Einführung in Quantencomputer

Einführung in Quantencomputer Literatur M. Homeister, (jetzt FB Informatik und Medien an der Fachhochschule Brandenburg) Quantum Computing verstehen, Springer Vieweg Verlag (25) E. Rieffel und W. Polak, An Introduction to Quantum Computing for Non-Physicists, ACM Computing Surveys, Vol 32, No.3 (2) 3-355, Preprint: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9896 Javier Enciso Introduction to Quantum Computing, http://wwwmayr.in.tum.de/konferenzen/jass9/ courses/2/enciso_paper.pdf

Quantenmechanik Was ist Quantenmechanik Sie beschreibt die Welt auf der atomaren Ebene Sie ist bis heute nicht verstanden, denn sie beinhaltet seltsame Effekte: * ein Gegenstand kann in mehreren Zuständen gleichzeitig sein (Schrödingers Katze) * es kann zu spukhafter Fernwirkung kommen * eine Auswirkung einer Aktion kann vor dieser auftreten 2

Einstiegsfragen Was passiert, wenn Licht auf zwei breite Spalten fällt? wenn Licht auf zwei sehr schmale Spalten fällt? wenn das Licht immer dunkler wird? wenn ich anstatt Licht einen Elektronenstrahl nehme? wenn ich einen Atomstrahl nehme? wenn ich versuche herauszufinden, durch welchen Spalt das Atom geflogen ist? 3

Doppelspalt () Das Doppelspaltexperiment: http://de.wikipedia.org/wiki/doppelspaltexperiment Klassisch nur über Wellen zu erklären! 4

Doppelspalt (2) Erklärung mit Wellen: Ist der Wegunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge, ist ein Maximum zu sehen. Erstaunlicherweise trifft das Gleiche auf Elektronen, Atome oder Moleküle zu! Wird versucht zu bestimmen, durch welchen Spalt das Teilchen gilt, verschwindet das Interferenzmuster. 5

Polarisation () Beispiel für ein Teilchen (Photon) und 2 Zustände (Polarisation) Das Polarisationsexperiment: http://www.olympusmicro.com/primer/lightandcolor/polarization.html Das Licht kommt nicht durch einen Horizontal- und einen Vertikalfilter durch (Prinzip der 3-d Brillen im Kino) 6

Polarisation (2) Aber, wird ein weitere diagonaler Filter dazwischen gesetzt, kommt Licht durch Beachte: Licht kann auch als eine Menge einzelner Teilchen betrachtet werden, die Photonen, die sich wie Wellen verhalten können. 7

Polarisation (3) Erklärung des Polarisationsexperiment Die Polarisation von Licht wird durch einen Einheitsvektor in Polarisationsrichtung beschrieben. Horizontal-polarisiertes Licht befindet sich im Zustand Vertikal-polarisiertes Licht befindet sich im Zustand Eine Polarisationsmessung in horizontaler Richtung von Licht im Zustand ergibt, d.h. % sind horizontal polarisiert. Eine Polarisationsmessung in vertikaler Richtung von Licht im Zustand ergibt, d.h. % sind vertikal polarisiert. Man sagt, die Zustände und sind orthogonal zueinander. 8

Polarisation (4) Im allgemeinen hat Polarisation eine beliebigen Richtung und ist eine Linearkombination oder Superposition von und. Die Beschreibung geschieht durch den Zustandsvektor Φ = a + b mit a 2 + b 2 =. Teilchencharakter von Licht: Licht besteht aus sogenannten Photonen Φ = a +b. > φ b a > > 9

Polarisation (5) Licht als Welle: Welle = a +b. Wird die Polarisation in Richtung gemessen, ergibt sich ein Anteil a 2, der durch den Filter geht, und ein Anteil b 2 der nicht durch den Filter geht. Licht als Teilchen: Photon = a +b. Wird die Polarisation in Richtung gemessen, ergibt sich mit der Wahrscheinlichkeit a 2 eine, d.h. das Photon geht durch und mit der Wahrscheinlichkeit b 2 eine, d.h. das Photon geht nicht durch, also das Photon ist mit der Wahrscheinlichkeit a 2 im Zustand und mit der Wahrscheinlichkeit b 2 im Zustand. Das Photon ist also gleichzeitig mit den Wahrscheinlichkeiten a 2 und b 2 in den beiden Zuständen und

Polarisation (6) Eine Messung ändert den Zustand des Photons! Die Superposition von und wird zerstört, das Photon ist nach der Messung entweder in oder in. Die Wahl der Richtungen ist willkürlich, sie müssen nur senkrecht aufeinander stehen. Interpretation von Polarisationsversuch : * Licht kommt im Zustand Φ = 2 ( + ) * Filter A misst 5% aller Photonen im Zustand. * Filter C misst, denn = +, kein Licht kommt durch.

