Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 2 Lineare Gleichungssysteme Lernziele dieses Abschnitts sind: Begrie: Matrix, Vektor spezielle Matrix, transponierte Matrix, inverse Matrix nur fur quadratische Matrizen erklart, Determinante, 2 Rechnen mit Matrizen: Addition, Subtraktion von Matrizen, Multiplikation mit Skalaren reelle bzw komplexe Zahlen, Matrizenmultiplikation, 3 Rechenregeln man beachte, dass A B B A ist!, 4 Gau-Algorithmus, Gau-Jordan-Algorithmus, 5 Losbarkeitsentscheidung aus " Trapezform\ Endzustand\ des " Gau- bzw Gau-Jordan-Algorithmus, 6 Berechnung der inversen Matrix mittels Gau-Jordan-Algorithmus, 7 Berechnung von Determinanten: Rechenregeln f ur Determinanten, Entwicklungssatz, 8 Determinantenkriterium fur die Invertierbarkeit von quadratischen Matrizen, 9 Cramersche Regel zur Losung linearer Gleichungssysteme Was ist eine Matrix? Matrizen und Gleichungssysteme Definition 2 Eine Matrix vom Typ m n oder eine m n-matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A a m a m2 a mn Die Zahlen a ij R heien Komponenten oder Elemente der Matrix A Man schreibt abkurzend: A a ij m i, n j a ij m n 23

24 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Die m -Matrizen bzw n-matrizen werden Spaltenmatrizen oder Spaltenvektoren bzw Zeilenmatrizen oder Zeilenvektoren genannt, sie haben die Form a a 2 s bzw z a a 2 a n a m Die Matrix A a ij m n besteht aus m Zeilenvektoren mit je n Komponenten z i : a i a i2 a in, i m, bzw aus n Spaltenvektoren mit je m Komponenten a j a 2j s j :, j n a mj Je nachdem, ob wir die Zeilen oder die Spalten von A hervorheben wollen, schreiben wir z z 2 A Zeilendarstellung bzw z m A s s 2 s n Spaltendarstellung Die Matrix, deren Komponenten alle gleich Null sind, heit Nullmatrix O Definition 22 Zwei Matrizen A a ij und B b ij heien gleich man schreibt dafur A B, wenn sie vom gleichen Typ m n sind und fur ihre Komponenten gilt a ij b ij fur alle i m, j n 2 Spezielle Matrizen Wir benotigen noch weitere spezielle Matrizen, wir kennen bereits die Nullmatrix O, deren Elemente alle Null sind und die Einheitsmatrix E n Die quadratische Matrix 0 0 0 0 0 0 0

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 25 auf deren Hauptdiagonale Einsen stehen und alle anderen Elemente Null sind heit Einheitsmatrix oder n n-einheitsmatrix wenn der Typ von Bedeutung ist und wird mit E bzw E n bezeichnet Es sei A eine quadratische Matrix vom Typ n n : a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A, a n a n2 a nn dann heit die Menge der Elemente {a ii } n i Hauptdiagonale von A und die Menge der Elemente {a jn+ j } n j Nebendiagonale von A Die Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn von Null verschiedene Elemente nur auf bzw uber der Hauptdiagonale stehen, dh a ij 0 fur i > j Dagegen ist A eine untere Dreiecksmatix, wenn von Null verschiedene Elemente nur auf bzw unterhalb der Hauptdiagonale stehen, dh a ij 0 fur i < j Man kann noch starker unterteilen, indem man nicht nur von unterer/oberer Dreiecksmatrix sondern von rechter/linker unterer/oberer Dreiecksmatrix spricht Eine Matrix, wo nur auf der Hauptdiagonale von Null verschiedene Elemente stehen, heit DiagonalmatrixGraphisch kann man das wie folgt veranschaulichen: Hauptdiagonale Nebendiagonale Hauptdiagonale Oberes Dreieck Hauptdiagonale Hauptdiagonale Unteres Dreieck Obere Dreiecksmatrix Untere Dreiecksmatrix Diagonalmatrix Auch bei einer " rechteckigen\ Matrix A vom Typ m n wollen wir gelegentlich von einer oberen Dreiecksmatrix sprechen, was bedeutet, dass alle Elemente a ij 0 fur i > j sind

26 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar Definition 23 Fur Matrizen A a ij und B b ij gleichen Typs m n und jede Zahl λ R ist die Summe A + B und das λ-fache von A komponentenweise deniert: A + B a ij + b ij m n und λa λa ij m n Die Dierenz zweier Matrizen gleichen Typs ist deniert als A B A + B a ij b ij m n Hieraus folgen die Rechenregeln: Fur beliebige Matrizen A, B, C gleichen Typs m n und beliebige reelle Zahlen λ, ν gilt: A + B B + A Kommutativitat, 2 A + B + C A + B + C Assoziativitat, 3 A + O A Nullelement, 4 A + A O, inverses Element der Addition, 5 λµa λµa, 6 A A 7 λ + µa λa + µa, 8 λa + B λa + λb

4 Matrizenmultiplikation MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 27 Definition 24 Das Produkt einer m n-matrix z z 2 A a ij m n Zeilendarstellung z m mit einer n r-matrix ist deniert durch B b ij n r s s 2 s r AB : z s z s 2 z s r z 2 s z 2 s 2 z 2 s r z m s z m s 2 z m s r wobei das Produkt z s eines Zeilenvektors z α α 2 α n mit einem Spaltenvektor gleicher Lange s β β 2 Spaltendarstellung, deniert ist durch: z s α α 2 α n β β 2 β n β n : α β + α 2 β 2 + + α n β n n α i β i i Beispiel 2 Matrizenmultiplikation Matrix A, vom Typ 3 3, Zeile 2 Zeile 3 Zeile 2 3 2 2 4 2 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 2 3 2 2 4 2

28 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Matrix B vom Typ 3 2, 2 2 2 3 Dann ist A B C eine Matrix vom Typ 3 2 und wird wie folgt berechnet: 2 3 2 + 2 2 + 3 3 2 + 2 2 + 3 4 9 2 2 2 2 2 + 2 + 2 3 2 2 + 2 + 2 0 8 4 3 4 + 2 + 3 4 2 + 2 + 8 0 2 2 2 Man kann das ganze auch in einem Schema darstellen: den Typ der Matrix C sofort: 2 3 2 2 4 2 2 2 2 3 4 9 0 8 8 0 A B C, hier sieht man Bemerkung 2 Man beachte, dass das Produkt " Zeile mal Spalte\ eine Zahl ist 2 Das Produkt AB zweier Matrizen ist nur dann erklart, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist 3 Auf diese Weise stellt A x b tatsachlich das lineare Gleichungssystem 4siehe spater dar Fur die Multiplikation von Matrizen gelten die folgenden Rechenregeln: Fur beliebige m n-matrizen A, A, A 2, n r-matrizen B, B, B 2 und r s-matrix C gilt: A + A 2 B A B + A 2 B, AB + B 2 AB + AB 2, Distributivgesetze, 2 αab α AB Aα B, α R, 3 ABC ABC, Assoziativitat der Matrizenmultiplikation, 4 E m A AE n A 5 Aber im Allgemeinen ist AB BA

