2. Mengen. festgelegt werden, zum Beispiel M = { x x ist eine Grundfarbe }.

2. Mengen Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne Elemente (z. B. Zahlen) zu einer Menge zusammen. Eine Menge muss kein Element enthalten (diese Menge heißt die leere Menge ). Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten oder nicht enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist, oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt. 2.1. Begriff und Notation von Mengen Der Begriff Menge geht auf Georg Cantor zurück, der eine Menge naiv als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen beschrieb. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff Menge noch der Begriff Element werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo Fraenkel Axiomen, Neumann Bernays Gödel Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten zu einem Widerspruch, der Russell schen Antinomie; ebenso wie die Menge aller Mengen. Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht nichts, sondern ein Behältnis, das nichts enthält. Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa M = {blau, gelb, rot}, wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Oft ist es ungünstig oder (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. In diesen Fällen gibt es eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel M = { x x ist eine Grundfarbe }. 2.2. Gleichheit von Mengen und Extensionalität Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes). Unendliche Mengen müssen aber meist intensional (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen; z. B. G:= { x x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2 }, gelesen sei G die Menge aller x, für die gilt: x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2, oder kürzer: sei G die Menge aller geraden natürlichen Zahlen > 2. Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt). Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede andere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich. 1

2.3. Andere Schreibweisen Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden: die aufzählende Schreibweise M = { blau, gelb, rot } kann als eine Abkürzung für die umständlichere Schreibweise M = { x x = blau oder x = gelb oder x = rot } verstanden werden. bei der elliptischen Schreibweise werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: M = {3, 6, 9, 12,, 96, 99}. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als M = { x x ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100 } schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt G = {4, 6, 8, 10, } die Menge der geraden, natürlichen Zahlen, die größer sind als 2 (also das obige Beispiel G). Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie z. B. aus A und B die Schnittmenge M = A B. Diese kann intensional geschrieben werden als M = { x x ist in A und x ist in B } ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen. 2.4. Definitionen und grundlegende Beziehungen zwischen Mengen Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt x Element einer Menge M, so schreibt man dafür formal: x M. Die Verneinung (x ist kein Element von M) schreibt man als: x M. In der reinen Mengenlehre ist das Elementprädikat die einzige notwendige Grundrelation. Alle mengentheoretischen Begriffe und Aussagen werden aus ihr mit logischen Operatoren der Prädikatenlogik definiert. 2.4.1. Teilmenge A ist eine (echte) Teilmenge von B Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Die Menge B enthält dann mindestens so viele Elemente wie die Menge A. Für Teilmengen wird das Zeichen verwendet. B wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von A genannt. Formal: Es gilt A B, wenn aus x A folgt, dass x B ist. A B: x (x A x B) Nach dieser Definition ist jede Menge auch Teilmenge von sich selbst: A A. Der Unterstrich in dem Zeichen soll das andeuten, indem er an erinnert. Eine echte Teilmenge von B ist eine Teilmenge, die nicht B selbst ist, geschrieben A B. A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber von B verschieden, also jedes Element aus A auch Element von B ist, aber (mindestens) ein Element in B existiert, das nicht in A enthalten ist. 2

Die Relation ist Teilmenge von bildet eine Halbordnung. Die Relation echte Teilmenge ist eine strenge Halbordnung. Hinweis: Die Notation der Teilmengenrelation ist uneinheitlich, die beiden folgenden Möglichkeiten sind heute üblich, wobei die erste der ursprünglich von Bertrand Russell (vgl. Principia Mathematica) eingeführten entspricht: steht für Teilmenge, für echte Teilmenge steht für Teilmenge, für echte Teilmenge. Hier wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet. Die Negation der Relationen, und kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch. Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von x A auch A x, anstelle von A B auch B A und anstelle von A B auch B A geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar. 2.4.2. Gleichheit Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal: A = B: x (x A x B) Tatsächlich muss eine Menge A aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge D haben sollte), sodass x A genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann: A = { x D P(x)} Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x), die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: Sind {x D P(x)} und { x D Q(x)} die gleiche Menge? Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz A = B (x A B A). 2.4.3. Leere Menge Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit oder auch {} bezeichnet. Aus der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede andere leere Menge enthält dieselben Elemente (nämlich keine), ist also gleich. Folglich sind und { verschieden, da letztere Menge eine andere Menge als Element enthält. Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge. 2.4.4. Durchschnitt (Schnittmenge, Schnitt) A B Schnittmenge von A und B Die Schnittmenge zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die in jeder der beiden Mengen enthalten sind (also sowohl in A als auch in B). Die Schnittmenge von A und B wird A B geschrieben. 3

