NUMERIK FÜR ERHALTUNGSGLEICHUNGEN 1. Prof. Dr. Hans Babovsky. Institut für Mathematik. Technische Universität Ilmenau

NUMERIK FÜR ERHALTUNGSGLEICHUNGEN 1 Prof. Dr. Hans Babovsky Institut für Mathematik Technische Universität Ilmenau 1 Version von Frühjahr 21; die Vorlesung folgt weitgehend dem Buch Randall J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 199.

INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 1.1 Einführende Definitionen und Beispiele................... 2 1.2 Schwache Lösungen.............................. 6 1.2.1 Der verallgemeinerte Lösungsbegriff................. 6 1.2.2 Das Riemann-Problem........................ 7 1.2.3 Entropiebedingungen......................... 11 1.3 Lineare hyperbolische Systeme........................ 14 1.3.1 Charakteristische Variable...................... 14 1.3.2 Linearisierung nichtlinearer Systeme................ 17 2 Finite Differenzenverfahren 2 2.1 Diskretisierungen linearer Gleichungen................... 2 2.2 Konsistenz und Stabilität........................... 24 2.3 Unstetigkeiten und modifizierte Gleichungen................ 3 3 Konservative Verfahren 33 3.1 Das Konzept konservativer Methoden.................... 33 3.2 Die Methode von Godunov.......................... 38 3.3 Näherungsweise Riemann-Löser....................... 44 3.4 Der Roe-Löser................................. 47

1 EINFÜHRUNG 2 1 Einführung 1.1 Einführende Definitionen und Beispiele A Erhaltungsgleichungen in einer Raumdimension Im Folgenden sei t die Zeitvariable, x die Ortsvariable und f : lr lr eine geeignete Funktion, genannt Flussfunktion. Eine Erhaltungsgleichung für u = u(t, x ist eine Funktion der Form t u(t, x + x f(u(t, x =. (1.1 Warum heißen Gleichungen diese Typs Erhaltungsgleichungen? Wir nehmen an, dass u(t, x eine für alle t bzgl. x integrierbare Lösung von (1.1 ist mit der Anfangsverteilung u(, x = u (x, wobei lim x =. Integrieren wir (1.1 bzgl. x, so erhalten wir t u(t, xdx + f(u(t, x =, }{{} =f( f(= d.h. das Integral u(t, xdx ist eine Erhaltungsgröße. Das Anfangswertproblem t u(t, x + x f(u(t, x =, u(, x = u (x wird gewöhnlich als Cauchy-Problem bezeichnet. Wir konstruieren nun Lösungen. Lösungen entlang Charakteristiken: f(u sei stetig differenzierbar bzgl. u. Man beachte, dass nach der Kettenregel gilt x f(u(t, x = u f(u(t, x x u(t, x. (1.2 Zu x lr definieren wir die Charakteristik t x(t, x := x + t u f(u (x.

1 EINFÜHRUNG 3 Setzen wir die Anfangsbedingung konstant entlang den Charakteristiken fort, so erhalten wir die Funktion u(t, x(t, x := u (x. Solange die Funktion wohldefiniert ist (vgl. Übung (1.1.2, ist sie Lösung des Cauchy- Problems, denn u(, x(, x = u(, x = u und nach der Kettenregel gilt (mit x = x(t, x = d dt u(t, x = tu(t, x + x u(t, x t x = t u(t, x + x u u f(u(t, x. Damit ist wegen (1.2 die Erhaltungsgleichung erfüllt. (1.1.1 Beispiele: (a Die lineare Advektionsgleichung: t u + a x u =. Die Flussfunktion ist f(u = a u, und die Charakteristiken sind x(t = x + a t. Damit ist die Lösung gegeben durch u(t, x = u (x = u (x at [vgl. Folie 1.] Die Gleichung beschreibt z.b. die Bewegung von gelösten Teilchen in einer Strömung mit Strömungsgeschwindigkeit a. (b Die Burgers-Gleichung: t u + u x u = ; die Flussfunktion ist f(u = u 2 /2. Man stellt leicht fest, dass sich Charakteristiken x(t, x und x(t, x 1 sich für ein t > schneiden, wenn x < x 1 und u (x > u (x 1. Die oben konstruierten Lösungen existieren nur bis zur Zeit t b des ersten Schnitts zweier Charakteristiken (vgl. Übung (1.1.2 [vgl. Folie 2]. Man kann versuchen, eine Lösung durch Grenzwertbildung aus Lösungen einer gestörten Gleichung zu konstruieren. Die gestörte Gleichung t u + 1 2 xu 2 = ɛ xx u

1 EINFÜHRUNG 4 ist für ɛ > eine parabolische Gleichung und besitzt eine eindeutige klassische Lösung u ɛ (t, x. Auf Folie 3 sind Lösungen für ɛ dargestellt. Wir erkennen, dass in Grenzfall eine Unstetigkeit im Bereich der sich überschneidenden Charakteristiken entsteht. Solche Unstetigkeiten werden wir als Schocks bezeichnen. Ihre numerische Behandlung wird besondere Sorgfalt benötigen, wie die Folie 3b andeutet. (1.1.2 Übung: Die Anfangsbedingung für die Burgers-Gleichung sei gegeben durch u (x = û (x + c mit û C(lR, 2 û und c lr. Zeigen Sie: Die Charakteristiken schneiden sich erstmals zur Zeit 1 T b =. min x u (x Abhängigkeitsbereich von Lösungen: Der Abhängigkeitsbereich für den Punkt ( t, x beschreibt den Bereich derjenigen x-werte, deren Anfangswerte den Wert u( t, x beeinflussen; D( t, x = {x lr : u( t, x hängt von u (x ab}. Für die lineare Advektionsgleichung ist D( t, x = { x ta}. Allgemein gilt: Ist max u lr u f(u a max, so ist D( t, x [ x ta max, x + ta max ]. Wir werden beim Entwurf numerischer Verfahren zu berücksichtigen haben, dass der numerische Abhängigkeitsbereich den theoretischen Abhängigkeitsbereich umfasst. Dies wird uns auf die sog. Courant-Friedrich-Levi- (CFL- Bedingungen führen. (1.1.3 Übung: Approximieren Sie die partielle Ableitung t u durch eine Vorwärtsund x u durch eine zentrale Differenz. Bestimmen Sie den numerischen Abhängigkeitsbereich der Daten für die lineare Advektions- und für die Burgers-Gleichung. Für welche Verhältnisse t/ x ist keine Konvergenz der Verfahren im Limes t, x zu erwarten? B Systeme von Erhaltungsgleichungen in einer Raumdimension In diesem Fall ist u(t, x lr m vektorwertig und die Flussfunktion f : lr m lr m. Die

1 EINFÜHRUNG 5 Erhaltungsgleichung hat wieder die Darstellung (1.1. (1.1.4 Beispiel: Euler-Gleichungen: Diese beschreiben die Strömung von nicht-viskosen (Newtonschen Fluiden. Es seien ρ(t, x die Dichte, v(t, x die Strömungsgeschwindigkeit und E(t, x die Energiedichte. Der Zustantsvektor ist ρ(t, x u(t, x = ρ(t, xv(t, x = E(t, x Die Flussfunktion für die Euler-Gleichungen lautet ρv u 2 f(u = ρv 2 + p = u 2 2/u 1 + p v(e + p u 2 (u 3 + p/u 1 p = p(u ist der Druck. u 1 u 2 u 3.. Die Folien 3a und 3b zeigen das sog. shock tube -Problem. Hierbei ist ein Gas in der linken Seite einer Röhre von einem Vakuum durch eine Membran getrennt. Zur Zeit t = wird die Membran entfernt und das Gas bewegt sich von links nach rechts. Die beschreibenden Gleichungen sind die Euler-Gleichungen. Folie 3a zeigt komplexe Profile, welche auch Unstetigkeiten enthalten. Schwierigkeiten bei der numerischen Approximation dieser Schocks sind in Folie 3b zu erkennen. C Systeme von Erhaltungsgleichungen in mehreren Raumdimensionen Die allgemeinste Form der hier betrachteten Gleichungen stellen Systeme in mehreren Raumdimensionen dar. Wir beschränken uns hier auf zwei Dimensionen; bei drei Dimensionen kommt nichts Neues hinzu. Das m-dimensionale System werde beschrieben durch eine Funktion u : lr + lr 2 lr m und die Flussfunktionen f, g : lr m lr m. Das System der Erhaltungsgleichungen lautet t u(t, x, y + x f(u(t, x, y + y g(u(t, x, y =.

