Physik III Übung 1 - Lösungshinweise Stefan Reutter WiSe 212 Moritz Kütt Stand: 16.11.212 Franz Fujara Aufgabe 1 [P] ermanentmagnete (Diskussion) Benötigt man, um ein Magnetfeld zu erhalten, immer einen elektrischen Strom? Wie sieht es mit Permanentmagneten aus? Nein. Erstens kann man, sogar in der klassischen Physik, zeitabhängige Felder haben, die sich selbst erhalten: elektromagnetische Wellen. Zweitens sind da noch die Permanentmagnete. Hier gibt es Phänomene, durch die es für die Elektronenspins aus quantenmechanischen Gründen günstiger ist, in paralleler Ausrichtung vorzuliegen. Ströme gibt es dabei eigentlich nicht, wobei man allerdings die Bewegung der Elektronen in ihrer Schale oder im gesamten Metall als eine Art Strom bezeichnen könnte. Aufgabe 2 [P] Diskussion: Unterschiedliche Felder!? Diskutiert Unterschiede und Gemeinsamkeiten von magnetischen und elektrischen Feldern! Untenstehende Liste ist a) sicherlich nicht vollständig und b) ist das mit Unterschieden und Gemeinsamkeiten natürlich nicht ganz so einfach, da elektrische und magnetische Effekte sich bekanntermaßen gegenseitig bedingen. Gemeinsamkeiten: - wirken beide auf geladene Objekte - quadratische Abstandsabhängigkeit - 4π Unterschiede - E auf alle geladenen Objekte, B nur auf bewegte - E einfach abschirmbar (Leiterkäfig), bei B sehr schwierig - B quellenfreies Wirbelfeld, Rotation eines Vektorfeldes - E ist Gradient eines Skalarfeldes 1
Aufgabe 3 [P] Diskussion: Das Magnetfeld der Erde Sicherlich allen bekannt: Die Erde hat ein Magnetfeld. Beschreibt kurz wichtige Eigenschaften. Welche Effekte gibt es, wenn die Erde plötzlich kein Magnetfeld mehr hätte? Zunächst zum Erdmagnetfeld: Am Äquator hat es eine Stärke von etwa 3.1 1 5 T, es ist also sehr schwach. Es wird vermutlich durch die Bewegung von flüssigem/zähem Eisen im Erdinneren verursacht (nicht durch eine permanentmagnetische Erdkruste). Die beiden Pole des Erddipols sind nicht identisch mit den geographischen Nord- und Südpolen, kommen diesen aber nahe und verändern sich nur langsam. In der Nähe des geographischen Nordpols findet man einen physikalischen Magnet-Südpol!, der z.b. den magnetischen Nordpol von Kompassnadeln anzieht. Die Achse des Dipols geht außerdem nicht durch den Erdmittelpunkt. Was wäre bei einer Erde ohne Magnetfeld? Das Magnetfeld schirmt die Erde gegenüber dem Sonnenwind und anderen geladenen hochenergetischen Teilchen aus dem Weltall relativ gut ab. Die Lebewesen (auch wir) werden also vor diesen Teilchen gut geschützt, dies macht möglicherweise das Leben erst möglich. Weiterhin gibt es wohl Tiere, die sich am Erdmagnetfeld orientieren, zumindest kann dieses ihre Orientierung beeinflussen. Ohne Feld gäbe es hier vielleicht tierisches Verkehrschaos. Heute spielt das Magnetfeld zwar eher untergeordnete Rolle in der Navigation - wäre es aber ausgefallen, als Kolumbus auf See war, könnte man spekulieren was mit der Entdeckung Amerikas passiert wäre. Aufgabe 4 [P] Lange Leitung φ x L P y Durch einen Leiter der Länge L fließt ein Strom der Stärke I. Bestimmt das Magnetfeld für einen beliebigen Punkt P der zum Leiter einen Abstand x hat, und zu einem Leiterende den Abstand y. Der Leiter selbst kann dabei als unendlich dünn angenommen werden. einen Winkel geht. Hinweise: Substituiere so, dass das Integral über 1 cos (arctan (x)) = 1 + x 2 Nach Biot-Savart gilt folgendes: d B = µ I 4πr 3 d l r 2
