1 Motiviation 2 1.1 Die Thompson Untergruppe... 2

Inhaltsverzeichnis 1 Motiviation 2 1.1 Die Thompson Untergruppe................... 2 2 Lineare Algebra 6 2.1 Der duale Vektorraum V.................... 7 2.2 Erweiterungen des Grundkörpers................ 8 2.3 Eine Kennzeichnung von SL n (q)................ 8 2.4 Moduln mit Sesquilinearform.................. 10 2.5 Selbstduale Moduln....................... 12 3 Offender Theorie 15 3.1 Elementare Eigenschaften.................... 16 3.2 Quadratische Moduln...................... 21 3.3 Der P(G, V )-Satz........................ 25 1

1 Motiviation 1.1 Die Thompson Untergruppe Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. Mit A(G) bezeichnen wir die Menge der elementar abelschen p-untergruppen maximaler Ordnung von G, und J(G) := A(G) heißt die Thompson-Untergruppe von G (bezgl. p). Warum elementar abelsche p-untergruppen A? Nach Definition sind das abelsche Untergruppen A mit a p = 1 für alle a A. Man sieht leicht, daß A ein Vektorraum über K := Z/pZ ist, wobei die Skalarmultiplikation definiert ist durch ka := a k für k K und man sich daran gewöhnen muß, daß die Verknüpfung des Vektoraums multiplikativ statt additiv geschrieben wird. Warum maximal bezüglich der Ordnung? Das wird am besten klar, wenn man gewisse Eigenschaften der Thompson-Untergruppe anschauen und mit ihnen arbeitet. Also zuerst: Elementare Eigenschaften der Thompson-Untergruppe (1) Ist J(G) U G, so ist J(G) = J(U). (2) J(G) ist characteristisch in G. (3) Sei U G. Dann ist N G (U) N G (J(U)). Und nun zu einer wesentlichen Eigenschaft, die die Maximalität benutzt. Lemma 1.1. Sei V ein elementar abelscher p-normalteiler von G und A A(G). Dann gilt: (a) C V (A) = A V. (b) BC V (B) AC V (A) für alle B A. 2

(c) B C V (B) A C V (A) für alle B A. (d) V/C V (A) A/C A (V ). Beweis. (a): Offensichtlich, da C V (A)A elementar abelsch und A maximal ist. (b): Auch BC V (B) ist elementar abelsch, also wieder wegen der Maximalität von A BC V (B) A AC V (A). (c): Wegen (b) ist B C V (B) A V 1 B C V (B) B C V (B) 1 = BC V (B) AC V (A) = A C V (A) A V 1. (d): Sei B := C A (V ). Dann ist V B elementar abelsch, also V B A, und V B = V A C V (A). Daraus folgt A/C A (V ) = A/B V B/B = V/V B V/C V (A). Von Lemma 1.1 sollten wir uns (c) und (d) merken. Später werden wir dabei V in den Mittelpunkt stellen und Gruppen A untersuchen, die auf V operieren, und eine dieser beiden Eigenschaften haben. Hier sei schon angemerkt, daß 1.1(c) die stärkere der beiden Eigenschaften ist: Lemma 1.2. Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper, auf dem eine Gruppe A operiert. Es gelte B C V (B) A C V (A) für alle B A. Dann ist V/C V (A) A/C A (V ). Beweis. Sei B := C A (V ). Dann ist B V = B C V (B) A C V (A). Natürlich gelten die Aussagen in 1.1 trivialerweise, wenn V von J(G) zentralisiert wird. Es wird also auch darauf ankommen, Situationen zu erreichen, wo [V, J(G)] 1 gilt. Wir diskutieren eine beispielhaft Situation. Dabei benutzen wir zum ersten Mal eine der beiden wesentlichen Eigenschaften von p-gruppen (allgemeiner: nilpotenten Gruppen): 3

Sei P eine p-gruppe und U P. Dann ist ( ) U = P oder U < N P (U). Sei S Syl p (G), Z := Ω 1 (Z(S)), H := N G (J(S)),C G (Z), und sei D := {T S Z T }. Lemma 1.3. Entweder ist N G (T) H für alle T D, oder es existiert ein T D, so daß für M := N G (T), S 0 = M S, V := Ω 1 (Z(O p (M))) die folgenden Eigenschaften gelten: (1) M H. (2) S 0 Syl p (M) (3) V ist ein elementar abelscher p-normalteiler von M mit C S0 (V ) = O p (M). (4) J(S 0 ) O p (M). (5) M C M (Ω 1 (Z(S 0 )))N M (J(S 0 )). Beweis. Es existiere ein T D mit M H. Wir wählen M noch so, daß erst M H p maximal und dann T maximal ist. Sei S 0 T 1 Syl p (M H). 1. N G (X) H für alle p-untergruppen X H mit T 1 X. Es existiert ein g H mit X S g. Sei als erstes X = S g. Dann gilt N G (X) = N G (S) g N G (J(S)) g H g = H. Sei nun X < S g. Dann ist wegen ( ) auch X < N S g(x). Andererseits ist Z(S g ) C G (X) C G (T) M H, also Z g T 1 X. Dann ist X g 1 D. Wegen der der Maximalität von T 1 ist dann N G (X g 1 ) = N G (X) g 1 H. Aus g H folgt nun (1 ). 4

2. T 1 Syl p (M). Sei T 1 T 2 Syl p (M). Wegen (1 ) ist N G (T 1 ) H, also insbesondere N T2 (T 1 ) T 2 H = T 1. Nun folgt (2 ) aus ( ). 3. Es existiert ein g H mit Z g T 1 S g. Offensichtlich existiert ein g H mit T 1 S g, und wie unter (1 ) ist Z g T 1. 4. Wir könnnen T 1 = S 0 annehmen. Sei T := TCT1 (T). Dann ist M = C M (T)N M ( T) und Z g T S g. Wegen C M (T) H gilt außerdem N G ( T) H. Aber dann ist auch N G ( T g 1 ) H und T g 1 D. Aus der Maximalität von T folgt T = T, d.h. C T1 (T) T. Aber dann ist Z g T und T g 1 D. Es ist also M g 1 H und T g 1 1 = S M g 1. Mit M g 1 statt M gilt (4 ). 5. N G (J(S 0 )) H. Ist S 0 = S, so ist J(S) = J(S 0 ) und N G (J(S)) H. Sei nun S S 0. Dann ist wegen ( ) auch S 0 < N S (S 0 ). Andererseits ist J(S 0 ) N S (S 0 ). Aus der Maximalität von S 0 folgt N G (J(S 0 )) H. 6. O p (M/C M (V )) = 1. Sei R das Urbild von O p (M/C M (V )). Dann ist R C M (V )Q für alle Q Syl p (M), also auch [R,Ω 1 (Z(Q))] = 1 für alle Q Syl p (M). Daraus folgt R C M (V ). Wir verifizieren nun (3) (5). Offensichtlich ist Z T O p (M) S 0 S. Daraus folgt Z Ω 1 (Z(O p (M)). Insbesondere ist V elementar abelscher p-normalteiler von M. Es Z C S0 (V ) =: S 1 Syl p (C G (V )) und mit dem Frattini-Argument M = N M (S 1 )C M (V ). Ist O p (M) < S 1, so ist N M (S 1 ) H wegen der Maximalität von T und damit M = (H M)C M (V ). Andererseits ist auch C M (V ) C M (Z) H und damit M H, ein Widerspruch. Also gilt (3). Wegen (5 ) gilt auch (4). Es ist C M (Ω 1 (Z(S 0 ))) C G (Z) H. Nun folgt Aussage (5) direkt aus (5 ). 5