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 29 Beispiel 22 Es sei A 2 0 und B 0 2 3 dann gilt A B 2 0 0 2 3 5 6 2 3 2 2 7 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 0 2 3 2 0 B A Definition 25 Ein lineares Gleichungssystem mit m linearen Gleichungen und n unbekannten x, x 2, x n hat die Form a x + a 2 x 2 + + a n x n b, a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2, a m x + a m2 x 2 + + a mn x n b m, mit den Koezienten a ij R und den Absolutgliedern b i R 4 Hierfur schreibt man A x b mit der Koezientenmatrix A a ij m n, dem unbekannten Spaltenvektor x und dem Spaltenvektor der rechten Seite b Das lineare Gleichungssystem heit homogen, wenn b O gilt, andernfalls heit es inhomogen Beispiel 23 In einem Netzwerk mit bekannten Widerstanden R i Ω, i, 2, 3, 4, 5, gilt nach den bekannten Kirchhoschen Gesetzen fur die folgende Schaltung I 2 I R 2 R 3 R 4 I 4 I I 5 R I 3 R 5 I

30 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Daraus ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem: mit der Koezientenmatrix I + I 2 I I 2 I 3 I 4 0 I + I 3 I 5 0 I 4 + I 5 I R I + R 2 I 2 + R 3 I 3 0 R 3 I 3 + R 4 I 4 R 5 I 5 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R R 2 R 3 0 0 0 0 R 3 R 4 R 5 Es zeigt sich, dass die 4 Gleichung redundant ist und deshalb weggelassen werden kann Beispiel 24 Die Bewegung eines Massenpunktes P in einem kartesischen Koordinatensystem sei durch den Geschwindigkeitsvektor ẋ, ẏ, ż in Abhangigkeit von den Ortskoordinaten gegeben: ẋt 2xt + 3yt zt ẏt xt + yt żt 3xt + 5yt + 7zt Diejenigen Punkte, in denen die Geschwindigkeit ẋ v, ẏ v 2, ż v 3 erreicht, wird errechnet aus 2 3 x v 0 y v 2 3 5 7 z v 3 Definition 26 Ein Spaltenvektor c c c 2 heit Losung des Gleichungssystems 4 bzw von A x b, wenn fur x i c i, i,, n, die m Gleichungen in 4 bzw { was dasselbe ist { A c b gilt c n

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 3 Haug wird eine Losung in der Form x c, x 2 c 2,, x n c n angegeben Handelt es sich um ein Gleichungssystem mit nur 2 oder 3 Unbekannten so schreibt man statt x, x 2, x 3 auch oft x, y, z Ein homogenes Gleichungssystem A x O besitzt stets mindestens eine Losung, namlich die triviale Losung bzw Nulllosung x x 2 x n 0 Nicht jedes Gleichungssystem ist losbar Im Allgemeinen treten folgende Falle auf: Das Gleichungssystem besitzt keine Losung Beispiel 25 2x + y 3, 4x + 2y 2 Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert Die Losung des Gleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkte der Geraden Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber parallel und sie schneiden sich folglich nicht Somit ist das Gleichungssystem nicht losbar 2 Das Gleichungssystem besitzt genau eine Losung Beispiel 26 x + 3y 9, 2x + y 4 Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert Die Losung des Gleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkte der Geraden Im vorliegenden Fall schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt Somit hat das Gleichungssystem die Losung x 3 und y 2 3 Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Losungen Beispiel 27 4x 2y 6, 2x + y 3 Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert Die Losung des Gleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkte der Geraden Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber identisch und damit ist jeder Punkt der Geraden Losung Somit besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Losungen

32 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Eine weitere Frage ist, ob es " gunstige\ Darstellungen von Gleichungssystemen gibt Beispiel 28 Wie man leicht nachrechnet hat das Gleichungssystem x + 3y 9, 2x + y 4 die gleiche Losungsmenge wie das Gleichungssystem x + 3y 9, y 2 Dies fuhrt auf den Begri der Aquivalenz von linearen Gleichungssystemen: Definition 27 Zwei Gleichungssysteme A x b, und B x c heien aquivalent, wenn sie dieselbe Losungsmenge besitzen Insbesondere ergeben die folgenden Umformungen eine aquivalentes Gleichungssystem: Vertauschen zweier Gleichungen, 2 Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl α 0, 3 Addition bzw Subtraktion des Vielfachen einer Gleichung zu bzw von einer anderen, da diese Umformungen mit Umformungen gleichen Typs r uckgangig gemacht werden konnen Diese Umformungen werden ubersichtlicher, wenn sie an der sogenannten erweiterten Koezientenmatrix A b : a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b n ausgefuhrt werden Man erweitert die Koezientenmatrix A um die Absolutglieder rechte Seite und trennt sie durch einen senkrechten Strich von der Koezientenmatrix Die obigen Gleichungsumformungen entsprechen dann den elementaren Zeilenumformungen der erweiterten Koezientenmatrix A b : Vertauschen zweier Zeilen, 2 Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl α 0, 3 Addition bzw Subtraktion des Vielfachen einer Zeile zu bzw von einer anderen Folglich gilt:

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 33 Satz 2 Entsteht B c durch endlich viele elementare Zeilenumformungen, dann sind A x b und B x c aquivalent 6 Gauß-Algorithmus Ziel des nach C F Gau benannten Gauschen Algorithmus ist es, die erweiterte Koezientenmatrix durch aquivalente Umformungen in eine obere Dreiecksmatrix zu uberfuhren Es ist am einfachsten, den Algorithmus am Beispiel zu erlautern Dazu betrachten wir das Gleichungssystem x + x 2 + x 3 2, 2x + 3x 2 + x 3 3 x x 2 2x 3 6 Man hat 3 Moglichkeiten ein solches System in " Schemaform\ zu losen: Gleichungsform x + x 2 + x 3 2 2x + 3x 2 + x 3 3 x x 2 2x 3 6 Schritt: Wir vereinfachen unser Gleichungssystem dadurch, dass wir durch aquivalente Umformungen x aus der 2 und 3 Gleichung bzw Zeile eliminieren Wir behalten die Gleichung/Zeile bei und erzeugen neue 2 bzw 3 Gleichungen/Zeilen Die neue 2 Gleichung/Zeile entsteht durch Multiplikation der Gleichung/Zeile mit 2 und Addition des Ergebnisses zur 2 Gleichung/Zeile 2erster Gleichung/Zeile + zweite Gleichung/Zeile neue zweite Gleichung/Zeile Analog verfahren wir mit der 3 Gleichung/Zeile indem wir die erste Gleichung/Zeile mit durchmultiplizieren und das Ergebnis zur 3 Gleichung/Zeile addieren: x + x 2 + x 3 2 x 2 x 3 2x 2 3x 3 8 2 Schritt: Wir vereinfachen unser Gleichungssystem weiter indem durch aquivalente Umformungen x 2 aus der 3 Gleichung/Zeile eliminiert wird Wir behalten die Gleichung/Zeile und die 2 Gleichung/Zeile bei und erzeugen eine neue 3 Gleichung/Zeile indem das 2-fache der 2 Gleichung/Zeile zur 3 Gleichung/Zeile addieren:

