Physik Schwingungen & Wellen Impulse S. 39 49, 289-316 1. Schwingungen In der Natur treten Schwingungen in vielfältiger Weise auf: Eine Schaukel pendelt hin und her, eine angezupfte Gitarrensaite schwingt auf und ab, Ihre Stimmbänder schwingen beim Sprechen hin und her, Wasserwellen schwingen auf und ab, das Gewicht einer Pendeluhr schwingt hin und her, die Membran eines Lautsprechers schwingt vor und zurück, beim Schall handelt es sich um eine Schwingung und sogar die Lichtausbreitung ist ein Schwingungsvorgang. Die Schwingungs- und Wellenlehre ist eines der wichtigsten und interessantesten Teilgebiete der Physik! Bevor wir uns tiefer mit den Phänomenen, die in Zusammenhang mit Schwingungen auftauchen, beschäftigen werden, sehen wir uns drei typische Beispiele von Schwingungen an: a) Fadenpendel b) Federpendel c) Flüssigkeit im U-Rohr a) Fadenpendel (Impulse S. 293): l F G : Gewichtskraft (= m g) F P : rücktreibende Kraft y: momentane Auslenkung m: Masse l: Länge des Fadens y F P F G m Aus Ähnlichkeit der Dreiecke folgt: F y P = F mg = mg y l P y l Die maximale Auslenkung y 0 nennt man die Amplitude der Schwingung. Die Schwingungsdauer T (für eine Hin- und Herbewegung) eines solchen schwingenden Systems kann man messen. Man stellt folgendes fest: Abhängigkeit von der Masse: Abhängigkeit von der Fadenlänge: Abhängigkeit von der Amplitude: Physik - Schwingungen & Wellen 1
Man findet folgende Formel für die Schwingungsdauer (bei kleiner Amplitude): l T = 2π g Die Schwingungsdauer hängt also nicht von der Amplitude ab!! b) Federpendel (Impulse S. 290): Ruhelage m Dehnung Stauchung F F y y F F : rücktreibende Federkraft Das Kraftgesetz bei Federn lautet: F = F D y y Die Kraft zeigt entgegengesetzt zur Auslenkung. y: momentane Auslenkung D: Federkonstante (Einheit: N/m) Auch hier können wir eine Formel für die Schwingungsdauer T (Zeit für eine Auf- und Abbewegung) angeben: Abhängigkeit von der Masse: Abhängigkeit von der Federhärte: T = 2π m D Auch hier hängt die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude ab!! c) Flüssigkeit im U-Rohr: y y Rücktreibende Kraft F U hängt hier von der Höhe der Wassersäule gegenüber der Ruhelage ab. y: momentane Auslenkung Auch hier lässt sich zeigen: F U y Hier sind einige Feststellungen zu den eben betrachteten drei Beispielen: - In allen Fällen wirken Kräfte gegen die Ruhelage des Systems (rücktreibende Kräfte). - Die Trägheit der schwingenden Masse bewirkt, dass die Schwingung aufrecht erhalten wird. - Der allmähliche Stillstand wird durch äussere Reibungskräfte erzwungen. Der lineare Zusammenhang zwischen rücktreibender Kraft und Auslenkung (F y) hat eine wesentliche Bedeutung: Er führt uns zum Begriff der harmonischen Schwingung. Physik - Schwingungen & Wellen 2