2 Lineare Algebra Nun übersetzen wir die wesentlichen Eigenschaften in die Sprache der Linearen Algebra, genauer die Sprache der F p G-Moduln. Dabei ist wieder G eine Gruppe, p eine Primzahl und K ein Körper. Ein KG-Modul V ist ein K-Vektorraum V, auf dem die Gruppe G operiert. D.h. es existiert ein Homomorphismus φ : G GL K (V ), In den meisten Fällen ist K = Z p oder hat wenigstens Charakteristik p. Zusätzlich setzen wir in diesem Abschnitt voraus, daß V endlich dimensional ist. Seinen V und W KG-Moduln, und sei Hom KG (V,W) die Menge aller φ Hom K (V,W) mit φg = gφ für alle g G. Natürlich ist Hom KG (V,W) nicht nur eine Menge sondern auch ein K- Vektorraum, und End KG (V ) auch ein Ring. Die Elemente aus Hom KG (V,W) sind die KG-Modul-Homomorphismen von V in W. Definition 2.1. Der KG-Modul V heißt (1) treu falls C G (V ) = 1. (2) nichtrivial falls [V, G] 0. (3) einfach falls V nichtrivial ist, und 0 und V die einzigen F p G-Untermoduln von V sind. (4) perfekt falls V = [V,G] ist. (5) quasieinfach falls V perfekt und V/C V (O p (G)) einfach ist. 6

2.1 Der duale Vektorraum V Nach Definition ist V := Hom K (V, K). Es ist dimv = dim V. Wir wollen aber V auch als KG-Modul auffaßen. Dazu definieren wir eine Operation von G auf V : ( ) w(v g) := (wg 1 )v für alle w V, v V, g G. Daß v g wieder ein Element aus V ist, folgt aus der Tatsache, daß g auf V eine lineare Abbildung induziert. Um zu zeigen, daß damit eine Operation auf V definiert ist, muß man noch für alle v V zeigen: (1) v 1 = v, (2) v (gh) = (v g)h für alle g,h G. Die erste Eigenschaft ist offensichtlich: w(v 1) = (w1)v = wv für alle w V. Auch die zweite Eigenschaft ist einfach nachzurechnen. Dabei wird auch klar, warum in ( ) an einer Stelle der Exponent 1 auftaucht: w(v (gh)) = (w(gh) 1 )v = (wh 1 g 1 )v = (wh 1 )(v g) = w((v g)h). Durch diese Operation wird V zu einem KG-Modul, dem zu V dualen KG- Modul V. Wir werden uns mit der Frage beschäftigen, wann V als KG-Modul isomorph zu V ist. Solch ein Modul heißt dann selbstdual. Lemma 2.2. Sei A GL(V ) und U ein K-Unterraum von V : (a) dim V = dim V. (b) dim U + dim U = dimv. (c) [V,A] = C V (A) and C V (A) = [V,A]. (d) [V,A,A] = 0 [V,A,A] = 0. Beweis. (a), (b) and (c) sind wohlbekannte Aussagen der Linearen Algebra. (d): [V,A,A] = 0 iff [V,A] C V (A) iff C V (A) [V,A] iff [V,A] C V (A) iff [V,A,A] = 0. 7

2.2 Erweiterungen des Grundkörpers Sei V ein einfacher KG-Modul und K ein endlicher Körper. Mit dem Lemma von Schur ist E := End KG (V ) ein Schiefkörper und mit dem Satz von Wedderburn dann ein Körper, und V ist ein EG-Modul (dabei ist es sinnvoll V als ein E-Rechtsvektorraum aufzufassen, da wir die Abbildungen von rechts schreiben). Wir können außerdem K als Teilkörper auffassen. Denn die Abbildung k k id V (k K) ist ein Körperisomorphismus von K auf einen Teilkörper von E. 2.3 Eine Kennzeichnung von SL n (q) In diesem Abschnitt ist K ein endlicher Körper der Charakterisitk p und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, n 1. Sei U ein K-Unterraum von V. Mit L(U) bezeichnen wir die größte Untergruppe von SL K (V ) mit [U,L(U)] = 0 und [V,L(U)] U. Wie man in SL K (V ) leicht sieht, ist L(U) = q n 1. Für einen K-Unterraum W V ist P(W) die Menge der 1-dimensionalen Unterräume von W; und P := P(V ). Wir benutzen zwei Hilssätze: Lemma 2.3. Sei U ein 1-dimensionaler Unterraum von V, und sei U W < V. Dann ist C L(U) (W) 1. Beweis. Für x L(U) ist die Abbildung τ x : W/U U = K mit v + U [v,x] ein Element aus (W/U) und die Abbildung φ : L(U) (W/U) mit x τ x ist dann ein (Gruppen-)Homomorphismus. Wegen W/U < L(U) ist dieser Homomorphismus nicht injektiv, also 1 Kern φ W = C L(U) (W). 8

Lemma 2.4. Sei U P mit V = U U U. Es gelte: Dann ist U = P. P(A + B) U für alle A,B U. Beweis. Sei W ein Unterraum maximaler Dimmension mit P(W) U, r := dim K W. Ist W = V, so ist gilt die Behauptung. Sei deshalb W V. Nach Voraussetzung ist dann r 2, und es existiert ein U U mit U W. Es gilt für q := K P(W) = qr 1 q 1 = qr 1 +... + q + 1. Die Anzahl der 2-dimensinalen Unteräume in W + U, die U enthalten, ist dann ebenfalls qr 1 q 1, und die 1-dimensionalen Unterräume dieser 2-dimensionalen Räume liegen nach Voraussetzung alle in U. Also gilt U P(W + U) q( qr 1 q 1 ) + 1 = qr = P(W + U). q 1 Daraus folgt P(W + U) U, was der Maximalität von W widerspricht. Lemma 2.5. Sei G GL K (V ) und O p (G) = 1. Es existiere ein 1-dimensionaler Unterraum U V mit L(U) G. Dann ist L(U) G = SL K (V ). Beweis. Sei H := L(U) G. Wir können dim K V 2 annehmen, den im anderen Fall ist H = SL K (V ) = 1. Da SL K (V ) von den Konjugierten von L(U) erzeugt wird, genügt es, P(H) = P zu zeigen. Ist [V,H] V, so ist wegen 2.3 1 C L(U) ([V,H]) C H ([V,H])) C H (V/[V,H]) O p (H) O p (G), was O p (G) = 1 widerspricht. Also ist V = [V,H] und wegen [V,L(U)] = U dann V = [V,H] = U P(H) U. Seien U 1,U 2 P(H). Dann operiert L(U 1 ) transitiv auf den 1-dimensionalen Unterräumen U 1 von U 1 + U 2, d.h. alle 1-dimensionalen Unterräume von U 1 + U 2 liegen in P(H). Aus 2.4 folgt P(H) = P. Lemma 2.6. Sei G GL K (V ) und O p (G) = 1. Es existiere eine Hyperebene U V mit L(U) G. Dann ist L(U) G = SL K (V ). Beweis. Für den dualen SL K (V )-Modul V gilt gemäß 2.2 dim K [V,L(U)] = 1 und [V,L(U),L(U)] = 0. Deshalb ist L(U) = L([V,L(U)]), und die Behauptung folgt aus 2.5 angewandt auf G GL K (V ). 9

