Version vom 20. September 2011 Aufgaben für die Übungen zur Vorlesung Statistik II für Betriebswirte und Wirtschaftsingenieure 34. Aufgabe: Bei einem Pkw wurde der Benzinverbrauch registriert. Es ergaben sich folgende Werte (l/100 km): 7,8 9,5 9,2 6,2 13,4 7,4 8,9 10,2 4,9 10,1 7,3 9,1 8,3 5,8 Diese können als Realisierungen einer normalverteilten Zufallsgröße aufgefasst werden. Die Varianz der Zufallsgröße ist 4 (l/100 km) 2. a) Berechnen Sie für den erwarteten Benzinverbrauch eine zentrale Konfidenzschätzung zum Konfidenzniveau 0,9. b) Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein, damit bei einem Konfidenzniveau von 0,9 die Länge des Konfidenzintervalls für den erwarteten Benzinverbrauch höchstens 1 Liter beträgt? 35. Aufgabe: Bei der Produktion eines Werkstückes wurde die Bearbeitungszeit überprüft. Für die als normalverteilt angesehene zufällige Bearbeitungszeit wurden 10 Werte (in min) erfasst: 5,3 6,2 5,8 5,3 5,8 4,9 5,3 5,8 4,9 5,8 a) Bestimmen Sie eine Konfidenzschätzung für die Varianz der Bearbeitungszeit zum Konfidenzniveau 0,95. b) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 0,95 eine obere Konfidenzgrenze für die erwartete Bearbeitungszeit. 36. Aufgabe: Eine Partei lässt, um Aufschluss über ihren derzeitigen Wähleranteil zu gewinnen, 2000 zufällig ausgewählte wahlberechtigte Bürger befragen. Davon würden im Moment 108 für diese Partei stimmen. Berechnen Sie für das Konfidenzniveau 0,98 eine untere Schranke für den Wähleranteil. 37. Aufgabe: Sei X eine auf 1, 2, 3, 4, 5, 6 (diskret) gleichverteilte Zufallsvariable. Erzeugen Sie sich eine Stichprobe vom Umfang n = 50. a) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 0,9 für die Wahrscheinlichkeit p = P (X = 4) ein Konfidenzintervall. b) Wie groß muss man den Stichprobenumfang n mindestens wählen, dass die Konfidenzschätzung eine Genauigkeit von ±0, 005 hat?
38. Aufgabe: a) Testen Sie zum Signifikanzniveau α = 0, 1 in der 34. Aufgabe, ob der erwartete Benzinverbrauch gleich 7 Liter pro 100 km ist. b) Kann man in der 35. Aufgabe zum Signifikanzniveau α = 0, 05 zeigen, dass die erwartete Bearbeitungszeit signifikant kleiner als 6 min ist? 39. Aufgabe: Bei der Dosierung von Schüttgut beträgt nach einer herkömmlichen Methode für die abgefüllte Masse M die Standardabweichung 0,28 kg je Füllung. Eine technologisch einfachere Methode ergab bei einer Stichprobe vom Umfang fünf eine Schätzung für die Standardabweichung von 0,39 kg. Es ist davon auszugehen, dass die Füllmenge bei der technologisch einfacheren Methode normalverteilt ist. a) Prüfen Sie, ob sich die Standardabweichung der abgefüllten Masse M bei der technologisch einfacheren Methode von der bisherigen Standardabweichung signifikant (α = 0, 05) unterscheidet. b) Welche Aussage erhalten Sie, wenn sich der Schätzwert von 0,39 kg aus 100 Beobachtungen ergeben hat? 40. Aufgabe: Ein Messgerät wird im Laufe der Zeit infolge von