Exp: Pendeluhr mit Rückkopplung (Kompensation der Reibungsverluste) Gewichtsstein gibt pot. Energie an Pendel ab, Schwingung bleibt so erhalten (Impulse S. 297) Aufgaben: (g = 9.81 m/s 2 ) 1) Die Fadenlänge eines Fadenpendels beträgt 0.6 m und die angehängte Masse ist 2 kg. Wie gross ist die Schwingungsdauer dieses Fadenpendels? Wie gross ist dessen Frequenz (f = 1/T)? 2) Wie lange muss der Faden eines Pendels sein, damit die Schwingungsdauer gerade 1 s dauert? 3) Die Masse an einem Federpendel beträgt 3 kg. Die Schwingungsdauer beträgt 2.3 s. Wie gross ist die Federkonstante? 4) Ein Federpendel und ein Fadenpendel werden auf den Mond gebracht. Wie ändern sich deren Schwingungszeiten qualitativ gegenüber auf der Erde? 1.1. Harmonische Schwingung Impulse S. 291-292 Eine harmonische Schwingung kann durch eine Cosinus- oder Sinusfunktion beschrieben werden (mathematische Herleitung ist nicht ganz einfach, man benötigt Differentialrechnung). Wir zeigen dies an Hand eines Experimentes: Exp.: Federpendelschwingung und geeignete Schattenprojektion einer Kreisbewegung Parameter: - T Schwingungsdauer (Umlaufszeit) - y 0 : Amplitude Die Auslenkung y(t) an einem bestimmten Ort (Auslenkung zum Zeitpunkt t) kann dann folgendermassen beschrieben werden: t y(t) = y0 cos(2π ) = y0 cos( ω t) T Die Auslenkung eines schwingenden Systems lässt sich als Funktion der Zeit grafisch darstellen: Auslenkung y 0 T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 Zeit t -y 0 Exp.: Stimmgabel und Russplatte (Impulse S. 40) Physik - Schwingungen & Wellen 3
Lösungen von S. 3: 1) Formel für Fadenpendel T = 1.55 s f = 0.64 Hz l m 2) T = 2π = 1s l = 24.8 cm 3) T = 2π D = 22.4 N/m g D 2. Wellen Impulse S. 302ff Wir wollen jetzt viele gleichartige harmonische Oszillatoren (ein schwingungsfähiges System nennt man auch einen Oszillator) betrachten, die durch Kopplungskräfte miteinander verbunden sind. Was geschieht, wenn ein Oszillator in harmonische Schwingung versetzt wird? Exp.: Gekoppelte Pendel Resultat: Wegen der Kopplung gerät auch das zweite Pendel in Schwingung. Die Pendel befinden sich im Mittel an ihrem festgemachten Ort, aber die wird transportiert. Was würde passieren, wenn viele solcher gekoppelten Pendel hintereinander angeordnet wären? Exp.: Simulation Pendelkette Betrachtung einer Seilwelle: Zeitpunkt 1: Zeitpunkt 2: Zeitpunkt 3: Zeitpunkt 4: Zeitpunkt 5: Wegen der Kopplung geraten auch alle übrigen Oszillatoren (hier: Masseteilchen des Seils) in Schwingung. Weil aber die Masseteilchen (= Seilabschnitte) Trägheit besitzen, tritt jeder nachfolgende Seilabschnitt etwas später in die Schwingung ein als der vorhergehende, so dass ein nachfolgender Seilabschnitt in seiner Bewegung relativ zum vorhergehenden etwas nacheilt. Es kommt zur Ausbildung einer Wellenbewegung. Wellenberge und Wellentäler pflanzen sich in Seilrichtung mit einer bestimmten Ausbreitungsgeschwindigkeit c fort. Physik - Schwingungen & Wellen 4
Auslenkung y(x) Der Abstand von Wellenberg zu Wellenberg nennt man die Wellenlänge der Welle. Es gilt: c = f Ausbreitungsrichtung x Die Auslenkung y(x) ist als Funktion des Ortes für einen bestimmten Zeitpunkt dargestellt. "Wenn man das Licht schnell genug anschaltet, kann man sehen, wie die Dunkelheit aussieht." Aufgaben: 1) Schallwellen haben in Luft eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von 340 m/s. Welche Wellenlänge besitzt die Schallfrequenz von 440 Hz (Kammerton a)? 