Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/0 Prof. aitinger / Lammert esprechung: 06..000 ufgabe Widerstandsnetzwerk estimmen Sie die Werte der Spannungen,, 3 und 4 sowie der Ströme, I, I, I 3 und I 4 in der nachfolgenden Schaltung bb. -. Überlegen Sie, wie die Ergebnisse mit den egeln von Kirchhoff überprüft werden können. Gegeben sei: 0kΩ,, 47kΩ,, 3 38kΩ,, 4 38k, Ω, 0V I I Hieraus läßt sich der Strom berechnen: --------- 3, 7 m ges Für die Spannungen bis 4 gilt folgendes: 3V 3 4 34 7V Nun kann man die Ströme I bis I 4 berechnen: I ------ 3, 05m I ------ 649µ I 3 I 4 I 3 3 ------, 85m I 4 3 3 3 4 4 m die Ergebisse zu überprüfen, können folgende Gleichungen aufgestellt werden: bbildung -: Widerstandsnetzwerk Die Widerstände und können zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden; ebenso 3 und 4 : ------------------ + 84, 6 Ω 34 3 ------------------ 4 3 + 4, 9 kω ufgabe 3 4 + 3 I + I I 3 + I 4 Spannungsteiler Sie haben eine utobatterie mit V und wollen damit Ihren portablen CD-Spieler, der,5-3,5v benötigt, betreiben. In ETG haben Sie etwas von einem Spannungsteiler gehört und wollen diesen einsetzen. Der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt demnach: ges + 34, 7kΩ Seite von 4 Seite von 4
a) Zeichnen Sie die Schaltung mit atterie und Spannungsteiler und deuten den CD-Spieler als Widerstand an (der CD-Spieler wird noch nicht angeschlossen). c) Nun wird der CD-Spieler an den Spannungsteiler angeschlossen, dabei kann dieser als Widerstand angesehen werden, der einen Wert von 5kΩ besitzt. Welche Spannung liegt nun am CD-Spieler? V V P CD CD bbildung -: Spannungsteiler b) Der größere Widerstand des Spannungsteilers hat einen Wert von 9kΩ. Welchen Wert muß der kleinere Widerstand annehmen, damit der CD-Spieler mit 3V betrieben werden kann? m Spannungsteiler fällt die Spannung proportional zum Widerstandswert ab, und da an 9V und an 3V abfallen müssen, muß den größeren Wert haben. Für die Spannung am Widerstand gilt: ------------------ + bbildung -: Spannungsteiler mit CD-Spieler Die Wiederstände und CD können zu p zusammengefasst werden: CD 3kΩ 5kΩ P ---------------------- + 3kΩ --------------------------- + 5kΩ 875Ω CD Dieser Wert wird nun im Spannungsteiler benutzt: p V 875Ω ------------------ + --------------------------------- 9kΩ + 875Ω, 07V p Durch mformung erhält man: ( + ) + ( ) -------------------- 3V 9kΩ V ----------------------- 3V 3 kω Der CD-Spieler wird nicht funktionieren! d) Wie muß der Spannungsteiler verändert werden, damit der CD-Spieler mit 3V betrieben werden kann? P muß 3kΩ annehmen. Da man den CD-Spieler nicht ändern kann, muß entsprechend angepasst werden: CD P ---------------------- + CD P CD 3kΩ 5kΩ ---------------------- 5kΩ --------------------------- 3kΩ 7, 5 kω CD P Die Spannung an und somit auch am CD-Spieler ist jetzt 3V. Seite 3 von 4 Seite 4 von 4
ufgabe 3 Widerstandsnetzwerk Welchen Ersatzwiderstand hat das Netzwerk zwischen den Punkten und für folgende Werte: 00Ω, 500Ω, 3 kω? 3 0 3 4 bbildung 3-3: Ersatznetzwerk 3 0 0 + + 666, 7Ω 3 3 30 4 bbildung 3-: Widerstandsnetzwerk bbildung 3-4: Ersatznetzwerk 3 Zur Ersatzwiderstandsberechnung müssen die Parallel- und eihenschaltungen sinnvoll zusammengefasst werden: 30 0 0 3 3 ---------------------- 74Ω 0 + 3 0 40 4 3 3 bbildung 3-5: Ersatznetzwerk 4 40 3 + 30 074Ω 4 bbildung 3-: Ersatznetzwerk 0 ------------------ 83, 3 Ω + 3 3 3 ------------------ 333, 3 Ω + 3 bbildung 3-6: Ersatznetzwerk 5 ----- 50Ω 4 + 600Ω 40 40 4 4 ---------------------- 385Ω 40 + 4 Seite 5 von 4 Seite 6 von 4