Abnutzungserscheinungen unbrauchbar. Als Kriterium für seine Brauchbarkeit dient die Forderung, dass die Varianz der als normalverteilt angesehenen Messfehler < 10 4 ist. Dürfen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 auf die Brauchbarkeit des Messgeräts schließen, wenn sich aus 25 Fehlerwerten ein Schätzwert für die Varianz von 0, 64 10 4 ergeben hat? 41. Aufgabe: In einer Stichprobe vom Umfang n = 200 sind 14 Ausschussstücke festgestellt worden. Prüfen Sie, ob der Ausschussanteil signifikant größer als 5% ist. Verwenden Sie dabei das Signifikanzniveau 0,01. 42. Aufgabe: Bei der Fertigung eines bestimmten Erzeugnisses ist die Anwendung zweier Technologien möglich. Jeweils acht Arbeiter fertigen dieses Erzeugnis nach einer der beiden Technologien und erreichten dabei folgende Fertigungszeiten (in Minuten): Technologie A 20,2 20,4 19,3 19,5 20,0 19,7 20,0 19,6 Technologie B 19,6 20,1 20,2 19,9 20,2 19,9 20,3 20,3 Die Fertigungszeit kann unter diesen Bedingungen als normalverteilte Zufallsgröße angesehen werden. a) Testen Sie zum Niveau α = 0, 05, ob sich die erwarteten Fertigungszeiten beider Technologien unterscheiden. b) Testen Sie zum Niveau α = 0, 05, ob die Varianzen der beiden Technologien gleich sind oder nicht. c) Testen Sie die Hypothesen aus Aufgabenteil a) unter der Voraussetzung, dass die Varianzen bei beiden Technologien gleich sind.
43. Aufgabe: Zum Vergleich von Kondensatoren bezüglich ihrer Kapazität wurden aus den Lieferungen zweier Lieferanten Stichproben entnommen. (Messung in µf ) Lieferant 1 2,06 2,16 2,04 2,03 2,13 2,11 2,02 2,00 2,03 2,02 2,01 Lieferant 2 2,1 2,09 2,43 2,08 2,4 2,13 2,14 2,13 Testen Sie zum Niveau α = 0, 05, ob es signifikante Unterschiede bei den Kapazitäten der Kondensatoren der beiden Lieferanten gibt. 44. Aufgabe: Die Anzahl der Silberunzen pro Tonne wurde in zwei verschiedenen Minen wie folgt beobachtet: Mine A 35 33 36 38 42 43 44 46 47 46 49 50 52 53 54 61 74 77 86 Mine B 22 23 27 28 31 33 34 36 37 39 42 43 46 47 48 49 50 51 58 Testen Sie zum Niveau α = 0, 05, ob die Anzahl von Silberunzen pro Tonne im Mittel in beiden Minen gleich ist oder ob es signifikante Unterschiede gibt. 45. Aufgabe: 22 Einwohner einer Stadt wurden nach der Lebensqualität in ihrer Stadt vor 5 Jahren und heute noch einmal befragt. Eine Liste, die mehrere Punkte enthielt, wurde dabei ausgefüllt. Bei den einzelen Punkten musste jeweils eine der Codierungen 1 = ungenügend bis 5 = sehr gut angekreuzt werden. Die Summe aller angekreuzten Codierungen ergab einen Gesamtbewertungs-Score-Wert. vor 5 Jahren heute Rang d i bei i x i y i d i = x i y i d i Rang d i d i > 0 1 18 13 2 34 39 3 11 31 4 30 24 5 17 20 6 23 21 7 30 45 8 16 23 9 15 20 10 24 27 11 22 27 12 26 31 13 22 42 14 23 27 15 14 36 16 17 32 17 21 27 18 23 28 Testen Sie zum Niveau α = 0, 05, ob eine signifikante Verbesserung in der Wahrnehmung der Lebensqualität in der Stadt feststellbar ist.
