2 Fortführung der Differenzialrechnung... 48

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Grenzwerte................................................................................... 10 1.1 Rekursive und explizite Vorgabe einer Folge........................................................... 12 1.2 Geometrische Folgen...................................................................................... 19 1.3 Geometrische Reihen Zusatz............................................................................ 24 1.4 Grenzwert einer Folge..................................................................................... 28 1.5 Anwendung des Grenzwertbegriffs....................................................................... 34 1.5.1 Die Euler sche Zahl e als Grenzwert einer Folge............................................. 34 Blickpunkt: Die Zahl e beim Kugel-Fächer-Problem........................................................ 37 1.5.2 Das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Näherungswerten für eine Nullstelle Schüler-Referat.................................................................................. 39 1.6 Aufgaben zur Vertiefung................................................................................... 41 Kompetenz-Check................................................................................................ 43 Bleib fit in Differenzialrechnung........................................................................ 45 2 Fortführung der Differenzialrechnung........................................................... 48 2.1 Wendepunkte und höhere Ableitungen................................................................. 50 2.1.1 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte...................................................... 50 2.1.2 Höhere Ableitungen und Krümmungsverhalten.............................................. 54 2.2 Kriterien für Extrem- und Wendepunkte................................................................ 56 2.2.1 Kriterien für Extremstellen...................................................................... 56 2.2.2 Kriterien für Wendestellen....................................................................... 63 2.2.3 Anwenden der Kriterien zur Untersuchung von Funktionen................................ 66 2.3 Vermischte Aufgaben...................................................................................... 71 2.4 Extremwertaufgaben....................................................................................... 74 2.5 Funktionenscharen......................................................................................... 80 2.6 Aufgaben zur Vertiefung................................................................................... 86 Kompetenz-Check................................................................................................ 88 3 Lineare Gleichungssysteme............................................................................ 90 3.1 Gauss-Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems.................................. 92 3.2 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen.................. 98 Blickpunkt: Computertomografie............................................................................ 102 Kompetenz-Check............................................................................................. 103

6 Inhaltsverzeichnis 4 Funktionsanpassungen................................................................................. 104 4.1 Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften....................... 106 4.2 Ausgleichende Interpolation Regression........................................................... 113 4.3 Taylor-Approximation Schüler-Referat............................................................ 118 4.4 Aufgaben zur Vertiefung................................................................................. 120 Kompetenz-Check.............................................................................................. 122 5 Integralrechnung.......................................................................................... 124 5.1 Der Begriff des Integrals................................................................................ 126 5.1.1 Orientierte Flächeninhalte Geometrische Definition des Integrals................... 126 5.1.2 Integrale näherungsweise berechnen Grenzwertdefinition des Integrals............ 132 5.2 Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand Integralfunktionen.............................. 140 5.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.................................................. 147 5.4 Integration mithilfe von Stammfunktionen.......................................................... 152 5.5 Berechnen von Flächeninhalten........................................................................ 157 5.5.1 Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-achse.............................. 157 5.5.2 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen.................................................... 162 5.6 Weitere Anwendungen der Integralrechnung........................................................ 167 5.6.1 Volumina von Rotationskörpern.............................................................. 167 Blickpunkt: Volumenbestimmung bei nicht rotationssymmetrischen Körpern....................... 172 5.6.2 Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion............................................. 174 5.7 Aufgaben zur Vertiefung................................................................................. 178 Exkurs: Integralrechnung im Altertum die Exhaustions-Methode.................................... 182 Kompetenz-Check.............................................................................................. 184 Bleib fit in Exponentialfunktionen und Logarithmen....................................... 186 6 Exponentialfunktionen weitere Ableitungs- und Integrationsregeln....... 190 6.1 Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen.......................................... 192 6.1.1 Die e-funktion................................................................................... 192 6.1.2 Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen................... 197 6.2 Ketten-, Produkt- und Quotientenregel............................................................... 199 6.2.1 Kettenregel....................................................................................... 199 6.2.2 Produktregel..................................................................................... 203 6.2.3 Quotientenregel Zusatz...................................................................... 205 6.3 Ableitung der Logarithmusfunktion Zusatz........................................................ 207 6.4 Integration durch lineare Substitution............................................................... 208 6.5 Funktionsuntersuchungen............................................................................... 210 6.5.1 Untersuchung von Exponentialfunktionen.................................................. 210 6.5.2 Untersuchung von Funktionenscharen....................................................... 216