1 EINFÜHRUNG 6 1.2 Schwache Lösungen Funktionen u(t, x mit Unstetigkeiten können sicher nicht als klassische Lösungen von Erhaltungsgleichungen interpretiert werden. Wir müssen daher den Lösungsbegriff abschwächen. 1.2.1 Der verallgemeinerte Lösungsbegriff Nehmen wir zunächst an, dass u(t, x eine klassische Lösung von (1.1 ist (insbesondere ist u(.,. stetig differenzierbar. Des Weiteren sei Φ : lr lr lr eine stetig differenzierbare Testfunktion mit kompaktem Träger (d.h. Φ C 1 (lr lr. Wir integrieren (1.1 mit Φ integrieren über [, lr und erhalten nach partieller Integration auf der linken Seite = = + = Φ ( t u + x f(udxdt ( ( Φ t udt dx + Φ x f(udx dt (Φ(t, xu(t, x t= t Φ udt dx (Φ(t, xf(u(t, x x= x Φ f(udx dt Φ(, xu(, xdx Dies führt auf folgenden verallgemeinerten Lösungsbegriff. t Φ u + x Φ f(udxdt. (1.2.1 Definition: Eine (lokal integrierbare Funktion u(t, x heißt schwache Lösung von (1.1, wenn für alle Φ C 1 (lr lr gilt [ t Φ u + x Φ f(u] dxdt = Φ(, xu(, xdx. (1.2.2 Bemerkung: Eine äquivalente Definition erhält man, wenn man (1.1 (formal über beliebige Rechtecke [t, t 1 ] [x, x 1 ] [, lr integriert. Die Definition lautet: u(t, x heißt schwache Lösung, wenn für beliebige Rechtecke t < t 1 und x < x 1 gilt x1 t1 [u(t 1, x u(t, x]dx + [f(u(t, x 1 f(u(t, x ]dt =. x=x t=t

1 EINFÜHRUNG 7 Für schwache Lösungen erhält man häufig zwar (lokale Existenz, abere leider keine Eindeutigkeit. Diese muss durch eine Zusatzbedingung (Entropiebedingung erzwungen werden, s. Abschnitt 1.2.3. 1.2.2 Das Riemann-Problem Das Riemann-Problem betrifft schwache Lösungen der Erhaltungsgleichung (1.1 zur Anfangsbedingung u (x = { ul für x (1.3 A Gleichmäßiges Fortschreiten der Unstetigkeit Wir leiten zunächst eine schwache Lösung der Form { ul für x < st u(t, x = u r für x > st mit s > her. Hierzu bemerken wir dass t Φ udxdt = Entsprechend finden wir + = u l + = x Φ f(udxdt = x= t= x/s x= t= x= x= = x= = 1 s t Φ udtdx t Φ udtdx + Φ(, xdx u r Φ(x/s, x (u r u l dx Φ(, xu (xdx ( st t= t= x= t=s/x x= x Φ f(udx + x= t Φ udtdx Φ(, xdx Φ(x/s, x (u l u r dx st Φ(t, st (f(u l f(u r dt x= Φ(x/s, x (f(u l f(u r dx x Φ f(udx dt (1.4

1 EINFÜHRUNG 8 Insgesamt ergibt sich also [ t Φ u + x Φ f(u]dxdt = + x= Φ(, xu (xdx [ f(ul f(u r Φ(x/s, x s ] (u l u r } {{ } ( Damit ist u genau dann Lösung des Riemann-Problems, wenn der Term ( verschwindet. Man überzeugt sich leicht, dass die entsprechende Aussage auch für s < gilt. Wir fassen zusammen. (1.2.3 Satz: Die Funktion (1.4 ist genau dann Lösung des Riemann-Problems, wenn s = f(u l f(u r u l u r. (1.5 dx s heißt Schockgeschwindigkeit. Die Bedingung (1.5 an s heißt auch Rankine-Hugoniot- Bedingung. (1.2.4 Übung: Auf einer einspurigen Fahrbahn treffe fließender Verkehr auf stehenden Verkehr. Dabei gelte (i (ii (iii Der Abstand zwischen den Spitzen zweier aufeinanderfolgender Autos betrage 5m im ruhenden und 5m im fließenden Verkehr. Die Geschwindigkeit der fahrenden Autos betrage 1km/h. Das Abbremsen der Autos erfolge abrupt. Wie schnell bewegt sich das Stauende nach hinten? (1.2.5 Übung: (a Skizzieren Sie die Charakteristiken dieser Lösung im Fall der Burgers-Gleichung, und zwar für u l > u r und für u l u r eine schwache Lösung der Burgers-Gleichung zur Anfangsbedingung u l für x 1

1 EINFÜHRUNG 9 B Verdünnungswellen ( rarefaction waves Wir wollen zeigen, dass es noch mindestens eine weitere Lösung des Riemann-Problems gibt. (1.2.6 Beispiel: Für die Burgers-Gleichung sei die Anfangsbedingung (1.4 gegeben mit u r t schwache Lösung des Riemann-Problems. Beweis: Es ist t Φ udtdx = = u l + u l t Φdtdx + x/ul t Φudtdx x/ur Φ(, xdx + u r t Φdtdx }{{} x/u r } {{ } (II (I x/t t Φdtdx + u l t Φdtdx x/u }{{ l } (III I = u r Φ(x/u r, xdx u r Φ(, xdx III = u l Φ(x/u l, xdx. Durch partielle Integration erhalten wir ( II = = ( x/t Φ(t, x x/u l x/ul t=x/u r + x/u r u l Φ(x/u l, x u r Φ(x/u r, x + x/t 2 Φ(t, xdt x/ul x/u r dx x/t 2 Φ(t, xdt dx

1 EINFÜHRUNG 1 Außerdem ist mit x Φ f(udtdx = I = u 2 l /2 = u l /2 III = u 2 r/2 = u 2 l /2 + f(u l urt u l t x Φdxdt + ul t x Φ f(udxdt Φ(t, dt + u 2 l /2 x Φdxdt } {{ } (x/t 2 /2 x Φdxdt + u 2 r/2 } {{ } II und (partielle Integration ( II = (x/t 2 /2 Φ(t, x urt = Φ(t, u l tdt u 2 l /2 Φ(x/u l, xdx u 2 l /2 Φ(t, u r tdt = u r /2 urt x=u l t u l t ( u r /2 Φ(x/u r, x u l /2 Φ(x/u l, x I Φ(t, dt x Φdxdt } u {{ rt } III Φ(t, dt x/t 2 Φ(t, xdx dt urt Φ(x/u l, xdx u l t x/t 2 Φ(t, xdx dt Addieren wir alle Terme, so sehen wir, dass u Lösung der Burgers-Gleichung ist Dieses Ergebnis lässt sich wie folgt verallgemeinern. (1.2.7 Satz: Gegeben sei eine glatte konvexe Flussfunktion f(u (d.h. es gelte f (u > für alle u. Es sei u l f (u r t (1.6 eine Lösung des Riemann-Problems, wenn v : [f (u l, f (u r ] lr Lösung der Gleichung f (v(ξ = ξ ist. (1.2.8 Übungen: (a Beweisen Sie den Satz (1.2.7. Diskutieren Sie die eindeutige

1 EINFÜHRUNG 11 Lösbarkeit der Gleichung f (v(ξ = ξ. (b Zeigen Sie: Für u l die Lösung u ɛ der Burgers-Gleichung entlang Charakteristiken zur Anfangsbedingung 1 für x ɛ. Bestimmen lim ɛ u ɛ. (1.2.9 Bemerkung: Setzen wir die Funktion v aus Satz (1.2.7 auf ganz lr fort durch { f (u l für ξ < f (u l v(ξ := f (u r für ξ > f (u r so kann die Lösung (1.6 kompakt geschrieben werden als u(t, x = v(x/t für t > (1.7 Vorsicht ist angebracht bei der Manipulation von Erhaltungsgleichungen. Manche Rechenoperationen sind bei Lösungen mit Schocks nicht erlaubt. (1.2.1 Beispiel: Multiplizieren wir die Burgers-Gleichung mit 2u und wenden wir die bekannten Rechengesetze für Ableitungen an, so erhalten wir eine Erhaltungsgleichung für v = u 2, t v + f(v = mit der Flussfunktion f(v = 2v 3/2 /3. Während die Schockgeschwindigkeit bei der Burgers-Gleichung gleich s u = (u l + u r /2 ist, ist sie für die modifizierte Gleichung gleich s v = 2(u 3 r u 3 l /(3 (u2 r u 2 l. (Rechnen Sie dies nach! 1.2.3 Entropiebedingungen Das Ziel ist es nun, aus mehrfachen Lösungen die physikalisch sinnvolle Lösung herauszufinden. Eine Möglichkeit ist es, die Erhaltungsgleichung durch Einführung einer