46. Aufgabe: Ein Großhändler untersucht für seine weitere Einkaufsstrategie die Zeiten zwischen Bestelltermin und Liefertermin. Für 38 Bestellungen untersucht er, ob diese Zeitspanne normalverteilt sein kann mit dem Erwartungswert von 10 Tagen und der Standardabweichung von 2 Tagen. 7,7 5,7 13,6 12,7 12,0 6,4 8,5 1,1 5,5 13,6 15,6 12,4 8,2 15,3 12,9 7,4 12,6 6,8 9,2 8,0 12,8 5,3 12,8 0,1 5,7 15,7 7,1 7,4 5,5 0,6 15,1 16,5 12,6 5,2 10,7 10,5 12,8 10,7 a) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle für den χ 2 -Anpassungstest und führen Sie den Test auf einem Signifikanzniveau von 0,01 durch. Formulieren Sie das Ergebnis der Testentscheidung für den Großhändler. Tage 0... 3,6 3,6... 7,2 7,2... 10,8 10,8... 14,4 14,4... 18,0 Häufigkeiten h i p i 0,0007 0,0801 0,0139 b) Testen Sie zum Niveau 0,01, ob die Zeiten auf dem Bereich von 0 bis 18 Tagen gleichverteilt sind. c) Testen Sie zum Niveau 0,01, ob die Zeiten exponentialverteilt sind. d) Testen Sie zum Niveau 0,01, ob die Zeiten normalverteilt sind. 47. Aufgabe: Streben weibliche und männliche Jugendliche in Deutschland in die gleichen Berufe oder ist die Wahl des Berufes vom Geschlecht abhängig? Zur Beantwortung dieser Frage wurde in einer Region eine Untersuchung mit folgendem Ergebnis durchgeführt: Industrie Handwerk öffentlicher und Handel und Dienstleistungen Dienst weiblich 30 100 70 männlich 70 50 80 Verwenden Sie bei der Entscheidung ein Signifikanzniveau von 0,05. 48. Aufgabe: Mit einem Unternehmen, das für eine bestimmte Produktion Baugruppen zuliefert, wurde vereinbart, dass eine Lieferung mit einem Ausschussanteil von mehr als 3 % zurückgewiesen wird. Das Konsumentenrisiko betrage dabei 0,05. Ein Ausschussanteil von höchstens 1,5% führt zur Annahme der Lieferung, dabei betrage das Produzentenrisiko 0,01. a) Bestimmen Sie, falls möglich, für die Werte c = 10, c = 19 und c = 34 einen (n,c)-stichprobenplan, der die Forderung des Produzenten und die des Konsumenten berücksichtigt. Nutzen Sie dabei die Poissonapproximation. b) Bestimmen Sie, falls möglich, für die Werte n = 1300 und n = 1500 und n = 1700 einen (n,c)-stichprobenplan, der die Forderung des Produzenten und die des Konsumenten berücksichtigt. Nutzen Sie dabei die Normalverteilungsapproximation. c) Bestimmen Sie einen (n,c)-stichprobenplan mit kleinstmöglichem Stichprobenumfang n.
49. Aufgabe: Betrachten Sie erneut die Vereinbarung zwischen Produzenten und Konsumenten aus der Aufgabe 43. a) Berechnen Sie für die Eingangskontrolle die Parameter eines sequentiellen Stichprobenplanes und stellen Sie diesen dar. b) Angenommen x 1,..,x 999 liegt im Fortsetzungsbereich. Wie groß kann x 999 maximal und minimal sein? Welche Testentscheidungen sind für beide Fälle nach der nächsten, d.h. der 1000-ten Prüfung möglich? c) Bestimmen Sie die erwarteten Stichprobenumfänge für p {0, p α, c s, p β, 1}. 