2.4 Moduln mit Sesquilinearform Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler Vektorraum über K. Sei f eine Sesquilinearform auf V, so daß eine er folgenden Fälle gilt: (1) f ist eine nicht ausgeartete symplektische Form auf V (d.h. f ist bilinear und f(v,v) = 0 für alle v V ). (2) f ist eine nicht ausgeartete unitäre Form auf V (d.h. es existiert ein α Aut(K) mit α 2 = id K, f ist linear in der ersten Komponente und f(v,w) = f(w,v)α). (3) f ist symmetrisch, und es existiert ein nicht ausgeartete quadratische Form h : V K mit h(k 1 v 1 +k 2 v 2 ) = k 2 1 h(v 1)+k 2 2 h(v 2)+f(v 1,v 2 ), (k 1,k 2 K, v 1,v 2 V ). (Dabei heißt h nicht ausgeartet, wenn für jedes 0 v V mit h(v) = 0 ein w V existiert mit f(v,w) 0.) Die Gruppe der linearen Abbildungen, die f bzw. h (im 3. Fall) invariant lassen, bezeichnen wir mit Sp(V ), GU(V ) bzw. O(V ). Im folgenden sei M eine dieser Gruppen. Setze F := C K (α) in Fall 2 und F := K sonst. Lemma 2.7. Es gelte Fall 3. (a) h(0) = 0. (b) 2h(v) + f(v,v) = 0 für alle v V. (c) V = 0, oder char K = 2 und f ist symplektisch. (d) Sei K perfekt. Dann ist dim V 1, und dim V = 1 dim V ungerade und char K = 2. Beweis. (a): Es ist h(0) = h(0 + 0) = h(0) + h(0) + f(0,0) = h(0) + h(0). Daraus folgt h(0) = 0. 10

(b): Es ist wegen (a) 0 = h(0) = h(v + ( 1)v) = 2h(v) + f(v,v). (c): Sei V 0 und 0 v V. Dann ist h(v) 0, da h nicht ausgeartet ist. Andererseits ist wegen (b) 2h(v) = 0, also char K = 2. Aber dann folgt erneut wegen (b), daß f symplektisch ist. (d): Sei wieder V 0, und seien v,w V \ {0}, also wie oben h(v) 0 h(w). Wegen der Perfektheit existiert ein k K mit k 2 h(v) = h(w), also h(kv + w) = k 2 h(v) + h(w) = 0 und damit kv = w, da h nicht ausgeartet ist. Deshalb ist dim V 1. Ist dim V = 1, so ist nach (c) f symplektisch. Die von f auf V/V induzierte Form ist dann symplektisch und nicht ausgeartet, also ist dimv/v = dim V 1 gerade. Ist umgekehrt f symplektisch und char K = 2, so ist nach (c) f symplektisch. Aber dann ist f auf V ausgeartet, da die Dimension ungerade ist, also dim V 0 und damit wie schon gezeigt dim V = 1. Lemma 2.8. Sei A M. Dann gilt: (a) Sei f nicht ausgeartet. Dann existiert ein FM-Modulisomorphismus φ : V V mit v(wφ) = f(v,w) (v,w V ). Insbesondere ist V ein selbstdualer FM-Modul. (b) Sei V 0 und K perfekt. Dann gilt Fall 3, char K = 2, und dimv ist ungerade. (c) C V/V (A) = C V (A)/V. (d) C V (A) = [V,A]. (e) Gilt [V/V,A,A] = 0, so ist auch [V,A,A] = 0, und [V,A] ist isotrop. Beweis. (a): Sei w V. Definiere w : V K mit v f(v,w). Da f K-linear in der ersten Komponente ist, gilt w V, und da f F-linear in der zweiten Komponente ist, ist die Abbildung φ : V V mit w w 11

F-linear. Da f nicht ausgeartet ist, ist φ injektiv, und wegen dimv = dimv dann auch surjektiv, d.h. φ ist ein F-Vektorraumisomorphismus. Für g M gilt: v(wφg) = (vg 1 )wφ = f(vg 1,w) = f(v,wg) = v((wg)φ). Also ist wφg = wgφ für alle w V, und φ ist FM-Modulisomorphismus. (b): Wegen V 0 gilt Fall 3, und die Behauptung folgt aus 2.7(d). (c): Sei V := V/V und f die von f auf V induzierte Form. Dann ist F nicht ausgeartet. Wir können V 0 annehmen, d.h. wir sind in Fall 3. Sei v V und v C V (A). Dann ist für g G und u := v + vg V : h(v) = h(vg) = h(v + u) = h(v) + h(u), also h(u) = 0 und damit u = 0, da h nicht ausgeartet ist. Daraus folgt C V (A) C V (A). (d): Sei V und f wie oben. Wegen (a) brauchen wir dann nicht zwischen der Senkrechtrelation auf V (bezgl. f) und der zwischen V und V zu unterscheiden. Wir rechnen nun nach, daß C V (A) = [V,A] gilt. Für v V, w V und g A ist v( w + w g) = vw + (vg 1 )w = ([v,g 1 ])w. Daraus folgt [v,g 1 ] V (= 0) v [V,g]. Damit ist C V (A) = [V,A] gezeigt. Es ist [V,A] das Urbild von [V,A] und wegen (c) C V (A) das Urbild von C V (A). Daraus folgt (d). (e): Sei [V,A,A] = 0. Dann ist wegen (c) [V,A] = [V,A] C V (A) = C V (A), also [V,A,A] = 0. Insbesondere ist wegen (d) [V,A] C V (A) [V,A], d.h. [V,A] ist isotrop. 2.5 Selbstduale Moduln In diesem Abschnitt ist M eine endliche Gruppe, N M, F ein Körper der Charakterisitk p und V ein endlich dimensionaler FM-Modul. Satz 2.9. Sei V ein einfacher selbstdualer FM-Modul und K := End FM (V ). Dann existiert ein M-invariante nicht ausgeartete symmetrische, symplektische oder unitäre K-Form s auf V. 12