2) Betrachten Sie das Tonintervall c-a (C-Dur Tonleiter: Intervall ist eine 'Grosse Sexte'). Das Frequenzverhältnis einer grossen Sexte beträgt 5/3. Berechnen Sie die Frequenz des Tones c und dessen Wellenlänge in Luft. Wellengleichung: Die Auslenkung y(x,t) eines schwingenden Systems zur Zeit t am Ort x kann folgendermassen geschrieben werden (= Welle): x t y(x, t) y cos(2 2 T ) y cos(2 x = 0 π m π = 0 π m ω t) Das '-' ('+')-Zeichen beschreibt eine Welle die sich in positiver (negativer) x-richtung ausbreitet. 2.1. Transversalwellen und Longitudinalwellen Impulse S. 303 Wir betrachten eine Welle, die sich entlang der x-richtung ausbreitet. Wenn die Auslenkung der schwingenden Systeme (Oszillatoren) quer zur Ausbreitungsrichtung erfolgt, so spricht man von einer Transversalwelle. Wenn die Auslenkung der Oszillatoren längs der Fortpflanzungsrichtung erfolgt ("Verdichtungen" und "Verdünnungen"), so spricht man von einer Longitudinalwelle. Physik - Schwingungen & Wellen 5
Beispiele (aus Experiment): a) Transversalwelle: b) Longitudinalwelle: Longitudinalwellen können sich in allen Körpern ausbreiten. Transversalwellen können sich in Flüssigkeiten und Gasen (fast) nicht ausbreiten. Lösungen von Seite 5: 1) Aus c = f = 0.77 m 2) Aus Frequenzverhältnis f C = 264 Hz, mit c = f C = 1.29 m 2.2. Reflexion von Wellen Am Ende eines schwingenden Systems werden die Wellen reflektiert. Sie kennen diesen Sachverhalt als Echo bei Schallwellen. Es treten dabei zwei verschiedene Fälle auf: Am festen Ende wird ein Wellenberg einer Transversalwelle als Wellental reflektiert. Am freien Ende wird ein Wellenberg einer Transversalwelle als Wellenberg reflektiert. Bei einer Longitudinalwelle wird bei der Reflexion am festen Ende (Bsp: Wand) eine Verdichtung/Verdünnung wieder als Verdichtung/Verdünnung reflektiert. Reflexion am offenen Ende (Bsp: offene Röhre oder Tunnelausgang) gehen Verdichtungen in Verdünnungen über und umgekehrt. Aufgaben: 1) Sie befinden sich in den Bergen. Es hat starken Nebel und Ihre Sicht ist deshalb auf 20 m beschränkt. Sie wissen, dass sich vor Ihnen eine Felswand befindet. Sie rufen laut in den Nebel und nehmen Ihr Echo nach 3.5 s wahr. Wie weit ist die Felswand von Ihnen entfernt? [595 m] 2) Wir betrachten zwei auseinander laufende Wellen auf einem Seil. Welle 1 läuft nach links und wird am festen Ende reflektiert. Welle 2 läuft nach rechts und wird am losen Ende reflektiert. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf dem Seil ist 1 m/s. Physik - Schwingungen & Wellen 6
a) Zeichnen Sie die Situation zur Zeit t = 6 s. s [m] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t=0s t=6s t=8s b) Zeichnen Sie die Situation zur Zeit t = 8 s (Einzelwellen und Überlagerung). 2.3. Überlagerung von Wellen (Interferenz) Impulse S. 294 295, 305-306 Welche Bewegung führt ein schwingungsfähiger Massenpunkt aus, wenn er gleichzeitig von mehreren Wellenzügen erreicht wird? Resultat: a) Konstruktive Interferenz: Überlagerung führt zur Verstärkung (in Phase) 2 1 0 0 90 180 270 360 450 540 630-1 -2 b) Destruktive Interferenz: Überlagerung führt zur Auslöschung (Phasenunterschied /2) 1.6 0.8 0 0 90 180 270 360 450 540 630-0.8-1.6 Physik - Schwingungen & Wellen 7