1 EINFÜHRUNG 12 künstlichen Viskosität zu modifizieren, t u + x f(u = ɛ xx u, (1.8 und bei den eindeutigen Lösungen dieser Modifikation den Grenzwert ɛ durchzuführen. Dieser Zugang ist allerdings recht unhandlich. Eine Alternative ist die Anwendung des Entropiekonzepts, welches auf das gleiche Ergebnis führt. Entropie ist eine physikalische Größe, welche bei glatten Lösungen der Erhaltungsgleichung ebenfalls eine Erhaltungsgröße ist und sich beim Durchqueren von Unstetigkeiten nicht verkleinern kann. Wir wollen dieses Konzept kurz (heuristisch herleiten. Wir beginnen mit der modifizierten Erhaltungsgleichung (1.8. Gegeben seien eine konvexe glatte Funktion η (Entropie sowie eine weitere Funktion ψ (Entropiefluss mit Dann folgt aus der modifizierten Erhaltungsgleichung t η(u(t, x + x ψ(u(t, x = η (u t u + ψ (u x u also die sog. viskose Entropiegleichung Aus folgt und damit ψ (u = η (uf (u (1.9 = η (u ( t u + f (u x u = η (u ( t u + x f(u }{{} =ɛ xxu t η(u(t, x + x ψ(u(t, x = ɛη (u xx u x (η (u(t, x x u(t, x = η (u ( x u 2 + η (u xx u η (u xx u = x (η (u(t, x x u(t, x η (u ( x u 2 t η(u + x ψ(u = ɛ x (η (u x u ɛη (uu 2 x. Was passiert im Grenzübergang ɛ, wenn die Lösung der nicht modifizierten Gleichung eine Schocklösung ist? Wir integrieren die Gleichung über das Intervall [t 1, t 2 ]

1 EINFÜHRUNG 13 [x 1, x 2 ] wobei x 1 und x 2 so gewählt ist, dass u entlang der Grenzen x = x 1 und x = x 2 glatt ist, und erhalten t2 x2 t 1 x 1 t η(u + x ψ(udxdt = ɛ t2 [η (u(x 2, t x u(x 2, t η (u(x 1, t x u(x 1, t]dt t 1 t2 x2 ɛ η (u ( x u 2 dxdt t 1 x } 1 {{}, da η konvex ist Für ɛ verschwindet der erste Term auf der rechten Seite. Der zweite Term ist für ɛ > nichtpositiv; da er das Quadrat der ersten Ableitung von u enthält, verschwindet er i.a. für ɛ nicht, wenn u eine Unstetigkeit enthält. Damit erhalten wir die Differentialungleichung t2 t 1 x2 Dies führt auf den folgenden Begriff. x 1 t η(u + x ψ(udxdt. (1.1 (1.2.11 Entropiebedingung: Die Funktion u heißt Entropielösung der Erhaltungsgleichung, wenn für beliebige konvexe Entropiefunktionen und zugehörige Entropieflüsse die Ungleichung t η(u + x ψ(u (1.11 schwach (d.h. im Sinn von (1.1 erfüllt ist. Eine alternative schwache Formulierung lautet t Φ(t, xη(u(t, x + x Φ(t, xψ(u(t, xdxdt für beliebige Testfunktionen Φ C 1 (lr lr, lr +. Φ(, xη(u(, xdx (1.2.12 Beispiel: Für die Burgers-Gleichung wählen wir die Entropiefunktion η(u = u 2. Der Entropiefluss muss Lösung der Differentialgleichung (1.9 sein, also ψ (u = 2u 2. Wir wählen ψ(u = 2/3 u 3 und erhalten die Entropieungleichung t ( u 2 + x ( 2 3 u3.

1 EINFÜHRUNG 14 Für glatte u folgt aus t u + u x u = durch Multiplikation mit 2u die Gleichung t ( u 2 + x ( 2 3 u3 = 2u t u + 2u 2 x u =. Für einen stückweise konstanten Schock, welcher durch die Punkte (t 1, x 1 und (t 2, x 2 verläuft, folgt x2 t 2 u 2 (t, x dx + x 1 t 1 (Beweis: Übung! t2 t 1 2 x 2 3 u3 (t, xdt = 1 x 1 6 (u l u r 3 t + O( t 2. Damit die Entropieungleichung gilt, muss also die Bedingung u l u r erfüllt sein. 1.3 Lineare hyperbolische Systeme 1.3.1 Charakteristische Variable Gegeben sei das lineare System t u + A x u = (1.12 für die Funktion u : lr + lr lr m ; A ist eine m m-matrix. Dies ist ein Erhaltungssystem mit der Flußfunktion f(u = Au. (1.3.1 Definition: Das System heißt hyperbolisch, falls A diagonalisierbar ist mit rellen Eigenwerten. Sind die Eigenwerte paarweise verschieden, so heißt das System strikt hyperbolisch. Für hyperbolische Systeme gibt es immer eine Diagonalmatrix Λ und eine reguläre Matrix R mit A = RΛR 1, wobei die Diagonaleinträge von Λ die Eigenwerte von A sind. Sind r 1,..., r m die Spalten von R, so gilt Ar p = λ p r p, p = 1,..., m.

1 EINFÜHRUNG 15 Durch Multplikation des Systems mit R 1 und Durchführung der Transformation v := R 1 u erhalten wir das System von v t v + Λ x v =, welches entkoppelt in die m unabhängigen Gleichungen t v p + λ p x v p =, p = 1,..., m. Dies sind m lineare Advektionsgleichungen, deren Lösungen im Fall des Cauchy-Problems gegeben sind durch v p (t, x = v p (, x λ p t. Hierbei sind für gegebene Anfangsbedingungen u(, x = u (x für u die Anfangsbedingungen für v gegeben durch v(, x = R 1 u (x. Wir erhalten damit als Lösung des ursprünglichen Anfangswertproblems u(t, x = m v p (t, xr p = p=1 m v p (, x λ p tr p. p=1 Der Abhängigkeitsbereich ist damit D(t, x = {x = x λ p t, p = 1,..., m}. Die Lösungen x(t = x + λ p t der Gleichung x (t = λ p heißen p-charakteristiken. Wie im eindimensionalen Fall werden die Lösungen u(t, x als konstante Fortsetzung der Anfangsbedingung entlang Charakteristiken definiert. In diesen Lösungen bewegen sich die m Profile v p (, x mit konstanter Geschwindigkeit λ p fort. Sind alle Profile bis auf eines konstant, v p (, x c p p {1,..., m} \ {i} so erhalten wir die Lösung u(t, x = p i c p r p + v i (, x λ i tr i = u (x λ i t. Diese Lösungen heißen einfache Wellen.

1 EINFÜHRUNG 16 (1.3.2 Beispiel: Die Wellengleichung ist eine hyperbolische Gleichung zweiter Ordnung. Das Cauchy-Problem lautet t 2 u = c 2 xu, 2 u(, x = u (x, t u(, x = u 1 (x. Durch folgenden Ansatz kann die Gleichung in ein System erster Ordnung umgewandelt werden. v(t, x := x u(t, x, w(t, x := t u(t, x. Der Vektor (v, w T ist Lösung des Systems t ( v w + A x ( v w = mit ( 1 A = c 2. Die Eigenwerte von A sind ±c mit den Eigenvektoren r + = (1, c T und r (1, c T ; damit ist das System für c lr \ {} strikt hyperbolisch für c. Es gilt A = ( 1 1 c c ( c c ( 1 1 1 c c Die Anfangsbedingungen sind v(, x = x u (x, w(, x = u 1 (x. (1.3.3 Übung: (a Bestimmen Sie die Lösungen v(t, x, w(t, x sowie u(t, x. (b Schreiben Sie die 2D-Wellengleichung für u(t, x, y tt u = c 2 ( xx u + yy u um in ein hyperbolisches System erster Ordnung.

