Mathematik Formelsammlung

Mathematik Formelsammlug Ihaltsverzeichis 1 II.Klasse... 5 1.1 Megelehre... 5 1.2 Zahlemege... 5 1.2.1 Vier Grudrechearte... 5 1.2.2 Vorzeicheregel... 6 1.2.3 Erweiter/Kürze... 6 1.2.4 Reche mit Brüche... 6 1.3 Grudlage der Algebra: Terme ud Poteze... 6 1.3.1 Multiplikatio vo Poteze... 6 1.3.2 Divisio vo Poteze... 6 1.3.3 Poteze mit egative Hochzahle... 6 1.3.4 Poteze vo Produkte... 6 1.3.5 Poteze vo Quotiete... 7 1.3.6 Poteziere vo Poteze... 7 1.3.7 Wurzelschreibweise... 7 1.3.8 Additio ud Subtraktio vo Wurzel... 7 1.3.9 Vereifache vo Wurzelepoete... 7 1.3.10 Teilweises Wurzelziehe... 7 1.3.11 Ausdruck uter die Wurzelbrige... 7 1.3.12 Divisio vo Wurzel... 7 1.3.13 Poteziere vo Wurzel... 7 1.3.14 Verschachtelte Wurzel... 7 1.3.15 Biomische Formel ud Zerleguge... 8 1.4 Lieare Gleichuge ud Ugleichuge... 8 1.4.1 Prozetrechug... 8 1.5 Fuktioe der Wirtschaft... 8 Lieare Fuktio... 8 Kostefuktio K... 8 Erlösfuktio E... 8 Gewifuktio G... 8 1.6 Matrizerechug... 9 1.6.1 Matrize... 9 1.7 Gleichuge höhere Grades Polyomfuktioe... 9 1.7.1 Quadratische Fuktio... 9 1.7.2 ABC/Mitterachtsformel... 9 2 III. Klasse... 10 2.1 Polyomfuktioe... 10 2.2 Logarithmusfuktioe... 10 2.2.1 Recheregel:... 10 2.3 Wachstum ud Zerfall... 10 2.4 Fiazmathematik... 10 2.4.1 Zise- ud Ziseszisrechug... 10 2.4.2 Reterechug... 11 2.5 Plaimetrie... 11 2.5.1 Flächeformel eies allgemeie Dreiecks... 11 2.5.2 Rechtwikeliges Dreieck... 11 1

2.5.3 Gleichseitiges Dreieck... 12 2.5.4 Quadrat ud Rechteck... 12 2.5.5 Parallelogramm... 12 2.5.6 Trapez... 12 2.5.7 Deltoid... 12 2.5.8 Kreis... 12 2.6 Stereometrie... 12 2.6.1 Würfel... 12 2.6.2 Quader... 12 2.6.3 Prisma... 12 2.6.4 Pyramide... 12 2.6.5 Zylider... 12 2.6.6 Kegel... 13 2.6.7 Kugel... 13 2.7 Trigoometrie... 13 2.7.1 Rechtwikeliges Dreieck... 13 2.7.2 Trigoomische Flächeihaltsformel... 13 2.7.3 Siussatz... 13 2.7.4 Cosiussatz... 13 3 IV. Klasse... 14 3.1 Kurs ud Retabilitätsrechug... 14 3.1.1 Der Emissioskurs (Ausgabekurs) C o heißt... 14 3.1.2 Zusammehag zwische Kurs C ud Effektivverzisug i... 14 3.1.3 Kursformel bei Tilgug zum Newert... 14 3.2 Ivestitiosrechug... 15 3.2.1 Kapitalwert C 0 (Net Preset Value NPV oder Goodwill)... 15 3.2.2 Auitätemethode... 15 3.2.3 Wiedergewiugsfaktor... 15 3.2.4 Methode des itere Zissatzes... 15 3.2.5 Methode des modifizierte itere Zisatzes... 15 3.3 Differezialrechug... 15 3.3.1 1. Ableitug: f ()... 16 3.3.2 2. Ableitug: f ()... 16 3.3.3 Ableitugsregel... 16 3.3.4 3.2.3Wichtige Ableituge:... 17 3.4 Fuktiosdiskussio... 17 3.4.1 Mootoie... 17 3.4.2 Symmetrie... 17 3.4.3 Achseschittpukte... 17 3.4.4 Asymptote... 17 3.5 Awedug der Differetialrechug... 18 3.5.1 Etremwertaufgabe... 18 3.5.2 Regressiosrechug... 18 3.6 Koste ud Preistheorie... 18 3.6.1 Gesamtkostefuktio... 18 3.6.2 Grezkoste K ()... 18 3.6.3 Stückkostefuktio oder Durchschittskostefuktio... 18 3.6.4 Agebot, Nachfrage, Marktpreis, Gleichgewichtsmege... 19 3.6.5 Erlösfuktio... 19 3.6.6 Gewi... 20 2

