Universität Regensburg Didaktik der Mathematik Seminar für Examenskandidaten Hauptschule SS 01 Dozent: Andreas Eberl Referentin: Ramona Gruber 5.06.01 Examensaufgabe 010/I, : Dezimalbrüche 1. Erläutern Sie die Kommadarstellung reeller Zahlen im Dezimalsystem!. Beschreiben Sie Möglichkeiten, Dezimalbrüche im Unterricht einzuführen! 3. Beschreiben Sie Schwierigkeiten und Fehler von Schülern beim Umgang mit Dezimalbrüchen! Geben Sie Maßnahmen zur Vorbeugung bzw. Behebung an! 4. Erläutern Sie die Umwandlung von Dezimaldarstellungen reeller Zahlen in gewöhnliche Brüche und umgekehrt! Schülerschwierigkeiten, daraus resultierende Fehler und Maßnahmen zur Vorbeugung bzw. Behebung 1. Schwierigkeit: Problematische Sprechweise: Im Alltag wird,13 oft zwei Komma dreizehn gelesen und gesprochen. Daraus resultierende Fehler: - beim Größenvergleich:,5 und,13:,5 <,13, da 5 < 13 - bei der Addition:,13 + 0,4 =,17, da 13 + 4 = 17 - bei der Subtraktion:,13 0, =,11, da 13 = 11 - je nach Anzahl der Dezimalen Zuweisung eines anderen Stellenwertes: 0,5 null Komma fünf / 0,51 null Komma einundfünfzig / 0,51 null Komma fünfhunderteinundzwanzig obwohl 5 immer erste Nachkommastelle ist und immer den Wert 5 10 hat - ziffernweise Sprechweise im Unterricht: zwei Komma eins drei - bei Rechenoperationen exaktes Untereinanderschreiben: 1
- Stellenwerttabellen:,13 + 0,40 ß Auffüllen mit Endnullen,53 Beispielübung: Stellenwerttabelle: Trage folgende Zahlen richtig in die Stellenwerttabelle ein: 76,5 1,08 0,75 8009,1 357,053 851,01 18,003 458999,6 HT ZT T H Z E, z h t. Schwierigkeit: Stellenwerte: Bei der Übertragung der dezimalen Stellenwertschreibweise von den natürlichen Zahlen auf die Dezimalbrüche ergeben sich für die Schüler Schwierigkeiten durch fehlerhafte Transfers. So stehen in G die Zehner an zweiter, die Hunderter an dritter, die Tausender an vierter Stelle vor dem Komma, dagegen stehen bei Dezimalbrüchen die Zehntel an erster, die Hundertstel an zweiter und die Tausendstel an dritter Stelle nach dem Komma. In G orientiert sich der Stellenwert also an der letzten Stelle und man zählt die Stellen von rechts nach links ab. Bei den Dezimalen muss man sich allerdings am Komma orientieren und die Stellen von links nach rechts abzählen. Daraus resultierende Fehler: - Stelle 100 als Dezimalbruch dar! 0,00 anstatt 0,0 - Markiere die Zehntelstelle des Dezimalbruches 7,654! 7,654 anstatt 7,654 - Bezeichnung der ersten Nachkommastelle als Eintel - Durch die bewusste Kontrastierung der Unterschiede zwischen natürlichen Zahlen und Dezimalbrüchen werden fehlerhafte Übergeneralisierungen vermieden. - gerade bei Einführung der Dezimalbrüche vermehrt folgende Übungsform:
Trage die Dezimalbrüche in die Stellenwerttafel ein und schreibe sie als Summe bzw. schreibe umgekehrt die Summen als Dezimalbruch in Kommaschreibweise. Summenschreibweise H Z E, z h t zt Dezimalbruch 140 + 3 10 + 8 1 4 0, 3 0 8 140,308 1000 56 + 7 10 + 4 100 + 1 1000 9,5788 981 + 100 + 6 10000 767,006 1 10 + 9 100 + 6 1000 7,0543 0,6801 3. Schwierigkeit: Umwandeln: Das Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche und umgekehrt bereitet vielen Schülern e Schwierigkeiten, vor allem dann, wenn die Brüche keine Zehnerpotenz im Nenner haben oder wenn sie eine haben, aber das Komma überschritten wird (Bsp: 8 =,8 nicht 10 0,8!). Durch Verständnisschwierigkeiten und fehlerhafte Umrechnungen ergeben sich oft falsche Umwandlungsergebnisse. Grundsätzlich gelten folgende Umwandlungsregeln, die mit den Schülern intensiv eingeübt werden müssen, um Fehler zu vermeiden: Brüche in Dezimalbrüche Besonders einfach: bei Brüchen, die bereits eine Zehnerpotenz im Nenner haben oder die sich auf Zehnerpotenzen erweitern lassen. Dies ist jedoch nur möglich, wenn die Primfaktorzerlegung des Nenners nur Zweien und Fünfen enthält. Vorgehensweise: 1. Erweitern des Bruches, so dass eine Zehnerpotenz im Nenner steht.. Zählen, wie viele Nullen die Zehnerpotenz hat. Genau so viele Nachkommastellen hat die Ergebniszahl. Beispiel: 5 = 4 10 = 0,4 Kann man den Bruch nicht so erweitern, dass sich im Nenner eine Zehnerpotenz ergibt, wird der Bruch soweit wie möglich gekürzt und der Zähler anschließend durch den Nenner dividiert. Beispiel: 4 6 = 3 = : 3 = 0,6 3