1 EINFÜHRUNG 17 1.3.2 Linearisierung nichtlinearer Systeme Wir betrachten das nichtlineare System t u + x f(u = (1.13 mit u : lr lr lr m und f : lr m lr m. Durch Anwendung der Kettenregel kann das System umgewandelt werden in die Form t u + A(u x u =, wobei A(u = f (u die Funktionalmatrix von f ist. Das System heißt wieder hyperbolisch, falls für alle u lr m die Matrix A(u diagonalisierbar ist mit reellen Eigenwerten, sowie strikt hyperbolisch, falls die Eigenwerte paarweise verschieden sind. Ist f hinreichend glatt, so können die Eigenwerte λ p (u, p = 1,..., m, als glatte Funktionen von u dargestellt werden. Ist u(t, x eine Lösung des nichtlinearen Systems, so werden die p-charakteristiken definiert als Lösungen von x (t = λ p (u(t, x(t Diese Lösungen hängen zwar von der Lösung u(t, x ab. Lokal können sie aber durch geeignete Linearisierungen hergeleitet werden. Um diese herzuleiten, nehmen wir an, dass u(t fast konstant ist und bezüglich eines kleinen Parameters ɛ wie folgt entwickelt werden kann. Hieraus folgt u(t, x = u + ɛu (1 (t, x + ɛ 2 u (2 (t, x +. f(u(t, x = f(u + ɛ f (u u (1 (t, x + O(ɛ 2 }{{} =A(u Einsetzen in das nichtlineare System (1.13 und Vernachlässigen der O(ɛ 2 -Terme führt auf das linearisierte hyperbolische System für u (1 t u (1 (t, x + A(u x u (1 (t, x =. (1.3.4 Übung: Die Flachwassergleichungen sind gegeben durch das System ( ( v v 2 /2 + φ t + x. (1.14 φ vφ

1 EINFÜHRUNG 18 (a Ist das System (strikt hyperbolisch? (b Bestimmen Sie die Linearisierung um einen konstanten Zustand (u, φ T. Die Schockgeschwindigkeiten nichtlinearer Systeme sind gegeben durch die Rankine- Hugoniot-Bedingungen f(u l f(u r = s (u l u r. Im Fall u l u r ɛ 1 können wir f(u l um u r entwickeln und erhalten f(u l = f(u r + f (u r (u l u r + O(ɛ 2. Eingesetzt erhalten wir s = f (u r + O(ɛ 2. Damit entspricht die Schockgeschwindigkeit asymptotisch derjenigen der Linearisierung. (1.3.5 Beispiel: Wir betrachten wieder die Euler-Gleichungen für u 1 ρ u = u 2 = ρv, E welche gegeben sind durch u (u + x f(u = mit f(u = u 3 u 2 u 2 2/u 1 + p(u u 2 [u 3 + p(u]/u 1 (vgl. Beispiel (1.1.4. Ergänzen wir diese durch die Zustandsgleichung E = p γ 1 + 1 2 ρv2, so ist die Funktionalmatrix im Punkt u = (ρ, ρv, E T gegeben durch ( 1 df f (u = = du.5(γ 3v 2 (3 γv (γ 1.5(γ 1v 3 v(e + p/ρ (E + p/ρ (γ 1v 2 γv.

1 EINFÜHRUNG 19 Die Eigenwerte von f (u sind v und v ± c, wobei die Schallgeschwindigkeit c gegeben ist durch c = γp/ρ. Wir betrachten den Spezialfall v =. In diesem Fall lässt sich f (u wie folgt diagonalisieren. f (u = R c R 1 c mit R = [r 1, r 2, r 3 ] = 1 1 1 E+p (γ 1 E+p (γ 1 ρ ρ E+p γ 1 ρ. Die linearisierte Lösung zur Anfangsbedingung u (1 (, x = α 1 (xr 1 + α 2 (xr 2 + α 3 (xr 3 ist daher u (1 (t, x = r 1 (, x + r 2 (, x ct + r 3 (, x + ct. Insbesondere ist ρ(t, x = ρ(, x. (1.3.6 Übung: Zeigen Sie: Zu den Konstanten v und p ist durch ρ(t, x = ρ(, x vt, v(t, x = v und p(t, x = p eine Lösung der nichtlinearen Euler-Gleichungen gegeben.

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 2 2 Finite Differenzenverfahren 2.1 Diskretisierungen linearer Gleichungen Wir betrachten das Cauchy-Problem für ein m-dimensionales hyperbolisches System, t u + A x u =, u(, x = u (x (2.1 Zur Diskretisierung verwenden wir eine Ortsschrittweite h = x und eine Zeitschrittweite k = t und definieren als Gitterpunkte x j = jh, j Z, t n = nk, n ln Intervallmittelpunkte im Ortsraum werden bezeichnet als x j+1/2 = x j + h/2 = (j + 1/2h Wir werden im Folgenden annehmen, dass das Verhältnis k/h fest vorgegeben ist; damit ist z.b. insbesondere h vorgegeben, wenn der Limes h untersucht wird. Der intuitivste Zugang zu Diskretisierungen sind sog. Finite Differenzen-Methoden, bei denen die Werte Uj n als Approximationen von u n j := u(t n, x j konstruiert werden mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten als Näherungen für die Differentialoperatoren t und x. Alternativ können wir Uj n auch als Approximationen der Mittelwerte u n j := 1 h xj+1/2 x j 1/2 u(t n, xdx (2.2 interpretieren. (Dies ist von Vorteil, wenn wir numerische Verfahren auf der Grundlage der schwachen Formulierung von Erhaltungsgleichungen entwickeln. Entsprechend können wir die Anfangsbedingung u diskretisieren durch U n j = u j = u (x j oder die Mittelwerte U n j = u j Schließlich können wir U n j auch interpretieren als stückweise konstante Funktion, definiert durch U k (x, t = U n j für (t, x [t n, t n+1 [x j 1/2, x j+1/2 (2.3 Hierbei ist k der Diskretisierungsparameter für die Zeit; der Ortsparameter h ist hierdurch festgelegt.

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 21 Bei der numerischen Berechnung müssen wir uns notgedrungen auf einen beschränkten Ortsraum [a, b] lr festlegen. Wir können hierbei z.b. die Randwerte u(t, a, u(t, b vorschreiben. Damit wechseln wir vom Anfangswert- zu einem Anfangs-Randwertproblem. Wir können aber auch fordern, dass sich die Lösung von [a, b] periodisch auf lr fortgesetzt werden kann. Dies erreichen wir durch die Wahl periodischer Randbedingungen u(t, a = u(t, b für alle t Wir wollen nun einfache Beispiele für Finite Differenzen-Verfahren beschreiben. Hierzu definieren wir für n ln die Folge U n := {U n j j Z}. Die Folge U ist durch die Anfangsbedingungen gegeben. Analog zu den Einschritt- bzw. Mehrschrittverfahren bezeichnet eine 2-Level-Methode die Berechnung von aus U n und eine (r + 2- Level-Methode die Berechnung aus U n,..., U n r. Entsprechend können wir explizite Methoden dadurch charakterisieren, dass unmittelbar aus den Vorgängerwerten berechnet werden kann, und implizite Methoden dadurch, dass hierzu die Lösung eines linearen Gleichungssystems nötig ist. Implizite Methoden werden nur selten benutzt und werden hier nur am Rande behandelt. (2.1.1 Beispiele: [vgl. Folie 7] (a explizites Euler-Verfahren: Hierbei wird die Zeitableitung durch eine Vorwärtsdifferenz und die Ortsableitung durch eine zentrale Differenz approximiert. j Uj n ( U n j+1 U n j 1 + A = k 2h oder umgeformt: j = U n j k 2h A(U n j+1 U n j 1 Die Datenabhängigkeiten können durch den Vier-Punkt-Stern graphisch dargestellt werden: [ hierbei entspricht die untere Zeile dem Zeitpunkt t n und die obere t n+1. Diese Methode gründet zwar auf gültigen Differenzenapproximationen, ist aber aus Stabilitätsgründen nicht brauchbar, wie wir später sehen werden. ]

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 22 (b implizites Euler-Verfahren: j U n j k + A ( U n+1 j+1 U n+1 j 1 = 2h mit dem Stern Die umgeformte Gleichung [ ] j = Uj n k n+1 A(Uj+1 2h j 1 kann nicht unmittelbar ausgewertet werden. Das Verfahren ist allerdings stabiler als die Methode (a. (c Lax-Friedrichs-Verfahren: j = 1 2 (U n j 1 + U n j+1 k 2h A(U n j+1 U n j 1, [ ] (d Leapfrog-Verfahren: j = U n 1 j k h A(U n j+1 U n j 1, (e Lax-Wendroff-Verfahren: j = U n j k 2h A(U n j+1 U n j 1 + k2 2h 2 A2 (U n j+1 2U n j + U n j 1 mit dem Stern [ ] Dieses Verfahren wird aus der Taylor-Entwicklung wie folgt hergeleitet. Für die Lösung der Erhaltungsgleichung gilt die Entwicklung u(t + k, x = u(t, x + k t u(t, x + 1 2 k2 2 t u(t, x +