Bezeichugsverzeichis Fiazmathemathik i gazjähriger dekursiver Zissatz i m K 0,PV K,FV p r R r m T Z uterjähriger Zissatz Barwert des Kapitals, Afagskapital Edwert des Kapitals Verzisugsdauer i Jahre Azahl der Rate Azahl Rate pro Jahr Aufzisugsfaktor Rate uterjähriger Aufzisugsfaktor Azahl der Zistage Zise Trigoometrie gk Akathete ak Gegekathete h Hypoteuse Plaimetrie A Fläche V Volume M Matelfläche O Oberfläche G Grudfläche a,b,c, Seite des Dreiecks g Grudliie h Höhe d,p,q Diagoale r Radius s Matelliie Zahlemege N = {0,1,2,3, } Natürliche Zahle N = N {0} = {0,1,2,3, } Natürliche Zahle ohe ull N g = {2,4,6, } N u = {1,3,5, } f D W k d Fuktioe K() = k * + F k k* F K() Gerade atürliche Zahle Ugerade atürliche Zahle D W Defiitiosmege Wertemege Steigug y-achseabschitt lieare Gesamtfuktio proportioale Koste pro erzeugte Eiheit ohe Fikoste Azahl der erzeugte Eiheite variable Koste, proportioal zur erzeugte Stückzahl Fikoste Gesamtkoste für erzeugte Eiheite =0 Gleichug der y-achse y=0 Gleichug der -Achse y= y=d Gleichug der erste Mediae Gerade durch de Ursprug (0 0) mit der Steigug k 3

Nomielle Größe K 0 Nomialwert; Newert der Aleihe K Kupozahlug K= i omieller verbriefter Zisatz Laufzeit i Jahre Vom Markt abhägige Größe K 0 Realkaptial;Kaufpreis; Barwert der küftige K 0 i Leistuge des Schulders zum effektive Zisatz i i effektiver Zisatz, Redite Retabilität PV(i M ) Barwert der Aleihe zum Marktzisatz i M Ivestitiosrechug A 0 A 1, A 2., A E 1, E 2..,E R 1 =E 1 -A 1 i k i r A Auität Aktieaalyse Rt r N Itegralrechug f() Aschaffugskoste, Kaptialeisatz Nutzugsdauer i Jahre laufede jährliche Ausgabe laufede jährliche Eiahme Rückfluss im Jahr t, Ertrag im Jahr t kalkulatiorischer Zisatz Wiederveralagugszissatz Reivestitioszissatz Ist die Summe der auf de Zeitpukt der Aschaffug abgeziste Rückflüsse PV (Eiahme mius Ausgabe) mius de Aschaffugskoste Redite zum Zeitpukt t Mittelwert der Redite Azahl der Redite Itegral Itegratiosvariable a, b Itegratiosgreze 4

