Nachtrag: Fehler in der Lösung von P.Q. 8 (Kapitel 14): a. Bruttogewinn 760.000,- $ - Zinszahlungen 100.000,- $ (10 % auf 1 Mio. $) = EBT (Earnings before Taxes) 660.000,- $ - Steuern (35 % auf 660.000,- $) 231.000,- $ = verfügbarer Gewinn für Aktionäre 429.000,- $ b. Bruttogewinn 760.000,- $ - Steuern (35 % auf 760.000,- $) 266.000,- $ = Nettogewinn 494.000,- $ - Vorzugsdividende 80.000,- $ (8 % auf 1 Mio. $) verfügbarer Gewinn für Aktionäre 414.000,- $
Nachtrag zu Kapitel 18 LÖSUNG zu P.Q. 13 (Kapitel 18): a. Eigentlich sollte die Ankündigung der Aktienemission zur Finanzierung eines Investitionsprojektes mit einem NBW von $40 Mio. zu einem Anstieg des Marktwertes des Eigenkapitals um $40 Mio. abzüglich entstehender Emissionskosten führen. Nach vergangenen Erfahrungen der Manager erwarten diese jedoch eine Verringerung des Marktwertes des Eigenkapitals um $30 Mio. Der Grund für den Kursrückgang stellt die asymmetrische Informationsverteilung dar: Die Anleger denken, dass das Management des Unternehmens die Aktien für überbewertet hält, und dass die Manager diese Situation nun zur Aktienemission nutzen möchten. b. Unabhängig davon, ob die Aktien des emittierenden Unternehmens tatsächlich überbewertet sind, wird der Aktienkurs i.d.r. bei der Ankündigung einer Emission junger Aktien sinken. Dies ist begründet in der zugrunde liegenden Information, die die Investoren zu erkennen und zu deuten meinen. Daher stellt der Kursrückgang keine regulären Emissionskosten im Sinne der Spanne, die die Konsortialbank (-en) erhält / erhalten, dar. Wenn das Unternehmen nicht überbewertet ist, dann sollten die Manager des Unternehmen durch die Preisgabe von Informationen versuchen, die Investoren von dem fairen Wert des Unternehmens zu überzeugen. Andernfalls sollten sie in Betracht ziehen, die Investition durch Fremdkapital zu finanzieren. So könnte die teure Aktienemission umgangen werden.
Kapitel 20 LÖSUNG zu QUIZ 10 (Kapitel 20): Die untere Grenze des Preises einer Kaufoption ist der Wert, der sich ergibt, wenn die Option sofort ausgeübt wird: Aktienkurs Basispreis (bei Nichtausübung: Null). Wenn die Option doch einen Preis unter dieser Grenze aufweist, dann sind Arbitragetransaktionen möglich, die so lange durchgeführt werden, bis der Preis wieder auf bzw. über der Linie liegt. Beispiel: Die Option weist einen Preis von $10,- auf, der Aktienkurs liegt bei $100,- und der Basispreis beträgt $80,-. In diesem Fall wäre die Option unterbewertet. Die Investoren würden die Aktie über die Option erwerben ($10,- Option + $80,- Basispreis = $90,-) und anschließend über den Aktienmarkt verkaufen ($100,-). So könnte ein sicherer Gewinn erzielt werden. Durch diese Transaktionen würde der Preis der Option ansteigen (hohe Nachfrage), bis die untere Grenze erreicht wird. Die obere Grenze des Preises der Kaufoption ist der Aktienkurs des zugrunde liegenden Basiswertes. Die Option wird nur ausgeübt, wenn der Aktienkurs über dem Basispreis liegt. Dann erhält der Inhaber der Option die Differenz zwischen Aktienkurs und Basispreis. Selbst wenn der Basispreis Null beträgt, kann der Preis der Option den Aktienkurs nicht übersteigen, er würde dann direkt auf der oberen Grenzlinie liegen.
