S Sich gegenseitig prüfen Tandembögen Irmgard Letzner, Berlin M Auf dem Weg zum Rechenmeister die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division alles noch präsent? Hier trainierst du das Rechnen mit den Grundrechenarten. Nimm Papier und Bleistift zur Hand, wenn du die Aufgaben nicht im Kopf lösen kannst. l +6,8 k 0,46 j +4,05 i +5,5 h,5 g 7 f 5 e d 0 c + b +5 a 5. (+0,7 ( 5,45. (,47 : ( 0. ( 4 ( 6 9. (+9 ( 4 8. (+0,7 ( 5 7. ( : ( 4 6. ( ( 5. ( 9 + (+7 4. (+8 : (. ( (+7. ( 9 + (+4. ( + (+7 Löse die folgenden Aufgaben. Löse die folgenden Aufgaben. a ( + (+7. +5 b ( + (+8. 5 c ( 4 ( 7. 84 d (+ ( 5 4. 7 e (+48 : ( 4 5. +5 f ( 4 ( 9 6. +56 g ( + (+5 7. +0,5 h ( 5, + (+,7 8.,55 i ( 4 : ( 4 9. +6 j ( 0,8 ( 5 0. + k (,8 : (+. +0,49 l ( 0,6 ( 7,4. +6,6 7 RAAbits Mathematik Juni 0
S M Zahlen mit Komma mit Dezimalzahlen rechnen Zahlen, die ein Komma und Stellen hinter dem Komma haben, heißen Dezimalzahlen. Nicht alle Dezimalzahlen kannst du als Bruch schreiben, aber wenn sie wie hier nur, oder Stellen hinter dem Komma haben, geht das schon. Beispiele: 0,4 = 4 0 0,68 = 68 00,567 = + 567 567 = 000 000. 50 4. 0 m 77 : 0, n 0,04 : 0,0 8. 8,5 9. 0,9 0. 0,.,54. 0,8 7.,9 6. 0 5. 0,8 4.,5. 8,6. 0,8.,6 Löse die folgenden Aufgaben.. 0,9 + 0,7.,7 0,9., + 6,5, 4. 0,45 +,08 5.,78 0,98 6. 4,,, 7. 4, + 0,567, 8.,7 5 9., 0, 0. 0,5 0,0. 7,7 0,. 00 0,008. 55 :, 4. 0,4 : 0,0 l 000 0,0007 k 0,67 0, j 0, 0,0 i 4, 0,5 h,9 4 g,45 +,, f 6,66 +, 5,55 e,68 0,87 d 0,7 +,05 c,4 + 5,5, b,5 0,7 a 0,6 + 0,8 Löse die folgenden Aufgaben. a,4 b,8 c 7,6 d,4 e 0,8 f 4,44 g 0,68 h 7,6 i,05 j 0,60 k 0,4 l 0,7 m 700 n 7 RAAbits Mathematik Juni 0
S 4 M 4 Proportional oder antiproportional Zuordnungen Bei einer proportionalen Zuordnung ist die Steigung des Graphen antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt x y konstant. y x konstant. Bei einer 8. Wandläche und Menge Farbe 7. Tageszeit und verbleibende Stunden des Tages h antiproportional g proportional f weder noch e proportional d weder noch c antiproportional b proportional a proportional Welche Zuordnungen sind proportional, welche antiproportional? Begründe. a Anzahl der Wände und Menge der Tapete, falls die Wände alle gleich groß sind b Länge der Strecke und dafür benötigte Zeit bei konstanter Geschwindigkeit c Anzahl der Kräne und Zeit für das Entladen eines Schiffes d Anzahl der Schüler und Menge der Fehler in der Mathematikarbeit insgesamt e Wasserverbrauch und Wasserkosten f Höhe eines Apfelbaumes und Menge der geernteten Früchte, wenn die Früchte unregelmäßig verteilt am Baum hängen g Länge einer Sorte Eisendraht und Gewicht dieses Drahtes h Konstante Geschwindigkeit eines Autos und Zeit für eine Strecke von 00 km 6. Größe eines Schwimmbeckens und Zeit für das Füllen des Beckens mit Wasser, wenn pro Zeiteinheit jeweils die gleiche Menge Wasser ins Becken gepumpt wird 5. Quadratmeterzahl der Wohnläche und Mietpreis 4. Anzahl von Kirschplückern und Anzahl der Stunden, die zum Abernten einer Plantage benötigt werden, wenn alle gleich schnell plücken. Anzahl der Eier und Kochzeit für die Eier. Anzahl von Hamstern und Anzahl der Tage, die ein Paket Futter reicht, wenn jeder Hamster die gleiche Menge pro Tag frisst. Benzinverbrauch und zurückgelegte Strecke bei konstanter Geschwindigkeit Welche Zuordnungen sind proportional, welche antiproportional? Begründe.. proportional. antiproportional. weder noch 4. antiproportional 5. proportional 6. proportional 7. weder noch 8. proportional 7 RAAbits Mathematik Juni 0