Beweis. Im folgenden betrachten wir F als Teilkörper von K, indem wir f F mit f id V identifizieren. Sei W := Hom F (V, F) und V := Hom K (V, K), und sei v 1,...,v n ein K-Basis von V. Dann ist die Abbildung τ : W V mit v i k i.wτ = (v i.w)k i ein F-Vektorraumisomorphismus von W in V. Dieser Isomorphismus induziert mittels wτg := (wg)τ eine Operation von M auf V, so daß W und V isomorphe FM-Moduln werden. Da nach Voraussetzung die FM-Moduln V und W isomorph sind, erhalten wir auch einen FM-Vektorraumisomorphismus von V in V. Sei H die Menge der FM-Vektorraumisomorphismen von V in V. Wir haben gezeigt: 1. H. Sei K := End FM (V ). Definiere für k K k : V V with xk : v vk.x (x V, v V ). Dann ist k K, und k k induziert einen Körperisomorphismus von K in K. Sei β H. Dann ist β k β 1 F-linear und deshalb σ β : K K mit k β k β 1 ein F-linearer Automorphismus von K. Wegen β k = kσ β β erhält man 2. β is σ 1 β -semilinear. Sei δ H und l := δ β 1. Dann ist l is FM-linear und deshalb l K. Also: 3. Für alle β,δ H existiert ein l K mit δ = l β. Es gilt kσ δ = δ k δ 1 = l β k β 1 l 1 = l kσ β l 1. Da K kommutativ ist, folgt kσ δ = kσ β. Deshalb ist σ δ = σ β. Wir haben gezeigt: 13

4. σ := σ β ist unabhängig von der Wahl von β H. Sei F die Menge der M-invarianten Abbildungen 0 s : V V K, die K-linear in der ersten und F-linear in der zweiten Komponente sind. Wobei M-invariant bedeutet, daß (vn, wn)s = (v, w)s für alle v, w V und n M. Natürlich sind all diese Formen nicht ausgeartet, da V ein einfacher FM-Modul ist. Für β H definiere s β : V V K mit (v,w) v.wβ. Dann ist s β F und deshalb F. Umgekehrt, für s F definiere β s : V V mit v.wβ s = (v,w)s. Dann ist β s H, und (2 ) angewandt auf β s ergibt: 5. Jedes s F ist eine σ 1 -sesquilineare K-Form. Definiere s : V V K mit (v,w) (w,v)sσ. Dann ist s M-invariant, K-linear in der ersten Komponente und σ-semilinear in der zweiten Komponente. Insbesondere ist s F, und wir können (5 ) anwenden: 6. σ = σ 1, und entweder ist σ = id K, oder σ hat Ordnung 2. Sei t := s + s. Dann ist t = t. Angenommen t 0. Ist σ = id K, so ist t eine M-invariante symmetrische K-Form; und ist σ = 2, dann ist t eine M-invariante unitäre K-form. Also gilt in diesem Fall die Behauptung. Sei nun t = 0. Dann ist s = s. Ist char K = 2, so ist s = s, und s ist eine symmetrische oder unitäre K-Form. Angenommen char K 2. Ist σ = id K, so ist s eine symplektische K-Form. Sei σ = 2 und x K mit x xσ und y := x xσ. Dann ist yσ = y, also (sy) = s.yσ = sy und deshalb sy eine M-invariante unitäre K-Form auf V. Erneut gilt die Behauptung. 14

3 Offender Theorie In diesem Kapitel ist M eine endliche Gruppe und V ein endlich dimensionaler KM-Modul, wobei K ein endlicher Körper der Charakteristik p ist. Definition 3.1. Eine Untergruppe A M heißt schwacher Offender auf V falls V/C V (A) A/C A (V ) ; und A heißt Offender, falls gilt: (1) AC M (V )/C M (V ) ist eine elementar abelsche p-untergruppe. (2) A/C A (V ) C V (A) B/C B (V ) C V (B) für alle B A. Gilt zusätzlich [V, A] 0, so heißt A nichttrivialer (schwacher) Offender. In einer Klasse C von Untergruppen heißt eine Untergruppe A C minimal, falls [V,A] 0 und für alle BC mit B A und [V,B] 0 schon A = BC A (V ) folgt. Für X M sei j X (V ) := X C V (X) V C X (V ). Eine Untergruppe A M operiert quadratisch auf V, falls [V,A,A] = 0 gilt. Beispiele 3.2. Sei K = q, und sei V ein n-dimensionaler V K-Vektorraum für n 3, W ein 2-dimensionaler K-Vektoraum, und σ End(W). Sei M = GL(V ) GL(W) und Ṽ = V W Wσ. Dabei operiert M auf Ṽ gemäß (α,β) : v + w + uσ vα + wβ + uβσ, wobei α GL(V ), β GL(W), v V und w,u W). Sei H eine Hyperebene von V. Setze A :== a GL(V ) [H,a] = 0 und [V,a] H und wähle B Syl p (GL(W)). Dann gilt für à = A B. (1) A = q n 1 und B = q, also à = qn. (2) C ev (A) = H + W + Wσ und C ev (A) = C ev (a) für alle 1 a A. Insbesondere ist C ev (A) A = q n 1 q 4 q n 1 = q 2n+2. (3) C ev (B) = C W (B) + C Wσ (B) + V. 15

(4) Ṽ /C ev (Ã) = q3, also C e V (Ã) à = qn 1 q 2 q n = q 2n+1. Damit ist A starker Offender auf Ṽ, aber kein Offender auf Ṽ. Ṽ, und à ist schwacher Offender auf 3.1 Elementare Eigenschaften Lemma 3.3. Sei A M und B A. Dann gilt: (a) j BCA (V )(V ) = j B (V ) für alle B A. (b) j A/CA (V )(V ) = j A (V ). Beweis. (a): Dies folgt aus den Eigenschaften C BCA (V )(V ) = C A (V ), C V (B) = C V (BC A (V )) und BC A (V )/C A (V ) = B/C B (V ). (b): Dies folgt aus den Eigenschaften C A/CA (V )(V ) = 1 und C V (A) = C V (A/C A (V )). Lemma 3.4. Seien A und B Untergruppen von M. Dann gilt j A,B (V )j A B (V ) j A (V )j B (V ), und Gleichheit gilt genau dann, wenn C V (A B) = C V (A) + C V (B) und A,B = AB. Beweis. Wegen 3.3(b) können wir C M (V ) = 1 annehmen. Dann ist V j A (V ) = A C V (A). Beachte, daß Dann ist A,B AB und C V (A B) C V (A) + C V (B). V 2 j A,B (V )j A B (V ) = A,B C V ( A,B ) A B C V (A B) AB C V (A) C V (B) A B C V (A) + C V (B) A B C V (A) C V (B) = V 2 j A (V )j B (V ). 16

