Thema Mittelwerte Hubert Langlotz Thüringer CAS-Projekt Sek I Sek II ClassPad TI-Nspire CAS. Schlagworte: Mittelwerte, arithmetisches Mittel, Median, Stabilität Schülermaterial: Aufgabe Ich bekomme zu wenig Taschengeld Anton möchte seinen Vater überzeugen, dass ihm mehr Taschengeld zusteht. Er weiß von 5 Mitschülern, wie viel diese bekommen. Er denkt, jetzt kann er seinen Vater überzeugen. 1. Wie wird Anton argumentieren? 2. Wie könnte sein Vater argumentieren, um eine Taschengelderhöhung zu vermeiden? 3. Nutze die Begriffe arithmetisches Mittel und Median, um die Argumentation auf eine mathematische Grundlage zu stellen. 4. Experimentiere mit dem beigefügten Programm und erforsche die Eigenschaften der beiden Mittelwerte. Beantworte dazu z. B. die Frage: Wie viel müsste Anton mindestens bekommen, damit sein Taschengeld genau dem arithmetischen Mittel entspricht (wenn sich bei den anderen nichts ändert)? 5. Nimm Stellung zu der Aussage: Der Median ist robust gegenüber Ausreißern, das arithmetische Mittel nicht. 6. Wann fallen Median und arithmetisches Mittel zusammen? THILLM 2010 Thema 1/5
Vorschlag zur Umsetzung: Nachdem man die Daten in die Tabellenkalkulation eingetragen hat, kann man diese im Statistikfenster darstellen. Wichtig: Nicht vergessen, die Spalten zu benennen, ansonsten sind im Statistikfenster keine Daten verfügbar. Um gleichzeitig arithmetisches Mittel und Median darstellen zu können, bietet es sich an, diese als Variablen (hier am für arithmetisches Mittel und mm für den Median) in der Tabellenkalkulation zu speichern. Anschließend können beide Werte im Statistikfenster dargestellt werden (Menü- Analysieren- Wert zeichnen). THILLM 2010 Thema 2/5
Anton müsste 12,40 bekommen. Dies kann man näherungsweise auch im Statistikfenster ermitteln. Gleichzeitig kann man in einer freien Zelle das arithmetische Mittel am:=mean(tg) und den Median mm:=median(tg) als Variable berechnen lassen und diese später im Statistikfenster als Gerade darstellen. Schon beim Experimentieren bei der letzten Aufgabe wird deutlich, dass der Median unverändert bleibt, wenn man z. B. nur den Wert von Frieda verändert. Beim Experimentieren dürfte deutlich werden, dass das arithmetische Mittel und der Median zusammenfallen, wenn die Verteilung symmetrisch zu beiden Mittelwerten wird. Dies kann man dann exakt in der Tabellenkalkulation nachweisen. THILLM 2010 Thema 3/5
Anschließend sollte diskutiert werden, wieso auch dieser oder ähnliche Fälle als symmetrisch bezeichnet werden können. Thüringer CAS-Projekt Eine Möglichkeit dazu wäre, die Daten in der Tabellenkalkulation zu sortieren (Aktion Sortieren). Allerdings wird dies nicht im Datenfenster aktualisiert. Man könnte dann aber die folgende Darstellung verwenden, um die Symmetrie zu erkennen. Verwendet man die Software, so könnte man auch diese Darstellung verwenden. Didaktischer Kommentar: Die Schüler können mit Hilfe des Werkzeuges die Bedeutung der verschiedenen Mittelwerte erforschen und deren Unterschiede erkennen. Sie erfahren, dass es immer eine Standpunktfrage sein wird, auf welchen Mittelwert man sich bezieht. Wenn also ein Arbeitgeberverband bei Tarifverhandlungen mit einem bereits hohen Durchschnittseinkommen der Arbeitnehmer argumentieren will, ist er gut beraten, das arithmetische Mittel zu ziehen: Die Spitzengehälter in der Führungsetage lassen die finanzielle Situation der Mitarbeiter besser THILLM 2010 Thema 4/5
erscheinen, als sie ist. Das arithmetische Mittel ist sozusagen eine Gehaltserhöhung für das Gros der Beschäftigten, die den Chef nichts kostet. Will also ein Arbeitnehmerverband beweisen, dass Angestellte und Arbeiter zu wenig verdienen, berechnet er das Durchschnittseinkommen am besten mit dem Median. Bei unserer kleinen Firma mit ihren sechs Angestellten sieht das dann so aus: Wenn einer von ihnen 13 000 Euro absahnt und alle anderen nur 1000 Euro kriegen, kommen die Arbeitgeber auf ein Durchschnittsgehalt von stattlichen 3000 Euro (arithmetisches Mittel), die Arbeitnehmer nur auf 1000 Euro (Median). 2000 Euro Unterschied und beide Ergebnisse sind statistisch korrekt ermittelt. (Andreas Séché: PM-Magazin (Juni 2002) S. 83 Haben Sie auch 1,4 Kinder? THILLM 2010 Thema 5/5