LÖSUNG zu P.Q. 3 (Kapitel 20): Es ist richtig, dass sowohl der Käufer einer Kaufoption als auch der Verkäufer einer Verkaufsoption auf steigende Kurse des Basiswertes hoffen. Allerdings bedeutet dies nicht, dass auch die Positionsdiagramme gleich sind: Gewinn/Verlust Gewinn/Verlust Long Call Short Put 0 K Aktienkurs 0 K Aktienkurs Der Käufer einer Kaufoption (Long Call) sieht sich einem begrenzten Verlustpotenzial (Optionsprämie) bei Kursen unter dem Basispreis und unbegrenzten Gewinnchancen bei Kursen über dem Basispreis gegenüber. Das Positionsdiagramm des Verkäufers einer Verkaufsoption (Short Put) weist begrenzte Gewinnchancen (Optionsprämie) bei Kursen über dem Basispreis und ein unbegrenztes Verlustpotenzial bei Kursen unterhalb des Basispreises auf.
LÖSUNG zu P.Q. 5 (Kapitel 20): P 3 = Wert eines dreimonatigen Puts C 3 = Wert eines dreimonatigen Calls Put-Call-Parität = C 3 + K ( 1+ r 3 ) 12 = S + P 3 Da beide Optionen den gleichen Wert ($10,-) und Basispreis ($60,-) aufweisen, gilt: K ( 1+ r 3 ) 12 = S Für die Put-Call-Parität von sechsmonatigen Calls und Puts gilt: P 6 = Wert eines dreimonatigen Puts C 6 = Wert eines dreimonatigen Calls Put-Call-Parität = C 6 + K ( 1+ r ) 6 12 = S + P 6 Aufgrund der oben dargestellten Beziehung wie folgt umgestellt werden: K ( 1+ r 3 ) 12 = S kann die Put-Call-Parität Put-Call-Parität = C 6 + K ( 1+ r ) 6 12 = K ( 1+ r 3 ) 12 + P 6 Da der für sechs Monate abgezinste Barwert des Basispreises kleiner ist als der für drei Monate abgezinste Barwert, ergibt die Gleichung, dass der Call einen höheren Wert aufweisen muss als der ansonsten gleiche Put.
LÖSUNG zu P.Q. 9 (Kapitel 20): Die Gewinnschwelle in Höhe von $100 Mio. kann als Basispreis gesehen werden. Da Frau Cable von allen darüber hinaus erwirtschafteten Gewinnen 20 % erhält, kann dieser Teil des Entlohnungspakets mit einer Plusposition in einer Kaufoption verglichen werden. Die Frage nach der Angemessenheit der Anreize hängt u.a. davon ab, inwieweit es realistisch ist, dass das Unternehmen den Gewinn in Höhe von $100 Mio. erreichen kann, und wie Frau Cable ihre Chancen einschätzt, einen höheren Gewinn zu generieren. LÖSUNG zu P.Q. 11 (Kapitel 20): Aussage b. ist richtig, siehe dazu auch Abb. 20.5, S. 571 im Brealey/Myers. LÖSUNG zu P.Q. 14 (Kapitel 20): a. Duplikation des Kaufs einer Verkaufsoption über die Put-Call-Parität: P = C + K t ( 1+ r ) - S Kauf einer Kaufoption mit Basispreis $100,- und einer Laufzeit von 26 Wochen auf eine Aktie von Triangular. Anlage des Barwertes des Basispreises für 26 Wochen zum risikofreien Zinssatz. Leerverkauf der Aktie von Triangular. b. Preis der Verkaufsoption: $13,35
LÖSUNG zu P.Q. 17 (Kapitel 20): a. Das Fremdkapital steigt auf den Barwert der garantierten Zahlung (Nominalbetrag $50,- und Zinsen $5,-), bewertet mit dem risikofreien Zinssatz (Abzinsung für ein Jahr): $ 50, + $5, Barwert = =$50,93 1,08 Der Wert des Fremdkapitals nimmt also um $50,93 - $25,- = $25,93 zu! b. Die an die Anteilseigner fließenden Zahlungen sind unverändert: Streuung und durchschnittliche Höhe der Rückflüsse sind unabhängig von der Zusage der Regierung (beschränkte Haftung der Aktionäre unterstellt). Betroffen sind hier nur die Zahlungen an die Gläubiger: Fällt die Gesellschaft aus, springt die Regierung ein. c. Die Garantie der Regierung auf Rückzahlung des Fremdkapitals und Zahlung der Zinsen weist einen Wert von $25,93 auf. Somit ergibt sich für den Unternehmenswert: Asset value $30.00 $50.93 Bonds Government s guarantee $25.93 $ 5.00 Stock $55.93 $55.93 Firm value d. Durch die Fremdkapitalemission erzielt Rectangular $50,93 (siehe a.) an Emissionserlösen, die genutzt werden, um Aktien zurück zu kaufen. Das Unternehmen wies zuvor einen Wert von $30,- auf, dieser beträgt jetzt $55,93. Die Bilanz zu Marktwerten ergibt sich analog zu Circular s (siehe c.). Gewinnen werden in diesem Fall die Aktionäre: $25,93. LÖSUNG zu P.Q. 21 (Kapitel 20): Der Wert von Aktienoptionen steigt an, wenn die Volatilität (Standardabweichung, Varianz) des Aktienkurses ansteigt. Somit würde der Gedanke an die Aktienoptionen dazu führen, den risikoreicheren Vorschlag vorzuziehen.
