: 4 + 8 0 ausklammern: 4 ( + 8) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: 4+ 8 0 8 4 8 :4 Ergebnis: 0 oder Lösung zu e Gegeben: 10 0 ausklammern: ( 10) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: 10 0 +10 10 Ergebnis: 0 oder 10
Lösung zu f Gegeben: 5 8 0 ausklammern: 5 ( + 8) 0 Erste Lösung ablesen: 0 Zweite Lösung berechnen, d.h. Klammer nullsetzen: 5+ 8 0 8 5 8 :5 8 5 Ergebnis: 0 + 8 oder 5
Lösung zu 3 Hilfe: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren zu Null werden: 3A) ( ) ( 3) 0 3B) ( + 4) ( + 5) 0 3C) ( 6 ) ( + 7) 0 Lösung: oder 3 Lösung: 4 oder 5 Lösung: 6 oder 7 3D) ( + ) ( ) 0 Lösung: oder 3E) ( + 3) ( + 6) 0 Lösung: 3 oder 6 3F) ( a) ( b) 0 Lösung: a oder b 3G) ( p) (+ q) 0 Lösung: p oder q 3H) ( 4) ( 4) 0 Lösung: 4 3i) ( + 3) ( 3) 0 Lösung: 3 oder 3 3J) ( a) ( a) 0 Lösung: a 3K) 3L) ( ) 3 0 Lösung: 3 (+ a) 0 Lösung: a
Lösung zu 4a Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c c ± Lösungsweg: 64 ± 64 Ergebnis: 8 oder 8 Lösung zu 4b Die Lösungsformel (zur Erinnerung): ± c c Lösungsweg: 56 ± 56 Ergebnis: 16 oder 16 Lösung zu 4c Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c ± c Lösungsweg: 0,01 ± 0,01 Ergebnis: 0,1 oder 0,1
Lösung zu 4d Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c ± c Lösungsweg: 7 567 :7 81 ± 81 Ergebnis: 9 oder 9 Lösung zu 4e Die Lösungsformel (zur Erinnerung): ± c c Lösungsweg: 16 400 400 16 5 ± 5 Ergebnis: 5 oder 5
Lösung zu 4f Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c c Lösungsweg: 3 :3 ± 1 7 1 1 7 3 81 ± 1 81 ± 1 1 ± 81 9 Ergebnis: 1 1 oder 9 9 Lösung zu 4g Die Lösungsformel (zur Erinnerung): ± c c Lösungsweg: 9 4 5 9 4 5 4 ± 36 5 ± 36 6 ± 5 5 Ergebnis: 6 6 oder 5 5
Lösung zu 4h Die Lösungsformel (zur Erinnerung): c ± c Lösungsweg: ± 49 5 49 5 49 5 49 7 ± ± 5 5 7 7 Ergebnis: oder: 5 5
Lösung zu 5a Zur Erinnerung: Die Lösungsformel ± (+a) c a c Gegebene Gleichung: (+1) 9 a1 c9 Lösungsformel anwenden: a ± c 1± 9 1± 3 Ergebnis: 9 oder 15 Lösung zu 5b Zur Erinnerung: Die Lösungsformel (+a) c a± c Gegebene Gleichung: ( 7) 49 a 7 c49 Lösungsformel anwenden: a± c ( 7) ± 49 7 ± 7 Ergebnis: 14 oder 0
Lösung zu 5c Zur Erinnerung: Die Lösungsformel ± (+a) c a c Gegebene Gleichung: (+4) 5 a4 c5 Lösungsformel anwenden: a ± c 4± 5 4± 5 Ergebnis: 1 oder 9 Lösung zu 5d Zur Erinnerung: Die Lösungsformel (+a) c a± c Gegebene Gleichung: ( 5) 4 a 5 c4 Lösungsformel anwenden: a ± c ( 5) ± 4 5± Ergebnis: 7 oder 3
Lösung zu 5e Gegebene Gleichung : (+1) 36 Wurzel ziehen: (+1) 36 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: (+1) 36 Betragsgleichung lösen: (+1) 36 +1 36 oder: (+1) 36 36 1 oder: 1 36 6 1 oder: 6 + 1 ( 1) 5 oder: 7 Ergebnis: 5 oder 7
Lösung zu 5f Gegebene Gleichung : ( 5) 64 Wurzel ziehen: ( 5) 64 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: ( 5) 64 Betragsgleichung lösen: ( 5) 64 5 64 oder: ( 5) 64 64 + 5 oder: + 5 64 8+ 5 oder: 8 5 ( 1) 13 oder: 3 Ergebnis: 13 oder 3
Lösung zu 5g Gegebene Gleichung : (+) 16 Wurzel ziehen: (+) 16 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: (+) 16 Betragsgleichung lösen: (+) 16 + 16 oder: (+) 16 16 oder: 16 4 oder: 4+ ( 1) oder: 6 Ergebnis: oder 6
Lösung zu 5h Gegebene Gleichung : ( 4) 100 Wurzel ziehen: ( 4) 100 Für linke Seite die Betragsschreibweise wählen: ( 4) 100 Betragsgleichung lösen: ( 4) 100 4 100 oder: ( 4) 100 100 + 4 oder: + 4 100 10+ 4 oder: 10 4 ( 1) 14 oder: 6 Ergebnis: 14 oder 6