34 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME x + x 2 + x 3 2 x 2 x 3 5x 3 0 Damit haben wir unser Gleichungssystem auf " Dreiecksgestalt\ gebracht und konnen daraus ablesen, dass x 3 2 ist Durch " Ruckwartseinsetzen\ erhalten wir auch x und x 2 Das konnen wir aber auch in diesem Schema machen indem wir nun " ruckwarts\ substituieren 2 In Tabellenform sieht das wie folgt aus x x 2 x 3 2 2 2 3 3 2 6 2 0 2 0 2 3 8 2 0 0 0 5 0 Man kann diese Tabelle noch weiter verkurzen: Die 3 Variante ist die Matrizenform: 2 2 3 3 2 6 2 z + z 2 z + z 3 x x 2 x 3 2 2 3 3 2 6 0 0 2 3 8 0 0 5 0 2 0 0 2 3 8 2 z 2 + z 3 2 0 0 0 5 0 Das Ergebnis kann weiter vereinfacht werden indem die 3 Gleichung/Zeile mit 5 durchmultipliziert wird

Gauß-Algorithmus Abfolge MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 35 Gau-Algorithmus Man bringe, wenn notig, durch Zeilenvertauschen ein von Null verschiedenes Element an die Spitze der ersten Spalte Pivot- Element 2 Ist das Pivot-Element ungleich, so multipliziere man die Zeile in der sich das Pivot-Element befindet mit pivot durch 3 Man erzeuge in der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, unter diesem Nullen indem man geeignete Vielfache der Zeile, die das Pivot-Element enthalt, zu allen anderen Zeilen addiert 4 Man behalte die Zeile, die das Pivot-Element enthalt und die Zeilen daruber und wende die Schritte, 2 und 3 auf die Restmatrix an Man kann nun das Ergebnis durch Ruckwartseinsetzen ausrechnen Ausgangspunkt ist das als " Dreiecksgestalt\ erhaltene Schema, x 3 kennen wir In Gleichungsform geht man wie folgt vor: Wir behalten die 3 Gleichung/Zeile bei und eliminieren x 3 aus der 2 Gleichung/Zeile und der Gleichung/Zeile x 3 Dies geschieht indem man die 3 Gleichung/Zeile zur 2 Gleichung/Zeile addiert bzw die 3 Gleichung/Zeile mit durchmultipliziert und das Ergebnis zur Gleichung/Zeile addiert: x + x 2 0 x 2 x 3 2 Nun behalten wir die 2 Gleichung/Zeile und die 3 Gleichung/Zeile bei und eliminieren aus der Gleichung/Zeile x 2 indem wir von der Gleichung/Zeile die 2 Gleichung/Zeile abziehen: x x 2 x 3 2

36 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Wir haben damit als Losung des Gleichungssystems x, x 2 und x 3 2 erhalten In Tabellenform sieht das wie folgt aus: und in Matrixform 2 0 0 0 2 x x 2 x 3 2 0 0 0 5 0 5 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 z 3 + z 2 z 3 + z 0 0 0 0 0 0 2 z 2 + z 0 0 0 0 0 0 2 Im nachsten Beispiel beantworten wir die Frage wie man am Gauschen Algorithmus sieht, dass das Gleichungssystem unlosbar ist Beispiel 29 Wir betrachten des Gleichungssystem x x 2 + 2x 3 3 2x 2x 2 + 5x 3 4 x + 2x 2 x 3 3 2x 2 + 2x 3 Wir formen zunachst aquivalent gema dem Gauschen Algorithmus um: Im ersten Schritt behalten wir die erste Zeile bei: 2 3 2 3 2 2 5 4 0 0 2 z 2 + 2 z 2 3 0 3 3 6 z 3 + z 0 2 2 0 2 2 Jetzt vertauschen wir die 2 und die 3 Zeile und dividieren anschlieend die neue 2 Zeile durch 3 und behalten nun diese Zeile bei: 2 3 2 3 0 3 3 6 0 2 z 2 z 3 0 0 2 z 3 2 0 0 2 0 2 2 0 2 2

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 37 Im nachsten Schritt addieren wir 2-fache der 2 Zeile zur 4 Zeile und behalten die 3 Zeile bei: 2 3 2 3 0 2 0 2 2 z 2 + z 4 0 0 2 4 z 3 + z 4 0 0 2 0 0 4 5 0 0 0 3 Jetzt sieht man an der letzten Zeile, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist Denn die letzte Zeile ausgeschrieben bedeutet nichts anderes als was nie erfullt werden kann 0x + 0x 2 + 0x 3 3 Als nachstes betrachten wir das folgende homogene Gleichungssystem Beispiel 20 x + 2x 2 5x 3 0 2x 3x 2 + 6x 3 0 Hier sind die aquivalenten Umformungen zunachst sehr einfach, wir behalten die Gleichung bei und addieren das 2-fache der ersten Gleichung zur 2 Gleichung, dh 2 5 0 2 3 6 0 2 z + z 2 2 5 0 0 4 0 Wir fuhren zusatzlich einen Schritt der Ruckwartselimination aus: 0 3 0 z + 2 z 2 0 4 0 Oensichtlich konnen wir nicht mehr eliminieren und oensichtlich gibt es mindestens eine Losung, namlich die triviale Losung Um uns einen Uberblick uber die Losungsmenge zu verschaen, schreiben wir die letzte Matrix wieder als Gleichungssystem auf: x + 3x 3 0 x 2 4x 3 0 oder andres ausgedruckt, sowohl x als auch x 2 konnen in Abhangigkeit von x 3 dargestellt werden: x 3x 3 x 2 4x 3 Setzt man nun x 3 r R, so sieht man, dass das Gleichungssystem unendlich viele Losungen besitzt: x 3r, x 2 4r, x 3 r, r R