Formal: Es gilt x A B genau dann, wenn x A und x B. Besitzen zwei Mengen kein gemeinsames Element, heißen sie elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge. Gegeben ist eine nichtleere Menge U von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von U ist die Menge der Elemente, die in jedem Element von U enthalten sind. Formal: U := {x a U:x a}. Ist U eine Paarmenge, also U = {A, B}, so schreibt man für U gewöhnlich A B := {x (x A) (x B)} und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen A 1, A 2,, A n verallgemeinern. Eine ältere Bezeichnung hierfür ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch geschrieben n A 1 A 2 A n oder A i i1 Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen: Die Elemente der Menge U, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit A λ bezeichnet. Es wird eine Indexmenge Λ(Lambda) eingeführt, sodass U = { A λ λ Λ} ist. Die Schnittmenge U wird dann geschrieben als: A := {x λ Λ: x A λ )}, also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen A λ enthalten sind. 2.4.5. Vereinigung (Vereinigungsmenge, Summe ) A B Vereinigungsmenge von A und B Die Vereinigungsmenge aus zwei Mengen A und B erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in der einen oder in der anderen Menge enthalten sind (oder möglicherweise auch in beiden). Das Zeichen dafür ist. Formal: Es gilt x A B, wenn x A oder x B; das oder ist hier nicht ausschließend zu verstehen: Wenn beides zutrifft, wird das auch akzeptiert. Vereinigungsmenge ist der zu Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind. Formal: U := {x a U:x a}.. Im Gegensatz zu U ist U auch dann erklärt, wenn U leer ist, und zwar ergibt sich =. Für U = {A, B} schreibt man wieder A B := {x (x A) (x B)} und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das oder ist hier nicht ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Auch diese Schreibweise ist für die Vereinigung endlich vieler Mengen geeignet. Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch Summe verwendet und dann geschrieben 4

n A i i1 A 1 + A 2 A n oder. Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt. Unter Verwendung der Indexmenge Λ schreibt man: A := {x λ Λ: x A λ )}. 2.4.6. Differenz (Differenzmenge, Differenz ) und Komplement A ohne B Die Differenz zweier Mengen erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Das Zeichen dafür ist \. Formal: Es gilt x A\B, wenn x A und x B. Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von A und B ist die Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Formal: A\B := {x (x A) (x B)} Ist B A, so heißt die Differenz A\B auch Komplement von B in A. Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn A eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und B C := {x x B} heißt einfach das Komplement von B. Andere Schreibweisen für B C sind B, CB oder B. Symmetrische Differenz Die Menge A B := (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) wird gelegentlich als symmetrische Differenz von A und B bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden der beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oders (XOR oder ) kann man dafür auch A B := {x (x A) (x B)} schreiben. 2.4.7. Produktmenge oder kartesisches Produkt Die Produktmenge oder das kartesische Produkt, in älterer Terminologie auch Verbindungsmenge oder Produkt zweiter Art, soll hier ebenfalls zunächst als Verknüpfung von zwei Mengen definiert werden: 5

Die Produktmenge von A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist. Die Elemente des kartesischen Produkts sind also keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte, nämlich geordnete Paare. Formal: AB := {(a, b) a A b B} Unter der Verwendung von n Tupeln lässt sich der Begriff leicht für die Verknüpfung endlich vieler Mengen verallgemeinern: A 1 A 2 A n := {(a 1, a 2,, a n ) a 1 A 1 a 2 A 2 a n A n } Die Produktbildung ist weder kommutativ noch assoziativ. So sind AB C, (AB) C und AB C) drei verschiedene Mengen, nämlich {(a,b,c) a A b B c C }, {((a, b), c) a A b B c C } sowie {(a,(b,c)) a A b B c C }. Aufgrund von Bijektionen wie ((a, b), c) (a,(b,c) und der daraus folgenden Isomorphie werden diese Mengen oft nicht unterschieden. Die Assoziativität bis auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktmengen aus einer endlichen Anzahl n von Mengen A : i, 1 i n mit der Menge der n Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die konkrete Klammerung mit A A zu i bezeichnen. 1 2 A n Für die Produktmenge beliebig vieler Mengen, die durch die Indexmenge Λ benannt werden, schreibt x man A oder, wenn diese Notation schon für Produkte erster Art verwendet wird, A. Für die Definition einer solchen Produktmenge wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement λ ein Element der Menge A λ zuordnen. Formal: x A := {f : Λ A λ ϵ Λ : f(λ) ϵ A λ } Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen: Anstelle des n fachen endlichen Mengenprodukts AA A schreibt man auch A n. Das unendliche Mengenprodukt A ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen Λ A. In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise A Λ benutzt. Die Mengen A A 1 2 und A sind nicht notwendig gleich, aber wegen der Bijektion 1,2 (a, b) f a,b mit f a,b : {λ 1, λ 2 }, λ 1 a, λ 2 b zueinander isomorph. Die Definition der zweistelligen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent, weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge Λ = {λ 1, λ 2,, λ n } in der Regel auch nicht zwischen A und A A A n unterschieden wird. 1 2 2.4.8. Potenzmenge Die Potenzmenge (A) von A ist die Menge aller Teilmengen von A. Die Potenzmenge von A enthält immer die leere Menge und die Menge A. Somit ist ( ) = {, also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge {a} ist ({a) = {,{a, enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt A genau n Elemente, so hat (A) die Elementanzahl 2 n. Dies motiviert auch die Schreibweise 2 A anstelle (A). Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden. Diese Fragen hängen eng zusammen mit der Problematik des Auswahlaxioms. Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem je nach Fortgang der mathematischen Forschung immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können. 6