Inhaltsverzeichnis 7 6.6 Wachstumsprozesse...................................................................................... 219 6.6.1 Beschreibung von Wachstumsprozessen mithilfe der e-funktion selbst lernen... 219 6.6.2 Differenzialgleichung exponentieller Prozesse............................................. 225 6.6.3 Begrenztes Wachstum........................................................................... 230 6.6.4 Logistisches Wachstum........................................................................ 234 6.6.5 Vermischte Aufgaben........................................................................... 238 Kompetenz-Check.............................................................................................. 240 Bleib fit im Umgang mit Vektoren und Geraden................................................ 242 7 Ebenen......................................................................................................... 246 7.1 Parameterdarstellung einer Ebene..................................................................... 248 7.2 Punktprobe in der Parameterdarstellung einer Ebene selbst lernen.......................... 253 7.3 Koordinatengleichung und Schrägbild einer Ebene................................................. 255 7.4 Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene....................................... 259 Blickpunkt: Licht und Schatten.............................................................................. 263 7.5 Lagebeziehungen von Ebenen........................................................................... 265 7.6 Aufgaben zur Vertiefung................................................................................. 269 Kompetenz-Check.............................................................................................. 270 8 Skalarprodukt von Vektoren Berechnen geometrischer Größen................ 272 8.1 Länge eines Vektors Abstand zweier Punkte....................................................... 274 8.2 Orthogonalität von Vektoren Winkelberechnung.................................................. 277 8.2.1 Orthogonalität zweier Vektoren Skalarprodukt........................................... 277 8.2.2 Winkel zwischen zwei Vektoren............................................................... 283 8.3 Normalenvektor und Koordinatengleichung einer Ebene........................................... 287 8.4 Parameterdarstellung und Koordinatengleichung einer Ebene.................................... 292 8.5 Untersuchungen von Lagebeziehungen mithilfe von Normalenvektoren selbst lernen.... 295 8.6 Aufgaben zur Vertiefung................................................................................. 300 Kompetenz-Check.............................................................................................. 302 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen.................................. 304 9.1 Bestimmen von Abständen zwischen Geraden und Ebenen........................................ 306 9.1.1 Abstand eines Punkes von einer Ebene..................................................... 306 9.1.2 Die Hesse sche Normalenform einer Ebene.................................................. 309 9.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden.................................................. 312 9.1.4 Abstand zueinander windschiefer Geraden................................................. 317 9.1.5 Operatives Verfahren Schüler-Referat.................................................... 320 9.2 Winkel zwischen Geraden und Ebenen................................................................ 322 9.2.1 Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene............................................ 322 9.2.2 Winkel zwischen zwei Ebenen selbst lernen............................................. 325 Exkurs: Descartes und die Entstehung der Analytischen Geometrie................................... 328

8 Inhaltsverzeichnis 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren....................................................................... 330 9.3.1 Beweisen mithilfe von Linearkombinationen............................................... 330 9.3.2 Beweisen mithilfe von Skalarprodukten..................................................... 334 Kompetenz-Check.............................................................................................. 337 Bleib fit in Binomialverteilungen..................................................................... 340 10 Testen von Hypothesen bei binomialverteilten Zufallsvariablen............... 342 10.1 Alternativtest.......................................................................................... 344 10.1.1 Entscheidungsverfahren und mögliche Fehler.......................................... 344 10.1.2 Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit................... 350 10.2 Einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest (Binomialtest)................................... 353 10.2.1 Einseitiger Hypothesentest (Binomialtest)................................... siehe S. 453 10.2.2 Zweiseitiger Hypothesentest (Binomialtest)........................................... 353 10.3 Varianz und Standardabweichung.................................................................... 356 10.4 Wahrscheinlichkeiten von Sigma-Umgebungen.................................................... 360 10.4.1 Sigma-Umgebungen Sigma-Regeln..................................................... 360 10.4.2 Anwendung der Sigma-Regeln: Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe.. 364 10.5 Hypothesentest bei großem Stichprobenumfang................................................. 370 Kompetenz-Check.............................................................................................. 374 11 Normalverteilungen.................................................................................... 376 11.1 Approximation von Binomialverteilungen durch Normalverteilungen......................... 378 11.2 Normalverteilte Zufallsvariablen selbst lernen................................................. 384 11.3 Bestimmen der Kenngrößen normalverteilter Zufallsvariablen.................................. 388 11.4 Testen von Hypothesen bei normalverteilten Zufallsvariablen.................................. 392 11.4.1 Erwartungswert und Standardabweichung des Stichprobenmittels................. 392 11.4.2 Prognosen für das Stichprobenmittel.................................................... 396 11.4.3 Testen von Hypothesen über das Stichprobenmittel.................................. 397 Exkurs: Stetige Zufallsvariablen............................................................................... 399 Kompetenz-Check.............................................................................................. 402 12 Vorbereitung auf das Abitur....................................................................... 404 12.1 Aufgaben zum Pflichtteil.............................................................................. 404 12.2 Aufgaben zum Wahlteil............................................................................... 410 12.2.1 Analysis....................................................................................... 410 12.2.2 Analytische Geometrie..................................................................... 415 12.2.3 Stochastik.................................................................................... 421 12.2.4 Vernetzte Aufgaben......................................................................... 428

Inhaltsverzeichnis 9 Anhang.............................................................................................................. 433 Lösungen zum Kompetenz-Check.............................................................................. 433 Stichwortverzeichnis............................................................................................ 440 Verzeichnis mathematischer Symbole........................................................................ 441 10.2.1 Einseitiger Hypothesentest (Binomialtest)....................................................... 453 Im Buch verwendete Symbole Alternativer Einstieg Partnerarbeit Gruppenarbeit thematisiert häufige Schülerfehler Einsatz eines Computer-Algebra-Systems sinnvoll Aufgabe zu einem Zusatzthema kennzeichnet Zusatzthemen kennzeichnet Abschnitte zum Selbst lernen In diesem Band wird an einigen Stellen auf die CD-ROM Mathematik interaktiv verwiesen, die dem Band 6 Elemente der Mathematik Baden-Württemberg beiliegt. Unter der ISBN 978-3-507-83996-0 können Sie diese CD auch einzeln bestellen.