Lösung zu 6a Gegeben: +6 70 1.Konstante auf rechte Seite bringen: +6 7.Quadratische Ergänzung bestimmen: 6 9 3.Quadratische Ergänzung addieren: +6 +9 7+9 4.Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): ( +3) 16 5.Lösungsformel verwenden a± c 3± 16 3± 4 Ergebnis: 1 oder 7
Lösung zu 6b Gegeben: 8 1 1.Konstante auf rechte Seite bringen: entfällt.quadratische Ergänzung bestimmen: 8 16 3.Quadratische Ergänzung addieren: + + 8 16 1 16 4.Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): ( + ( 4)) 4 5.Lösungsformel verwenden a± ( 4) ± 4 4± Ergebnis: 6 oder c
Lösung zu 6c Gegeben: +10 +1 0 1.Konstante auf rechte Seite bringen: +10 1.Quadratische Ergänzung bestimmen: 10 5 3.Quadratische Ergänzung addieren: +10 +5 1+5 4.Gleichung in der ( +5) 4 Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): 5.Lösungsformel verwenden a± c 5± 4 5± Ergebnis: 3 oder 7
Lösung zu 6d Gegeben: + 8+ 15 0 1.Konstante auf rechte Seite bringen: + 8 15.Quadratische Ergänzung bestimmen: 8 16 3.Quadratische Ergänzung addieren: 8 16 15 16 + + + 4.Gleichung in der Form (+a)c schreiben (d.h. als Quadrat): ( +4) 1 5.Lösungsformel verwenden a± c 4± 1 4± 1 Ergebnis: 3 oder 5
Lösung zu 6e Gegeben: 1 + + 1.Konstante auf rechte Seite bringen: entfällt.quadratische Ergänzung bestimmen: 1 1 4 3.Quadratische Ergänzung addieren: 1 1 + + + 4 4 4.Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): 1 9 + 4 5.Lösungsformel verwenden a± c 1 9 ± 4 1 9 ± 4 1 3 ± Ergebnis: 1 oder
Lösung zu 6f Gegeben: + 6 0 1.Konstante auf rechte Seite bringen: 6 +.Quadratische Ergänzung bestimmen: 1 1 4 3.Quadratische Ergänzung addieren: 1 1 + + + 4 4 6 4.Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): 1 5 + 4 5.Lösungsformel verwenden a± c 1 5 ± 4 1 5 ± 4 1 5 ± Ergebnis: oder 3
Lösung zu 6g Gegeben: 10+ 4 0 1.Konstante auf rechte Seite bringen: 10 4.Quadratische Ergänzung bestimmen: 10 5 3.Quadratische Ergänzung addieren: 10+ 5 4+ 5 4.Gleichung in der ( + ( 5)) 1 Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): 5.Lösungsformel verwenden a± ( 5) ± 1 5± 1 Ergebnis: 6 oder 4 c
Lösung zu 6h Gegeben: + 10+ 4 0 1.Konstante auf rechte Seite bringen: + 10 4.Quadratische Ergänzung bestimmen: 10 5 3.Quadratische Ergänzung addieren: + 10+ 5 4+ 5 4.Gleichung in der Form (+a) c schreiben (d.h. als Quadrat): ( +5) 1 5.Lösungsformel verwenden a± c 5± 1 5± 1 Ergebnis: 4 oder 6
Lösung zu 7a Gegeben: 10 4 0 Gesucht: 10 10 1/ 1/ 1/ 1/ Lösungsformel: Lösung: ( ) ( ) p ( ) ± q p 1/ Gegeben sind:p 10 und q 4 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 4 5± 5+ 4 5± 49 5± 7 Ergebnis: 1 1
Lösung zu 7b Gegeben: 10 4 0 Gesucht: 10 10 1/ 1/ 1/ 1/ Lösungsformel: Lösung: ( ) ( ) p ( ) ± q p 1/ Gegeben sind:p + 10 und q 4 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 4 5± 5+ 4 5± 49 5± 7 Ergebnis + : 1 1
Lösung zu 7c Gegeben: 3 18 0 Gesucht: Lösungsformel: 3 3 1/ ( ) ( ) p ( ) ± q p 1/ Lösung : Gegeben sind:p 3und q 18 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 18 ( ) ± + 18 3 3 1/ 3 ( 3) 1/ ± + 18 Vorzeichen vereinfachen Potenzgesetz anwenden ± + 18 3 9 1/ 4 Auf Hauptnenner bringen 3 9 7 1/ 4 4 3 1/ ± + 81 ± Wurzelgesetz anwenden ± 4 3 81 1/ 4 ± 3 9 1/ Ergebnis: 6 3 1
Lösung zu 7d Gegeben: + 63 0 Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Gegeben sind:p und q 63 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 63 1± 1+ 63 1± 64 1± 8 Ergebnis : 1 7 9