S 5 M 5 Grundwert, Prozentwert und -satz Prozentrechnung 0. 60 km (60 % der Strecke sind geschafft. Der Tank reicht für 500 km. Muss der Fahrer tanken? 9. Wie viel Prozent sind 0 min von einer halben Stunde? sind 00 % Raum?. Wie viele Plätze hat der j Nein, 75 % von 4 Stunden sind nur 8 Stunden. 8. Was bedeutet %? i 5 % h drei Viertel g 0 Schüler f cm e ein Drittel d 50 c 70 % b km a ein Viertel 7. Im Raum sind 0 Plätze besetzt. Das 6. Wie viel ist 75 % von km? 5. Was bedeutet 50 %? 4. 5 sind schon bezahlt. Das ist % der Rechnung. Wie viel muss insgesamt bezahlt werden?. Berechne 00 % von einer Stunde.. Wie viel Prozent sind 4 km von 0 km?. Was bedeutet 0 %? Berechne. Berechne. a Was bedeutet 5 %? b Berechne 0 % von 60 km. c Wie viel Prozent sind 7 von 0? d 0 sind schon bezahlt. Das sind 0 % der Rechnung. Wie viel muss insgesamt bezahlt werden? e Was bedeutet %? f Wie viel ist % von m? g Es gibt noch 5 Karten für das Konzert. Damit können 5 % der interessierten Schüler zuhören. Wie viele wollten gehen? h Was bedeutet 75 %? i Wie viel Prozent sind 6 Schüler von einer Gruppe mit 64 Schülern? j 75 % der vorgesehenen Zeit sind vergangen. Das sind 0 Stunden. Reicht ein Tag für die Gesamtzeit?. ein Zehntel. 0 Minuten. 40 % 4. 500 5. die Hälfte 6. 750 m = 0,75 km 7. 0 Plätze insgesamt 8. ein Hundertstel 00 9. % 0. Ja, denn die Gesamtstrecke beträgt 600 km. 7 RAAbits Mathematik Juni 0
S 9 M 9 Die quadratische Ergänzung angeben Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zur Umformung von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt. Man nutzt die binomischen Formeln aus, um z. B. quadratische Gleichungen zu lösen oder die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Wiederhole anhand des Schulbuches, wie die quadratische Ergänzung funktioniert. 9. x x + = (x 0. 9y + 4y +6 = (y + 4 9 7. u + u + = (u + 5 = (p 6 4 0,5 8. p 0,5p + 0,06 6. x 5x + 6,5 = (x,5 5. y + 0,4y + 0,04 = (y + 0, 4. a a +,5 = (a,5. x 6x + 64 = (x 8. x + 6x + 9 = (x +. x + x + = (x + Gib die quadratische Ergänzung an. Forme um: i x x +... = ( j 4y + 4y +... = ( 4 5 g w + w +... = ( h u + 0,u +... = ( f x 7x +... = ( e y + 0,6y +... = ( d z 5z +... = ( c a a +... = ( b x 4x +... = ( a x + 8x +... = ( Gib die quadratische Ergänzung an. Forme um:. x + x +... = (. x + 6x +... = (. x 6x +... = ( 4. a a +... = ( 5. y + 0,4y +... = ( 6. x 5x +... = ( 7. u + u +... = ( 8. p 0,5p +... = ( 9. x x +... = ( 0. 9y + 4y +... = ( a x + 8x + 6 = (x + 4 b x 4x + 4 = (x c a a + 6 = (a 6 d z 5z + 6,5 = (z,5 e y + 0,6y + 0,09 = (y + 0, f x 7x +,5 = (x,5 g w + w + = (w + 6 6 05 = (u + 0,5 h u + 0,u + 0, 4 4 i x x + = (x 5 5 5 j 4y + 4y + 6 = (y + 6 7 RAAbits Mathematik Juni 0
S M Integrale vereinfachen Wenn Sie die Integrationsgrenzen vertauschen, so kehrt sich das Vorzeichen des Terms um. Faktoren können Sie vor das Integral ziehen. b a c b b b b f(x dx = f(x dx; f(x dx + f(x dx = f(x dx; k f(x dx = k f(x dx a b a c a a a + 6 4 f ( x x x dx 4 d ( x + 5 dx oder ( x + 5 dx 4 c ( 4x x dx a ( x + x + dx Lösungen Ihres Partners: Vereinfachen Sie folgende Integrale: a x dx + (x + dx 5 b (x x dx + (x x dx 5 c (x 4x dx ( x + x dx 0 0 4 d (x + 5 dx ( x + 5 dx 4 5 5 e x dx + x dx 6 4 f (6x x + x dx 4 0 g (x x dx 0 4 g 0 e 0 0 b 0 5 7. (x + dx (x + dx 5 6. (5x 0x + 5x 0 dx 0 4 5. x dx + x dx 4 0 7 7 4. (x + dx x dx x. (x 65x dx 5. (x x dx + x dx 5. x dx + x dx Vereinfachen Sie die folgenden Integrale: Lösungen Ihres Partners:. x dx 5. x x dx. 0 4. dx x 5. 0 ( 6. 5 (x x x dx 5 + 5 7. (x + dx oder (x + dx 7 RAAbits Mathematik Juni 0
