Inhaltsverzeichnis. mittels B rüchen... 11

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 1 Zahlen, Operationen und Strategien verstehen66 - einige Grundlagen Verstehen und Grundvorstellungen Verstehen untersuchen Aufbau von Grundvorstellungen Überwinden von Grundvorstellungsumbrüchen Bedeutung der Prozessorientierung Ist die Bruchrechnung heute noch nötig? Die Bruchrechnung ist überflüssig - einige häufiger genannte Argumente Die Bruchrechnung ist keineswegs überflüssig - einige ausgewählte Argum ente Anschauliche Fundierung des Dezimalbruchbegriffs mittels B rüchen Einsichtige Fundierung des Rechnens mit Dezimalbrüchen mittels B rüchen Prävention und Intervention bei Problembereichen der Dezimalbruchrechnung mittels B rüchen Leichtere Begründung algebraischer Eigenschaften von Q + mittels B rüchen Wahrscheinlichkeitsrechnung Gleichungslehre A lgebra Reichhaltige und vielseitige Möglichkeiten zur Prozessorientierung Resümee Zur Einführung von B rü c h e n Zentrale Grundvorstellungen Einige Verwendungssituationen von Brüchen Zwei zentrale Grundvorstellungen Alternative Zugänge... 22

2 3.2 Bruch als Anteil - zwei Teilaspekte Teilaspekt 1 - Anteil eines Ganzen Teilaspekt 2 - Anteil mehrerer G an zer Bruch als Anteil - zwei sachorientierte Bemerkungen Schreibweisen und Repräsentanten Bruchalbum und Stationenlemen - zwei innovative A nsätze Drei Grundaufgaben Anschauliche Vorkenntnisse zu B rüchen Ein unterrichtlicher Zugang zu den Bruchzahlen Unterschiede zwischen den natürlichen Zahlen und Bruchzahlen Erweitern/Kürzen von B rüchen Anschauliche Vorkenntnisse Gleichwertige Brüche - anschauliche Zugangswege Erweitern - systematische Behandlung Kürzen - systematische Behandlung Variationsreiches Ü b e n Mögliche Problembereiche und Hürden/ Prävention und Intervention Vertiefung Größenvergleich von B rüchen Anschauliche Vorkenntnisse Anschauliche Wege zum Größenvergleich Systematische Behandlung Variationsreiches Ü b e n Mögliche Problembereiche und Hürden Prävention und Intervention Vertiefung Addition und Subtraktion von B rüchen Anschauliche Vorkenntnisse Grundvorstellungen und anschauliche Wege zur Addition und Subtraktion von Brüchen Addition und Subtraktion - systematische Behandlung Gemischte Z ahlen Variationsreiches Ü b e n Mögliche Problembereiche und Hürden Grundvorstellungen und Rechenkalkül Anschauliche Vorstellungen - oft Fehlanzeige Schwierigkeitsfaktoren Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick... 86

3 6.6.5 Bruch plus Bruch/Bruch minus Bruch Kombinierter Fall (Bruch und natürliche Z a h l) Prävention und Intervention Vertiefung Multiplikation von Brüchen Anschauliche Vorkenntnisse Anschauliche Wege zur M ultiplikation Natürliche Zahl mal Bruch - Grundvorstellung und systematische Behandlung Bruch mal natürliche Zahl - Grundvorstellung und systematische Behandlung Bruch mal Bruch - Grundvorstellungen und systematische Behandlung Grundvorstellung: Anteil vom A nteil Grundvorstellung: Flächeninhalt Vergleich beider W ege Variationsreiches Ü b e n Mögliche Problembereiche und Hürden Multiplizieren vergrößert im m er Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick Multiplikation gleichnamiger Brüche Multiplikation ungleichnamiger Brüche Natürliche Zahl mal Bruch/Bruch mal natürliche Zahl Multiplikation gemischter Z ah len Regelformulierung und Begründung Prävention und Intervention Vertiefung Division von B rüchen Anschauliche Vorkenntnisse Anschauliche Wege zur Division Bruch durch natürliche Zahl - Grundvorstellung und systematische Behandlung Bruch durch Bruch/Natürliche Zahl durch Bruch - Grundvorstellungen und systematische Behandlung Grundvorstellung M essen Grundvorstellung Umkehroperation Vergleich der beiden Wege Natürliche Zahl durch natürliche Z ah l Variationsreiches Ü b e n...139

4 8.7 Mögliche Problembereiche und Hürden Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick Bruch durch B ru c h Bruch durch natürliche Zahl/Natürliche Zahl durch Bruch Natürliche Zahl durch natürliche Zahl Grundvorstellungsumbrüche bei der Division Division von Brüchen und praktische Anwendungen Regelformulierung und Begründung Prävention und Intervention Vertiefung Brüche und natürliche Zahlen - viele Gemeinsamkeiten, aber auch starke Umbrüche in den Grundvorstellungen Resümee B rüche Vorkenntnisse über Brüche überraschend gering Gründliche Fundierung des Bruchbegriffs erforderlich Grundvorstellungen sorgfältig erarbeiten Mögliche Problembereiche und Hürden geschickt thematisieren Variationsreiches Üben und Vertiefen Prozessorientierter Zugang zu Dezimalbrüchen Zur Bedeutung von Dezimalbrüchen Vorteile der Schreibweise als Dezimalbruch Zielsetzung des Dezimalbruchlehrgangs Bedeutung der Prozessorientierung und Vernetzung Grundvorstellungen aufbauen Überwinden von Grundvorstellungsumbrüchen Veranschaulichungen zu D ezim albrüchen Rolle von Anschauungsmitteln Kriterien zur Auswahl von Arbeitsmitteln Konkrete Arbeitsmittel für Dezimalbrüche Zehnersystemblöcke/Dienes-Material Lineare Arithmetikblöcke Decimats Millimeterpapierquadrate Stellenwerttafeln Zahlengerade Arbeitsmittel sind nicht selbsterklärend Vom konkreten Material zur Grundvorstellung Übersetzen in Sachsituationen