Lemma 3.5. Sei X M und X/C X (V ) eine elementar abelsche p-gruppe. (a) j X (V ) = X/C X(V ) V/C V (X). (b) Ist [V,X] = 0, so ist j X (V ) = 1. (c) X ist genau dann Offender auf V, wenn j Y (V ) j X (V ) für alle Y X. Beweis. (a) ist offensichtlich, und (b) folgt aus (a). (c): Wegen (a) ist j Y (V ) = j Y CX (V )(V ). Deshalb können wir C X (V ) Y annehmen. Dann ist C X (V ) = C Y (V ) und deshalb j Y (V ) j A (V ) Y C V (Y ) A C V (A). Lemma 3.6. Sei A M, und A/C A (V ) eine elemntar abelsche p-gruppe. Dann gilt: (a) Jeder Offender ist scwacher Offender. (b) Jeder nichttriviale schwache Offender enthält einen nichttrivialen Offender. (c) A ist genau dann minimaler schwacher Offender, wenn A minmialer Offender ist. Beweis. (a): Sei A Offender. Wegen 3.5(a) ist j A (V ) 1 zu zeigen. Wähle B := C A (V ). Dann ist wegen 3.5(b) j B (V ) = 1, also wegen und 3.5(c) j A (V ) 1. (b): Sei A ein nichttrivialer Quasioffender. Wähle B A so, daß erst j B (V ) maximal und dann B maximal ist. Ist [V,B ] = 0, so ist wegen 3.5(b) j B (V ) = 1. Nach 3.5(a) ist j A (V ) 1, also j B (V ) schon j B (V ) = j B (V ) wegen der Maximalität von j B (V ). Nun ergibt die Maximalität von B schon A = B. Dies widerspricht [V,A] 0. (c): Folgt aus (a) und (b). Lemma 3.7. Sei A M und A/C A (V ) eine elementar abelsche p-gruppe. Dann sind äquivalent: (a) A ist Offender. (b) A ist schwacher Offender auf jedem A-Untermodul U V. 17

Beweis. Es gelte (a). Let W ein A-Untermodul von V und A 0 A. Dann gilt A 0 C W (A 0 ) + C V (A) A 0 C V (A 0 ) A C V (A) und deshalb A 0 C W (A 0 ) C V (A) C W (A 0 ) C V (A) 1 A C V (A). Wegen C W (A 0 ) C V (A) = C W (A) folgt A 0 C W (A 0 ) A C W (A). (b): Sei B A und W := C V (B). Offensichtlich ist ( ) B C A (W) and C W (A) = C V (A). Aus W/C W (A) A/C A (W) folgt mit ( ) B W B A/C A (W) C W (A) = Also ist A Offender. B C A (W) A C V (A) A C V (A). Folgerung 3.8. Sei A M. Genau dann ist A Offender auf V, wenn A Offender auf jedem A-Untermodul ist. Definition 3.9. Sei A M. Dann heißt A dualer Offender auf V, falls [V,A] A/C A (V ). stark dualer Offender auf V, falls A auf V nilpotent operiert und [V,A] = [v,a] für alle v V \ C V (A); starker Offender auf V, falls A Offender auf V ist und C V (A) = C V (a) für alle a A \ C A (V ); Überoffender auf V, falls A/C A (V ) > V/C V (A). Lemma 3.10. Sei A M minimaler Offender auf V und W ein A- Untermodul von V. Dann gilt einer der folgenden Fälle: (a) A ist Überoffender auf W. (b) [W,A] = 0. (c) C A (W) = 1 und V = W + C V (A). 18

Beweis. Wir können [W,A] 0 annehmen. Gemäß 3.8 ist A Offender auf W. Angenommen A ist kein Überoffender auf W. Dann ist A/C A (W) = W/C W (A) und V/C V (A)+W = V/C V (A) W/C W (A) 1 A A/C A (W) 1 = C A (W). Ist C A (W) C A (V ), so enthält C A (W) nach 3.6(b) einen nichtrivialen Offender A auf V. Aber dann ist A C A (V ) = A, also [W,A] = 0, ein Widerspruch. Ist C A (W) = C A (V ), so folgt A/C A (V ) = W/C W (A) = W + C V (A)/C V (A) V/C V (A) A/C A (V ), also W + C V (A) = V. Lemma 3.11. Sei A M ein starker Offender auf V. Dann ist A ein quadratischer Offender auf V. Lemma 3.12. Sei A M, A operiere nilpotent auf V. Dann sind äquivalent: (a) A ist stark dualer Ofender auf V. (b) Seien 0 U Y V A-Untermoduln mit [Y/U,A] = 0. Dann gilt [V,A] U oder Y C V (A). (c) A ist ein stark dualer Offender auf V. Beweis. (a) (b): Seiein U und Y wie in (b). Angenommen Y C V (A). Sei y Y \ C V (A). Dann ist [v,a] = [V,A] [Y,A] U, und (b) folgt. (b) (a): Sei als erstes Y := [V,A] und U := [V,A,A]. Dann ist U Y wegen der nilpotente Operation von A auf V, also wegen (b) ( ) [V,A] C V (A). Sei v V \ C V (A), und sei nun Y := v A und U := [v,a]. Dann ist Y und wegen ( ) auch U ein A-Untermodul, und es gilt U Y und [Y/U,A] = 0. Aus (b) folgt [V,A] U = [v,a], und (a) gilt. Man beachte, daß Aussage (b) genau dann gilt, wenn die entsprechende Aussage in V gilt. Dies sieht man zum Beispiel, wenn man jeden Unterraum 19

von V auf seinen Senkrechtraum in V abbildet. Aus U Y wird Y U und [Y,A] U impliziert [U,A] Y ; und aus [V,A] U oder Y C V (A) wird U [V,A] = C V (A) oder [V,A) = C V (A) Y. Die entsprechende Aussage für V ist aber mit obigem Argument (aber V an Stelle von V ) äquivalent zu Aussage (c). Lemma 3.13. Sei A M ein stark dualer Offender auf V. Dann gilt: (a) A ist quadratisch auf V. (b) A ist ein stark dualer Offender auf jedem A-Untermodul von V und V. (c) A ist Offender auf V und auf V. (d) Ist [V,A] = A, so ist A ein starker Offender auf V. Beweis. Wegen 3.12 ist A auch stark dualer Offender aufeigen. V. Deshalb gen gt es, die Behauptungen für V zu (a): Da A nilpotent auf V operiert, existiert ein v V \ C V (A) mit [v,a] C V (A). Nach Definition von stark dual gilt dann [V,A] = [v,a] C V (A), und A operiert quadratisch auf V. (b): Dies folgt direkt aus der Definition von stark dual. (c): Sei v V \ C V (A). Da A quadratisch auf V operiert, gilt [v,a] = {[v,a] a A}, also ( ) [V,A] = [v,a] = A/C A (v) A. Aus 2.2 folgt V /C V (A) A, d.h. A ist schwacher Offender auf V. Wegen (b) gilt dies auch für jeden A-Untermodul von V. Nach 3.7 ist A ein Offender auf V, also mit einem symmetrischen Argument auch auf V. (d): Sei [V,A] = A. Wegen ( ) gilt A A/C A (v) A für jedes v V \ C V (A), also C A (v) = 1 und deshalb C V (a) = C V (A) für alle a A. Lemma 3.14. Sei L M ein p -Normalteiler und B ein Offender auf V mit [L,B] C M (V ). Dann ist p = 2 oder 3 und [L,A]/C [L,A] (V ) eine 3- bzw. 2-Gruppe. 20