ufgabe 4 Strom- und Spannungsquellen Gegeben seien folgende Schaltungen mit dem Lastwiderstand L : i I L L L 0 L i bbildung 4-: Spannungs- und Stromquelle Die Spannungsquelle 0 mit Innenwiderstand i soll in eine äquivalente Stromquelle mit Innenwiderstand i umgewandelt werden. erechnen Sie und i in bhängigkeit von 0 und i. Spannungsquelle Stromquelle i i 0 ------ i I L L a) Ermitteln Sie die Ersatzwiderstände zwischen den Klemmen -, -3 und 3- beider Schaltungen. Setzen Sie die Ersatzwiderstände gleich. Sie erhalten dann drei Gleichungen, die zyklisch vertauschbar sind, d.h. man erhält die. aus der., indem man die Indizes der Widerstände zyklisch rotiert: ; 3 und 3 bzw. ; 3 und 3. Für die Dreieckschaltung ergeben sich die folgenden Ersatzwiderstände: ' ( 3' + ' ) ------------------------------------ ' + ' + 3' ' ( ' + 3' ) 3 ------------------------------------ ' + ' + 3' 3' ( ' + ' ) 3 ------------------------------------ ' + ' + 3' Entsprechend ergeben sich für die Sternschaltung diese Ersatzwiderstände: + 3 + 3 3 3 + ufgabe 5 Dreieck-Stern-Transformation Gegeben seien die Schaltungen nach bb. 5-, die nach außen das gleiche Verhalten zeigen sollen. Dazu müssen Formeln aufgestellt werden, mit denen man das Dreieck in einen Stern umwandeln kann. Nun werden diese Gleichungen gleichgesetzt: + + 3 3 + ' ( 3' + ' ) ------------------------------------ ' + ' + 3' ' ( ' + 3' ) ------------------------------------ ' + ' + 3' 3' ( ' + ' ) ------------------------------------ ' + ' + 3' ( a ) ( b ) ( c ) 3 3 b) Durch geschickte ddition und Subtraktion dieser Gleichungen erhält man eine Formel für. Mit zyklischer Vertauschung kann man auf einfache Weise die Formeln für und 3 gewinnen. 3 3 bbildung 5-: Dreieck- und Sternschaltung Seite 7 von 4 Seite 8 von 4
m eine Gleichung für zu erhalten addiert man die Gleichungen ( a ) und ( c ) und subtrahiert dann ( b ): + + 3 ' ( 3' + ' ) + 3' ( ' + ' ) ' ( ' + 3' ) 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ' + ' + 3' ' 3' + ' ' + ' 3' + ' 3' ' ' ' 3' -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ' + ' + 3' ' 3' --------------------------------- ' + ' + 3' Für die Ersatzwiderstände ergeben sich folgende Werte: 00Ω 00Ω ------------------------------ ------------------------------- 33, 3Ω + + 3 600Ω 3 00Ω 300Ω ------------------------------ ------------------------------- 50Ω + + 3 600Ω 3 00Ω 300Ω 3 ------------------------------ ------------------------------- 00Ω + + 3 600Ω Somit ergeben sich mit zyklischer Vertauschung folgende Transformationsgleichungen: * ' 3' --------------------------------- ' + ' + 3' ' ' --------------------------------- ' + ' + 3' 0 * 3* 3' ' 3 --------------------------------- ' + ' + 3' I 4 I 5 4 5 c) Nun sei die Schaltung nach bb. 5- gegeben mit den Werten 0 0V, 00Ω, 00Ω, 3 300Ω, 4 400Ω, 5 500Ω. erechnen Sie die Ströme I bis I 5 durch die Widerstände bis 5. bbildung 5-3: Widerstandsnetzwerk nach der Transformation Dieses Netzwerk kann nun leicht analysiert werden. Dazu fasst man die Widerstände * und 4 sowie 3* und 5 zusammen, berechnet den Gesamtwider- 0 3 4 5 bbildung 5-: Widerstandsnetzwerk m das Netzwerk in bb. 5- zu analysieren muß eines der Dreiecke ( 3 oder 3 4 5 ) in einen Stern umgewandelt werden. Hier wird das obere Dreieck ( 3 ) transformiert, dann erhält man das Ersatzschaltbild in bb. 5-3: Seite 9 von 4 Seite 0 von 4