1 II.Klasse 1.1 Megelehre, {} A = B A B A B = { ( A) ( B)} A B = { ( A) ( B)} A\B = { ( A) ( B)} G A = { ( G) ( A)} mit A G A B = {(a b) (a A) (b B)} Leere Mege eie Mege, die kei Elemet ethält Gleichheit der Mege A ud B (Die Mege) A ist gleich (der Mege) B Die Mege A ist Teilmege vo G. A ist Teilmege vo G Durchschittsmege vo A ud B A geschitte mit B Vereiigugsmege vo A ud B A vereiigt B Differezmege vo A ud B A ohe B Die Mege C G A ist Komplemetärmege vo A i Bezug auf G. Komplemet vo A i G Produktmege vo A ud B A kreuz B 1.2 Zahlemege 1.2.1 Vier Grudrechearte Additio 2 + 3 = 5 Summad plus Summad = Summe Subtraktio 5-2 = 3 Miued mius Subtrahed = Differez Multiplikatio 2 * 3 = 6 Faktor mal Faktor = Produkt Divisio 6 : 2 = 3 Divided geteilt durch Divisor = Quotiet 5

1.2.2 Vorzeicheregel Vorzeicheregel Multiplikatio Divisio +(+a) = a +(-a) = -a -(+a) = -a -(-a) = +a (+a) * (+b) = a * b (+a) * (-b) = -a * b (-a) * (+b) = -a * b (-a) * (-b) = a * b (+a) : (+b) = a : b (+a) : (-b) = -a : b (-a) : (+b) = -a : b (-a) : (-b) = a : b 1.2.3 Erweiter/Kürze 1.2.4 Reche mit Brüche Summe Differez Produkt Quotiet a m b m = a b a b + c a d + b c = d b d a b c d = a d b c b d a b c a c = d b d a b : c a d = d b c 1.3 Grudlage der Algebra: Terme ud Poteze Die Grudmege G eies Terms ist die Mege der Elemete, die astelle der Variable i de Term eigesetzt werde. Die Defiitiosmege D eies Terms besteht aus de Elemete der Grudmege, durch die der Term zu eier reelle Zahl wird, Die Divisio durch ull ist icht zulässig. 1.3.1 Multiplikatio vo Poteze a m a = a m+ 1.3.2 Divisio vo Poteze a m = am a 1.3.3 Poteze mit egative Hochzahle a = 1 a 1.3.4 Poteze vo Produkte (a b) = a b 6

1.3.5 Poteze vo Quotiete ( a b ) = a b 1.3.6 Poteziere vo Poteze (a m ) = a m 1.3.7 Wurzelschreibweise a m = a m 1.3.8 Additio ud Subtraktio vo Wurzel r a m ± s a m = (r ± s) a m 1.3.9 Vereifache vo Wurzelepoete p a m p = a m 1.3.10 Teilweises Wurzelziehe a b = a b 1.3.11 Ausdruck uter die Wurzelbrige a b = a b 1.3.12 Divisio vo Wurzel a b = a b a m m = am b b 1.3.13 Poteziere vo Wurzel ( a m ) q = a m q 1.3.14 Verschachtelte Wurzel m a m = a 7

1.3.15 Biomische Formel ud Zerleguge (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b) (a + b) = a 2 b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) 1.4 Lieare Gleichuge ud Ugleichuge 1.4.1 Prozetrechug G Grudwert i = p 100 = p% Prozetsatz P = G p 100 = G i Prozetwert 1.5 Fuktioe der Wirtschaft Lieare Fuktio Kostefuktio K Erlösfuktio E Gewifuktio G Parabel Hyperbel y = k + d K() = k + F E() = p G() = E() K() y = ^ y = 1 f:y= lieare Fuktiosgleichug (Gerade) f:y=² gerade Epoete (achsesymmetrische Parabel) f:y=³ ugerade Epoete (puktsymmetrische Parabel) f:y= 2 Gerade Epoete (achsesymmetrische Hyperbel) f: y = 3 ugerade Epoete (puktsymmetrische Hyperbel) 8

1.6 Matrizerechug 1.6.1 Matrize m * m Zeile * Spalte 1.7 Gleichuge höhere Grades Polyomfuktioe 1.7.1 Quadratische Fuktio 1.7.2 ABC/Mitterachtsformel a 2 + b + c = 0 1,2 = b ± b2 4ac 2a 9

