Wachstum und Zerfall Seite 1 Aufgaben zum exponentiellen Wachstum und Zerfall. 1.0 Eine Bakterienkultur umfasst anfangs 50 000 Bakterien. Die Anzahl vergrößert sich alle 20 Minuten um 20 %. 1.1 Wie viele Bakterien sind es nach 3 Stunden? 1.2 Nach welcher Zeit sind es 10 Millionen Bakterien? 2.0 Ein Distrikt eines Entwicklungslandes hatte Ende 1988 rund 120 000 Einwohner. Die Bevölkerungszahl nimmt laut Statistik jährlich um 2,5 % zu. 2.1 Wie viele Einwohner wird dieser Distrikt Ende 2009 voraussichtlich haben? 2.2 Die Landwirtschaft dieses Distrikts konnte zum Jahresende 1988 nur 80000 Menschen ernähren. Ein Entwicklungsprogramm soll bis zum Ende des Jahres 2009 die landwirtschaftlichen Produkte um insgesamt 70% erhöhen. Wie viele Menschen sind demnach rechnerisch im Jahre 2000 noch auf eine Nahrungsmitteleinfuhr angewiesen, wenn sie nicht hungern sollen? 3.0 Das kleine Fürstentum Xco hatte 1960 gerade 870 000 Einwohner. 1980 waren es schon 1 Million Einwohner. 3.1 In der Annahme eines exponentiellen Wachstums ermitteln Sie die Wachstumsfunktion. 3.2 Wann werden es 1,2 Mill. Einwohner sein? 4.0 In einer Bakterienkultur sind zu Beginn einer Beobachtung 6000 Bakterien vorhanden. Es ist bekannt, dass sich bei diesen Bakterien in einen exponentiellen Wachstum die Anzahl in 5 Stunden verdreifacht. 4.1 Ermitteln Sie die Wachstumsfunktion. 4.2 In welcher Zeit werden es 1,0 Mill. Bakterien sein? 5.0 Mittels der 14 C-Methode ist es möglich, das Alter von Fossilien zu bestimmen. Dieses Isotop, das sich in äußerst geringen Mengen im Kohlendioxid der Luft befindet, wurde von den Pflanzen (und über diese auch von den Tieren) aufgenommen und zerfällt mit einer Halbwertszeit T 0,5 = 5730 a. 5.1 Zeigen Sie, dass für die Zerfallsfunktion in der Form ln 2 N(t) = N(0) e bt mit b = T0,5 gilt.
Wachstum und Zerfall Seite 2 5.2 Bestimme Sie das Alter eines Fossils, dessen gemessener 14 C Anteil noch 14% beträgt. Ergebnis: t = 16256,6 a 6.0 In Holzresten aus der Höhle von Lascaux stellte man 12,5% des ursprünglichen 14 C- Gehalts fest. 6.1 Berechnen Sie das Alter dieser Holzreste, wenn für 14 C gilt T 0,5 = 5730 a. 6.2 Berechnen Sie bis zu welchem Alter sich die 14 C Methode verwenden lässt, wenn man noch 1% des ursprünglichen 14 C-Gehalts mit hinreichender Genauigkeit feststellen kann. Ergebnis: t = 38069 a 7.0 Ein Kontrastmittel enthält einen Stoff dessen Halbwertszeit T 0,5 = 8 h beträgt. 7.1 Welchen Anteil in Prozent ist noch nach 48 h übrig geblieben? Ergebnis: 1,6% 8.0 Ein Schmerzmittel (z.b. Ibuprofen) hat eine Halbwertszeit von T 0,5 = 2 h und hat den größten Teil seiner Wirksamkeit verloren, wenn nur noch 10 % vorhanden sind. 8.1 Berechnen Sie wie lange dieses Schmerzmittel wirksam ist. Ergebnis: T = 6,6 h 9.0 Eine Tierpopulation hat sich in 5 Jahren von 200 auf 250 Tiere vergrößert. Angenommen, die Vermehrung erfolgt exponentiell, d.h. nach der Formel N(t) = N(0)e bt 9.1 Berechnen sie die Konstante b. Ergebnis: b = 0,0446/Jahr 9.2 Wie viel Prozent p beträgt die jährliche Vermehrung? Ergebnis: p = 4,56% 9.3 Nach welcher Zeit t wird sich die Population verdoppeln? Ergebnis: t = 15,5 a