c) allgemeiner Fall: 2 1 0 0 90 180 270 360 450 540 630-1 -2 Beispiel: Wir betrachten Oberflächenwasserwellen. Gegeben sind zwei Wellenzentren A und B. Von diesen beiden Punkten laufen die Wellen kreisförmig auseinander. A x 1 P Annahme: Die Kreiswellen haben gleiche Wellenlänge und die Punkte A und B x 2 schwingen im Takt. B Konstruktive Interferenz im Punkt P: Destruktive Interferenz im Punkt P: Exp.: 2 Lautsprecher erzeugen bei einer festgewählten Frequenz ein Interferenzmuster im Raum "Die Wege der Natur sind geheimnisvoll, doch alles in allem sind sie zweckmässig." Exp.: Schwebung mit 2 Stimmgabeln (Impulse S. 295) Zwei Töne unterschiedlicher Frequenz (Frequenzen nahe beieinander) aber mit gleicher Amplitude interferieren (überlagern sich). Was ergibt sich als resultierende Schwingung. Was hören wir? 6 4 Auslenkung y Ton 1 Ton 2 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Zeit t -2-4 -6 Exp: 2 Töne überlagern Darstellung auf dem KO Physik - Schwingungen & Wellen 8
2.4. Stehende Wellen / Resonanzen von schwingenden Systemen Impulse S. 296 297, 307 Wieso ertönt bei einer richtig gestimmten klassischen Gitarre beim Anzupfen der untersten Saite immer der Ton E? Wieso weiss die Gitarre, dass sie diesen Ton erklingen lassen muss; könnte sie nicht auch einen anderen Ton erklingen lassen? Dieselben Fragen gelten beispielsweise auch für eine Orgelpfeife: Wieso klingt gerade diese Tonhöhe an? Es macht den Anschein, dass ein schwingendes System (= Oszillator) nur bestimmte Schwingungsfrequenzen zulässt, sogenannte Eigenfrequenzen. Ein Oszillator kann durch eine äussere periodisch wirkende Kraft angeregt werden. Der Oszillator schwingt unter der Wirkung einer äusseren Kraft bei der aufgezwungenen Erregerfrequenz. Die Schwingung des Oszillators ist besonders stark, wenn die Erregerfrequenz nahe bei einer Eigenfrequenz liegt (= Resonanzfall) und wenn die Dämpfung des Systemes gering ist. a) keine Dämpfung b) mittlere Dämpfung c) stark gedämpft Exp.: - 2 Stimmgabeln in Resonanz sie regen sich gegenseitig an - Schwingendes Gummiband (Saite eines Instrumentes) - Schwingende Platten (Chladni-Figuren) - Film über Tacoma-Brücke Beobachtung: Nur bei bestimmten Anregungsfrequenzen schwingt das Gummiband an. Man nennt diese die Resonanzfrequenzen (oder Eigenfrequenzen). Es existiert eine tiefste Resonanzfrequenz f 0. Man nennt diese Schwingung die Grundschwingung des Systems. Diese erzeugt den Grundton einer Saite. Die weiteren Schwingungen nennt man Oberschwingungen, diese erzeugen die Obertöne. Bei Anregungsfrequenzen zwischen diesen Resonanzfrequenzen ist das Gummiband (Saite) praktisch in Ruhe (vorwärtslaufende Welle löscht reflektierte Welle aus Zusammenspiel von Reflexion und Interferenz). Es existieren Orte auf der Saite, an denen die Auslenkung dauernd verschwindet. Man nennt diese Orte: Der Abstand zwischen zwei beträgt. Physik - Schwingungen & Wellen 9