Lösung zu 7e Gegeben: 15+ 54 0 Gesucht : Lösungsformel : ( ) 15 15 1/ p ( ) p 1/ ± q Lösung : Gegeben sind:p 15 und q 54 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 54 15 ( 15) 1/ ± 54 Potenzgesetz anwenden ± 54 15 5 1/ 4 ± 15 5 16 1/ 4 4 ± 15 5 16 1/ 4 ± 15 9 1/ 4 ± 15 9 1/ 4 ± 15 3 1/ Ergebnis: 9 6 1 Hauptnenner bilden Wurzelgesetz anwenden
Lösung zu 7f Gegeben: + 18 43 0 Gesucht: Lösungsformel: 18 18 1/ 1/ 1/ 1/ ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Lösung : Gegeben sind:p 18 und q 43 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 43 9± 81+ 43 9± 34 9± 18 Ergebnis: 9 7 1
Lösung zu 7g Gegeben: + 6 16 0 Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 6 6 1/ 1/ 1/ 1/ ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Gegeben sind:p 6und q 16 In der Lösungsformel pund qersetzen: ± 16 3± 9+ 16 3± 5 3± 5 Ergebnis: 1 8
Lösung zu 7h Gegeben: 9 0 Gesucht: Lösungsformel: 9 9 1/ 9 ( 9) 1/ 9 81 1/ 4 9 81 1/ 4 4 ( ) ( ) ( p) ± q p 1/ Lösung : Gegeben sind:p 9und q In der Lösungsformel pund qersetzen: ± ± + ± + 88 ± + ± 9 169 1/ 4 ± 9 169 1/ 4 ± 9 13 1/ Ergebnis: 11 1
Lösung zu 8a Gegeben: 14+40 Gesucht: Lösungsformel: 1/ 1/ 1/ 1/ b± b 4ac a Lösung : Gegeben sind: a, b 14 und c 4 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ ( 14) ± ( 14 ) 4 4 14± 196 19 4 14± 4 4 14± 4 Ergebnis: 4 oder 3
Lösung zu 8b Gegeben: 3 15+180 Gesucht: Lösungsformel: 1/ b± b 4ac a Lösung : Gegeben sind: a3, b 15 und c 18 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 1/ 1/ 1/ ( 15) ± ( 15 ) 4 3 18 3 15± 5 16 6 15± 9 6 15± 3 6 Ergebnis: 3 oder
Lösung zu 8c Gegeben: 6 +6 10 Gesucht: Lösungsformel: 1/ 1/ 1/ 1/ b b 4ac a Lösung : Gegeben sind: a6, b 6 und c 1 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 6± 6 4 6 ( 1) 6 6± 36+ 88 1 6± 34 1 6± 18 1 ± Ergebnis: 1 oder
Lösung zu 8d Gegeben: 6 560 Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ b± b 4ac b± b 4ac a Gegeben sind: a, b 6 und c 56 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 1/ a ( 6) ± ( 6 ) 4 ( 56 ) 6± 36+ 448 4 6± 484 4 6± 4 Ergebnis: 7 oder 4
Lösung zu 8e Gegeben: 4 +36+800 Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ b b 4ac 36± 36 4 4 80 b b 4ac a Gegeben sind: a4, b 36 und c 80 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ 1/ ± 36 ± a 4 36± 16 8 36± 4 8 196 180 8 Ergebnis: 4 oder 5 ±
Lösung zu 8f Gegeben: 4 900 Gesucht: b b 4ac ± Lösungsformel: 1/ a Lösung : Gegeben sind: a, b 4 und c 90 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: b± b 4ac 1/ a ( 4) ± ( 4) 4 ( 90) 1/ 4± 576+ 70 1/ 4 4± 576+ 70 1/ 4 4± 196 1/ 4 4± 36 1/ 4 Ergebnis: 15 oder 3
Lösung zu 8g Gegeben: 5 +50+450 Gesucht: Lösungsformel: Lösung : 1/ 1/ 1/ 1/ b b 4ac 50 50 4 5 45 b± b 4ac a Gegeben sind: a5, b 50 und c45 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: 1/ ± a ± 5 50 ± 500 900 10 50± 1600 10 50± 40 1/ 10 Ergebnis: 1 oder 9
Lösung zu 8h Gegeben: 3 66+3600 Gesucht: b± b 4ac Lösungsformel: 1/ a Lösung : Gegeben sind: a3, b 66 und c360 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: b± b 4ac 1/ a ( 66) ± ( 66) 4 3 360 1/ 3 66± 4356 430 1/ 3 66± 36 1/ 6 66± 6 1/ 6 66 6 1/ ± 11± 1 6 6 Ergebnis: 1 oder 10
Lösung zu 8i Gegeben: 10 +10 3000 Gesucht: b± b 4ac Lösungsformel: 1/ a Lösung : Gegeben sind: a10, b 10 und c 300 In der Lösungsformel a,b und c ersetzen: b± b 4ac 1/ a 10± 10 4 10 ( 300) 1/ 10 10± 100+ 1000 1/ 0 10± 1100 1/ 0 10± 110 1/ 0 10 110 5 55 1/ ± ± 0 0 10 10 Ergebnis: 5 oder 6