Wachstum und Zerfall Seite 3 Aufgaben zum logistischen Wachstum Das logistische Wachstumsmodell beschreibt die Wachstumsprozesse aus der Natur sehr gut, weil in ihm auch die Einschränkungen, die fast immer vorliegen, berücksichtigt werden. Ein Wachstum wird als logistisch bezeichnet, wenn die Bestands-Differenz (B(t+1) B(t)) proportional zum Produkt von Bestand (B(t)) und Restbestand (S-B(t)) ist. In der folgenden Rekursionsformel ist der Proportionalitätsfaktor q die Änderungsrate und S die Kapazitätsgrenze oder Sättigungsgrenze: B(t+1) B(t) = q B(t) (S B(t)) Die Explizite Formel für den Bestand B(t) lautet: S S B(0) B(t) =, wobei a= qst 1 + a e B(0) 10.0 Prognosen besagen, dass die Weltbevölkerung langfristig einem logistischen Wachstumsgesetz mit einer Sättigungsgrenze von 11,6 Milliarden Menschen gehorchen wird. In den letzten 30 Jahren hat sich die Weltbevölkerung (Population) folgendermaßen entwickelt: Jahr 1980 1990 2000 Population in Mrd.: 4,46 5,28 6,07 10.1 Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsformel die Änderungsrate q wenn die Wachstumsperiode 10 Jahre beträgt. Ergebnis: q = 0,027 10.2 Bestimmen Sie die Weltbevölkerungsanzahl in den Jahren 2020 und 2030. 11.0 Auf einer begrenzten Fläche von S m 2 wird für die Produktion eines Antibiotikums eine Pilzkultur angesetzt. Die täglichen Kontrollen liefern folgende (Kontrolldaten) Wachstumsdaten: Tage: 0 1 4 5 Besiedelte Fläche in m 2 : 1,00 1,60 5,90 8,50 11.1 Begründen Sie weshalb ein logistisches Wachstumsmodell angebracht ist. 11.2 Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Kontrolldaten die Änderungsrate q und die Sättigungsrate S. Ergebnisse: S = 19,46 m 2 und q = 0,327 11.3 Berechnen Sie den Stand nach 10 Tage? 11.4 Nach wie vielen Tagen wird die fast die Sättigungsgrenze erreicht, d.h ist die Kulturfäche = 19,45 m 2?
Wachstum und Zerfall Seite 4 12.0 Von 6000 auf einer Insel lebenden Menschen infizieren sich in der ersten Woche 280 Personen an einer neuartigen Grippe und durch gegenseitige Ansteckung gibt es nach 2 Wochen bereits 400 Kranke. 12.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm eines logistischen Wachstumsmodell. 12.2 Nach wie vielen Wochen ist die Hälfte der Bevölkerung erkrankt. 13.0 In einen neu angelegten Teich werden 400 Fische gesetzt. Da in diesem Teich nur ein begrenzter Vorrat an Nahrung und Platz vorhanden ist, können höchstens 1000 Fische darin leben. Im 2. und bzw. im 3. Jahr wurden 580 bzw. 650 Fische gezählt. 13.1 Bestimmen Sie die logistische Wachstumsfunktion B(t). 13.2 Bestimmen Sie die Anzahl der Fische nach 6 Jahren. 14.0 Bei der Einführung des Walfangverbots lebten noch 1000 Grönlandwalen im Nordpolarmeer. Nach Schätzungen der Biologen liefert dieses Areal Lebensraum für 10 000 Wale. Im ersten Jahr nach dem Verbot nahm die Anzahl der Wale um 12 % zu. 14.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm B(t) des logistischen Wachstums für die Walpopulation. 14.2 Berechnen Sie die Anzahlen der Wale nach 10 bzw. 20 Jahren nach dem Walfang Verbot. 15.0 Ab dem Jahr 1900 wird für die elektrische Energie der Jahresenergieverbrauch W(t) gemessen in Terawattstunden (1 TWh = 10 9 kwh) in Deutschland als Funktion der Zeit modellhaft durch folgende logistische Wachstumsfunktion beschrieben: W(t) = 500 1+ e 0,1(t 75), wobei t in Jahren nach 1900 gezählt wird. 15.1 In welchem Jahr hat der Energieverbrauch 82% seines Sättigungswertes erreicht? 15.2 Die Planung und Bau eines Kraftwerks beanspruchen einen Zeitraum von 10 Jahren d.h. der Verbrauchszuwachs muss für 10 Jahre vorhergesagt werden. Für die Kraftwerksplanung von 1999 sind somit die Verbrauchswerte für 2009 zu schätzen. Teilergebnis: Der Energieverbrauch im Jahr 1999 war 458,4 TWh 15.3 Wie viele Kraftwerke mit einer durchschnittlichen Energieproduktion von 250 MWh müssten nach dem oberen Modell gebaut werden, um den zusätzlichen Bedarf im Jahre 2009 zu decken?
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