Die Resonanzfrequenzen lassen sich wie folgt berechnen: f = n f 0 (n = 1, 2, 3,...) Auf der Länge L der Saite liegt ein ganzzahliges Vielfaches einer halben Wellenlänge: L = n 2 (n = 1, 2, 3,...) Die Grundschwingung ist durch die Geometrie (Länge) der Saite festgelegt: c = c c f f = 0 = 2 L Pfeifeninstrumente haben auch nur ganz bestimmte Resonanzfrequenzen. An einem festen (gedeckten) Ende entsteht ein Schwingungsknoten, am offenen Ende ein Schwingungsbauch. Für eine offene Pfeife ergibt sich dieselbe Grundfrequenz wie bei einer Saite: f = 0 c c = 2 L Eine einseitig gedeckte Pfeife hat die Grundfrequenz: c c f = 0 = 4 L Aufgaben: 1) Eine Gitarrensaite ist 57 cm lang. Beim Anzupfen ertönt ein a (440 Hz). a) Wie gross ist die Wellenlänge der Grundschwingung? b) Wie gross ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf der Saite? 2) Wieso ertönt beim Anzupfen einer Saite ein höherer Ton, wenn man die Saitenspannung durch Drehen an der Schnecke erhöht? Was ändert sich bei der Veränderung der Saitenspannung? 3) Berechnen Sie die ersten 6 Frequenzen der Oberschwingungen der a-saite. a) Betrachten Sie die Oktave a' zur a-saite (doppelte Frequenz): Berechnen Sie die ersten 3 Oberschwingungen. Was stellen Sie fest? b) Betrachten Sie die Quinte zur a-saite (Ton e): Berechnen Sie die ersten 3 Oberschwingungen. Was stellen Sie fest? 4) Bei einer Panflöte ertönt der Ton c (528 Hz). Wie lang ist die Pfeife? 5) Eine offene Orgelpfeife wird geschlossen. Wie ändert sich die Tonhöhe? Beim Anzupfen einer Saite oder Blasen einer Pfeife entsteht ein Klang. Ein Klang ist aus dem Grundton und den Obertönen zusammengesetzt. Da die Grundschwingung im allge- Physik - Schwingungen & Wellen 10
meinen die meiste Energie abstrahlt, bestimmt der Grundton die Klanghöhe, während die Obertöne die Klangfarbe festlegen. Kommentar zu Konsonanz und Dissonanz: Vor 2500 Jahren fiel dem Griechen Pythagoras auf, dass zwei gleichartige Saiten nur dann angenehm zusammenklingen, wenn ihre Längen in einem einfachen Zahlenverhältnis stehen, wie etwa 1:2 oder 2:3. Ist dies nicht der Fall, so ertönt ein Missklang. Pythagoras musste sich mit der Feststellung dieses Sachverhaltes begnügen. Wenn sich die Längen der Saiten wie 1:2 verhalten, so stehen die Frequenzen der Grundschwingungen im Verhältnis 2:1. Es erklingt die Oktave, welche als ausgesprochen angenehm empfunden wird. Wie man am Frequenzspektrum sieht (siehe Aufgabe 3), hat der höhere Klang nur Obertöne, welche auch im tieferen Klang enthalten sind. Wenn sich die Längen der Saiten wie 2:3 verhalten, so stehen die Frequenzen der Grundschwingungen im Verhältnis 3:2. Es erklingt die Quint (siehe Verhältnisse im Formeln und Tafeln Seite 169), welche ebenfalls einen angenehmen Eindruck macht. Diesmal ist jeder zweite Oberton des höheren Klanges im tieferen Klang enthalten. Je komplizierter das Zahlenverhältnis der Saitenlängen wird, desto geringer wird die Zahl der gemeinsamen Obertöne, desto dissonanter wird das Zusammenklingen. Wir kommen zu folgendem Ergebnis: Zwei Klänge werden als wohlklingend (konsonant) empfunden, wenn sie viele gemeinsame Obertöne besitzen. Andernfalls sind die Klänge misstönend (dissonant). Will man die Klangfarbe verändern, so muss man die Ausbildung der Obertöne beeinflussen. Die Obertöne sind es, die den Klangcharakter eines Instrumentes festlegen. Eine Violine beispielsweise produziert viel mehr Obertöne als ein