Beweis. Wir können annehmen, daß L treu auf V operiert. Wegen der teilerfremden Operation von A auf L, existiert zu jedem Primteiler q von L eine A-invariante q-sylowuntergruppe von L. Deshalb können wir auch annehmen, daß L eine q-gruppe ist und L = [L,A] gilt. Wegen der teilerfremden Operation ist dann L = C L (B) a A/B = p. und es existiert eine Hyperebene B A mit L 0 := [C L (B),A] 1. Sei V 0 = C V (B). Wegen des P Q-Lemmas operiert L 0 treu auf C V (B), und nach 3.8 ist A Offender auf C V (B). Deshalb könnnen wir auch B = 1 und A = p annehmen. Dann existiert ein x L mit A x A. Sei H := A,A x. Dann ist V/C V (H) = p 2, also N/C H (V ) = SL 2 (p). Daraus folgt p = 2 und q = 3 oder p = 3 und q = 2, denn nur für p = 2 und 3 besitzt H einen nichtzetralen p -Normalteiler. Satz 3.15. (Timmesfeld Replacement Theorem) Sei A ein Offender auf V. Dann ist auch A := C A ([V,A]) ein Offender auf V und C V (A ) = [V,A]C V (A). Außerdem ist [V,A ] 0 falls [V,A] 0. Beweis. Siehe zum Beispiel [KS, 9.2.3]. 3.2 Quadratische Moduln In diesem Abschnitt ist A M eine Untergruppe, die quadratiscch auf V operiert. Lemma 3.16. A/C A (V ) ist eine elementar abelsche p-gruppe. Proof. Seien a,b A und v V. Dann ist [v,a,b] = [v,b,a] = 0 aund mit dem Drei-Untergruppen-Lemma auch [a,b,v] = 0. Dies zeigt, daß A/C A (V ) abelsch ist. Eine einfache Rechnung, die nur [v,a,a] = 0 benutzt, zeigt [v,a k ] = k[a,v] für k Z. Insbesondere ist a p C A (V ), da K Charakteristik p hat. Lemma 3.17. Sei L M mit [V,O p (L)] 0. Dann existiert ein quasieinfacher L-Untermodul in V. 21

Beweis. Wähle den L-modul W V minimal mit [W,O p (L)] 0. Dann ist W quasieinfach. Lemma 3.18. Sei L M, W ein quasieinfacher L-Untermodul von V mit O p (L/C L (W)) = 1 und W := W/C W (O p (L)). Dann ist C M (W) = C M (W). Beweis. Man beachte, daß C L (W) O p (L) quadratisch auf W operiert. Wegen 3.16 und O p (L/C L (W)) = 1 ist dann C L (W) O p (L) C L (W). Aber dann ist erneut wegen O p (L/C L (W)) = 1 auch C L (W) C L (W). Nun ist [C H (W),L] C L (W) C L (W). Außerdem ist [W,C M (W)] C V (O p (L)). Daraus folgt [C H (W),O p (L),W] = [W,C H (W),O p (L)] = 0 und mit dem Drei-Untergruppen Lemma [W,C H (W)] = [W,O p (L),C H (W)] = 0. Lemma 3.19. Sei L M und W ein quasieinfacher L-Untermodul von V mit O p (L/C L (W)) = 1. Sei A N M (W) und [L,A] C M (W). Dann gilt für U := W A, U := U/C U (L) und jedes a A \ C A (W): (a) [U,N A (W)] = 0. (b) U = W + W a und C U (O p (L)) = C W (O p (L)) + C W a(o p (L)). (c) U = W W a = W [U,a], wobei W = W/C W (O p (L)). (d) C U (a) = C U (A) = [U,A] = [U,a]. (e) A/C A (U) < U/C U (A). (f) p = 2. Beweis. (a): Wähle c N A (W). Angenommen [W,c] 0. Nach 3.18 ist [W,c] C W (L). Insbesondere ergibt die quadratische Operation von A [W,c] W W a C W (O p (L)) for every a A. Da W W a ein L-Untermodul und W/C W (O p (L)) einfach ist, gilt W = W a für alle a A. Aber dies widerspricht der Voraussetzung A N M (W). Dieser Widerspruch zeigt [W,N A (W)] = 0, und daraus folgt (a). (b): Wähle b A mit [L,b] C L (W). Es ist O p (L/C L (W)) = 1, d.h. O p ([L,b]) C M (W) und wegen 3.18 dann auch O p ([L,b]) C M (W/C W (O p (L))). 22

Mit (a) folgt b N A (W). Sei U b := W + W b. Dann ist [W,b] U b und U b = W + [W,b] = W b + [W,b] = W + C Ub (A). Der Fall U = U b : Dann ist U = W W b, wobei W = W/C W (O p (L)). Insbesondere ist C U (O p (L)) = C W (O p (L)) + C W b(o p (L)). Sei a A \ C A (W). Wegen (a) gilt W a W und deshalb U = W W a. Daraus folgt U = W + W a and C U (O p (L)) = C W (O p (L)) + C W a(o p (L)), also (b). Der Fall U U b : Dann existiert ein x A mit D := U b U x b U b. Die quadratische Operation von A ergibt [U b,b] = [W + C Ub (A),b] = [W,b] D. Insbesondere ist D ein L b -Untermodul. Ist W oder W b in D, so folgt U x b = U b, ein Widerspruch. Also ist W D C W (O p (L)). Daraus folgt U b = W D und [W,b] D. Aber dann ist [W,O p ([L,b])] W D = 0, ein Widerspruch zu C L (W) = C L (W) und [W,O p ([L,b])] 0. (c): Dies folgt direkt aus (b) und der Einfachheit von W/C W (O p (L)). (d): Aus (c) folgt W C U (a) = 0. Die quadratische Operation von A ergibt C U (a) = [U,a]. Aus [U,a] [U,A] C U (A) C U (a), folgt (d). (e): Wegen (c) gilt C A (W) = C A (W) = C A (U). Wieder wegen (c) existieren dann genau A/C A (W) A-Konjugierte von W in U, und je zwei dieser Konjugierten haben trivialen Durchschnitt. Angenommen A/C A (U) U/C U (A). Dann gibt es wegen (c) und (d) mindestens W solche Konjugierte. D.h. diese Konjugierte zusammen mit [U,A] sind eine Partition von U. Aber dann wird [U,A] von LA normalisiert. Die quadratische Operation von A ergibt [U,A,[L,A]] = 0. Nach (c) ist dann [U,[L,A]] W W a = 0. Nun ergibt 3.18 gives [L,A] C L (W), ein Widerspruch. (f): Wähle w W und b wie im Beweis von (b). Aus der quadratischen Operation von b folgt w + w b = ( w + w b ) b = w b + w b2 und 2w b = w + w b2. Wegen [L,b] C L (W) existiert ein y L mit [b,y] C L (W). Aus obiger Gleichung folgt nun 2(w y ) b = w y + (w y ) b2 = (2w b ) yb = (w + w b2 ) yb = w yb + (w b2 ) yb. 23