38 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Oder anders geschrieben: x 3 4 r, r R Definition 28 Eine Matrix ist in Zeilenstufenform oder Dreiecksform\, " wenn Jede Zeile, die nur aus Nullen besteht, am unteren Ende der Matrix steht 2 Das erste, von Null verschiedene Element einer Zeile, eine ist Dieses Element sei " fuhrende Eins\ genannt 3 Die fuhrende Eins einer jeden Zeile nach der ersten Zeile bendet sich rechts von der fuhrenden Eins der vorherigen Zeile Graphisch sieht Matrix vom Typ m n in Zeilenstufenform wie folgt aus bedeutet eine beliebige reelle Zahl, die bei der Berechnung entsteht: * * * * * * * * 0 0 * * * * * * 0 0 0 0 * * * * 0 0 0 0 0 * * * 0 0 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r Zeilen m-r Zeilen Durch " Ruckwartssubstitution " bzw Ruckwartselimination erhalt man hieraus die Gau-Jordan-Normalform: 0 0 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r Zeilen m-r Zeilen

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 39 Definition 29 Eine Matrix ist in Gauss-Jordan-Normalform, wenn Jede Zeile, die nur aus Nullen besteht, am unteren Ende der Matrix steht 2 Das erste, von Null verschiedene Element einer Zeile, eine ist Dieses Element sei " fuhrende Eins\ genannt 3 Die fuhrende Eins einer jeden Zeile nach der ersten Zeile bendet sich rechts von der fuhrenden Eins der vorherigen Zeile 4 Alle anderen Elemente einer Spalte, die eine fuhrende Eins enthalt, sind Null 7 Gauß-Jordan-Algorithmus Es ist recht umstandlich den Gauss-Algorithmus zu verwenden, um eine Gauss-Jordan-Normalform zu erhalten, da zun achst die Eliminationsschritte ausgefuhrt werden und dann die Ruckwartselimination erfolgt Man kann diese beiden Teile auch zu einem Algorithmus { den wir Gauss-Jordan- Algorithmus nennen wollen { vereinen Beispiel 2 Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus: Wir betrachten das Gleichungssystem bzw in Matrixform 2x 3 2x 4 2 3x + 3x 2 3x 3 + 9x 4 2 4x + 4x 2 2x 3 + x 4 2 0 0 2 2 2 3 3 3 9 2 4 4 2 2 Schritt: Man bringe, wenn notig, durch Zeilenvertauschen ein von Null verschiedenes Element an die Spitze der ersten Spalte Dieses Element nennt man auch Pivotelement vom frz pivot Angelpunkt z z 2 3 3 3 9 2 0 0 2 2 2 4 4 2 2 2 Schritt: Wenn das Pivotelement ungleich ist, so multipliziere man die Zeile in der sich das Pivotelement bendet mit pivot durch: 3 z 3 4 0 0 2 2 2 4 4 2 2

40 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 Schritt: Man erzeuge in der Spalte in der sich das Pivotelement bendet uber und unter diesem Nullen indem man geeignete Vielfache der Zeile, die das Pivotelement enthalt, zu allen anderen Zeilen addiert 4 z + z 3 3 4 0 0 2 2 2 0 0 2 4 4 Schritt: Man behalte die Zeile, die das Pivotelement enthalt und alle Zeilen daruber bei und wende den und den 2 Schritt auf die Restmatrix an Dann wende man den 3 Schritt auf die gesamte Matrix an Man wiederhole den 4 Schritt bis die Gauss-Jordan-Normalform entstanden ist 3 4 0 0 2 2 2 3 4 4 z + z 0 0 3 z2 0 0 2 4 2 0 0 2 4 2 z 2 + z 3 z 2 + z 0 2 5 0 0 0 0 0 2 z 3 + z 2 2 z 3 + z 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2 Die Losung des Gleichungssystems ist damit x x x 4 2, x 3 3, x 2 t, x t, bzw 2 x 3 x 4 0 3 2 + t 0 0, t R Allgemein gilt: Die erweiterte Koezientenmatrix A b wird mittels Gauss- Jordan-Algorithmus in M d aquivalent umgeformt, mit M in Zeilenstufenform: d 0 d 2 0 0 0 d 3 0 0 0 0 0 0 d M d 4 5 0 0 0 0 0 0 d r 0 0 0 0 0 0 0 0 d r+ 0 0 0 0 0 0 0 0 d m

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 4 Satz 22 Sei A eine m n Matrix und b ein Spaltenvektor der Lange m Dann gilt: Lösbarkeitsentscheidung: Ist eine der Zahlen d r+,, d m von Null verschieden, so ist M x d nicht losbar, und damit ist auch das Ausgangsgleichungssystem A x b nicht losbar 2 Anzahl der freien Variablen: Ist A x b losbar, dann enthalt die allgemeine Losung n r freie Variable, dabei ist n die Anzahl der Unbekannten 3 Lösungsstruktur: Ist das System A x b losbar, dann lasst sich die allgemeine Losung in der Form v v 0 + u, darstellen Dabei ist v 0 eine spezielle Losung des inhomogenen Gleichungssystems und u die allgemeine Losung des zugeordneten homogenen Gleichungssystems Beweis: und 2 liest man aus 5 ab 3: Mit A u 0 und A v 0 b gilt A v 0 + u b, andererseits folgt aus A v b und A v0 b, dass die Dierenz u : v v 0 das homogene Gleichungssystem A x 0 lost # Anwendungen: Interpolation: Es sei eine Menge von Datenpunkten gegeben: x, y, x 2, y 2,, x n, y n Gesucht ist ein Polynom, dessen Graph durch die Datenpunkte verlauft Man zeigen, dass es ein eindeutig bestimmtes Polynom hochstens n Grades gibt, dessen Graph durch alle Datenpunkte verlauft: y a 0 + a x + a n 2 x n 2 + a n x n Die unbestimmten Koezienten a 0, a,, a n werden durch einsetzten der Datenpunkte bestimmt Beispiel 22 Datenpunkte: ; 6, 2; 3, 3; 2 Zu bestimmen ist ein Polynom 2Grades yx a 0 + a x + a 2 x 2 Wir erhalten folgendes Gleichungssystem: y 6 a 0 + a + a 2 y2 3 a 0 + 2a + 4a 2 y3 2 a 0 + 3a + 9a 2

42 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Losung des Gleichungssystems: 6 2 4 3 3 9 2 2 z3 z 2 z z 3 z 0 2 9 0 3 3 0 0 6 0 3 3 0 2 8 4 2 z 3 + z 3 z 3 + z 2 2 z 2 + z 3 z z 2 0 0 0 0 6 0 0 0 2 9 0 3 3 0 0 2 2 Losung des Gleichungssystems ist a, a 2 6, a 3, folglich verlauft die Parabel durch alle Datenpunkte 8 Transponierte Matrix yx 6x + x 2 Definition 20 Jeder m n Matrix A a ij m n zugeordnet ist die transponierte Matrix A T : a ji n m, deren i-te Zeile aus den Koezienten der i-ten Spalte von A besteht Aus den Spalten von A werden die Zeilen von A T und gleichzeitig werden dabei aus den Zeilen von A die Spalten von A T Beispiel 23 Sei A die folgende 4 3-Matrix α 0 2 4 β A α x 2, dann ist AT 0 β x eine 3 4-Matrix Dabei gelten die folgenden 2 α 0 α 4 x β 0 β 2 x Rechenregeln: A + B T A T + B T fur Matrizen m n-matrizen A und B, 2 αa T α A T fur alle Matrizen A und α R, 3 A T T A fur alle Matrizen A, 4 AB T B T A T, fur alle m n-matrizen A und n r-matrizen B