Klavier. Unser Ohr zerlegt einen Klang in seine Grundbestandteile: In der Gehörschnecke wird mit der Basilarmembran ein Klang nach seinen Frequenzbestandteilen analysiert. Frequenzspektrum Neuere technische Geräte können ebenfalls einen Klang in sein Frequenzspektrum zerlegen, man nennt diesen Vorgang Fourieranalyse. Dieser Vorgang ist beispielsweise sehr wichtig bei der computerunterstützten Spracherkennung. Lösungen zu Seite 10: 1) a) Grundschwingung: n = 1 = 2 L = 1.14 m b) c = f = 501.6 m/s Physik - Schwingungen & Wellen 11
2) Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert Frequenz ändert bei konstanter Wellenlänge c 4) Aus f0 = l = 16.1 cm 4 l 5) Siehe Pfeifen-Skizze verdoppelt sich Frequenz halbiert sich (tiefere Oktave) 2.5. Die Lautstärke Impulse S. 47 Die Lautstärke mit der ein Ton von uns empfunden wird, ist abhängig von der Energie, die die Schallwelle je Sekunde an unser Ohr transportiert (Die Energie nimmt quadratisch mit der Frequenz und der Amplitude der Schwingung zu). Ein geeignetes Mass für die transportierte Energie ist die Schallstärke oder intensität I. Die Einheit ist 1 W/m2. Die von uns wahrgenommene Lautstärke L (Schallpegel) nimmt aber nur logarithmisch mit der Schallintensität zu. L = 10 log 10 12 I W / m2 Einheit: db Unser Ohr ist nicht bei allen Frequenzen gleich empfindlich. zusätzliche Einheit: das Phon (1 Phon nehmen wir dann bei allen Frequenzen als gleich laut wahr) Dezibelwerte: 0 db Hörschwelle, 40 db normale Unterhaltung, 100 db Motorrad ohne Schalldämpfer, 120 db Flugzeug in 4 m Abstand, 130 db Schmerzgrenze Aufgabe: Ein Motorrad erzeugt eine Schallstärke I = 10-4 W/m2. Wie gross ist die Lautstärke von 1 / 100 Motorrädern? [L1 = 80 db, L100 = 100 db] "Die Situation ist nicht nur verzwickter als Sie sich vorgestellt haben, sie ist verzwickter als Sie sich überhaupt vorstellen können!" Physik - Schwingungen & Wellen 12
2.6. Interferenz von Kugelwellen / Beugung am Doppelspalt Impulse 2 S. 45, 309, 319-320 Am Schluss des Kapitels 2.3. haben wir gesehen, dass bei der Interferenz zweier Kugelwellen (Lautsprecher-Experiment) die resultierende Welle vom Ort abhängt: Es gibt Stellen im Raum, wo sich die Wellen verstärken und Stellen, wo sie sich auslöschen. Dies können wir uns einfach mit zwei Kreis- oder Kugelwellenbildern veranschaulichen: Aufgabe: Überlagern Sie mit der Folie die beiden Kreiswellen (Annahme: Die dunklen Kreise stellen die Wellenberge dar). Was entsteht? Was stellen die hellen und dunklen Bereiche dar? Helle Bereiche: Dunkle Bereiche: Je näher die Ursprungspunkte der Kreiswellen, desto weiter auseinander sind die einzelnen Hell- und Dunkelbereiche. Quantitativ lassen sich die Richtungen konstruktiver Interferenz wie folgt beschreiben: Intensitätsmaxima (konstruktive Interferenz) entstehen in folgende Richtungen: α m Es gilt: d α m sin( αm) = m d: Spaltabstand d m = 0, 1, 2,... : Wellenlänge Aufgaben: 1) Zwei Lautsprecher stehen 2 m voneinander entfernt und schauen in dieselbe Richtung. Beide senden einen Ton von 500 Hz aus. In welcher Richtung (α 1 ) wird das erste Maximum (maximale Überlagerung) ausgesendet? 2) Gleiche Lautsprecheranordnung wie Aufgabe 1. Die Frequenz des ausgesendeten Tones ist unbekannt. Man misst einen Ablenkwinkel (α 2 ) für das zweite Ablenkmaximum von 35. Bestimmen Sie die Frequenz f. Physik - Schwingungen & Wellen 13