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 23 Aus t u = A x u folgt und damit 2 t u = A t x u = A x ( t u = A x ( A x = A 2 2 xu u(t + k, x = u(t, x ka x u(t, x + 1 2 k2 A 2 2 xu(t, x + Die Ableitungen bzgl. x werden nun approximiert durch x u(t, x 2 xu(t, x u(t, x + h u(t, x h, 2h u(t, x + h 2u(t, x + u(t, x h. 2h 2 (f Beam-Warming-Verfahren: Dies ist eine Variante des Lax-Wendroff-Verfahrens: j = (U n j + U n j+1 k 2h A(3U n j 4U n j 1 + U n j 2 + k2 2h 2 A2 (U n j 2U n j 1 + U n j 2 wobei die Ableitungen x und 2 x durch einseitige Differenzen approximiert werden. Der zugehörige Stern ist [ ] Alle hier vorgestellten Verfahren sind lineare Verfahren. Soweit es sich um 2-Level- Methoden handelt, können wir die Verfahren mit Hilfe eines linearen Operators in der Form schreiben oder zur punktweisen Darstellung H k : lr Z lr Z = H k (U n j = H k (U n ; j Beispielsweise kann das explizite Eulerverfahren beschrieben werden durch H k (U; j = U j k 2h A(U j+1 U j 1

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 24 Die selbe Schreibweise benutzen wir auch bei Anwendung auf kontinuierliche Funktionen; ist also v C(lR gegeben, so ergibt die Anwendung des expliziten Euler-Verfahrens H k (v; x = [H k (v](x = v(x k A(v(x + h v(x h 2h Für eine messbare Funktion v : lr lr definieren wir wie gewohnt die 1-Norm durch v = v(x dx lr Die dazu passende Norm für Funktionen U = (U j j Z : Z lr erhalten wir, indem wir U als stückweise konstante Funktion auf lr interpretieren, U(x = U j [x j 1/2, x j+1/2, und darauf die 1-Norm anwenden. Wir erhalten U = h U j j Z für x Die entsprechende Operatornorm für Operatoren H : L 1 (lr L 1 (lr ist gegeben durch Hv H = sup v L 1 \{} v Sind u n j die Gitterwerte der exakten Lösung der Erhaltungsgleichung und Uj n die Werte eines numerischen Verfahrens, so definieren wir als globalen Fehler die Differenz Ej n = Uj n u n j Wir interpretieren den Fehler als Funktion auf lr + lr, indem wir Ej n wie in (2.3 als stückweise konstante Funktion definieren, also E(t, x := En j für alle (t, x [t n, t n+1 [x j 1/2, x j+1/2. Ein numerisches Verfahren heißt konvergent in [, T ], falls für alle t [, T ] gilt E k (t,. für k 2.2 Konsistenz und Stabilität Setzen wir eine exakte Lösung der Erhaltungsgleichung in ein numerisches Verfahren ein, so erhalten wir den lokalen Abschneidefehler. Wir wollen dies am Lax-Friedrichs- Verfahren demonstrieren. Dieses Verfahren ist gegeben durch [ 1 j 1 ] k 2 (U j 1 n + Uj+1 n + 1 2h A[U j+1 n Uj 1] n =. (2.4

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 25 Einsetzen einer glatten Funktion u(t, x in die linke Seite von (2.4 ergibt mit Hilfe der Taylorformel 1 [u(t + k, x 12 ] k (u(t, x h + u(t, x + h = t u + A x u + 1 2 (k tt u h2 k xxu + O(h 2 + 1 A[u(t, x + h u(t, x h] 2h Den lokalen Abschneidefehler erhalten wir durch Einsetzen einer glatten Lösung u der Erhaltungsgleichung t u + A x u = unter Ausnutzung der Beziehung tt u = A 2 xx u als L k (t, x = 1 ( 2 k A 2 h2 k I 2 xx u(t, x + O(k 2 (2.2.1 Definition: Eine 2-Level-Methode werde beschrieben durch einen linearen Operator H k. (a Der lokale Diskretisierungsfehler ist definiert durch L k (t, x = 1 k [u(t + k, x H k(u(t,.; x] wobei u eine glatte Lösung der Erhaltungsgleichung ist. (b Die Methode heißt konsistent, falls L k (t,. für k. (c Die Methode hat die (Konsistenz- Ordnung p, falls es für alle hinreichend glatten Anfangsbedingungen u mit kompaktem Träger und zu T > Konstanten C L, k > gibt mit L k (t,. C L k p für alle k < k, t T. Nach der Konsistenz kommen wir nun zum nächsten wichtigen Kriterium für numerische Verfahren, der Stabilität. Stabilität bedeutet im Wesentlichen eine Wachstumsbeschränkung für die numerischen Lösungen. Diese leiten wir jetzt her. Nach der Definition des lokalen Diskretisierungsfehlers erfüllt die exakte Lösung der Erhaltungsgleichung die Gleichung u(t + k, x = H k (u(t,.; x + kl k (t, x

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 26 Wegen der Linearität der beschriebenen Methoden gilt für den Fehler Ej n = Uj n u n j eine Gleichung der Form E k (t + k,. = H k (E k (t,.; x kl k (t,.. Hierbei beschreibt der zweite Term den aktuellen lokalen Diskretisierungsfehler, während im ersten Term die sich akkumulierenden Fehler berücksichtigt sind. Durch Induktion finden wir schnell die folgende Darstellung E k (t n,. = H n ke k (,. k n i=1 H n i k L k (t i 1,. (2.2.2 Definition: Die Methode heißt stabil, wenn es für alle T > Konstanten C S > und k > gibt derart, dass H n k C S für alle nk T, k < k. Wegen Hk n H k n ist Hk n sicher stabil, wenn H k bzgl. k beschränkt ist; wir können aber auch ein gewisses Wachstum zulassen. Ist z.b. H k 1 + αk für alle k < k, so folgt Hk n (1 + αk n exp(αkn exp(αt für nk T. Die Äquivalenz der Konvergenz von Verfahren mit der Konsistenz und Stabilität stellt das folgende wichtige Ergebnis von P. Lax fest. (2.2.3 Satz (Äquivalenzsatz von Lax: Für ein konsistentes 2-Level-Verfahren für eine lineare Erhaltungsgleichung ist die Stabilität notwendig und hinreichend für die Konvergenz. Beweis: Wir zeigen hier nur, dass Stabilität hinreichend für Konvergenz ist. Hierzu

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 27 stellen wir fest, dass aus E k (t n,. = H n ke k (,. k n i=1 H n i k L k (t i 1,. und der Dreiecksungleichung folgt E k (t n,. H n k E k (,. + k n i=1 H n i k L k (t i,. Aus der Stabilitätsforderung erhalten wir für Methoden der Ordnung p n E k (t n,. C S ( E k (,. + k L k (t i,. C S ( E k (,. + T C L k p. Ist i=1 E k (,. = ( bzw. E k (,. = O(k so folgt die Konvergenz, d.h. E k (t n,. für t n T (Genauer folgt, dass der globale Fehler eines Verfahrens der Ordnung p ebenfalls von der Ordnung p ist, wenn dies auch für den Anfangsfehler gilt. (2.2.4 Beispiel: (a Wir wenden das Lax-Friedrichs-Verfahren auf die skalare Advektionsgleichung t u + a x u = an. Wir erhalten j = 1 ( 1 + ak 2 h U n j 1 + 1 2 ( 1 ak Uj+1 n h Ist so stellen wir fest, dass j muss gelten ak h < 1, eine Konvexkombination von U n j 1 und U n j+1 ist. Damit d.h. das Verfahren ist stabil. U n 1 U n, (b Ein entsprechendes Ergebnis erhalten wir, wenn wir das Lax-Friedrichs-Verfahren

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 28 auf ein strikt hyperbolisches System t u+a x u = anwenden. Ist A ähnlich zur Diagonalmatrix Λ = diag(λ 1,..., λ n, so entkoppelt das System in n unabhängige Gleichungen, und die Stabilitätsbedingungen lauten λ p k h < 1, p = 1,..., n. (c Wir wenden die einseitige Methode j = U n j k h A(U n j U n j 1 auf die lineare Advektionsgleichung aus Beispiel (a an: j = U n j ak h (U n j U n j 1 Dies führt auf folgende Abschätzung. h ( 1 ak h j U n j + h j ak h U j 1 n. Ist ak/h 1, so ist erneut eine Konvexkombination aus Werten von U n ; falls nicht, ist das Stabilitätskriterium verletzt. Ist a <, so ist das Stabilitätskriterium nie erfüllt. In diesem Fall muss obige Differenzengleichung ersetzt werden durch j = U n j ak h (U n j+1 U n j. (d Upwind-Methode für das System t u + A x u = mit u = (u 1, u 2 T und ( a1 A = T T 1, a 1, a 2 >. a 2 }{{} =:Λ Durch die Transformation entkoppelt das System in ( v w := T 1 u t v + a 1 x v =, t w a 2 x w =.