2 III. Klasse 2.1 Polyomfuktioe Polyomfuktio vom Grad Fudametalsatz der Algebra: f: y = a + a 1 1 +. + a 0 Eie Gleichug -te Grades hat höchstes reelle Lösuge. Diese Lösuge müsse icht voeiader verschiede sei. Quadratische Fuktio Grad 2.2 Logarithmusfuktioe Lg Logarithmus zur Basis 10 f: y = a 2 + b + c L Logarithmus zur Basis e 2.2.1 Recheregel: log a (u v) = log a u + log a v log a u v = log a u log a v log a u v = v log a u 2.3 Wachstum ud Zerfall y(t)=k t + y(0) Lieares Wachstum y(t)=y(0) (1 + i) t 2y 0 = y 0 (1 + i)) T Epoetielles Wachstum Verdoppelugszeit y 0 2 = y 0(1 + i) T1 2 Halbwertszeit y(t) = M 1+b e h t Logistisches Wachstum M Kapazitätsgreze 2.4 Fiazmathematik 2.4.1 Zise- ud Ziseszisrechug 2.4.1.1 Eifache Verzisug Z = K 0 i K = K 0 (1 i ) 10

Tageszigsformel für = K = K 0 (1 + i T 360 2.4.1.2 Ziseszis Aufzisugsfaktor: r = 1 + i K = K 0 (1 + i) = K 0 r T 360 2.4.2 Reterechug achschüssig: Barwert PV = R 1 r r 1 Edwert FV = R r 1 r 1 vorschüssig: Barwert PV v = Rr 1 r r 1 Edwert FV v = Rr r 1 r 1 2.5 Plaimetrie A Fläche V Volume M Matelfläche O Oberfläche G Grudfläche a, b, c,. Seite des Dreiecks g Grudliie h Höhe d, e, f Diagoale r Radius s Matelliie 2.5.1 Flächeformel eies allgemeie Dreiecks A = g h 2 A = s(s a)(s b)(s c) A = a + b + c 2 2.5.2 Rechtwikeliges Dreieck Flächeformel A = a b 2 Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 Höhesatz h 2 = p q Kathetesatz a 2 = c p b 2 = c q 11

2.5.3 Gleichseitiges Dreieck Flächeformel 2.5.4 Quadrat ud Rechteck Flächeformel Quadrat A = a 2 A = 3 4 a2 h 2 = 3 2 a Flächeformel Rechteck A = a b d 2 = a 2 + b 2 2.5.5 Parallelogramm Flächeformel A = g h 2.5.6 Trapez Flächeformel 2.5.7 Deltoid Flächeformel 2.5.8 Kreis Flächeformel Umfag Boge Sektor A = a+c 2 h = mh A = e f 2 A = r²π u = 2rπ b = rπα 180 r 2 πα 360 2.6 Stereometrie 2.6.1 Würfel Volume V = a 3 Oberfläche A = 6a 2 2.6.2 Quader Volume Oberfläche V = abc A = 2(ab + ac + bc) 2.6.3 Prisma Volume V = Gh G Grudfläche 2.6.4 Pyramide Volume 2.6.5 Zylider Volume Matelfläche V = Gh 3 V = Gh = r 2 πh M = 2rπ h 12

2.6.6 Kegel Volume V = Gh = r2 πh 3 3 Matelfläche M = rπ s s Matelliie 2.6.7 Kugel Volume Oberfläche V = 4π 3 r³ O = 4r²π 2.7 Trigoometrie 2.7.1 Rechtwikeliges Dreieck si α = Gegekathete Hypoteuse cos α = Akathete Hypoteuse ta α = Gegekathete Akathete 2.7.2 Trigoomische Flächeihaltsformel a b si γ a c si β b c si α A = = = 2 2 2 2.7.3 Siussatz a si α = b si β = c si γ 2.7.4 Cosiussatz a² = b² + c² 2bc cos α b² = c² + a² 2ca cos β c² = a² + b² 2ab cos γ 13