3) Der Strahl eines Helium-Neon Laser (He-Ne Wellenlänge 632.8 nm) fällt auf ein Gitter mit 500 Spalten/mm. a) Unter welchen Winkeln werden die 1. und 2. Beugungsordnung abgestrahlt? b) Wie viele Beugungsmaxima gibt es? 4) Welches Licht wird stärker gebeugt, das mit kleiner Wellenlänge (Bsp: violett, = 400 nm) oder das mit grosser Wellenlänge (Bsp: rot, = 800 nm)? Wie sieht demnach das Bild auf dem Schirm aus, wenn wir ein Gitter mit weissem Licht beleuchten? Wer zuletzt lacht, hat die Pointe nicht eher verstanden. Exp.: Bestimmung des Rillenabstandes einer CD (Praktikumsversuch) Lösungen zu Seite 13 & 14: 1) Aus c = f, in Beugungsformel einsetzen: α 1 = 19.9 2) Aus Beugungsformel (m = 2), mit c = f f = 592.8 Hz 3) a) In Beugungsformel: α 1 = 18.4, α 2 = 39.3 b) sin( αm) = m 1 m 3.2 je 3 auf beiden Seiten der Symmetrieachse d 4) 2.7. Dopplereffekt Impulse S. 304 Im Jahre 1842 wies der österreichische Physiker Christian Doppler darauf hin, dass die Tonhöhe nicht durch die Frequenz der Schallquelle festgelegt wird, sondern durch die Frequenz, mit der die Schallwellen ans Ohr des Beobachters treffen. Doppler untersuchte zwei Spezialfälle: 1) Schallquelle ruht und Beobachter bewegt sich 2) Beobachter ruht und Schallquelle bewegt sich Exp.: Autorennen... Wie ändert sich der Motorengeräusch? Wir betrachten im Experiment (Kreiswellen in Wellenwanne) den Spezialfall Nr. 2: Ruhende Quelle Bewegte Quelle v Feststellung: Bewegt sich die Schallquelle auf den Beobachter zu, so stellt er eine Frequenz fest als bei ruhender Quelle. Bewegt sich die Schallquelle vom Beobachter weg, so ist das Gegenteil der Fall. Physik - Schwingungen & Wellen 14
Formal gilt folgender Zusammenhang: c ± vb fb = fq cm v wo: c: Schallgeschwindigkeit Q f Q : Frequenz der Quelle f B : Frequenz, die der Beobachter feststellt v B, v Q : Geschwindigkeit des Beobachters resp. der Schallquelle Das obere/untere Vorzeichen gilt für Annäherung/Entfernung! Aufgaben: 1) Ein ruhendes Auto sendet ein Motorengeräusch der Frequenz 400 Hz aus. Das Auto fährt nun mit einer Geschwindigkeit von 70 km/h auf einen ruhenden Beobachter zu. Welche Frequenz nimmt dieser Beobachter wahr? 2) Ein Auto fährt mit 20 km/h von Ihnen weg und sendet einen Hupton von 800 Hz aus (gemessen im Ruhezustand). Sie fahren mit dem Fahrrad diesem Auto nach. Welche Frequenz nehmen Sie wahr, wenn Sie ebenfalls mit 20 km/h fahren? 3) Sie stehen als ruhender Beobachter am Strassenrand. Ein Feuerwehrauto mit heulender Sirene fährt auf Sie zu. Sie stellen eine Sirenenfrequenz von f = 620 Hz fest. Das Auto fährt an Ihnen vorbei. Jetzt stellen Sie einen tieferen Ton der Frequenz f = 570 Hz fest. Wie schnell war das Feuerwehrauto? 4) Die Polizei misst die Geschwindigkeit von Autos mit Radarwellen? Wie könnte das funktionieren? 5) Bei einer Kreuzung steht eine Ampel auf Rot. Sie fahren mit Ihrem Auto (etwas) schnell auf diese Ampel zu. In dieser Situation könnte Ihnen eine Fehleinschätzung passieren. Welche? 