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 29 Numerische Lösungen für v und w erhält man gemäß (c durch V n+1 j = Vj n a 1k h (V j n Vj 1 n W n+1 j = W n j + a 2k h (W n j+1 W n j Zum Vektor zusammengefasst folgt ( ( ( [( V n+1 j V n = j k a1 V n j W n+1 j Wj n h Wj n }{{} k h =:Λ + ( [( V n j+1 } a 2 {{ } Wj+1 n =:Λ ( V n j W n j ( V n j 1 W n j 1 ]. ] Durch Rücktransformation folgt U n = T ( V n W n j = U n j k h A+ (U n j U n j 1 k h A (U n j+1 U n j mit A ± = T Λ ± T 1. Dies ist das Upwind-Verfahren, welches leicht verallgemeinert werden kann auf beliebige Dimensionen und beliebige diagonalisierbare Matrizen. (2.2.5 Übung: Stellen Sie das Upwind-Verfahren auf für 1 1 A = T 1 T 1, T = 1 1. 2 1 1 1 Geben Sie Bedingungen an für die Wahl von h und k. (b Bestimmen Sie das Upwind-Verfahren für die linearisierten Flachwasser-Gleichungen aus Übung (1.4.19.

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 3 2.3 Unstetigkeiten und modifizierte Gleichungen Wie wir gesehen haben, sind Unstetigkeiten bei Lösungen von Erhaltungsgleichungen häufig. Andererseits sind Entwicklungen in Taylorreihen abhängig von der Glattheit von Lösungen. Es ist daher wichtig, auf die Behandlung von Unstetigkeiten näher einzugehen. Zu diesem Zweck betrachten wir Lösungen mit unstetigen Anfangsbedingungen. (2.3.1 Beispiel: Gegeben sei das Riemann-Problem { 1 x < t u + a x u =, u (x = x >. Die exakte Lösung ist u(t, x = u (x at. Wenden wir auf u(t, x das zentrale Differenzenschema für x u im Bereich der Unstetigkeit an, so finden wir z.b. u(t, at + h u(t, at h 2h = 1 2h für h. Damit konvergiert der lokale Diskretisierungsfehler nicht gegen, und das Konvergenzergebnis des vorherigen Abschnitts ist nicht anwendbar. (Typische numerische Ergebnisse sind auf der Folie dargestellt. Um das Verhalten numerischer Verfahren im Bereich von Unstetigkeiten genauer zu verstehen, leiten wir nun Modellgleichungen her. Dies sind Gleichungen, welche dem numerischen Verfahren näher sind als die gegebene Advektionsgleichung. Wir demonstrieren dies an folgendem Beispiel. (2.3.2 Beispiel: Setzen wir eine glatte (skalare Funktion u(t, x in das Lax-Friedrichs- Verfahren für die lineare Advektionsgleichung ein: [ 1 j 1 ] k 2 (U j 1 n + Uj+1 n + 1 2h a[u j+1 n Uj 1] n =, so erhalten wir gemäss den Berechnungen des vorigen Abschnitts den lokalen Abschneidefehler L k (t, x = t u + a x u + 1 2 Ist u Lösung der Advektionsgleichung (k tt u h2 k xxu + O(h 2. t u + a x u =,

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 31 so ist der Abschneidefehler gleich L k (t, x = 1 2 (k tt u h2 k xxu + O(h 2, also von der Ordnung O(h. Löst u dagegen die Gleichung t u + a x u + 1 (k tt u h2 2 k xxu =, so ist der Fehler von der Ordnung O(h 2. In diesem Sinn können wir sagen, dass letztere Gleichung durch das Verfahren genauer gelöst wird als die Advektionsgleichung. Wir nennen sie daher modifizierte Gleichung für das Lax-Friedrichs-Verfahren. Um das Verhalten der numerischen Lösung des Lax-Friedrichs-Verfahrens zu verstehen, ist es angebracht, die modifizierte Gleichung genauer zu untersuchen. Wir untersuchen im Folgenden obige modifizierte Gleichung. Zunächst stellen wir fest, dass für Lösungen der Gleichung gilt tt u = a tx u 1 (k ttt u h2 2 k txxu = a tx u + O(k, tx u = a xx u 1 (k xtt u h2 2 k xxxu = a xx u + O(k. Setzen wir dies ein, so folgt t u + a x u = h2 2k (1 k2 h 2 a2 xx u. Dies ist eine Advektionsgleichung mit Diffusion. Die Diffusionskonstante ist D = (1 h2 2k k2 h 2 a2. Wie aus der Theorie der Differentialgleichungen bekannt ist, besitzt diese Gleichung stabile Lösungen nur so lange, wie D >. In diesem Fall führt der zusätzliche Term zur Verschmierung der Lösung in der Nähe des Schocks. Die Bedingung D > liefert ein Kriterium zur Wahl von k/h. (2.3.3 Übungen: (a Bestimmen Sie die modifizierte Gleichung für Beispiel (2.2.4(c. (b Berechnen Sie die modifizierte Gleichung für das Verfahren j = U n j k 2h a(u n j+1 U n j 1.

2 FINITE DIFFERENZENVERFAHREN 32 Gibt es Indizien, dass dieses Verfahren für beliebige k/h unstetig ist? Wir schließen ein Beispiel an, bei dem die modifizierte Gleichung von anderem Typ als die oben vorgestellte ist. (2.3.4 Beispiel: Das Lax-Wendroff-Verfahren ist ein Verfahren zweiter Ordnung; für skalare Probleme lautet es j = U n j k 2h a(u n j+1 U n j 1 + k2 2h 2 a2 (U n j+1 2U n j Einsetzen einer glatten Funktion und Ausnutzen der Beziehungen + U n j 1. u((n + 1h, jk u(nh, jk = h t u(nh, jk + h2 2 ttu(nh, jk + h3 6 tttu(nh, jk + O(h 4 u(nh, (j + 1k u(nh, (j 1k = 2k x u(nh, jk + k3 3 xxxu(nh, jk + O(h 5 u(nh, (j + 1k 2u(nh, jk + u(nh, (j 1k = k 2 xx u(nh, jk + O(h 4 führt auf die modifizierte Gleichung ( t u + a x u = h2 k 2 6 a h 2 a2 1 xxx u. Dies ist eine Dispersionsgleichung, welche mit geeigneten Methoden der partiellen Differentialgleichungen behandelt werden kann.

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 33 3 Konservative Verfahren 3.1 Das Konzept konservativer Methoden Für die Berechnung nichtlinearer Lösungen mit Schocks ist der Konsistenzbegriff des vorigen Abschnitts nicht ausreichend. Es sei z.b. daran erinnert (vgl. Beispiel (1.2.1, dass das Riemann-Problem für die Burgers-Gleichung unterschiedliche Lösungen hat je nachdem, welche Erhaltungsgleichung wir berechnen. Welche Lösung sucht sich das numerische Verfahren aus? Führen numerische Verfahren überhaupt auf schwache Lösungen? (3.1.1 Beispiel: Auf die Burgers-Gleichung in der Form zu den Anfangsbedingungen u (x = t u + u x u = { 1 für x < für x > wenden wir folgendes numerische Verfahren an: j = U n j k h U n j (U n j U n j 1. (In Übung (3.1.2 wird gezeigt, dass das Verfahren konsistent ist. Für Uj n > sollte auch die Stabilitätsbedingung erfüllt sein, da dann j eine Konvexkombination von und Uj 1 n ist. U n j Wählen wir als Anfangsbedingung für U { 1 für j < Uj = für j, so erhalten wir als Lösung U n j = U j für alle j, und im Limes k, h die Funktion u(t, x = u (x. Dies ist keine schwache Lösung des Anfangswertproblems. (3.1.2 Übung: Zeigen Sie: Das numerische Verfahren in Beispiel (3.1.1 ist konsistent zu den beiden Erhaltungsgleichungen ( 1 t u + x 2 u2 =, ( 2 t (u 2 + x 3 u3 =.