Kapitel 21 LÖSUNG zu QUIZ 7 (Kapitel 21): a. Das Optionsdelta ergibt sich wie folgt: Spanne der möglichen = Spanne der möglichen 100,-EUR - 0,- EUR 200,-EUR - 50,- EUR Optionspre ise Aktienkurs = 0,66667 (S (C u u -S -C d b. Die Duplikationsstrategie muss das gleiche Zahlungsprofil aufweisen wie die Optionsstrategie: ) d Die Anzahl der erforderlichen Aktien erhalten wir über die hedge ratio (= Optionsdelta) = 0,66667 Der Betrag der Kreditaufnahme ergibt sich wie folgt: 100,-EUR - 0,66667*100,- 1,10 = 30,30 EUR ) Heutige Zahlung Mögliche zukünftige Zahlungen Aktienkurs 200,00 Aktienkurs 50,00 Kauf Call -36,37 +100,00 0 Kauf Aktie (0,66667) zu 100, - -66,67 +133,33 +33,33 Kreditaufnahme +30,30 => - 36,37-33,33 => +100,00-33,33 => 0 c. Erwartete Rendite der Aktie = [p*1,0 + (1-p) *(-0,50)] = 10 % mit p= Wahrscheinlichkeit für den Kursanstieg aufgelöst nach p ergibt sich: 40 %. d. Für den Wert des Calls ergibt sich in einer risikoneutralen Welt: 0,4*100, + 0,6*0, C = = 36,36 1,10 e. Nein, denn wir nehmen den Fall der risikoneutralen Welt an. Wir wissen, dass die richtige Wahrscheinlichkeit für einen Kursanstieg höher ist als die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit. Hier rechnen wir aber mit dem risikofreien Zins und nehmen daher einen Sicherheitsabschlag bei dem zukünftigen Wert der Option vor (=> durch geringere Wahrscheinlichkeit für Kursanstieg).