6) Wie kommt es zum Überschallknall? Ein Objekt bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit von Punkt 1 bis 5 (Die Punkte 1 s v 1 2 3 4 5 bis 5 sind Orte mit jeweils gleichen Zeitintervallen zwischen zwei Punkten). Es sendet kontinuierlich einen Ton aus. Wenn das Objekt den Punkt 2 erreicht, hat die Schallwelle von Punkt 1 eine Strecke s zurückgelegt. Zeichnen Sie die Positionen der Schallwellen aller Punkte, wenn das Objekt beim Punkt 5 angelangt. Wo entsteht die Überschallknallwelle? Physik - Schwingungen & Wellen 15
Lösungen von Seite 15: 1) Einsetzen mit v B = 0 und unteres Vorzeichen - f B = 424 Hz 2) Einsetzen mit zwei + - Vorzeichen: f B = 800 Hz (Originalton) 3) Zweimal einsetzen in Gleichung mit v B = 0 2 Unbekannte (v Q, f Q ), auflösen nach v Q, v Q = 14.2 m/s = 51.4 km/h 4) Ein bewegtes Objekt (Auto) reflektiert eine etwas verschobene Radarfrequenz. Aus dem Frequenzshift lässt sich die Geschwindigkeit bestimmen (wie Fledermäuse sich mit ihrem Ultraschallsignal orientieren). 5) Die Wellenlänge des Lichtes wird verkleinert. Farbe erscheint plötzlich Grün... Dies ist übrigens in der Astronomie ein Standartverfahren zum Bestimmen der Geschwindigkeit eines Sternes/einer Galaxie: Beim Wegflug ergibt sich eine Rotverschiebung, bei der Annäherung erscheint ein Objekt blauer. Je weniger Kenntnis der Forscher besitzt, um so ferner fühlt er sich von Gott. Je grösser aber sein Wissen ist, um so mehr nähert er sich ihm. A. Einstein Das Leben enthält einen Vorteil, einen Nachteil und ein Rätsel. Der Vorteil: Geht es Dir schlecht - das geht vorbei. Der Nachteil: Geht es Dir gut - das geht vorbei. Das Rätsel: Worum geht es überhaupt? Es hat keinen Sinn Kinder und Jugendliche zu erziehen, - sie machen einem doch alles nach. Wissenschaft ohne Religion ist lahm, Religion ohne Wissenschaft ist blind. A. Einstein Physik - Schwingungen & Wellen 16
9.2.8. Ausbreitung von Wellen: Das Prinzip von Huygens Impulse S. 309 Christian Huygens, Holländischer Physiker, 1629-1695 Beobachtung: (an Wasserwellen) Eine ebene Welle prallt auf eine Hafenmauer mit einer kleinen Öffnung (Öffnung ist kleiner als die Wellenlänge). Es läuft nicht einfach der Teil der ebenen Welle weiter, die nicht ausgeblendet wurde, sondern hinter der Mauer bildet sich eine Kugelwelle (Kreiswelle)!! Huygens leitete daraus folgendes Prinzip für die Ausbreitung von Wellen ab: - Jeder Punkt eines schwingungsfähigen Mediums (z.b. Wasseroberfläche) wird zum Ausgangspunkt einer Kugelwelle (Elementarwelle), sobald er von einem Wellenzug erfasst wird. - Die neue Wellenfront ergibt sich aus der Überlagerung all dieser Elementarwellen. (Einhüllende dieser Elementarwellen) 1) Wellenberge und Wellentäler der Kugelwellen heben sich gegenseitig auf. 2) Die vorderste Front der Kugelwellen ist überall im gleichen Schwingungszustand: also maximale Überlagerung (neue Wellenfront). 1) 2) Bei den Lichtwellen werden wir den ganzen Auslösch- bzw. Überlagerungsmechanismus noch etwas quantitativer betrachten. Wir werden sehen, dass etwas salopp ausgedrückt folgender Sachverhalt gilt: & =!! Physik - Schwingungen & Wellen 17