3 IV. Klasse 3.1 Kurs ud Retabilitätsrechug 3.1.1 Der Emissioskurs (Ausgabekurs) C o heißt al pari, we C 0 =100 uter pari, we über pari, we C 0 <100 (Disagio, Abgeld) C 0 >100 (Agio, Aufgeld) Kaufpreis Ausgabekurs Tilgugsbetrag K 0 = C 0 100 K 0 Kaufpreis = Ausgabekurs 100 Newert C 0 = K 0 K 0 100 T = C 100 K 0 Ausgabekurs = Kaufpreis Newert 100 Der Marktzis i M orietiert sich a der Sekudärmarktredite. Im Normalfall gilt: = i M = i, d. h. die Redite etspricht dem Marktzis. 3.1.2 Zusammehag zwische Kurs C ud Effektivverzisug i Je iedriger der Kurs C, umso höher ist die Effektivverzisug i, ud je höher der Kurs, umso iedriger ist die Effektivverzisug. i < i K 0 > K 0 C > 100 i > i K 0 < K 0 C < 100 i = i K 0 = K 0 C = 100 Notierug über pari Notierug uter pari Notierug al pari 3.1.3 Kursformel bei Tilgug zum Newert Barwert PV(i M ) Kurs C(i M ) K 0 i 1 (1 + i M) i M 100 i 1 (1 + i M) i M T (1 + i M ) 100 (1 + i M ) für K 0 =100 14

3.2 Ivestitiosrechug 3.2.1 Kapitalwert C 0 (Net Preset Value NPV oder Goodwill) C 0 = A 0 + E t + A t (1 + i k ) t = A 0 + R t ( 1 + i k ) t t=1 t=1 3.2.2 Auitätemethode 3.2.3 Wiedergewiugsfaktor i k A = C 0 1 (1 + i k ) i k 1 (1 + i k ) PV 3.2.4 Methode des itere Zissatzes R t C 0 (i 0 ) = 0 0 = A 0 + (1 + i 0 ) t Der Zisatz i 0, für de der Kaptialwert gleich ull ist, heißt iterer Zisatz (Iteral Rate of Retur IRR). Eie Ivestitio ist vorteilhaft, we i 0 <i k ist. (IRR<i k ) t=1 3.2.5 Methode des modifizierte itere Zisatzes A 0 (1 + i mod ) = E mit E = R t ( 1 + i ) t t=1 i mod = E 1 A 0 3.3 Differezialrechug Differezequotiet = Mittlere Äderugsrate = Steigug der Sekate Steigug der Sekate s: k s = Δy Δ = f( 0 + h) f( 0 ) h Differetialquotiet = Mometae Äderugsrate = Steigug a der Stelle 0 Steigug der Tagete s: h= 0 f( 0 + h) f( 0 ) h = f () 15

3.3.1 1. Ableitug: f () 3.3.2 2. Ableitug: f () 3.3.3 Ableitugsregel 1. Ableitug der Potezfuktio f() = f () = 1 2. Ableitug der kostate Fuktio (Zahl) f() = c f () = 0 3. Faktorregel [a f()] = a f () 4. Summeregel [f() + g()] = f () + g () 5. Produktregel [f() g()] = f () g() + f() g () 6. Quotiete Regel [ f() g() ] = f () g() f() g () [g()] 2 7. Ketteregel [f(g())] = f (g()) g () 8. Ableitug spezieller Fuktioe ( f()) ) = 1. f () 2 2 f() (e f() ) = e f() f () (l(f()) = 1. f () f() 16

