Finanzmathematik Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de Das Tilgungsrechnen Für Kredite gibt es drei unterschiedliche Tilgungsarten Festdarlehen (auch endfälliges Darlehen) Der Kreditnehmer zahlt Darlehen am Ende der Laufzeit in einer Summe zurück. mathematisch nur von geringem Interesse Abzahlungsdarlehen (auch Ratentilgung) Die Tilgung erfolgt mit gleich bleibenden Tilgungsraten. Der Kreditnehmer erbringt jährlich fallende Leistungen (= Zinsen + Tilgungsrate). Annuitätendarlehen (auch Tilgungs- oder Amortisationsdarlehen) Annuität ist die Summe aus jährlicher Zins- und Tilgungsleistung. Der Kreditnehmer erbringt jährlich gleich bleibende Leistungen, die in monatlichen oder vierteljährlichen festen Raten (die so genannte Annuität) gezahlt werden.. Die Ratentilgung Der Kreditnehmer erbringt jährlich fallende Leistungen (= Zinsen + Tilgungsrate). Die Tilgung erfolgt mit gleich bleibenden Tilgungsraten..) Ein Unternehmen soll einen Kredit in Höhe von 800.000 in fünf gleich großen Tilgungsraten zurückzahlen. Der Zinssatz beträgt 6, % p. a. Erstellen Sie einen Tilgungsplan! Wie viel sind insgesamt an Zinsen zu zahlen? Wie hoch ist die zu zahlende Gesamtleistung im. Jahr? Jahr 2 (Rest-) Schuld Zinsen 6, % Tilgungsrate Gesamtleistung Restschuld www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
.2 Die Annuitätentilgung Annuität ist die Summe aus jährlicher Zins- und Tilgungsleistung. Der Kreditnehmer erbringt jährlich gleich bleibende Leistungen, die in monatlichen oder vierteljährlichen festen Raten (die so genannte Annuität) gezahlt werden. 2.) Ein Unternehmen soll einen Kredit in Höhe von 800.000 in gleich großen Jahresraten zurückzahlen. Der Zinssatz beträgt 6, % p. a., der Anfangstilgungssatz beträgt 20 % p. a. (a) und 0 % p. a. (b). Wie hoch ist... a)... die zu zahlende Gesamtleistung im. Jahr? b)... die zu zahlende Gesamtleistung im 8. Jahr? a) Jahr 2 (Rest-) Schuld Zinsen 6, % Tilgung + gesparte Zinsen Annuität Restschuld b) Jahr 2 6 7 8 (Rest-) Schuld Zinsen 6, % Tilgung + gesparte Zinsen Annuität Restschuld www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 2
.) Ein Unternehmen soll einen Kredit in Höhe von 800.000 in gleich großen Jahresraten zurückzahlen. Der Zinssatz beträgt 6, % p. a. a) Wie groß ist die zu zahlende Leistung im. Jahr, wenn in den Jahren davor jeweils 200.000 Annuität gezahlt wurden? b) Wie hoch ist die anfängliche Tilgung? % Jahr 2 (Rest-) Schuld Zinsen 6, % Tilgung + gesparte Zinsen Annuität Restschuld.) Ein Unternehmen soll einen Kredit in Höhe von einer Million mit gleich bleibender Annuität zurückzahlen. Der Zinssatz beträgt 6 % p. a., die anfängliche Tilgung %. (Anmerkung Die Zinsen immer auf volle runden.) Wie viel beträgt die jährliche Annuität? Wie groß ist die Restschuld nach Jahren? Wie groß ist die Restschuld nach 7 Jahren? Wie groß ist die Restschuld nach 0 Jahren? J. 2 6 7 8 9 0 (Rest-) Schuld Zinsen 6 % Tilgung + gesparte Zinsen Annuität Restschuld www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
.) Ein Unternehmen soll einen Kredit in Höhe von einer Million mit gleich bleibender Annuität zurückzahlen. Der Zinssatz beträgt 6 % p. a., die anfängliche Tilgung %, die Verwaltungskosten 0,2 % vom ursprünglichen Kreditbetrag. (Anmerkung Die Zinsen immer auf volle runden.) Wie groß ist die Gesamtzahlungsleistung im. Jahr? Wie groß ist die Restschuld nach fünf Jahren? J. 2 (Rest-) Schuld Zinsen 6 % Tilgung + gesparte Zinsen Annuität Restschuld 6.) Ein Hausbauer soll einen Kredit in Höhe von 00.000 mit gleich bleibender Annuität zurückzahlen. Der Zinssatz beträgt % p. a., die anfängliche Tilgung %, die Verwaltungskosten 0,2 % vom ursprünglichen Kreditbetrag. (Anmerkung Die Zinsen immer auf volle runden.) Wie viel beträgt die jährliche Annuität? Wie groß ist die Gesamtzahlungsleistung im. Jahr? Wie groß ist die Restschuld nach fünf Jahren? J. 2 (Rest-) Schuld Zinsen % Tilgung + gesparte Zinsen Annuität Restschuld www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