Dies ergibt w yb + w y = (w y ) b2 + (w b2 ) yb W W b2. Ist W = W b2, so ist p = 2 denn b N A (W) = C A (W), und (c) gilt. Ist W W b2, dann ist W W b2 C W (L) und w y + C W (L) = w yb + C W (L) für w W. Aber dies ergibt [b,y] C L (W/C W (L)) = C L (W), ein Widerspruch. Lemma 3.20. Sei L M und L/C L (V ) eine abelsche p -Gruppe. Dann ist p = 2 oder [L,A] C L (V ). Beweis. Wir können p 2, M = LA und C M (V ) = 1 annehmen. Sei außerdem noch L und V ein minimales Gegenbeispiel. Dann ist L eine q- Gruppe für eine Primzahl q p, A = a mit [L,a] 1. Ein elementaren Ergebnis über teilerfremde Operation (Satz von Maschke) zeigt, daß V direkte Summe von einfachen L-Untermoduln ist, und wegen der Minimalität von V ist C V (L) = 0. Nach 3.19(f) ist jeder dieser Untermoduln A-invariant, also V einfach, wieder wegen der Minimalität von V. Sei F := C End(V ) (L). Dann ist F ein Körper und V ein FL-Modul. Da L abelsch ist, gilt L F (hier identifizieren wir L mit den von L auf V induzierten Endomorphismen). Also ist dim F V = 1. Nun induziert a einen nichttrivialen Automorphismn in F. Sei E = C F (a). Dann ist E F eine endliche Galois-Erweiterung (da F endlich ist) und F : E = A = p, also Andererseits folgt und damit p = 2, ein Widerspruch. dim V/C V (A) = F : E = p. F = V C V (A) 2 = E 2, Lemma 3.21. Sei K eine Komponente von M und sei A ein quadratischer schwacher Offender. Es gelte A N M (K) mit [K,A] C M (V ). Dann ist K/C K (V ) keine p -Gruppe, und A normalisiert jeden quasieinfachen K- Untermodul von V. Beweis. Sei W ein quasieinfacher K-Untermodul. Dann folgt aus 3.19(e) A N M (W). Wegen 3.14 ist außerdem K/C K (V ) keine p -Gruppe. 24

3.3 Der P(G, V )-Satz In diesem Kapitel beweisen wir den P(G, V )-Satz. Eine erste Version (nur für p = 2) wurde von Aschbacher bewiesen. Der erste Beweis für beliebiges p stammt von Chermak. Bei ihm ist der P(G,V )-Satz Korollar eines allgemeineren Satzes über quadratische operierende Gruppen. Im Gegensatz dazu zielt der hier wiedergegebene Beweis direkt auf den P(G,V )-Satz. Im Beweis werden einige elementare Eigenschaften von Komponenten benutzt, an die hier erinnert wird. Ein Subnormalteiler K von M heißt Komponente, falls K = [K,K] und K/Z(K) einfach ist. Für Komponenten K und E von M gilt: (1) C M (K) = C M (K/Z(K)). (2) Sei L M. Dann ist K L oder [K,L] = 1. (3) Sei N M und K N. Dann ist N M (KN) = N M (K). (4) [K,E] = 1 falls K E. Satz 3.22. (P(G, V )-Satz) Sei A M ein Offender auf V und K eine Komponente von M mit [V, K] 0. Dann ist K A-invariant. Beweis. Wir benutzen folgende Bezeichnungen: L := K A, A 0 := N A (K), V 0 := C V (K), V := V/V 0 und beweisen die Bauptung mittels Induktion nach M + V + A. Sei M in diesem Sinn ein minimales Gegenbeispiel. Dann ist M = LA. 1. V ist ein treuer M-Modul. Insbesondere ist A elementar abelsche p-gruppe. Die Voraussetzungen vererben sich auf M/C M (V ). Deshalb ist nach Induktion KC M (V ) A-invariant. Aus K C M (V ) M folgt A N M (K). Aber dann ist M kein Gegenbeispiel. 2. O p (M) = 1; insbesondere ist C A (L) = C A (K) = 1. 25

Offensichtlich ist C A (L) = C A (K), da L := K A und A abelsch ist. Außerdem ist C A (L) O p (M), da M = LA. Es bleibt O p (M) = 1 zu zeigen. Sei O p (M) 1 und W := C V (O p (M)), also W < V wegen (1 ). Es gilt [K,O p (M)] = 1 und mit dem P Q-Lemma C K (W) Z(K), insbesondere ist K C M (W). Wegen 3.8 ist A Offender auf W. Aus der Minimalität von V folgt, daß K A-invariant ist, ein Widerspruch. 3. L = [L,B] für alle 1 B A. Sei B A und L [L,B]. Dann existiert eine Komponente K von M, die von B zentralisiert wird. Da A abelsch ist und jede Komponente unter A zu K konjugiert ist, folgt B C A (K), also wegen (2 ) B = 1. 4. Sei 1 B A mit [V,B,A] = 0. Dann existiert ein quasieinfacher K-Untermodul W mit B N M (W). Angenommen, B normalisiert jeden quasieinfachen K-Untermodul von V. Sei W ein solcher Untermodul. Dann normalisiert B auch W x für x L, also ist B L N M (W). Insbesondere ist wegen (3 ) L = [L,B] N M (W). Aber dann ist [L,B] C M (W) und damit [W,B] C W (K). Andererseits ist [W,B] C W (A) W W a für alle a A. Da W W a ein L-Untermodul ist, folgt W = W a für alle a A, d.h. W ist ein M-Modul. Da W/C W (K) einfach ist, folgt mit Abschnitt 2.2 [W, K] C W (K) und dann mit 3.18 [W, K] = 0 für jede Komponente K K. Da die Komponenten unter A konjugiert sind, ist K einzige Komponente von M und A N M (K), ein Widerspruch. 5. Sei 1 B A 0 mit [V,B,A] = 0. Dann ist B kein schwacher Offender auf V. Nach (4 ) existiert ein quasieinfacher K-Module W mit B N M (W). Es ist O p (K/C K (W)) = 1, denn wegen (2 ) ist Z(K) eine p -Gruppe. Außerdem folgt aus (3 ) L = [L,B] und deshalb [K,B] C M (W). Damit erfüllen K und W die Voraussetzungen von 3.19, und aus 3.19(e) folgt, daß B kein schwacher Offender auf V ist. 6. A ist minimaler quadratischer Offender auf V. 26