In unserem Fall können wir die x-achse entlang des Leiters legen, und mit dem eingezeichneten Winkel ergibt sich d l r r = dl sin φ e z, wobei φ auch von l abhängt. Das ganze steht senkrecht zur Ebene, die von Leiter und Punkt aufgespannt wird. Nun substitutiert man dl. Weiterhin nutzt man l = y tan φ dl dφ = y sin 2 φ dl = y sin 2 φ dφ r = y sin φ Eingesetzt ergibt sich µ I B = 4πr 3 d l r = µ I sin φ sin2 φ y 4π y 2 sin 2 φ e z = µ I sin φdφ e z 4π y = µ I (cos φ 2 cos φ 1 ) e z 4π y Die Grenzen für die Integration über φ sind folgende: φ 1 = arctan y x y φ 2 =π arctan L x Damit ist die z-komponente des B-Feldes (andere sind ) B z = µ I y (cos π arctan cos arctan y ) = 4πy L x x = µ I 1 1 ( ) 4πy 1 + y2 1 + y2 (L x ) 2 x 2 3
Aufgabe 5 [H] Energie, Energie, Dipol, Dipol, Magnet, Magnet Ein Magnetischer Dipol mit dem Dipolmoment µ = (,, m) befindet sich in einem homogenen Magnetfeld B = (,, B). Er ist entlang des Magnetfeldes ausgerichtet. a) Welche Energie ist nötig, um den Dipol senkrecht zum Feld auszurichten? b) Welche Energie ist nötig, um den Dipol entgegengesetzt zum Feld auszurichten? M = µ B E = = φ 2 φ 1 M dφ φ 2 φ 1 µ B sin φdφ = mb cos φ φ 2 φ 1 a) φ 1 = φ 2 = π 2 E = mb b) φ 1 = φ 2 =π E = 2mB Aufgabe 6 [H] Zyklotron In einem Zyklotron zur Beschleunigung von Protonen, das einen Radius von.7 m habe, herrsche ein Magnetfeld von 1.4 T. a) Berechne die Zyklotronfrequenz b) Welche maximale kinetische Energie haben die Protonen beim Austritt aus dem Beschleuniger? 4
c) Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn statt Protonen Deuteriumkerne (mit gleicher Ladung aber doppelter Masse) verwendet werden? a) Es gilt m v 2 r = qv B ω = v r = qb m f = qb 21 MHz 2πm b) Die Energie ist durch den maximalen Radius der Kreisbahn gegeben v = qbr m E = m 2 v 2 = qbr 2 2m 7 1 12 J 45 MeV c) Sie werden jeweils halb so groß Aufgabe 7 [H] Geschwindigkeitsfilter Ein Protonenstrahl bewege sich auf der x-achse in positiver Richtung. Er passiere unabgelenkt mit einer Geschwindigkeit von 12.5 km/s einen Bereich gekreuzter magnetischer und elektrischer Felder (Geschwindigkeitsfilter). a) Das Magnetfeld habe den Betrag.8 T und verlaufe in positiver y-richtung. Welche Stärke und Richtung muss dann das elektrische Feld haben? b) Würden Elektronen, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, in derselben Feldanordnung abgelenkt? Wenn ja, in welche Richtung? a) Die Summe der elektrischen und magnetischen Kraft muss gerade null sein. Nach Kreuzprodukt zeigt die magnetische Kraft in positive z-richtung, die elektrische Kraft zeigt also in negative z-richtung. Für die Beträge muss gelten qv B = qe E = v B = 1 4 V/m E = 1 4 V/m e z b) Nein, alle Kräfte hängen nur von der Ladung aber nicht von der Masse ab. Sie drehen sich deshalb einfach nur um und addieren sich immer noch zu. Anders wird es erst, wenn der Betrag der Ladung oder aber die Geschwindigkeit der Ladungsträger sich ändert. 5
Aufgabe 8 [H] Flugstab Ein starrer, gerader, waagerecht angebrachter Metalldraht der Länge 1m und der Masse 1 g sei an seinen Enden durch elektrische Kontakte unterstützt, kann sich jedoch frei nach oben bewegen. Ein homogenes, horizontales Magnetfeld von.5 T stehe senkrecht auf dem Draht. Jetzt werde ein Schalter geschlossen, der die Kontakte mit einer Spannungsquelle verbindet. Der Draht schnellt nun bis zur maximalen Höhe h nach oben. In der kurzen Zeitspanne, in der die Spannungsquelle mit dem Draht verbunden ist, gelange die Ladungsmenge 2 C in den Draht. Bestimmen Sie die Höhe h. Man kann das als eine Art Kraftstoß betrachten. Während ein Strom fließt, ist die Kraft auf den Leiter gleich F = IlB Dadurch wird auf den Stab ein Impuls übertragen Während dieser Zeit wird eine Ladung übertragen. Damit ist p = F t = IlB t = mv Q = I t = 2 C v = lbq m Nun muss man nur noch potentielle und kinetische Energie gleichsetzen, um auf die Höhe zu kommen h = v 2 2g = l2 B 2 Q 2 2m 2 g 5m 6