7.) Ein Hausbauer will einen Kredit in Höhe von 00.000 in 0 Jahren in gleich großen Tilgungsraten zurückzahlen. Der Zinssatz beträgt % p. a., die Verwaltungskosten 0,2 % vom ursprünglichen Kreditbetrag. (Anmerkung Die Zinsen auf volle runden, Annuitäten auf volle 00.) Wie groß ist die jährliche Tilgung? % Wie groß sind die Verwaltungskosten? Wie groß ist die Zahlungsleistung im. Jahr? Wie groß ist die Restschuld nach fünf Jahren? Wie groß ist die Zahlungsleistung im 0. Jahr? Wie viel Zinsen wurden insgesamt bezahlt? Jahr 2 6 7 8 9 0 (Rest-) Schuld Zinsen % Tilgung Annuität Restschuld www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
2 Das Rentenrechnen 2. Das Berechnen des Rentenendwertes Problem Es werden in Jahresabständen (am Anfang des Jahres = pränumerando = vorschüssige Rente; am Ende des Jahres = postnumerando = nachschüssige Rente) gleich große Geldbeträge (= Rentenrate) eingezahlt.. Jahr 2. Jahr. Jahr... n. Jahr vorschüssig nachschüssig Wie groß ist der angesparte Betrag (= Rentenendwert) nach n Jahren? 8.) Ein Sparer zahlt jeweils am Ende des Jahres bei seiner Bank.000 ein. Auf wie viel wächst sein Kapital bis Ende des. Jahres bei % Zins an, wenn die letzte Rate Ende des. Jahres geleistet wird? Jahr. 2.... Rate Jahre verzinst Rate 2 Jahre verzinst Rate 2 Jahre verzinst Rate ein Jahr verzinst nachschüssiger Rentenendwert Rate kein Jahr verzinst Rate Rate 2 Rate Rate Rate Aufzinsung Endwert der Rentenraten www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 6
9.) Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang des Jahres bei der Bank.000 ein. Auf wie viel wächst sein Kapital bis Anfang des 6. Jahres bei % Zins an, wenn die letzte Rate Anfang des. Jahres geleistet wird? Jahr. 2.... Rate Jahre verzinst Rate 2 Jahre verzinst Rate Jahre verzinst Rate 2 Jahre verzinst vorschüssiger Rentenendwert Rate ein Jahr verzinst Rate Rate 2 Rate Rate Rate Aufzinsung Endwert der Rentenraten www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 7
2.2 Das Berechnen des Rentenbarwertes Problem Es werden n Jahre lang jedes Jahr (am Anfang des Jahres = pränumerando = vorschüssige Rente; am Ende des Jahres = postnumerando = nachschüssige Rente) gleich große Geldbeträge (= Rentenrate) ausgezahlt. Wie groß muss der angesparte Geldbetrag (= Rentenbarwert) sein? 0.) Über welches Kapital muss ein Sparer verfügen, um fünf Jahre lang jeweils am Ende des Jahres eine Rente von 2.000 ausgezahlt zu bekommen? (Zinssatz = %) Jahr. 2.... Rate ein Jahr verzinst Rate 2 2 Jahre verzinst Rate Jahre verzinst Rate Jahre verzinst Rate Jahre verzinst nachschüssiger Rentenbarwert Abzinsung Barwerte der Rentenraten Rate Rate 2 Rate Rate Rate www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 8
.) Über welches Kapital muss ein Sparer verfügen, um fünf Jahre lang jeweils am Anfang des Jahres eine Rente von 2.000 ausgezahlt zu bekommen? (Zinssatz = %) Jahr. 2.... Rate kein Jahr verzinst Rate 2 ein Jahr verzinst Rate 2 Jahre verzinst Rate Jahre verzinst Rate Jahre verzinst vorschüssiger Rentenbarwert Abzinsung Barwert der Rentenraten Rate Rate 2 Rate Rate Rate www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 9