2.5. Mächtigkeit und Kardinalzahl Die Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge A wird mit A (zuweilen auch #A) bezeichnet. Bei endlichen Mengen bedeutet A die Anzahl der Elemente von A, also eine natürliche Zahl. Der Menge der natürlichen Zahlen lässt sich eine solche Zahl nicht zuordnen. Sie hat offenbar mehr Elemente als jede endliche Zahlenmenge; ihre Kardinalität wird gewöhnlich mit 0 bezeichnet. Betrachtet man die Menge und ihre Potenzmenge als aktual unendliche Mengen, so ergeben sich verschiedene Grade der Unendlichkeit, die als Kardinalzahlen bezeichnet werden. Die Gesamtheit der Kardinalzahlen erweist sich dann als zu groß, um noch als Menge begriffen zu werden. Gleichwohl ist der Begriff Kardinalzahl eine Verallgemeinerung der Elementanzahl einer (endlichen) Menge. Unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen wird die Mächtigkeit der Potenzmenge von A, auch bei unendlichen Mengen, mit 2 A bezeichnet. 0 Die Kardinalzahl der Potenzmenge von, 2, also die Kardinalzahl der reellen Zahlen, wird mit c oder mit bezeichnet. Die Frage, ob diese Zahl 1 (die nächstgrößere Kardinalzahl nach 0 ) ist, ist Gegenstand der Kontinuumshypothese. 2.6. Beispiele Die Menge aller zweistelligen Schnapszahlen lautet {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht. Die Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...} ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Wir betrachten die Mengen X = {1, 2, 3}, A = {1, 2} und B = {1, 3}. Es gelten: 2 A, 2 B A X, B X, X X A X, B X A B = {1} A B = X Für die Komplemente bezüglich X gilt A C = {3}, B C = {2}, X C =, C = X. A \ B = {2}, B \ A = {3}, X \ A = {3}, A \ X = A B = {2, 3}, A X = {3}, B X = {2} X = 3, A = B = 2, = 0, { = 1 (A) = {,{1}, {2}, {1, 2}} (X) = {, A B, B C, B\A, A, B, A B, A B} A B = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}, A {3} = {(1, 3), (2, 3)}, A 2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, {3} 3 = {(3,3,3)}, { ( ) = { }, ({ }) = {, { }} A = A = 2.7. Gesetzmäßigkeiten Die Menge (X) ist bezüglich der Relation partiell geordnet, denn für alle A, B, C X gilt: Reflexivität: A A Antisymmetrie: Aus A B und B A folgt A = B Transitivität: Aus A B und B C folgt A C Die Mengen Operationen Schnitt und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv: Assoziativgesetz: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) Kommutativgesetz: A B = B A, A B = B A Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) De Morgansche Gesetze: C(A B) = CA CB, C(A B) = CA CB 7

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: Assoziativgesetze: (A \ B) \ C = A \ (B C) und A \ (B \ C) = (A \ B) (A C) Distributivgesetze: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), A \ (B C)= (A \ B) (A \ C) und A \ (B C)= (A \ B) (A \ C) Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: Assoziativgesetz: (A B) C = A (B C) Kommutativgesetz: A B = B A Distributivgesetz: (A B) C = (A C) (B C) A = A; A A = Die Algebra der Mengen ist eine sogenannte Boolesche Algebra. 2.8. Sonstiges Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene oder des dreidimensionalen euklidischen Raumes werden aus historischen Gründen oder, um einen Hinweis auf die darin enthaltenen Elemente zu geben, oft Punktmengen genannt. Dieser Begriff bezeugt die geometrische Herkunft der Mengenlehre. In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut, von den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen (und evtl. weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus). In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große Bedeutung erlangt. Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene auf. Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen dienen Mengendiagramme. Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge und denen einer anderen werden durch Zuordnungen (Relationen) beschrieben, eindeutige Zuordnungen durch Abbildungen (Funktionen). 8