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 34 Der Ausweg aus diesem Dilemma besteht darin, numerische Verfahren nicht für die Gleichung t + f (u x u =, sondern für die Erhaltungsgleichung t u + x f(u = zu konzipieren. (3.1.3 Definition: Ein Verfahren der Form j = U n j k h [F (U n j, U n j+1 F (U n j 1, U n j ] heißt numerisches Verfahren in Erhaltungsform. Die Funktion F heißt numerische Flussfunktion. (Eine Erweiterung auf mehr als das Tripel (j 1, j, j + 1 ist leicht möglich. Dies soll aber hier nicht weiter verfolgt werden. Geklärt werden muss nun, in welchem Zusammenhang die numerische Flussfunktion F zur Flussfunktion f haben soll. Hierzu betrachten wir die folgende schwache Formulierung der Erhaltungsgleichung xj+1/2 x j 1/2 u(t n+1, xdx = xj+1/2 x j 1/2 [ tn+1 t n u(t n, xdx f(u(t, x j+1/2 dt tn+1 Bezeichnet u j den Mittelwert im Intervall [x j 1/2, x j+1/2 ], so folgt u n+1 j = u n j 1 h [ tn+1 t n f(u(t, x j+1/2 dt tn+1 t n t n ] f(u(t, x j 1/2 dt. ] f(u(t, x j 1/2 dt. Vergleichen wir dies mit dem numerischen Verfahren, so folgern wir, dass F (U n j, U n j+1 eine Approximation von 1 tn+1 f(u(t, x j+1/2 dt k t n sein sollte. Approximieren wir z.b. f(u(t, x j+1/2 durch f(u(t n, x j, so führt dies im Fall der Burgers-Gleichung auf j = U n j k h [ 1 2 (U n j 2 1 2 (U n j 1 2 ].

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 35 Dies ist eine Upwind-Variante in Erhaltungsform für die Burgers-Gleichung mit F (v, w = v 2 /2. Allgemein sind mögliche Verfahren in Erhaltungsform gegeben durch die einseitigen Varianten F (v, w = f(v oder F (v, w = f(w. Welche dieser Varianten gewählt werden soll hängt aus Stabilitätsgründen vom Vorzeichen von f (u ab (vgl. vorigen Abschnitt. Für weitere Verfahren können ebenfalls Varianten in Erhaltungsform gefunden werden. (3.1.4 Beispiel: Die Verallgemeinerung des Lax-Friedrichs-Verfahrens auf nichtlineare Gleichungen lautet j = 1 2 (U j 1 n + Uj+1 n k ( f(u n 2h j+1 f(uj 1 n. Durch Definition der numerischen Flussfunktion F (U j, U j+1 = h 2k (U j U j+1 + 1 2 (f(u j + f(u j+1. kann das Verfahren in Erhaltungsform geschrieben werden. Wir benötigen einen verallgemeinerten Konsistenzbegriff, welcher sich aber sehr einfach formulieren lässt. (3.1.5 Definition: Das Verfahren in Erhaltungsform heißt konsistent, falls gilt (i für alle u lr ist F (u, u = f(u (ii F ist Lipschitz-stetig in folgendem Sinn: Für alle u lr gibt es ein K so, dass F (v, w f(u K max( v u, w u für alle v, w, für die v u und w u hinreichend klein sind.

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 36 (3.1.6 Beispiel: Das einseitige Verfahren F (v, w = f(v ist konsistent, falls f Lipschitzstetig ist. (3.1.7 Übung: Überprüfen Sie das Lax-Friedrichs-Verfahren auf Konsistenz. j = 1 2 (U j 1 n + Uj+1 n k ( f(u n 2h j+1 f(uj 1 n Wir wollen nun untersuchen, ob numerische Lösungen im Limes k, h wirklich schwache Lösungen der Erhaltungsgleichung sind. Wir benötigen hierzu einige Vorbereitungen. Wir nennen endliche Folgen (ξ,..., ξ N der Form = ξ < ξ 1 < < ξ N = Zerlegungen von lr. Die Menge aller Zerlegungen bezeichnen wir mit Z. (3.1.8 Definition: (a Die totale Variation einer Funktion v : lr lr ist definiert durch T V (v = sup (ξ,...,ξ N Z N v(ξ j v(ξ j 1 j=1 (b Gegeben seien zu l = 1, 2,... die Gitterparameter k l und h l ; es gelte k l, h l für l. U l sei eine numerische Approximation von u(t, x auf dem (k l, h l -Gitter. Wir interpretieren U l als stückweise konstante Funktion: U l (t, x = U n l,j für (t, x [nk, (n + 1k [(j 1/2h, (j + 1/2h. Wir sagen: U l konvergiert gegen u für l, wenn U l in folgendem Sinn beschränkte totale Variation hat: (T > (R > : T V (U l (., t < R für alle t [, T ], und wenn für beliebige beschränkte Mengen Ω = [, T ] [a, b] gilt T b a U l (t, x u(t, x dxdt für l.

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 37 Wir schreiben hierfür kurz U l u 1,Ω für l. (3.1.9 Bemerkung: Ist v : lr lr differenzierbar, so ist wie man sich leicht überlegt die totale Variation gegeben durch T V (v = v (x dx. Das folgende Ergebnis wollen wir ohne Beweis angeben. 2 (3.1.1 Satz (Lax-Wendroff: Gegeben seien Gitterparameter k l, h l für l. U l sei die numerische Approximation einer Erhaltungsgleichung auf dem (k l, h l - Gitter, berechnet durch ein konsistentes und konservatives Verfahren. Konvergiert U l gegen u, so ist u eine schwache Lösung der Erhaltungsgleichung. Als Nächstes müssen wir fordern, dass die numerische Lösung die physikalisch sinnvolle Lösung approximiert, also eine Entropiebedingung erfüllt. (3.1.11 Beispiel: Das Riemann-Problem für die Burgers-Gleichung ( { 1 1 für x < t u + x 2 u2 =, u (x = 1 für x > Hat als korrekte Lösung eine Verdünnungswelle. Eine weitere schwache Lösung ist u(t, x = u (x. (Beweis? Wenden wir auf das Problem das Upwind-Verfahren an: F (v, w = U j = { f(v falls (f(v f(w/(v w f(w falls (f(v f(w/(v w <, { 1 für j 1 für j >, 2 Vgl. Theorem 12.1 in R. J. LeVeque: Numerical Methods for Conservation Laws.

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 38 so erhalten wir als Ergebnis j = U n j für alle n, j. Die Entropiebedingung für schwache Lösungen lautet t η(u(t, x + x ψ(u(t, x. Um zu zeigen, dass numerische Lösungen im Limes l diese Bedingung erfüllen, genügt es zu zeigen, dass gilt η( j η(u n j k h [Ψ(U n ; j Ψ(U n ; j 1], (3.1 wobei Ψ in geeigneter Weise kompatibel zu ψ gewählt sein muss. (3.1.12 Übung: Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten für das Upwind-Verfahren und das Riemann-Problem aus Beispiel (3.1.11, wenn als Anfangswerte (Uj die Zellmittelwerte u j = 1 h gewählt werden. xj+1/2 x j 1/2 u (xdx Wir fassen die Anforderungen an ein numerisches Verfahren zusammen, welche sich aus diesen Überlegungen ergeben. (3.1.13 Zusammenfassung: Anforderungen an das Verfahren: (i (ii (i (ii Das Verfahren muss konsistent sein Die numerischen Lösungen müssen beschränkte Variation haben Die numerischen Lösungen müssen konvergieren (dies erfordert z.b. eine geeignete Stabilitätsbedingung Eine geeignete Entropiebedingung muss erfüllt sein. 3.2 Die Methode von Godunov Bei den bisherigen Zugängen zur numerischen Lösung von Erhaltungsgleichungen spielten Konsistenzbedingungen eine wichtige Rolle, welche sich aus dem Taylorreihenansatz rechtfertigen ließen. Nun soll ein weiterer Ansatz verfolgt werden, der sich stärker