50. Aufgabe: Zur Erhöhung der Haltbarkeit wird auf ein Werkstück eine Schutzschicht aufgebracht. Die technologische Vorgabe ist eine Schichtdicke von 9,26 µm. Dabei beträgt die Standardabweichung Schichtdicke gegenwärtig 0,74 µm. Zur Überwachung des Beschichtungsprozesses wird eine Mittelwert-Kontrollkarte verwendet. Dazu werden in festen Zeitabständen fünf Messungen der Schichtdicke durchgeführt. Nr. (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x i1 10,39 8,92 7,99 8,56 8,63 9,35 9,28 8,56 8,08 x i2 7,69 9,39 9,29 8,43 8,44 9,52 8,6 7,33 8,85 x i3 8,25 8,4 8,27 9,27 8,32 9,73 7,82 8,81 8,16 x i4 8,51 9,43 9,21 8,93 8,13 7,87 9,54 8,92 8,04 x i5 8,8 8,15 8,31 8,91 8,75 7,8 7,49 8,22 8,56 Mittelwert (x i ) a) Bestimmen Sie die Kontrollgrenzen und stellen Sie die Kontrollkarte mit den oben aufgeführten Daten graphisch dar. Wie lauten die Testentscheidungen? b) Bestimmen Sie die Gütefunktion und zum Vergleich auch die für einen Stichprobenumfang n = 20 und stellen Sie beide graphisch dar. c) Wie groß ist die erwartete Lauflänge bis zum Eingriff, falls der Prozess ungestört ist und falls er gestört ist mit µ = 9, 00µm oder aber gestört mit µ = 10, 00µm? 51. Aufgabe: Parallel zur Statistikvorlesung wurden vier Tutorien angeboten. Die Zuteilung der Studenten zu den 4 Tutoren erfolgte zufällig. Die erreichten Punktezahlen sind in folgender Tabel zu finden. Tutor 1 Tutor 2 Tutor 3 Tutor 4 67 75 75 74 64 88 63 65 79 74 54 56 71 92 70 69 59 83 77 80 63 76 65 58 80 77 Prüfen Sie, ob die erreichten Punktezahlen im Mittel sich signifikant (α = 0, 05) unterscheiden oder nur zufällig voneinander abweichen.
52. Aufgabe: Untersucht werden soll das Kaufverhalten für ein bestimmtes Produkt einer Firma. Dabei werden die verkauften Mengeneinheiten des Produkts in Beziehung zur Preispolitik und zur Werbung für das Produkt gebracht. Für die Preispolitik (Faktor A) sind drei Niveaus festgelegt worden: - unter dem Preis der Konkurrenten - Niedrigpreis, - im allgemein üblichen Preisniveau - Normalpreis, - über dem Preis der Konkurrenten - Hochpreis. Für die Werbung (Faktor B) wurden zwei Möglichkeiten ausgewählt: Postwurfsendungen oder Anzeigen in der Regionalpresse. Bei den untersuchten Verkaufseinrichtungen wurden folgende verkaufte Mengeneinheiten festgestellt: Postwurfsendung Anzeigenwerbung Niedrigpreis 608 578 558 502 408 494 Normalpreis 389 407 323 347 426 452 Hochpreis 329 298 327 398 472 486 Testen Sie (α = 0, 05), ob der Preis, die Werbung und Wechselwirkungen zwischen Preis und Werbung einen Einfluss auf die verkauften Mengeneinheiten haben. 53. Aufgabe: Für in verschiedenen Hauptgeschäftsstraßen einer Stadt gelegene Zeitschriftengeschäfte, von denen jedes das einzige Geschäft dieser Branche in der jeweiligen Straße ist, wurden folgende Werte für Jahresumsatz und durchschnittliche tägliche Passantenfrequenz erfasst: U : Jahresumsatz in Tsd. e, P : Passantenfrequenz in Tsd. Passanten pro Tag. P 13 10 14 19 12 11 10 21 13 10 7 11 U 220 148 210 260 180 134 144 180 190 180 100 138 a) Besteht zwischen der Passantenfrequenz und dem Jahresumsatz ein signifikanter linearer Zusammenhang auf einem Signifikanzniveau von α = 0, 05? b) Testen Sie, ob die Korrelation zwischen Passantenfrequenz und Jahresumsatz signifikant (α = 0, 05) größer als 0,5 ist. 54. Aufgabe: Bei der Verkostung von 12 verschiedenenen Weinen wurden zwei Experten gebeten, die Weine nach ihrer Qualität zu ordnen. Das Ergebnis ist in der folgenden Tabelle zu finden. Dabei erhielt der beste Wein Bewertung 1 und so weiter. Somit liegt schon eine Rangreihung vor. Wein 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Experte 1 4 9 2 11 8 10 7 5 3 12 1 6 Experte 2 3 8 1 11 9 5 7 10 4 12 2 6 Prüfen Sie, ob zwischen den Urteilen der beiden Experten ein Zusammenhang besteht. Verwenden Sie das Signifikanzniveau α = 0, 01.