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 43 Beweis: bis 3 ergibt sich sofort Um 4 zu beweisen, beachte man, dass β α β 2 n z s α α 2 α n α 2 α k β k β β 2 β n st z T # β n k α n Definition 2 Eine n n Matrix A heit symmetrisch, wenn A A T gilt, sie heit schiefsymmetrisch, wenn A A T gilt Bemerkung 22 Jede symmetrische Matrix A A T a ij n n ist wegen a ij a ji symmetrisch zur Hauptdiagonalen der Matrix A Fur jede n n Matrix A, sind die Matrizen A + A T und AA T symmetrisch Dagegen ist die Matrix A A T schiefsymmetrisch 9 Invertierbare Matrizen In diesem Abschnitt betrachten wir quadratische n { n Matrizen Mit E bezeichnen wir stets die Einheitsmatrix E e ij n n, wenn i j, mit e ij 0, wenn i j Definition 22 Eine n n- Matrix A heit invertierbar, wenn es eine n n-matrix B gibt, so dass gilt AB BA E In diesem Fall ist die Matrix B eindeutig bestimmt, sie wird mit A bezeichnet dh B : A, und heit inverse Matrix oder die Inverse von A Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt, denn es gilt: Satz 23 Wenn es zur n n-matrix A zwei n n-matrizen B, C gibt mit BA AC E, dann ist A invertierbar und B C A Beweis: Es ist B BE BAC BAC EC C Also gilt AB AC E und BA CA E und es gibt zu A keine andere Matrix mit dieser Eigenschaft; dh es ist B A #

44 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Beispiel 24 Die Einheitsmatrix E EE ist invertierbar mit E E Fur A a c b d a, b, c, d R, mit ad bc 0 ist A ad bc d c b a Mit Hilfe des Gau-Jordan-Algorithmus kann man nun einen Algorithmus zur Berechnung inverser Matrizen angeben Es sei die n n-matrix in Zeilenform gegeben: A a a 2 a n und wir suchen die inverse Matrix B A in Spaltenform B b b2 bn Auerdem stellen wir die Einheitsmatrix E ebenfalls in Spaltenform dar: B e e 2 e n Dann ist AB E A b k a a 2 a n b k e k, k, 2,, n, dh die Spalten von A sind die Losungen des Gleichungssystems A x e k, k, 2,, n Zur Vereinfachung des Algorithmus kann man statt nur einen Vektor anzufugen und den Gau-Jordan-Algorithmus abzuarbeiten, sofort alle Spaltenvektoren der Einheitsmatrix anfugen, also die gesamte Einheitsmatrix anfugen Das ergibt folgenden Algorithmus:

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 45 Algorithmus zur Bestimmung der inversen Matrix: Es sei A eine n n-matrix Man fuge die n n Einheitsmatrix an die Matrix A an, dh man bilde die Matrix A E 2 Man erzeuge durch aquivalente Zeilenumformungen gema dem Gau-Jordan-Algorithmus die Gau-Jordan-Normalform der Matrix A E Ist die erzeugte Gau-Jordan-Normalform von der Gestalt E B, so ist B die zu A inverse Matrix Ist die erzeugte Gau-Jordan-Normalform nicht von der Gestalt E B, dh ist die Matrix der ersten n Zeilen und Spalten nicht die Einheitsmatrix, dann ist A nicht invertierbar Beispiel 25 Man untersuche, ob die Matrix 2 A 2 3 5 3 5 invertierbar ist Wir beginnen damit die Einheitsmatrix anzufugen und den Gau-Jordan-Algorithmus abzuarbeiten: 2 0 0 2 0 0 [A E] 2 3 5 0 0 z 2 + 2 z 0 2 0 3 5 0 0 z 3 + z 0 2 3 0 z 2 2 0 0 0 2 0 0 2 3 0 z + z 2 z 3 + 2 z 2 z + z 3 z 2 + z 3 0 3 0 0 2 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 5 3 0 0 3 2 Mit Hilfe des Gau-Jordan-Algorithmus kann auf der rechten Seite eine Einheitsmatrix erzeugt werden und damit existiert A und ist gleich 0 A 5 3 3 2

46 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Beispiel 26 Man uberprufe, ob die Matrix 5 A 2 7 2 4 invertierbar ist und gebe gegebenenfalls die inverse Matrix an Wir beginnen wiederum mit dem Gau-Jordan-Algorithmus: 5 0 0 5 0 0 A E 2 7 0 0 z 2 + z 0 2 0 2 4 0 0 z 3 + 2 z 0 3 6 2 0 0 3 2 0 z + z 2 0 2 0 z 3 + 3 z 2 0 0 0 5 3 In der letzten Zeile ist es unmoglich an der 3 Stelle eine " \ zu erzeugen, deshalb bricht der Algorithmus hier ab und die Matrix A ist nicht invertierbar Satz 24 Es sei A x b ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten Wenn die zu A inverse Matrix A existiert, ist die Losung des Gleichungssystems eindeutig bestimmt durch x A b Beweis: Wir beweisen zunachst, dass x A b eine Losung ist: A x AA b AA b E b b Folglich erfullt x A b das Gleichungssystem und ist damit eine Losung Wir zeigen nun die Eindeutigkeit: Es sei y eine Losung des Gleichungssystems, dh A y b, A A y A b, beide Seiten der Gleichung wurden mit der existierenden inversen Matrix A multipliziert A A y A b, die Matrizenmultiplikation ist transitiv E y A b, A A E y A b

Folglich gibt es nur diese eine Losung # MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 47 Rechenregeln fur das Invertieren von quadratischen Matrizen: Die Inverse einer invertierbaren n n-matrix A ist invertierbar; A A 2 Das Produkt AB zweier invertierbarer n n-matrizen ist invertierbar; AB B A 3 Die transponierte A T einer n n-matrix ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist In diesem Fall ist A T A T Beweis: zu : Die Denition der inversen Matrix besagt, dass es zur Matrix A eine Matrix B mit AB BA E gibt und diese eindeutig bestimmt ist, dh B A bzw AA A A E 6 Lesen wir diese Gleichung nun bezogen auf A, so steht da, dass es eine Matrix gibt, die von rechts und von links mit A multipliziert gerade die Einheitsmatrix ergibt, also ist diese Matrix gerade die inverse Matrix zu A und die Gleichung 6 besagt gerade, dass A A ist zu 2: Wie man leicht sieht gilt: und auch B A AB B A AB B EB B B E ABB A ABB A AEA AA E Nach der Denition der inversen Matrix ist damit AB B A zu 3: Wir haben nachzuweisen, dass falls A invertierbar ist, dann ist auch A T invertierbar und umgekehrt Auerdem haben wir zu zeigen, dass dann A T A T gilt Wir nehmen daehalb zunachst an, dass A invertierbar ist und die inverse