2. Das Ermitteln des Rentenend- und des -barwertes mithilfe von Formeln nachschüssiger Rentenendwert Rn = r q n q vorschüssiger Rentenendwert Rn = r q q n q q = + p 00 nachschüssiger Rentenbarwert Bn = r q n q n (q ) vorschüssiger Rentenbarwert Bn = r q n- q n (q ) 2.) Ein Sparer zahlt jeweils am Ende des Jahres bei seiner Bank.000 ein. Auf wie viel wächst sein Kapital bei einem Zinssatz von % an, wenn die letzte Rate am Ende des. Jahres geleistet wurde? siehe Tabelle 0, %...,0 %...,0000000,0000000 2 2,000000 2,000000,0020,226000,0000,00206,2660,6226 www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 0
.) Ein Sparer zahlt jeweils am Ende des Jahres bei seiner Bank.000 ein. Auf wie viel ist jeweils sein Kapital bei einem Zinssatz von % angewachsen, wenn die letzte Rate...... am Ende des 0. Jahres geleistet wurde?... am Ende des 20. Jahres geleistet wurde?... am Ende des 0. Jahres geleistet wurde?... am Ende des 0. Jahres geleistet wurde? siehe Tabelle 0, %...,0 %...,0000000,0000000 2 2,000000 2,000000,0020,226000,0000,2660,00206,6226 0 0,280260 2,00607 20 20,979 29,7780786 0 0 2,280066,887 6,08977 9,026 www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
.) Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang des Jahres bei der Bank.000 ein. Auf wie viel wächst sein Kapital bis Anfang des 6. Jahres bei % Zins an, wenn die letzte Rate Anfang des. Jahres geleistet wird? siehe Tabelle 0, %...,0 %...,0000000,0000000 2 2,000000 2,000000,0020,226000,0000,00206,2660,6226.) Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang des Jahres bei der Bank.000 ein. Auf wieviel ist jeweils sein Kapital bei einem Zinssatz von % angewachsen, wenn die letzte Rate...... am Anfang des 0. Jahres geleistet wurde?... am Anfang des 20. Jahres geleistet wurde?... am Anfang des 0. Jahres geleistet wurde?... am Anfang des 0. Jahres geleistet wurde? siehe Tabelle 0, %...,0 %...,0000000,0000000 2 2,000000 2,000000,0020,226000,0000,2660,00206,6226 0 0,280260 2,00607 20 20,979 29,7780786 0 2,280066 6,08977 0,887 9,026 www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 2
6.) Über welches Kapital muss ein Sparer verfügen, um fünf Jahre lang jeweils am Ende des Jahres eine Rente von 2.000 ausgezahlt zu bekommen? (Zinssatz = %) Lösungsweg mit Formel Lösungsweg mit Tabelle siehe Tabelle 0, %...,0 %... 0,9900990 0,968 2,9709,886097 2,90982 2,77090,90966,82,629892,822 www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
7.) Über welches Kapital muss ein Sparer verfügen, um...... 0 Jahre lang... 20 Jahre lang... 0 Jahre lang... 0 Jahre lang jeweils am Ende des Jahres eine Rente von 2.000 ausgezahlt zu bekommen? (Zinssatz %) siehe Tabelle 0, %...,0 %... 0,9900990 0,968 2,9709,886097 2,90982 2,77090,90966,629892,82,822 0 9,709 8,0898 20 8,98792,9026 0 0 27,7900 6,722279 7,2920 9,792779 www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
8.) Über welches Kapital muss ein Sparer verfügen, um fünf Jahre lang jeweils am Anfang des Jahres eine Rente von 2.000 ausgezahlt zu bekommen? (Zinssatz = %) Lösungsweg mit Formel Lösungsweg mit Tabelle siehe Tabelle 0, %...,0 %... 0,9900990 0,968 2,9709,886097 2,90982,90966,82 2,77090,629892,822 www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite
9.) Über welches Kapital muss ein Sparer verfügen, um...... 0 Jahre lang... 20 Jahre lang... 0 Jahre lang... 0 Jahre lang jeweils am Anfang des Jahres eine Rente von 2.000 ausgezahlt zu bekommen? (Zinssatz = %) siehe Tabelle 0, %...,0 %... 0,9900990 0,968 2,9709,886097 2,90982 2,77090,90966,629892,82,822 9 8,779069 7,6 9 8,0826,99 29 9 26,902,0890 6,9876 9,888 www.bommi2000.de Unterrichtshilfe zur Finanzmathematik, Seite 6