LÖSUNG zu P.Q. 1 (Kapitel 21): Relation zwischen up und down- Veränderungen des Aktienkurses und Standardabweichung bzw. Volatilität des Aktienkurses: σ 1 + upside change = u = e h a. Kursänderung nach 6 Monaten bei Standardabweichung von 24 %: 0.24 0.5 u = e = 1.185 ; d = 1/ u = 0.844 $63.19 $45 $53.33 $37.98 $45.01 $45.01 $32.06 Kursänderung nach 3 Monaten bei Standardabweichung von 24 %: 0.24 0.25 u = e = 1.127 ; d = 1/ u = 0.887 $72.60 $64.41 $57.14 $45 $50.72 $39.92 $57.16 $44.98 $35.41 $50.70 $39.91 $31.41 $57.14 $44.97 $44.97 $35.40 $35.40 $27.86 b. Kursänderung nach 6 Monaten bei Standardabweichung von 30 %: 0.3 0.5 u = e = 1.236, d = 1/ u = 0.809 $68.75 $45 $55.62 $36.41 $45.00 $45.00 $29.46
Kursänderung nach 3 Monaten bei Standardabweichung von 30 %: 0.3 0.25 u = e = 1.162 ; d = 1/ u = 0.861 $82.04 $70.60 $60.79 $45 $52.29 $38.75 $60.76 $45.02 $52.32 $38.77 $60.79 $45.05 $45.05 $33.36 $33.38 $28.72 $33.38 $24.73
LÖSUNG zu P.Q. 3 (Kapitel 21): If there is an increase in: Stock price (S) Exercise price (K) Interest rate (r f ) Time to expiration (t) Volatility of stock price (σ) The change in the put option price is: Negative Positive Negative Positive Positive Beispiel: Aktienkurs: $100,- Basispreis: $100,- r f = 5 % t = 1 σ = 50 % Nach dem Black-Scholes Modell ergibt sich für die Verkaufsoption ein Wert von $16,98. Bei Erhöhung der einzelnen Einflussgrößen c.p. ergibt sich der Wert der Verkaufsoption wie folgt: Black-Scholes put value: Ausgangsposition 16,98 S = 120 11,04 K = 120 29,03 r f = 10% 14,63 t = 2 21,94 σ = 100% 35,04
LÖSUNG P.Q. 5 (Kapitel 21): a. Die möglichen Aktienkurse und die sich daraus ergebenden Werte der Kaufoption sind dem nachfolgenden Binomialbaum zu entnehmen: $110 (?) $220 (?) $440 (?) $55 ($0) $220 ($55) $880 ($715) Risikoneutrale Bewertung: p (1,00) + (1 - p)(-0,50) = 10 % p = 40 % (Wahrscheinlichkeit für Kursanstieg) Ermittlung der Optionspreise: nach 6 Monaten: [(0,4 * $55,-) + (0,6 * 0,-)]/1,10 = $20,- [(0,4 * $715,-) + (0,6 * $55,-)]/1,10 = $290,- zum Zeitpunkt t = 0 [(0,4 * $290,-) + (0,6 * $20,-)]/1,10 = $116,36 b. Ermittlung des Optionsdeltas: $715,- $ 55,- (i) Delta = = 1,0 $880,- $ 220,- $55,- $0, (ii) Delta = = 0,33 $220,- $ 55,- c. Das Optionsdelta beträgt 1, wenn die Kaufoption tief im Geld ist, d.h. der Aktienkurs übersteigt den Basispreis, so dass die Option mit Sicherheit ausgeübt wird. Dies ist gleichzusetzen mit dem Kauf einer Aktie mit verzögerter Zahlung. Ein Optionsdelta von 1 bedeutet, dass eine Änderung des Aktienkurses in Höhe von $1,- auch eine Änderung des Optionspreises um $1,- nach sich zieht. Wenn die Option weit aus dem Geld ist, d.h. der Aktienkurs liegt weit unter dem Basispreis, besteht Sicherheit, dass die Option nicht ausgeübt wird. Das Optionsdelta beträgt dann Null. Die Option ist wertlos, unabhängig von der Änderung des Aktienkurses (unterhalb des Basispreises). d. Nachbildung der Aktie durch eine Kombination aus Kaufoptionen und Geldanlage: Bei einem Aktienkurs von $110,- nach sechs Monaten beträgt das Optionsdelta 0,33, d.h. zur Duplikation einer Aktie müssen 3 Kaufoptionen gekauft werden:
Aktienkurs = $55,- Aktienkurs = $220,- Kauf 3 Kaufoptionen -$60,- $0,- $165,- Geldanlage Barwert ($55,-) -$50 +$55,- +$55,- -$110,- +$55,- +$220,- Duplikation von: Aktienkauf -$110,- +$55,- +$220,- LÖSUNG P.Q. 6 (Kapitel 21): a. Es kann sinnvoll sein, eine amerikanische Verkaufsoption vorzeitig auszuüben, da dann der Basispreis zum Zinssatz auf risikofreie Anlagen angelegt werden kann. b. Die möglichen Aktienkurse und die sich daraus ergebenden Werte der Verkaufsoption sind dem nachfolgenden Binomialbaum zu entnehmen: $110 (?) $220 (?) $440 (?) $55 ($165) ) $220 ($0) $880 ($0) Risikoneutrale Bewertung: p (1,00) + (1 - p)(-0,50) = 10 % p = 40 % (Wahrscheinlichkeit für Kursanstieg) Ermittlung der Optionspreise: nach 6 Monaten: [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $165,-)]/1,10 = $90,- Da die Option einen Basispreis von $220,- aufweist, sollte die Option nach sechs Monaten bei einem Kurs von $110,- ausgeübt werden, da sich ein Optionswert von $110,- bei Ausübung ergibt. Dieser übersteigt den Wert der Option bei Nichtausübung. [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $0,-)]/1,10 = $0,- zum Zeitpunkt t = 0 [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $110,-)]/1,10 = $60,- c. Der Unterschied einer europäischen Option zu einer amerikanischen Option liegt darin, dass keine vorzeitige Ausübung möglich ist. In Aufgabenteil b) wurde davon ausgegangen, dass die Option nach dem sechsten Monat bei einem Aktienkurs von $110,- ausgeübt wird, da der Optionswert bei Ausübung höher ist als bei
Nichtausübung. Dies ist bei einer europäischen Option nicht möglich. Daher ergibt sich der Wert des Put wie folgt: [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $90,-)]/1,10 = $49,09 LÖSUNG zu P.Q. 7 (Kapitel 21): Die möglichen Aktienkurse und die sich daraus ergebenden Werte der Kaufoption sind dem nachfolgenden Binomialbaum zu entnehmen: $220 (?) mit Dividende ex Dividende $110 $85 (?) $440 $415 (?) $42.5 ($0) $170 (5) $207.5 ($42,5) $830 ($665) Ermittlung der Optionspreise: nach 6 Monaten: [(0,4 * $5,-) + (0,6 * $0,-)]/1,10 = $1,82 [(0,4 * $665,-) + (0,6 * $42,50)]/1,10 = $265,- Da die Option einen Basispreis von $165,- aufweist, sollte die Option nach sechs Monaten bei einem Kurs von $440,- ausgeübt werden, da sich ein Optionswert von $275,- bei Ausübung ergibt ($440,- - $165,-). Dieser übersteigt den Wert der Option bei Nichtausübung. zum Zeitpunkt t = 0 [(0,4 * $275,-) + (0,6 * $1,82)]/1,10 = $100,99 Wenn es sich um eine europäische Option handelt, ist eine vorzeitige Ausübung nicht möglich. Daher beträgt der Optionswert nach sechs Monaten $265,- anstatt $275,-. Der Wert der europäischen Verkaufsoption zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich wie folgt: [(0,4 * $265,-) + (0,6 * $1,82)]/1,10 = $97,36.
LÖSUNG zu P.Q. 12 (Kapitel 21): a. Ausübung der Kaufoption, um die hohe Dividende zu erhalten. Die Ausübung der Verkaufsoption würde erst nach der Dividendenzahlung erfolgen, wenn der Aktienkurs gefallen ist. b. Ausübung der Verkaufsoption, da die Aktie zu einem höheren Kurs (Basispreis) als dem aktuellen Aktienkurs verkauft werden kann. Eine Kaufoption wird niemals bei einem Aktienkurs unter dem Basispreis ausgeübt. c. Ausübung der Verkaufsoption, wenn die Zinsen hoch sind (Investition des Basispreises). LÖSUNG zu P.Q. 13 (Kapitel 21): - Ausübung einer Kaufoption am with-dividend date, da der Aktienkurs höher ist als am ex-dividend date => Investor kauft die Aktie zum Basispreis und gewinnt die Differenz zwischen aktuellem Aktienkurs und Basispreis. - Ausübung einer Verkaufsoption am ex-dividend date, da der Aktienkurs geringer ist als am with-dividend date => Investor verkauft die Aktie zum Basispreis und gewinnt die Differenz zwischen Basispreis und aktuellem Aktienkurs.