stand der Parallelschaltung und die Spannung die an dieser Parallelschaltung abfällt. Dann kann man die Ströme I 4 und I 5 berechnen. 4 + 4 50Ω + 400Ω 450Ω 3 5 3 + 5 00Ω + 500Ω 600Ω 4 4 P 4 3 5 450 600 3 5 --------------------------- -----------------------Ω 57Ω + 450 + 600 3 5 0 p 0V 57Ω P -------------------- + 57Ω ------------------------------------ + 33, 3Ω 8, 9V P P 89V, I 4 I 4 ---------- ------------- 0 m 450Ω 4 P 89V, I 5 I 3 5 ---------- ------------- 5 m 600Ω 3 5 ufgabe 6 Kondensator Ein Plattenkondensator besteht aus zwei quadratischen Platten mit den Kantenlängen l 4cmund dem Plattenabstand d 3mm. a) erechnen Sie die Kapazität C des Kondensators in Luft. Die Kapazität berechnet sich wie folgt (wobei in Luft gilt: ε r ): ε C o ε r ---------------------- d ε 0 885, 0 ------------ s V m ( 004m, ) 0, 006m 885, 0 0, 006 s C --------------------------------------------------- 3 0 3 ---------- 47, 0 F 47pF, V Nun wechselt man wieder in das Schaltbild bb. 5-. m nun den Strom I 3 durch den Widerstand 3 zu berechnen, braucht man die Spannung an 3 ; diese erhält man aus der unteren Masche: 3 4 5 4 I 4 5 I 5 3 400Ω 0m 500Ω 5m 05V, I 3 3 05V, -------- -------------, 67 m 300Ω 3 Nun kann man mit Hilfe der Knotenregel die fehlenden Ströme berechnen: I I 3 + I 4, 67m + 0m, 67m I I 5 I 3 5m 67m, 3, 33m Zur Kontrolle kann Überprüft werden, ob gilt: I + I I 4 + I 5 WICHTIG: immer auf die Einheiten achten (hier alles in Metern rechnen)! b) Geben Sie bei einer Spannung von 50V die Feldstärke E an. 50V E --- d ---------------------- 3 0 3 83 kv ------ m m c) Welche Ladung speichert der Kondensator? C 47pF, 50V 8, 0 9 s d) Nun wird eine Siliziumplatte der Stärke d 3mm zwischen die Kondensatorplatten geschoben. Wie verändert sich die Kapazität C? 885, 0 C 0, 006 s ------------------------------------------------------------- 3 0 3 ---------- V e) Zwei Kondensatoren und C werden nun in eihe geschaltet. Leiten Sie die Formel für die Ersatzkapazität her. C Ersatz 56, 65 pf Seite von 4 Seite von 4
ei zwei Kondensatoren ergibt sich die nordnung in bb. 6-, wobei bzw. die Ladung des Kondesators bzw. C ist: C + - + - ufgabe 7 Stromdichte Ein Kupferkabel der Länge l 0m hat einen Durchmesser d von,5 mm. a) Welchen ohmschen Widerstand hat das Kabel? us dem Skript kann man den spezifischen Widerstand für Kupfer ablesen: ges ρ Cu 0 078 Ω, ------------------- mm m bbildung 6-: eihenschaltung von Kondensatoren Für die Spannungen an den Kondensatoren gilt folgende eziehung: ges + Durch das Ersetzen der Spannungen erhält man: C --- ---------- ges C ges ------ --- C Da zwischen die beiden Kondensatoren keine Ladung hineinfliessen kann, muss - + 0, wodurch ist. Die Gesamtladung ges der nordnung beträgt ebenfalls ges. Deshalb ergibt sich für C ges : C + ------ Der Widerstand errechnet sich nach der Formel: ρ l -------- π ( 5mm, ) ------------ π --------------------------------, 77 mm 4 4 d 0 078 Ω, ------------------- mm 0m m ----------------------------------------------------- 77mm 0, Ω, b) Welche Stromdichte J ergibt sich, wenn durch das Kabel ein Strom von I 0 fließt? Die Stromdichte ergibt sich zu: J --- ----------------------- 77mm,, 3 ---------- mm ---------- C ges ----- + ----- C C C ges ------------------ + C Seite 3 von 4 Seite 4 von 4