5 13 Erweiterung des Stellenwertsystems Stellenwerte und deren Zusammenhänge Mögliche Problembereiche und Hürden Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Darstellen, Lesen und Schreiben von Dezim albrüchen Brüche in Stellenwertschreibweise darstellen Schreib- und Sprechweisen Mögliche Problembereiche und Hürden Probleme beim Übersetzen in eine nichtsymbolische Darstellung Probleme beim Lesen und Schreiben Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Variationsreiches Üben und Vertiefen Erweitern und Kürzen bei Dezimalbrüchen Verfeinern und Vergröbern einer Unterteilung Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Größenvergleich und Anordnung bei Dezimalbrüchen Wege zum Größenvergleich Über die Stellenwerte an flächigen Veranschaulichungen Über die Zahlengerade Über G rößen Über Stellenwerttafeln B eispiel Vergleich der verschiedenen Wege Anordnung von Dezimalbrüchen Mögliche Problembereiche und Hürden Probleme beim Vergleichen von Dezimalbrüchen Probleme bei der Anordnung von Dezimalbrüchen Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Variationsreiches Üben und Vertiefen Zusammenhang zwischen Brüchen und D ezim albrüchen Umwandlung von Bruch- in Dezimalbruchschreibweise Umwandlung von Dezimalbruch- in Bruchschreibweise Mögliche Problembereiche und Hürden Typische Fehlerstrategien bei der Umwandlung zwischen Dezimalbruch-und Bruchschreibweise Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern

6 18 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Grundvorstellungen zur Addition und Subtraktion Rechenstrategien und -methoden zur Addition und Subtraktion Operative Additions- und Subtraktionsstrategien Stellenweises Rechnen und schriftlicher Algorithmus Weitere Strategien Rechnen im kleinsten Stellenwert Zehnerbrüche Größen Zusammenfassung und Bewertung Lösungsquoten und -w ege Mögliche Problembereiche und Hürden Stellenwertprobleme Komma-trennt-Strategie Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Variationsreiches Üben und Vertiefen Multiplikation von Dezimalbrüchen Grundvorstellungen zur Multiplikation Multiplizieren von Stellenwerten Multiplikation mit Zehnerpotenzen Multiplikation mit Stellenwerten kleiner Strategien zur Berechnung von Multiplikationstermen Nutzen des Flächeninhalts am Rechteckmodell M alkreuz Größen Rechnen mit Zehnerbrüchen Rechnen mit kleinsten Stellenwerten Regel zur Multiplikation von Dezimalbrüchen Sonderfall: Multiplikation mit natürlichen Z ah len Mögliche Problembereiche und Hürden Gering ausgeprägte Grundvorstellungen Fehlvorstellungen Probleme bei Rechenstrategien Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Diagnostische Aufgaben und Beobachtungsschwerpunkte Fördervorschläge: Grundvorstellung und Grundvorstellungsumbruch Multiplikation Fördervorschläge: Rechenstrategien Variationsreiches Üben und Vertiefen...248

7 20 Division von Dezimalbrüchen Grundvorstellungen zur Division Strategien zur Division durch Dezimalbrüche Anschauliche Division am M odell Division über Zehnerbrüche Rückgriff auf Größen Umkehroperation Gleichsinniges Verändern Sonderfall: Division durch Zehnerpotenzen Sonderfall: Divisionsstrategien Dezimalbruch geteilt durch natürliche Z ahl Mögliche Problembereiche und Hürden Fehlende Grundvorstellungen Fehlerstrategien Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Diagnostische Aufgaben Fördervorschläge Variationsreiches Üben und Vertiefen Wahl der Rechenoperation Divisionsstrategien Runden, Überschlagen und Schätzen Runden Überschlagen von Rechenausdrücken Schätzen von Zahlen und Größen Mögliche Problembereiche und Hürden Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Variationsreiches Üben und Vertiefen Resümee und Konsequenzen Zielsetzung: Verstehen und Prozesse Modelle: Tragfähigkeit statt Vielfalt Inhalte: Zahlen statt Z iffern Zahlvorstellungen im Stellenwertsystem Vorwissen aufgreifen, gegenüberstellen, Umbrüche vollziehen Probleme bei mangelnden Grundvorstellungen Fehlerstrategien beim syntaktischen A rbeiten Fehlvorstellungen Diagnose: Erfassung von Prozessen

8 22.10 Förderung und Förderkonzepte Aktivieren von Grundvorstellungen Überwinden von Fehlvorstellungen Fehlerstrategien erkennen und überwinden Vernetzung: eine Herausforderung Diagnostische Tests Zitierte Literatur Zitierte Schulbücher Vertiefende Literatur Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II