Polarisation (7) Interpretation von Polarisationsversuch 2: * Licht kommt im Zustand Φ = 2 ( + ) * Filter A misst 5% aller Photonen im Zustand. * Für einen Filter in Diagonalrichtung sieht der Zustand aus wie = 2 ( ր տ ) und der Zustand aus wie = ր + տ. * Filter B in Diagonalrichtung misst 5% aller Photonen im Zustand ր. * Für einen Filter in vertikaler Richtung sieht der Zustand ր aus wie ր = 2 ( + ). * Filter C in vertikaler Richtung misst 5% aller Photonen im Zustand. 2

Bra/Ket Notation () Die Linearkombination von Zuständen, in der sich ein quantenmechanisches Teilchen befindet, kann viele Bedeutungen haben: * Polarisation (wird zur Schlüsselübertragung bei Quantenkryptographie verwendet) * Spin ( Eigendrehung, wird meist als Kenngröße bei Quantencomputern verwendet) * Energieniveau * Ort... Die Darstellung der Zustände geschieht durch Vektoren, die Darstellung der logischen Operationen dementsprechend durch Matrizen. 3

Bra/Ket Notation (2) Notation nach Dirac mit bra/ket * kets wie x beschreiben Spaltenvektoren * bras wie y beschreiben Zeilenvektoren * Das Produkt y x y x (bra und ket gibt bracket oder Klammer) ist ein Skalarprodukt und damit eine Zahl. * Sie finden in der Literatur 4 Notation für ein Skalarprodukt: Vektorschreibweise : x y = c Matrixschreibweise : x T y = c Klammerschreibweise : (x, y) = c bra/ket-schreibweise : y x = c * Das Produkt x y = M ist ein Matrix (äußeres Produkt), oder aufgefasst als Vektoren bzw. Matrizen mit einer Spalte/Zeile: xy T = M 4

Bra/Ket Notation (2) Rechenregeln für 2 Zustände in Vektor- und Matrixschreibweise = ( ) = (,) und = ( = = ) ( ) = ; = (,) ( ) = ; = ( ) (,) = ( Negation: X = + = X = und X = ) ( ) 5

Q-TM Erste Idee eines Quantencomputer 985: Deutsch entwickelte ein formales Modell für einen Rechner, der in der Lage sein soll, beliebige physikalische Systeme effizient zu simulieren. Sein Modell ist das quantenmechanische Analogon zur klassischen Turing-Maschine, die Quanten-Turing-Maschine (QTM). Deutschs Modell bildet immer noch die Grundlage dessen, was wir heute unter einem Quantenrechner verstehen. Das Modell ist formal etwas unhandlich, deshalb werden heute zum Entwerfen von Algorithmen sogenannte Quantenschaltkreise verwendet. Man kann beweisen, dass geeignete Varianten von Quantenschaltkreisen effizient durch Quanten-Turing-Maschinen simuliert werden können und umgekehrt. 6

QuBits () Ein Quantenbit ein klassisches Bit ist entweder im Zustand oder, kann also den Wert oder darstellen. ein Quantenbit oder QuBit kann beide Zustände gleichzeitig annehmen, also die Werte und gleichzeitig durch eine Superposition, z.b. Φ = ( + ) darstellen. 2 n klassisches Bit können 2 n Zahlen darstellen, jede Kombination von Werten der Bits ist eine Zahl. n QuBits können eine Superposition aller 2 n Zahlen sein, d.h. sie können alle Zahlen gleichzeitig darstellen. Ein Quantenregister ist eine Folge von QuBits. 7

QuBits (2) Multi-QuBits Beispiel: 2 QuBits werden durch das Produkt der Vektorräume jedes QuBits beschrieben, Vektorraum Teilchen :,, Vektorraum Teilchen 2: 2, 2 Zusammen ein gemeinsamer Raum (Tensorprodukt): 2, oder 2, oder 2, oder 2, oder Die Basisvektoren,,, entsprechen 4 neuen Basisvektoren, 2,... 2 2 8

QuBits (3) Wird die Vektorschreibweise verwendet, lässt sich der zusammengesetzte Vektorraum durch Vektoren mit 4 Komponenten beschreiben. Berechnet wird das Tensorprodukt zweier Vektoren gemäß ( a a ) ( b b ) = a b a b a b a b Beispiel: ( ) ( ) = = 9

QuBits (4) Vektorschreibweise: =, =, =, = analog habe 3 QuBits 2 3 Basisvektoren:,,,,,,, n-qubits haben dementsprechend durch 2 n Basisvektoren 2

QuBits (4) Zahlen mit QuBits Eine Rechnung mit n klassischen Bits gibt ein Ergebnis. Eine Rechnung mit n QuBits gibt die Ergebnisse aller möglichen Zahlen gleichzeitig, denn der Ausgangszustand eine Superposition aller möglichen Basisvektoren ist. Problem : Die QuBits müssen miteinander verbunden werden, um als Zahl gelesen werden zu können und Rechnungen auf darauf durchzuführen Problem 2: Es kann immer nur ein Ergebnis gelesen werden und nicht das Ergebnis aller mögliche Basiszustände, also aller möglichen Zahlen, und mit der Messung wird die Superposition zerstört 2

Verschränkte Zustände () Problem : QuBits müssen miteinander verbunden werden Betrachte 2 unabhängige QuBits a +b und a 2 2 +b 2 2 Das Tensorprodukt ergibt (a,+b ) (a 2 2,+b 2 2 ) = a a 2 +a b 2 +b a 2 +b b 2 Ein 2-QuBits-Zustand + kann so nicht erzeugt werden, da dann a b 2 = b a 2 = gelten muss, aber daraus auch a a 2 = oder b b 2 = folgt. 22

Verschränkte Zustände (2) Zustände, die sich nicht aus zwei einzelnen QuBits darstellen lassen, heißen verschränkte Zustände und haben keine klassisch Entsprechung QuBit-Paare in einem verschränkten Zustand werden als EPR-Paar (Einstein, Podolsky, Rosen) bezeichnet und sind die Grundlage der Quantenverschlüsselung Zustände, die sich als Produkt von Zuständen einzelner QuBits schreiben lassen, heißen unverschränkt. 23