55. Aufgabe: In der folgenden Tabelle sind die Noten in Mathematik und in Statistik von 5 Studenten wiedergegeben: Student 1 2 3 4 5 Mathematiknote 2,7 1 2,7 4 2 Statistiknote 3 2 1,7 5 1,7 a) Bestimmen Sie die Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten für die Stichproben. b) Berechnen Sie für diese Stichprobe Kendall s τ. 56. Aufgabe: Für verschiedene Produkte soll überprüft werden, wie sich der Werbeaufwand und die Preisgestaltung auf die Verkaufszahlen für die Produkte auswirken. Die folgenden Werte wurden registriert : Werbeaufwand 8 9 4 6 0 2 7 6 3 1 Preis 7 3 4 8 7 5 9 2 5 2 Verkaufszahlen 24 28 19 17 11 21 18 27 21 22 (Werbeaufwand in 10.000,- e, Preis in e, Verkaufszahlen in 1.000 Stück) Bestimmen Sie für diese Stichprobe die Korrelationsmatrix. a) Bestimmen Sie die partiellen Korrelationskoeffizienten. Testen Sie zum Niveau α = 0, 05, ob die partielle Korrelation zwischen dem Werbeaufwand und den Verkaufszahlen unter Partialisierung des Preises signifikant größer als 0 ist. b) Berechnen Sie aus dieser Stichprobe den multiplen Korrelationskoeffizienten zwischen den Verkaufszahlen einerseits und dem Werbeaufwand und dem Preis andererseits. Testen Sie, ob diese multiple Korrelation signifikant (α = 0, 05) von 0 verschieden ist. 57. Aufgabe: Betrachten Sie die Daten der Aufgabe 53. Schätzen Sie die Parameter der Regressionsgerade. a) Bestimmen und bewerten Sie das Bestimmtheitsmaß. b) Schätzen Sie die Varianz des Fehlers. Wie beurteilen Sie diesen Wert. c) Führen Sie die Tests für die einzelnen Parameter und für das gesamte Modell zum Niveau α = 0, 05 durch. d) Beurteilen Sie die Schätzung aufgrund des Residualplots. 58. Aufgabe: Betrachten Sie erneut die Aufgabe 56 und führen Sie die Regressionsanalyse durch.
59. Aufgabe: Der Verkaufsleiter einer Herstellerfirma ist mit dem mengenmäßigen Absatz einer Marke nicht zufrieden. Er stellt fest, dass der Absatz zwischen seinen Verkaufsgebieten differiert und will deshalb prüfen, von welchen Faktoren der Absatz abhängt und wie diese Faktoren zu beeinflussen sind. Zu diesem Zweck wird eine Stichprobe aus 17 vergleichbaren Verkaufsgebieten erhoben. Dabei werden außer der verkauften Menge auch die Ausgaben für Verkaufsförderung, die Zahl der Vertreterbesuche und der Verkaufspreis erfasst. Die Ergebnisse der Erfassung sind in der Tabelle auf der folgenden Seite zusammengestellt. Führen Sie die Regressionsanalyse mit der Menge als abhängiger Variable durch. Menge (Kartons) Ausgaben (e) Besuche (Anzahl) Preis (e) 1647 1000 99 9,95 1366 800 100 8,00 2585 2000 109 12,50 1913 1600 79 12,50 1496 750 30 11,50 1612 1100 87 9,50 1987 1600 106 8,50 1028 600 108 11,00 921 380 81 12,00 2278 1700 102 8,00 1112 800 83 12,00 1810 900 110 12,50 1643 1380 96 10,50 1987 1800 92 9,00 995 550 95 10,00 1819 1550 107 10,00 2006 1600 75 9,50