Mit dem Timmesfeld Replacement Theorem 3.15 existiert in A ein nichttrivialer Offender B mit [V,B,A] = 0. Angenommen B A. Dann ist B kein Gegenbeispiel, also B A 0. Dies widerspricht (5 ). Deshalb ist A = B und A quadratischer Offender. Nun folgt erneut mit (5 ) und Induktion, daß A minimaler Offender ist. 7. p = 2, A/A 0 = 2 und A 4. Es existiert B A mit B = p und B N M (K). Dann ist K B = p. Da K/Z(K) keine p-gruppe ist, existiert eine Primzahl q p und mit dem Satz von Cauchy eine abelsche q-untergruppe Q K mit Q Z(K). Sei Q := Q B. Dann ist Q abelsch, da sich zwei verschiedene Konjugierte von K zentralisieren. Außerdem ist [Q,B] 1. Deshalb folgt mit 3.20 p = 2. Sei L 0 := K B und E := C L0 (B). Dann ist E Komponente von C L (B) und nach Induktion A N M (E). Insbesondere ist dann auch L = L 0 und damit A/A 0 = 2. Angenommen A = 2. Dann ist V/C V (A) = 2. Nach dem p a q b -Satz von Burnside existiert ein Primteiler q von K/Z(K) mit q {2,3}. Sei Q wie oben und x Q mit A A x und D := A,A x. Dann ist V/C V (D) 4 und D ispmorph zu einer Untergruppe von SL 2 (2). Aber dann ist D Q = 3, was q 3 widerspricht. Im folgenden ist gemäß (7 ) A = A 0 a, also L = KK a. 8. V/C V (A) = A und C V (A) = C V (B) für alle B A mit A/B = 2. Sei A/B = 2. Angenommen, B ist ein schwacher Offender auf V. Wegen (7 ) ist B nichttrivial. Aber dann enthält B wegen 3.6(b) einen nichttrivialen Offender auf V, was (6 ) widerspricht. Wir haben gezeigt, daß B kein schwacher Offender ist. Daraus folgt V/C V (A) = A und also C V (B) = C V (A). 9. V 0 = 0. A = V/C V (A) V/C V (B) > B = 1 2 A. Sei V 0 0 und U := V 0 +V a 0. Sei als erstes U = V 0. Dann gilt [V 0,L] = 0, und V ist ein M-Modul. Es ist [C A (V ),L] C L (V ) Z(L), 27

also wegen L = L schon [C A (V ),L] = 1 und dann wegen (2 ) C A (V ) = 1. Damit ist A ein quadratischer schwacher Offender auf V. Nach 3.6(b) existiert dann ein nichtrivialer Offender B A auf V, und nach Induktion gilt B N M (K). Insbesondere normalisiert B nach 3.19(e) jeden einfachen K-Untermodul von V. Andererseits existiert nach (4 ) ein quasieinfacher K-Untermodul W V mit B N M (W). Da W einfacher K-Modul ist, folgt B N M (W + V 0 ). Aber dann normalisiert B auch [W + V 0,K] = W, ein Widerspruch. Sei als nächstes U V 0 < V. Dann ist A nichttrivialer Offender auf auf U und nach Induktion A N M (K), ein Widerspruch. Sei als letztes U = V. Es ist U = V 0 + [V 0,a] = V 0 + C U (A 0 ) und damit wegen A 0 1 und (3 ) [U,L] V 0, also [U,K] = 0, was U V 0 widerspricht. 10. Es existiert ein einfacher K-Untermodul W mit V = W W b für 1 b A 0. Insbesondere ist C V (b) = C V (A) = [V,b] für 1 b A 0. Angenommen, A 0 normalisiert jeden einfachen K-Untermodul. Dann normalisiert auch A L 0 einen jeden solchen Untermodul,, also insbesondere wegen (3 ) auch L. Aber zentralisiert K a jeden solchen Untermodul, was (9 ) widerspricht. Also existiert ein einfacher K-Untermodul W und ein b A 0 mit U := W W b W. Nach 3.19 ist dann U = W W c für alle 1 c A 0 und U/C U (A 0 ) > A 0. Mit (8 ) folgt U/C U (A 0 ) = U/C U (A) = A und V = U + C V (A). Insbesondere ist U = [V,K] und wegen (9 ) auch U = [V,K a ], also U = [V,L]. Aber dann ist U M-invariant und mit Induktion U = V. Der Zusatz folgt wegen V = W [W,b] und der quadratischen Operation von A 0. 11. K/Z(K) ist keine p -Gruppe. Angenommen, K/Z(K) ist eine p -Gruppe. Dann ist mit dem p-komplementsatz von Burnside auch K und damit auch L eine p -Gruppe. Dies widerspricht 3.14. 12. Sei 1 T C L (K) eine p-untergruppe, die von A 0 normalisiert wird, und W := C V (T). Dann ist W = C V (t) = [V,T] = W als K-Modul, 1 t T, und C fw (A 0 ) = [ W,A 0 ], C fw (A 0 ) = A 0 und W/C fw (A 0 ) = 2. Es ist W 0 und A 0 K N M ( W). Nun zeigt (10 ), daß W als K-Modul isomorph zu W ist. Da auch V/ W ein einfacher K-Modul ist, gilt außerdem W := C V (t) = [V,T]. 28

Sei w W \ C fw (A 0 ). Dann ist wieder wegen (10 ) [ w,a 0 ] = A 0 und wegen (8 ) und (10 ) W = W = A = 2 A 0 = 2 [ w,a 0 ], also W/[ w,a 0 ] 2 und wegen [ w,a 0 ] C fw (A 0 ) < W dann auch 13. Der Widerspruch. [ W,A 0 ] = C fw (A 0 ). Sei T eine A 0 -invariante 2-Sylowuntergruppe von K a. Dann ist [K,T] = 1 und nach (11 ) T 1. Sei W := C V (T). Dann folgt mit (12 ) ( ) [V,T] = W, W/C fw (A 0 ) = 2 und C fw (A 0 ) = A 0. Sei H := KA 0 := KA 0 /C KA0 ( W). Dann ist O p (KA 0 ) = 1, da W ein einfacher K-Modul ist. Außerdem ist [C KA0 ( W),K] = 1 und deshalb wegen (2 ) auch C A0 ( W) = 1. Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 2.3 und W an Stelle von V ist dann A 0 = L(C fw (A 0 )). Aus 2.6 folgt deshalb KA 0 = SL F2 ( W). Andererseits erhält man aus ( ) zusammen mit (1 ), daß T elementar abelsch ist. Also sind auch die 2-Sylowuntergruppen von K elementar abelsch. Damit ist dim F2 W = 2 und H = SL2 (2). Im Widerspruch dazu ist K nicht auflösbar. 29

Literatur [KS] H. Kurzweil, B. Stellmacher, Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer-Verlag, Berlin, (1998) 341pp 30