48 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Matrix ist A, dh AA A A E transponieren AA T A A T E T A T A T A T A T E dh auch A T ist invertierbar und A T A T Nehmen wir nun an, dass A T invertierbar ist, dh A T A T A T A T E transponieren A T A T T A T A T T E T A T T A A A T T E Folglich ist A invertierbar und es gilt A A T T # A T A T Anwendungsbeispiel: Beispiel 27 Kryptographie: Unter der Kryptographie versteht man den Prozess des Ver- und Entschlusselung von Nachrichten Das Wort kommt vom griechischen Wort kryptos, was soviel wie " versteckt\ bedeutet Heutzutage werden komplizierte Methoden angewandt um Nachrichten zu ver- und entschl usseln Ein ziemlich schwer zu brechender Kode entsteht bei der Verwendung riesiger Kodierungsmatrizen Der Empfanger entschlusselt die Nachricht mit Hilfe der Dekodierungsmatrix, die die inverse Matrix zur Kodierungsmatrix ist Wir erlautern das an folgendem einfachen Beispiel Wir wollen die Nachricht Mathematik ist leicht verschlusseln Dazu ordnen wir zunachst jedem Buchstaben des Alphabets eine Zahl zu, der Einfachheit halber sei das die Position des Buchstaben im Alphabet, also A ist, B ist 2, usw Der Zwischenraum zwischen 2 Worten erhalte die Zahl 27 M A T H E M A T I K I S T L E I C H T 3 20 8 5 3 20 9 27 9 9 20 27 2 5 9 3 8 20 Diese Nachricht wird nun mit Hilfe der Kodierungsmatrix 3 3 4 A 0 4 3 4

MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 49 verschlusselt Da wir eine 3 3-Matrix zur Kodierung verwenden wollen, unterteilen wir die in Zahlen ubertrage Nachricht in 3 -Matrizen: 3 8 9 2 3 5 20 27 20 5 8 20 3 9 9 27 9 20 Wir multiplizieren nun jede der Spaltenmatrizen mit der Kodierungsmatrix, was in einem Schritt mittels Matrizenmultiplikation in der folgenden Weise gemacht werden kann: 3 3 4 0 4 3 4 Die Nachricht wird somit als 3 8 9 2 3 5 20 27 20 5 8 20 3 9 9 27 9 20 38 3 27 78 9 42 47 2 8 29 36 47 4 28 35 99 00 6 244 35 6 38, 2, 35, 3, 8, 99, 27, 29, 00, 78, 36, 6, 9, 47, 244, 42, 4, 35, 47, 28, 6 ubetragen Um die Nachricht zu dekodieren benotigen wir nun die inverse der Kodierungsmatrix Berechnung der Dekodierungsmatrix: 3 3 4 0 0 4 0 0 3 3 0 0 0 4 3 4 0 0 z 0 0 0 3 4 3 4 0 0 4 0 0 3 3 0 0 0 4 z + z 3 28 4 0 0 3 3 0 7 0 3 3 3 z 0 0 0 3 3 0 0 4 3 3 3 3 3 und damit ist die Dekodierungsmatrix A 3 z z 2 z 3 z 2 z + 7 3 z3 z 2 z 3 24 7 4 28 3 4 3 3 0 7 0 3 3 0 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 24 3 3 0 0 4 3 0 0 4 3 7 3 28 3 3 Fasst man nun die kodierte Nachricht wieder in 3 -Spaltenvektoren zusammen und wendet darauf die Dekodierungsmatrix an, so ergibt sich der urspr ungliche Text der Nachricht 3 3 3 3 3

50 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Beispiel 28 Man berechne, so moglich, die inverse Matrix zu 4 A 3 und wir erhalten 4 0 3 0 4 4 0 4 3 0 0 4 0 3 4 A Man berechne nun A T Wegen ergibt sich fur 3 4 A T A T A T 3 4 Beispiel 29 Man lose das Gleichungssystem b b 2 b 3 4 0 4 0 4 3 4 0 0 3 4 x + 2x 2 x 3 b x + x 2 2x 3 b 2 x x 2 x 3 b 3 2 3, Dazu ist es nicht erforderlich, dass das Gleichungssystem dreimal gelost wird Man kann alle 3 rechten Seiten auf einmal einsetzen Man schreibt zunachst wie ublich die Koezientenmatrix hin und fugt dann alle 3 rechten Seiten an: 2 0 5 2 2 2 3 4 3 2 0 5 0 3 0 3 0 2 4 8 0 0 2 3 0 0 3 0 0 3 3 3 0 4, 5 2 3 2 0 5 0 3 0 3 0 2 4 8 0 3 3 2 0 3 0 0 3 0 0 2 3 0 0 0 2 4 8 3 3 3 0 0 3 3 3

Folglich hat das Gleichungssystem fur 3 b b 2 b 3 6 2, fur 5 3 2 b b 2 b 3 MATRIZEN UND GLEICHUNGSSYSTEME 5 die Losung 0 4 b b 2 b 3 die Losung x x 2 x 3 3 0 8 2 3 x x 2 x 3 die Losung 3 9 4 x x 2 x 3 und fur Die Ursache hierfur ist, dass die Eigenschaft des Gleichungssystems genau eine/unendlich viele/keine Losung besitzt nicht von der rechten Seite, sondern nur von der Koeffizientenmatrix abhangt Beispiel 220 Man bestimmte die Losung des Gleichungssystems fur b 2 b 2, die rechten Seiten an 2 2 0 2 0 2x + x 2 b x + x 2 2 b 2 Wir bilden die Koezientenmatrix und hangen 2 2 2 2 0 0 0 0 2 b Daraus kann man ablesen, dass das Gleichungssystem fur b 2 x Losung + t 2, t R, besitzt, dagegen fur x 2 0 0 keine Losung besitzt 2 b b 2 die Geometrische Interpretation: Das Gleichungssystem 2x + x 2 2 x + x 2 2 besteht aus zwei identischen Geraden, da die erste Gleichung das Doppelte der zweiten Gleichung ist Folglich sind alle Punkte der Geraden sind Losungen des Gleichungssystems Das sieht man auch an der Losung, denn x x 2 0 + t 2 ist gerade eine Parameterdarstellung der Geraden, t R,