Kapitel 23 Practice Questions: LÖSUNG zu P.Q. 1 (Kapitel 23): a. Die Optionsscheine sollten nur ausgeübt werden, wenn die Dividendenzahlung größer als die Zinserträge aus der Anlage des Basispreises sind (siehe Fußnote 3, S. 644). In diesem Fall beträgt die Dividendenzahlung $3,-, die Anlage des Basispreises in Höhe von $10,- zu 4 % ergibt jedoch $4,-. Wenn der Inhaber des Optionsscheins nicht ausübt, verzichtet er auf die Dividendenzahlung und verliert einen Teil des Ausübungswertes des Optionsscheines, da der Ex-Dividendenkurs geringer ist und damit der Optionsschein weniger tief im Geld liegt. Wenn der Investor ausübt, gibt er die Zeit- und Volatilitätsprämie sowie den Zinsertrag auf den Basispreis auf. keine vorzeitige Ausübung in diesem Fall. b. Bei niedriger Volatilität des zugrunde liegenden Aktienkurses wiegt die verlorene Zeit (durch Ausübung) geringer als der verlorene Ausübungswert (bei Nichtausübung). Hohe Volatilität hingegen erhöht die Chancen auf Aktienkurssteigerungen und somit auf einen Optionsschein tief im Geld und überwiegt wertmäßig die Dividendenzahlung.
LÖSUNG zu P.Q. 2 (Kapitel 23): a. Der Wert des Eigenkapitals nach der Emission beträgt $40 Mio. + 1 Mio. Optionsscheine * $5,- pro Optionsschein = $45 Mio. Zur Zeit sind 1 Mio. Aktien des Unternehmens im Umlauf. Der Aktienkurs eines alternativen Unternehmens mit genau dem gleichen Wert des Eigenkapitals, aber ohne Optionsscheine würde somit: 1 $45 Mio. Mio. Aktien = $45,- pro Aktie betragen. Die Ermittlung des Wertes einer Kaufoption bei dem alternativen Unternehmen ergibt nach dem Black-Scholes Modell $24,80. Jetzt ist zusätzlich der Verwässerungseffekt, der durch die Ausübung von Optionsscheinen und der damit verbundenen Erhöhung der Aktienanzahl im Gegensatz zur Ausübung von Optionen entsteht, mit einzurechnen: 1 1+ q * Wert der Kaufoption mit q = Anzahl der emittierten Optionsscheine im Verhältnis zu den ausgegebenen Aktien; hier beträgt das Verhältnis 1:1 Wert des Optionsscheins = 1 1 + 1 * $24,80 = $12,40 b. Der Wert des Eigenkapitals nach Emission der Optionsscheine beträgt $45 Mio. insgesamt. Davon entfallen auf die Optionsscheine 1 Mio. Optionsscheine * $12,40 = $12,40 Mio. Eigenkapital. Die Aktien weisen also einen Wert von $45 Mio. - $12,40 Mio. 1 Mio. Aktien = $32,60 pro Aktie auf, d.h. die Aktien verlieren $40,- - $32,60 = $7,40 an Wert.
LÖSUNG zu P.Q. 5 (Kapitel 23): $1.000, a. conversion value = * $30,- = $1.200,- $25, b. Die Anleihe wird aufgrund der der Option inhärenten Zeit- und Volatilitätsprämie über dem conversion value gehandelt. c. Ja, denn der call price liegt unter dem conversion value. Übt das Unternehmen das Recht aus, so fällt der Kurs der Anleihe auf den conversion value (da Zeitund Volatilitätsprämie entfallen). Die Inhaber der Anleihe erhalten somit den Anreiz bzw. werden somit gezwungen, die Wandlung vorzunehmen, da ihnen andernfalls ein Teil des Wertes der Anleihe verloren geht. LÖSUNG zu P.Q. 7 (Kapitel 23): a. Bei einem Nennwert von $1.000,- beträgt der conversion price: $ 1.000, = $37,04. 27 b. conversion value = 27 Aktien * $47,- = $1.269,- c. Ja, denn der Wert der Aktien ($1.269,-) ist höher als der Wert der Anleihe bei Fälligkeit ($1.000,-). LÖSUNG zu P.Q. 8 (Kapitel 23): a. Aktie b. Kuponanleihe c. Kuponanleihe d. Aktie