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 39 an dem Merkmal konstant entlang Charakteristiken orientiert. Wir stellen zunächst das Verfahren von Courant-Isaacson-Ries als ein Beispiel vor, welches Charakteristiken durch einen Punkt zurück verfolgt; einen alternativen Ansatz, der auf die Lösung von Riemann-Problemen zu stückweise stetigen Anfangswerten führt, stellt anschließend die Methode von Godunov vor. In beiden Fällen spielt die Upwind-Idee eine große Rolle. (3.2.1 Beispiel (Courant-Isaacson-Rees: Um den numerischen Wert j als Näherung von u(t n+1, x i zu bestimmen, wird die Charakteristik auf den Zeitpunkt t n zurück verfolgt. Die Charakteristik wird als stückweise linear angenommen. In der Regel wird sie zur Zeit t n nicht in einem Gitterpunkt landen. Den entsprechenden Wert müssen wir durch Interpolation gewinnen. Ist die Zeitschrittweite hinreichend klein, so erhalten wir diesen Wert aus dem Paar (U n j 1, U n j oder aus (U n j, U n j+1. Beispielsweise gehört zur skalaren Erhaltungsgleichung t u + x (f(u = die stückweise lineare Charakteristik ausgehend vom Punkt (t n+1, x j t x j (t n+1 tf (U n j für t [t n, t n+1. Nehmen wir an, dass f (U n j >, so treffen wir zur Zeit t n auf den Punkt x j kf (U n j. Für k hinreichend klein, so liegt dieser Punkt in [x j 1, x j ]. Lineare Interpolation der Paare (x j 1, U n j 1 und (x j, U n j in diesem Punkt führt auf das Verfahren j = 1 [ (h f (Uj n kuj n + f (Uj n ku n h j 1] = U n j k h f (U n j [U n j U n j 1]. Für glatte Lösungen liefert dieses Verfahren gute Ergebnisse, nicht aber für Schocks, da das Verfahren nicht in Erhaltungsform formuliert werden kann. Das Godunov-Verfahren gehört in die Reihe der Riemann-Löser, da es auf der stückweisen Lösung von Riemann-Problemen beruht. Es ist motiviert durch folgenden Iterationsschritt:

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 4 (i Approximiere die Lösung u(t n, j durch die stückweise konstante Funktion u n j := u(t n, x = 1 h xj+1/2 x j 1/2 u(t n, ξdξ für x [x j 1/2, x j+1/2. (ii Löse im Zeitintervall [t n, t n+1 ] die Riemann-Probleme t u (j + x (f(u (j =, u (j (t n, x = { u n j 1 für x < x j 1/2 u n j für x > x j 1/2. Hierzu muss der Zeitschritt so klein gewählt werden, dass sich die einzelnen Schocklösungen und die Verdünnungswellen nicht überschneiden. Das Umsetzen dieser Idee führt auf das folgende numerische Verfahren. Gegeben sei die numerische Lösung U n zur Zeit t n auf Z. Wir interpretieren diese als stückweise konstante Funktion auf lr: U n (x := Uj n für x (x j 1/2, x j+1/2. Anschließend lösen wir exakt die Erhaltungsgleichung in [t n, t n+1 ] t ũ n (t, x + x (f(ũ n (t, x = zum Anfangswert u(t n, x = U n. Anschließend wandeln wir die Lösung zur Zeit t n+1 durch Mittelwertbildung wieder in eine stückweise konstante Funktion um: j := 1 h xj+1/2 x j 1/2 ũ n (t n+1, xdx. Die Lösung ũ n besteht stückweise aus einer Schockwelle oder einer Verdünnungswelle wie in den Abschnitten 1.2.2 A und B beschrieben. Zur Berechnung von j wir zunächst, dass ũ n Lösung in der folgenden schwachen Formulierung ist. bemerken xj+1/2 x j 1/2 ũ n (t n+1, xdx = xj+1/2 x j 1/2 ũ n (t n, xdx + tn+1 t n tn+1 t n f(ũ n (t, x j+1/2 dt. f(ũ n (t, x j 1/2 dt Die beiden ersten Integrale ergeben bei Division durch h gerade j und Uj n. Außerdem ergibt ein Vergleich mit Abschnitt 1.2.2, dass ũ n konstant entlang der Linie (t, x j+1/2 ist, wobei diese Konstante lediglich von U n j und U n j+1 abhängt: ũ n (t, x j+1/2 = u (U n j, U n j+1.

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 41 Damit lässt sich das Godunov-Verfahren in Erhaltungsform umformulieren: mit der numerischen Flussfunktion j = Uj n k [ F (U n h j, Uj+1 n F (Uj 1, n Uj n ] F (U n j, U n j+1 = 1 k tn+1 t n f(ũ n (t, x j+1/2 dt = f(u (U n j, U n j+1. Alle diese Überlegungen sind richtig, wenn der Zeitschritt so klein ist, dass sich benachbarte Schock- oder Verdünnungswellen nicht überschneiden. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeiten gegeben sind durch die Eigenwerte λ p (U n j von f (U n j, führt dies auf die Bedingung k h λ p(uj n 1 für alle U n j und alle p {1,..., m}. Die größte dieser Zahlen heißt Courantzahl. (3.2.2 Beispiele: (a Bei der linearen Advektionsgleichung ist { U n u (Uj n, Uj+1 n = j falls a > Uj+1 n falls a < Je nach Vorzeichen von a lässt sich das auch in der etwas umständlicheren Form Uj+1 n (Uj+1 n Uj n (für a > bzw. Uj n + (Uj+1 n Uj n (für a < schreiben. (b Lineare Systeme: Es seien r p, p = 1,..., m, die Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ p. U n j+1 U n j = m α p r p p=1 sei die Entwicklung von U n j+1 U j bezüglich dieser Eigenvektoren. In diesem Fall ist u (U n j, U n j+1 = U n j + λ p< α p r p = U n j+1 λ p> α p r p. Benutzen wir wie früher die Schreibweise A ± = T Λ ± T 1, so folgt F (Uj n, Uj+1 n = Au (Uj n, Uj+1 n (3.2 = AUj n + α p λ p r p = AUj+1 n α p λ p r p λ p< λ p> = AUj n + A (Uj+1 n Uj n = AUj+1 n A + (Uj+1 n Uj n.

3 KONSERVATIVE VERFAHREN 42 Wählen wir die folgenden Darstellungen für F (U n j, U n j+1 und F (U n j 1, U n j : F (U n j, U n j+1 = AU n j + A (U n j+1 U n j, F (U n j 1, U n j = AU n j A + (U n j U n j 1, so folgt als Godunov-Methode für lineare Systeme j = Uj n k [ F (U n h j, j F (Uj 1, n Uj n ] = Uj n k [ A (Uj+1 n Uj n + A + (Uj n U n h j 1 ]. Dies ist die Upwind-Methode, wie wir sie in Abschnitt 2.2 kennen gelernt haben. Eine weitere Möglichkeit der Darstellung dieser Methode erhalten wir, wenn wir die beiden Formeln in (3.2 mitteln: wobei F (U n j, U n j+1 = 1 2 A(U n j + U n j+1 + 1 2 (A A + (U n j+1 U n j = 1 2 A(U n j + U n j+1 1 2 A (U n j+1 U n j, A = A + A = T Λ T 1 mit Λ = diag( λ 1,..., λ m. Damit erhalten wir als Darstellung der Godunov-Methode j = U n j k 2h A(U n j+1 U n j 1 + k 2h A (U n j+1 2U n j + U n j 1. Die ersten beiden Terme der rechten Seite bilden ein instabiles numerisches Verfahren (explizites Euler-Verfahren, vgl. Beispiel (2.1.1(a und Übung (2.3.3(b. Dagegen wirkt der dissipative dritte Term, welcher einer zweiten Ableitung entspricht, stabilisierend. Im Folgenden wollen wir überprüfen, wie Entropiebedingungen in konservativen numerischen Verfahren verankert werden können. Wir kehren zurück zur schwachen Lösung ũ n (t, x der nichtlinearen Erhaltungsgleichung. Erfüllt ũ die Entropie-Ungleichung für eine Entropiefunktion η und einen Entropiefluss ψ, so folgt durch Integration über [t n, t n+1 ] [x j 1/2, x j+1/2 ] 1 h 1 h xj+1/2 x j 1/2 [ tn+1 t n η(ũ n (t n+1, xdx 1 h ψ(ũ n (x j+1/2, tdt tn+1 t n xj+1/2 x j 1/2 η(ũ n (t n, xdx ] ψ(ũ n (x j 1/2, tdt.