52 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Dagegen beschreibt das Gleichungssystem 2x + x 2 0 x + x 2 2 zwei sich nicht schneidende, parallele Geraden Der Anstieg der Geraden ist identisch, aber die erste Gerade verlauft durch den Ursprung, die zweite Gerade dagegen nicht 2 Determinanten Anwendungen von Determinanten Wann existiert die inverse Matrix zu einer gegebenen n n Matrix A? Das Vektorprodukt kann als formale Determinante berechnet werden siehe lineare Algebra Mit Hilfe der Determinante kann man feststellen, ob Vektoren linear abhangig oder linear unabhangig sind siehe lineare Algebra Bestimmung der charakteristischen Gleichung bei Eigenwertproblemen siehe lineare Algebra: Eigenwerte/Eigenvektoren Berechnung von Flacheninhalten in der Computergraphik Hesse-Matrix und Determinante zur Bestimmung von Minima und Maxima von Funktionen zweier Veranderlicher siehe Hohere Mathematik II Jacobi-Matrix und -Determinante oder auch Funktionaldeterminante bei der Transformation von mehrdimensionalen Integralen siehe Hohere Mathematik II

2 DETERMINANTEN 53 Man bestimmt Determinanten nur von quadratischen Matrizen Wir werden die Berechnung von Determinanten rekursiv durchf uhren, dh wir denieren wie man eine 2 2-Determinante berechnet und fuhren dann die Berechnung von n+ n+- Determinanten auf die Berechnung von n n-determinanten zuruck Fur ist A det a a Betrachten wir nun 2 2-Matrizen: Definition 23 Die Determinante einer 2 2-Matrix A wird mit det A oder A bezeichnet und wird berechnet als a a 2 a a 2 det a 2 a 22 a 2 a 22 a a 22 a 2 a 2 Nun zur Denition und Berechnung von n n-determinanten: Definition 24 Es sei A eine quadratische n n-matrix Die n n -Matrix, die aus der Matrix A entsteht, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht, sei mit A ij bezeichnet Dann berechnet man die Determinante der n n-matrix A aus den Determinanten der n n -Matrizen A ij : n det A : +i a i det A i i 2 3 3-Matrizen Es sei A a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 Dann ist A a a 22 a 23 a 32 a 33 a 2 a 2 a 3 a 32 a 33 + a 3 a 2 a 3 a 22 a 23 a a 22 a 33 a 32 a 23 a 2 a 2 a 33 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 23 a 22 a 3 Schreiben wir die Berechnung der Determinante noch einmal aus, so ist A a a 22 a 33 a 32 a 23 a a 33 a 2 a 2 + a 3 a 2 a 32 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3

54 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Dann sieht man, dass die Determinante wie folgt berechnet werden kann: + + + - - - Das ist die Sarrussche Regel Die Sarrussche Regel ist auf Determinanten höherer Ordnung nicht übertragbar Beispiel 22 Man berechne die Determinante von 2 A 3 0 4 2 dann ist A 0 + 2 4 + 2 3 4 0 2 3 2 8 6 2 6 6 Satz 25 Fur eine obere Dreiecksmatrix gilt a det 0 a 22 a a 22 a nn 0 0 a nn Beweis: Man entwickle jede entstehende Determinante nach der ersten Spalte, da an der Spitze der jeweilige Spalte immer ein Element der Hauptdiagonale steht und alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, ergibt sich die Behauptung # A Beispiel 222 7 3 4 2 0 0 2 4 0 0 5 2 0 0 0 4 3 0 0 0 0 6 7 0 2 4 0 5 2 0 0 4 3 0 0 0 6 7 0 5 2 0 4 3 0 0 6 7 0 5 4 3 0 6 7 0 5 4 6 0

22 Rechenregeln für Determinanten 2 DETERMINANTEN 55 Satz 26 Rechenregeln für Determinanten bei Zeilenumformungen a a 2 Die Matrix A sei in Zeilenform gegeben: A Dann gilt a n Ein gemeinsamer Faktor einer Zeile kann aus det A herausgezogen werden, dh fur α R gilt a a a 2 a 2 det α a i αdet a i a n a n 2 Besteht eine Zeile von A aus der Summe a i b i +c i, dann besitzt det A die entsprechende Summenzerlegung, dh a a a a 2 a 2 a 2 det bi + c det i bi + det c i a n a n a n 3 Ensteht die Matrix à aus der Matrix A durch vertauschen zweier Zeilen, so ist det à det A Beweis: Der Beweis lasst sich leicht mittels vollstandiger Induktion fuhren und der Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte # Folgerung aus 3: Sind zwei Zeilen einer Matrix A gleich, so ist ihre Determinante gleich Null Beispiel 223 Wir werden die folgende Determinante zunachst nach der Sarrusschen Regel berechnen: 2 3 det 2 4 + 6 + 8 9 3 6 0 3 3 4

56 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Wir hatten dieses Ergebnis aber auch anders erkennen konnen Es gilt namlich z 3 3, 3, 4, 2, 3 + 2,, z + z 3 Daraus konnen wir sofort schlieen, dass die Determinante gleich Null ist Weitere Eigenschaften: Satz 27 Rechenregeln fur Determinanten: Fur alle n n-matrizen A und B gilt: Symmetrie in Zeilen und Spalten det A T det A 2 Multiplikationssatz det AB det A det B 3 Invertierbarkeitstest A ist invertierbar det A 0, 2 ohne Beweis Beweis zu 3: Ist A invertierbar, dann gibt es eine Matrix C mit AC CA E und nach 2 ist det AC det Adet C det E Folglich ist det A 0 Die Umkehrung ist gerade die Cramersche Regel siehe spater # Folgerungen aus dem Multiplikationssatz: det AB det BA 2 det A k det A k 3 det A det A, falls A invertierbar ist 4 det C AC det A, fur alle invertierbaren n n-matrizen C Beweis: zu det AB det A det B det B det A det BA zu 2 det A k det A det A k det A k zu 3 det AA det A det A det E und damit ist det A det A zu 4 det C AC det C det A det C det A # Folgerung aus der Symmetrie: Die Formeln von Satz 26 gelten analog f ur die entsprechenden Spaltenumformungen Wegen det A T det A hat man ebenso die Entwicklung von det A nach der i-ten Spalte Die Matrix à a j a a 2 a j a j+ a n entsteht aus der Matrix

2 DETERMINANTEN 57 A a a 2 a j a j a j+ a n durch j sukzessive Vertauschungen benachbarter Spalten Also gilt det à j det A Entwickelt man nun erneut det à nach der ersten Spalte, so ergibt sich der sogenannte Satz 28 Entwicklung von det A nach der j-ten Spalte: n det A i+j a ij det A ij, i wobei A ij die n n -Matrix bezeichnet, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht Beispiel 224 Man berechne die folgende Determinante: 2 3 0 0 2 2 3 2 z 2 + z 3 2 0 2 3 2+4 2 0 5 5 s 2 + s 3 2 2+ 2 8 2 0 0 7 22 7 8 2 2 3 0 0 2 2 0 5 0 2 0 2 8 7 Entwickl nach 4 Spalte Entwickl nach 2 Zeile Beispiel 225 Wir wollen die Determinante von A 3 2 0 0 2 2 2 3 2 0 2 berechnen Schritt: Wir versuchen in einer Zeile oder Spalte moglichst viele Nullen zu erzeugen, das konnen wir machen, da der Wert der Determinante dabei unverandert bleibt Wir addieren das 3-fache der 3 Zeile zur Zeile, dh ausfuhrlich:

58 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME det A 3 2 0 0 2 2 2 3 2 0 2 3 6 9 6 0 2 2 + 2 3 2 0 2 } {{ } 3 2 Schritt: Entwickeln nach der Spalte: 4 9 5 + 2 2 2 Addieren das 4-fache der 3 Zeile zur Zeile dazu: 4 9 5 4 8 4 0 2 2 + 2 2 2 2 2 2 2 } {{ } 0 0 4 9 5 0 2 2 2 3 2 0 2 2 3 2 0 2 2 2 3 2 0 2 Addieren das 2-fache der 3 Zeile zur 2 Zeile dazu: 0 0 0 2 2 + 2 4 2 0 2 2 2 2 } {{ } 0 3 Schritt: Entwickeln nach der Spalte: 2 2 0 Alternativ, die direkte Entwicklung Entwickeln nach der Spalte g unstig, da zwei Nullen: 2 2 2 0 det A 3 2 3 2 + 2 2 2 2

Nun nach der Spalte bzw der 2 Zeile entwickeln: 3 2 3 2 2 + 2 + 2 0 2 2 DETERMINANTEN 59 2 2 + + 2 2 + 2 3 2 2 0 2 + 32 3 4 + 0 + 4 3 + 22 + 2 2 + + 4 23 Cramersche Regel Wir kommen nun zur 32 4 2 + 4 Satz 29 Cramersche Regel: Gilt fur die Determinante der Matrix A a a 2 a n die Beziehung det A 0, so hat das Gleichungssystem A x b mit einer rechten Seite b die Losung x i det A det a a i b ai+ a n, i, 2, n Die i-te Spalte von A wird durch b ersetzt Beweis: Das Gleichungssystem A x b ist aquivalent zu Damit ist a a 2 a n a 2 a 22 a nn a n a n2 a nn x x 2 x n x a + x 2 a 2 + + x n a n x a 2 + x 2 a 22 + + x n a 2n x a n + x 2 a n2 + + x n a nn b b 2 b n b b 2 b n x a + x 2 a 2 + + x n a n b det b a 2 n n a n det x i a i a 2 a n x i det a i a 2 a n i i x det a a 2 a n x det A

60 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Die anderen Determinanten berechnen sich analog Da det A 0 gilt ergibt sich die Behauptung # Bemerkung 23 Man sollte die Cramersche Regel i Allg nicht zur vollstandigen Auslosung eines Systems mit vielen Unbekannten verwenden hoher Rechenaufwand! Die Formel ist aber gut geeignet zur Berechnung einzelner Unbekannter und insbesondere zur Weiterverarbeitung, wenn im Gleichungssystem zusatzliche Parameter enthalten sind Beispiel 226 Man bestimme die Losungskomponente x 2 des Gleichungssystems Nach der Cramerschen Regel gilt 5x + 3x 2 + 2x 3 4 3x + 5x 2 + 6x 3 5x 4 3x 2 + x 3 x 4 0 5x + 3x 2 + 4x 3 + x 4 0 x 2 det det 5 4 2 0 3 6 5 0 0 5 0 4 5 3 2 0 3 5 6 5 0 3 5 3 4 Wir berechnen die einzelnen Determinanten: 5 4 2 0 5 4 2 2 3 6 5 3 6 0 0 s 3 + s 4 0 0 0 5 0 4 5 0 4 5 Entwickl nach 3 Zeile 5 4 2 3 5 0 5 4 z 2 + z 7 0 2 3 5 0 5 7 2 5 5 Entwickl nach 2 Spalte 7 5 5 2 95

und 5 3 2 0 3 5 6 5 0 3 5 3 4 5 3 2 3 3 5 9 5 2 z 3 + z 6 z 3 + z 2 4 z 3 + z 4 und damit ist x 2 95 56 2 z 2 + z 5 z 2 + z 3 2 DETERMINANTEN 6 5 3 0 2 3 3 0 0 3 5 9 0 5 23 0 3 3 20 56 0 23 20 56 Entwickl nach 3 Spalte Entwickl nach 3 Spalte 56 20 23 56 Definition 25 Es sei A eine n n Matrix, dann heit die Zahl a a 2 a,j a,j+ a n A ij : i+j a i, a i,2 a i,j a i,j+ a i,n a i+, a i+,2 a i+,j a i+,j+ a i+,n a n a n2 a n,j a n,j+ a nn Adjunkte des Elements a ij Bemerkung 24 Die Adjunkte des Elements a ij ist gleich i+j mal die Determinante der n n Matrix, die man aus A erhalt, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht Damit erhalt man aus der Cramerschen Regel: Satz 20 Ist die n n Matrix A invertierbar, so ist A A 2 A n A 2 A 22 A n2 A det A det A A n A 2n A nn mal die Transponierte der Ad- In Worten: Die Inverse von A ist det A junktenmatrix von A A A 2 A n A 2 A 22 A 2n A n A n2 A nn T

62 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 24 Übersicht: Praktische Berechnung von Determinaten 24 Spezialfalle Es sei A eine quadratische Matrix vom Typ n n, dann ist det a a und det a a 2 a 2 a 22 a a 2 a 2 a 22 Fur 3 3 Matrizen gilt die Sarrussche Regel: bzw a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 22 a 2 a 2 a a 22 a 33 +a 2 a 23 a 3 +a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 32 a 23 a a 33 a 2 a 2 + + + - - - Für Determinanten höherer Ordnung gibt es keine analogen Formeln 242 Entwicklungssatz Berechnung nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz det A n i+j a ij det A ij i n i+j a ij det A ij j wobei das Vorzeichen nach der Schachbrettregel bestimmt wird: + + + + + + + +

2 DETERMINANTEN 63 und die Unterdeterminante durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht: a a 2 a,j a j a,j+ a n a 2 a 22 a 2,j a 2j a 2,j+ a 2n a i, a i,2 a i,j a i,j a i,j+ a i,n a i a i2 a i,j a ij a i,j+ a in a i+, a i+,2 a i+,j a i+,j a i+,j+ a i+,n a n a n2 a n,j a nj a n,j+ a nn Rechenregeln: Es sei A eine n n Matrix Alle Rechenregeln gelten analog fur Spalten bzw Zeilen 2 Vertauscht man eine Spalte Zeile von A mit einer anderen Spalte Zeile von A so andert sich das Vorzeichen der Determinante 3 Hat die Matrix A zwei gleiche Spalten Zeilen, so ist die Determinante von A gleich Null 4 Addiert man das Vielfache einer Spalte Zeile zu eine anderen Spalte Zeile, so bleibt die Determinante unverandert