Während bei der oberen Umwandlungsvariante eher vor allem schwächere Schüler Schwierigkeiten haben, fällt die untere Variante allen Schülern gleichermaßen schwer. Dezimalbrüche in Brüche: Einfach umzuwandeln sind endliche Dezimalbrüche. Beispiele: 3,7 = 37 3,4 = 3 4 10 100 oder 34 100 Nicht ganz so einfach lassen sich periodische Dezimalbrüche umwandeln. Vorgehensweise (entwickelt von zwei 7. Klässlern für alle Leidensgenossen ): In den Zähler schreibe einfach alle Ziffern des Dezimalbruchs einschließlich der Ganzzahl und ohne Komma und subtrahiere davon den nichtperiodischen Teil. Der Nenner setzt sich aus so vielen Neunen zusammen, wie der periodische Teil lang ist, gefolgt von so vielen Nullen, wie der nichtperiodische Teil hinter dem Komma lang ist. Beispiel: 4345176-43451 43019311 144006437 4,345176 = = = 99900000 99900000 33300000 4. Schwierigkeit: Vergleichen: Das Vergleichen von Dezimalbrüchen und die Zuordnung von > und < hängt vom richtigen Verständnis des Stellenwertsystems von Dezimalzahlen ab. Auftretende Fehler: - Komma-trennt-Strategie: Das Komma trennt den Dezimalbruch in zwei natürliche Zahlen, die getrennt verglichen werden. Beispiel:, und,13:, <,13, da zwar =, aber < 13 - Je-mehr-Dezimalen-desto-kleiner-Strategie: Die Zahl mit mehr Dezimalen ist kleiner bzw. die Zahl mit weniger Dezimalen ist größer. Beispiel:,15 und,573:,573 <,15 Lehrer muss Schülern verdeutlichen, dass bei unterschiedlichen Zehntelstellen, die größere Zehntelstellen-Ziffer den größeren Dezimalbruch anzeigt (, >,1). Bei gleicher Zehntelstelle bestimmt die nachfolgende Hundertstelstellen-Ziffer den größeren Dezimalbruch (,0 <,5). Dabei können / müssen die Dezimalzahlen zur Verdeutlichung mit Endnullen aufgefüllt werden (Bsp: 7,8 und 7,89 7,8 kann auch 7,80 geschrieben werden, dann ist besser erkenntlich, dass 7,8 < 7,89 ist). 4
5. Schwierigkeit: Addition und Subtraktion: Neben Flüchtigkeitsfehlern bildet hier vor allem, wie bereits in Punkt 1 und 4 beschrieben, die getrennte Anschauung der Zahl vor und der nach dem Komma die größte Schwierigkeit. Daraus resultierende Fehler: Die Stellenwerte nach dem Komma werden falsch verrechnet und die Übergänge vor dem Komma sind fehlerhaft. Beispiele: 4,5 + 3,84 = 7,89 und 5,69 3, =,67 Das exakte Untereinanderschreiben der zu manipulierenden Zahlen und die Auffüllung mit Endnullen, können die Stellenwerte, die miteinander verrechnet werden sollen besser darstellen. Wichtig für Schüler: Orientierung an den Kommas, nicht an den Stellen davor und dahinter und wie bei natürlichen Zahlen Rechenoperationen von rechts nach links! Beispiele: 4,5 + 13,689: 4,500 Auffüllen mit Endnullen + 13,689 18,189 1,56 3,64: 1,560 Auffüllen mit Endnullen - 3,64 18,96 6. Schwierigkeit: Multiplikation: Schwierigkeitsfaktoren und typische Schülerfehler: Kommasetzung, Stellenwertfehler, Anzahl und Größe der Behalteziffern, Vorkommen von Nullen, Anzahl der Dezimalen, gleich viel oder unterschiedlich viel Dezimalen der Faktoren, Ergänzung von Nullen im Ergebnis, fehlerhafter Transfer von Addition und Subtraktion, Schwierigkeit, wenn das Komma überschritten wird, mangelhafte Vorstellung, dass etwas durch Multiplikation kleiner wird (Bsp:,5 0,8 = ) - Üben, Üben, Üben - Überschlagsrechnen schulen, um Ergebnisse richtig einordnen zu können - Runden schulen - richtige Kommasetzung kann bei Multiplikation mit einer ganzen Zahl durch schriftliche Addition veranschaulicht werden 5
7. Schwierigkeit: Division: Schwierigkeitsfaktoren und typische Schülerfehler: Kommasetzung, selbe Verständnisfehler wie schon bei schriftlicher Division von ganzen Zahlen, End- und Zwischennullenfehler, Herunterholen mehrerer Ziffern, Größe des Divisors, gleich oder unterschiedlich viele Dezimalen von Dividend und Divisor, getrennte Operationen der Vorund Nachkommastellen (Bsp: 8,4 : 4 =,6), je mehr Dezimalen, umso schwieriger - Üben, Üben, Üben - Überschlagsrechnung schulen Schlussbemerkung: Zur Überprüfung der Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schüler im Bereich Dezimalzahlen / Rechnen mit Dezimalzahlen hat Friedhelm Padberg den Diagnostischen Test zur Analyse von Problembereichen bei Dezimalbrüchen erstellt, der unter folgendem Link verfügbar ist: https://pub.uni-bielefeld.de/luur/download?func=downloadfile&recordoid=1781116&fileoid=313169 6