3.3.4 3.2.3Wichtige Ableituge: f() L Log a Si Cos f () 1 1 l a Cos Si Ta 1 + Ta² = 1 Cos² 1 1 ² 1 2 f() f () 2 f() 3.4 Fuktiosdiskussio 3.4.1 Mootoie Die Fuktio f ist streg mooto steiged we f( 1 ) < f( 2 ) Die Fuktio f ist streg mooto falled we f( 1 ) > f( 2 ) 3.4.2 Symmetrie f(-) = f() gerade Fuktio, symmetrisch bezüglich der y-achse Achsesymmetrisch f(-) = -f() ugerade Fuktio, symmetrisch bezüglich des Ursprugs puktsymmetrisch 3.4.3 Achseschittpukte f( 0 ) = 0 0 ist die Nullstelle vo y = f() N( X 0 0 ) Schittpukt mit der -Achse y( 0 f(0) ) Schittpukt mit der y-achse 3.4.4 Asymptote - Sekrechte Asymptote - Waagrechte Asymptote - Schräge Asymptote 17

3.5 Awedug der Differetialrechug 3.5.1 Etremwertaufgabe Hauptbedigug (HB) aufstelle = Zielfuktio Nebebedigug (NB) aufstelle = Zusammehag beschreibe NB i HB eisetze -> Maimum/Miimum vo f() bereche f () = 0 3.5.2 Regressiosrechug Methode der kleiste Quadrate 3.6 Koste ud Preistheorie 3.6.1 Gesamtkostefuktio Gesamtkostefuktio Lieare Kostefuktio Ertragsgesetzliche Kostefuktio K() = K v () + F K() = k+f K() = a³ + b² + c + F Eigeschafte eier Polyomfuktio 3. Grades Streg Mooto wachsed Kostekehre = Wedepukt Keie Etremwerte, keie Nullstelle S Förmiger Verlauf 3.6.2 Grezkoste K () Differezequotiet K(+1) K() (+1) = K( + 1) K() 3.6.3 Stückkostefuktio oder Durchschittskostefuktio 3.6.3.1 durchschittliche Gesamtkoste k() = K() = K() Das Miimum der durchschittliche Gesamtkoste ist das Betriebsoptimum die zugehörige miimale durchschittliche Gesamtkoste heiße lagfristige Preisutergreze 18

3.6.3.2 durchschittliche variable Koste k v () = K v() Das Miimum der durchschittliche variable Koste ist das Betriebsmiimum die zugehörige miimale variable Durchschittskoste heiße kurzfristige Preisutergreze 3.6.4 Agebot, Nachfrage, Marktpreis, Gleichgewichtsmege Marktpreis + Gleichgewichtsmege ergebe sich als Schittpukt vo Agebots ud Nachfragefuktio 3.6.5 Erlösfuktio E() = P () P () P P () Nachfragefuktio kostater Preis variabler Preis 3.6.5.1 Elastizität ε Elastizität ε = relative Megeäderug relative Preisäderug Die Elsatizität der Nachfrage gibt die prozetuelle Absatzäderug als Folge eier Preisäderug um 1% a. = p p 3.6.5.2 Pukt Elastizität (Differezialquotiet) ε() = p() 1 p () ε N <-1 ε N =-1 ε N >-1 elastisch fließed uelastisch 19

3.6.5.3 Elastizität des Agebots ε A >1 elastisch ε A =1 ε A <1 elastisch uelastisch 3.6.6 Gewi G() = E() K() Gewi = Erlös - Koste G () = E () K () Grezgewi = Grezerlös Grezkoste = Äderug eies Gewies Gewi-Maimierugsprizip E ( g ) = K ( g ) oder G ( g)=0 Die Produktmege g, bei der der maimale Gewi erzielt wird, heißt courotsche Mege. Der Preis P( g ) heißt courotscher Preis. Der Pukt C( g p( g )) auf der Nachfragefuktio heißt courotscher Pukt. Formel bei kostatem Preis ( = vollkommede Kokurrez) E () = p Erlös (liear) E () = p (> 0) Grezerlös = Preis d() = D() G() = E() K() g() = G() = p k() D() = E() K v () = p K v() = p K v () Gewi, Erlös Gesamtkoste Gewi pro Stück, Durchschittsgewi Deckugsbeitrag, Erlös variable Gesamtkoste Deckugsbeitrag pro Stück, Grezerfolg Formel bei moopolistischer Kokurrez E() = p () G() = E() K() 20