S Rund um das Einzelmaterial Klasse: Dauer: Inhalt: Ihr Plus: 6 0 (G8 pro Tandem: 5 Minuten Grundrechenarten; Dezimalzahlen; Kreis (Umfang, Flächeninhalt; proportionale und antiproportionale Zuordnungen; Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz; Klammern aulösen, Terme vereinfachen; Zufallsexperimente; Quadratwurzeln, quadratische Ergänzung; Ableitung (z. B. der e-funktion; Integrale vereinfachen geeignet für Vertretungsstunden Didaktisch-methodische Hinweise Das Tandem ist eine Partnerübung, mit der die Schüler im Wesentlichen Aufgaben trainieren, die man im Kopf und ohne großen schriftlichen Aufwand lösen kann. Das Verfahren eignet sich für alle Klassenstufen. Nutzen Sie es zum Üben von Stoff, den Sie gerade behandelt haben, zur Wiederholung, z. B. für den täglichen Stundeneinstieg, oder als Lernerfolgskontrolle. Die Methode aktiviert die Schüler. Die meisten Schüler nehmen sie gut an. Die Tandembögen eignen sich für folgende Klassenstufen: Material Thema Klassenstufe M Die Grundrechenarten 6 M Mit Dezimalzahlen rechnen 6 M Umfang und Flächeninhalt eines Kreises 6/7 M 4 Proportionale und antiproportionale Zuordnungen 7 M 5 Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz 7 M 6 Klammern aulösen, Terme vereinfachen 7 M 7 Werfen mit zwei fairen Würfeln/Münzen 7/8 M 8 Quadratwurzeln vereinfachen bzw. berechnen 8 M 9 Quadratische Ergänzung 9 M 0 Die Ableitung von ganzrationalen und Wurzelfunktionen 9/0 M Ableitung der e-funktion 0 (G8 M Integrale vereinfachen 0 (G8 So setzen Sie das Tandem ein Vorbereitung und Durchführung Für die Erstellung des Materials eignet sich leichter Karton, den Kopierer noch bewältigen können (0 g/m². Die Schüler lesen die Regel, schneiden die Tandembögen aus, falten sie in der Mitte und stellen sie zwischen sich auf. Laminieren ist möglich, aber nicht nötig. Jeder Schüler bearbeitet selbstständig eine Anzahl von Aufgaben (in der Regel 8 bis 0. Er wird von seinem Partner, dem die Lösungen vorliegen, kontrolliert. Die Schüler wechseln sich ab. Sie lesen und bearbeiten Aufgabe für Aufgabe und vergleichen mit der Musterlösung. Die Aufgaben vorzulesen, ist nicht sinnvoll. Es fordert zu hohe Konzentration, die wegen des dann entstehenden Geräuschpegels nicht erbracht werden kann. Bei falschen Ergebnissen versuchen beide Partner, das Problem zusammen zu lösen. Erst wenn dies 7 RAAbits Mathematik Juni 0
S 4 nicht gelingt, schalten Sie als Lehrkraft sich ein. Achten Sie darauf, dass sich die Schüler mit ihren Fehlern tatsächlich auseinandersetzen und sich nicht mit der Lösung, die der Partner nennt, zufriedengeben. Halten Sie Ihre Schüler zu eigenverantwortlichem Lernen an. Sie können das Tandem zu jedem Zeitpunkt in einer Unterrichtsstunde einsetzen. Vorzuziehen ist aber der Anfang oder das Ende einer Stunde. Möchten Sie nach der Bearbeitung eines Tandems dessen Inhalt im Unterrichtsgespräch erarbeiten beispielsweise weil den Partnern die Lösung vieler Aufgaben nicht gelungen ist, so sammeln Sie das Tandem unbedingt vorher ein, weil die Schüler sonst die Lösung vor Augen haben. Binnendifferenzierung Durch Steigerung des Schwierigkeitsgrades differenzieren die Tandems nach Leistung. Nicht alle Schüler werden in der Regel alle Aufgaben bearbeiten können. Die schnellsten Schülergruppen drehen das Tandem um und lösen es noch einmal. Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Leitidee Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schüler... K 5 L, L 4 trainieren das Rechnen mit den Grundrechenarten und Dezimalzahlen (M, M, K 5 L, L 4 berechnen Umfang und Flächeninhalt eines Kreises (M, K, K L 4 unterscheiden zwischen proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen (M 4, Allg. mathematische Kompetenz Anforderungsbereich K 4, K 5 L, L 4 wenden die Prozentrechnung an (M 5, I III K 4, K 5 L, L 4 vereinfachen Terme durch Aulösen von Klammern (M 6, K L 5 modellieren Zufallsexperimente (Werfen mit zwei fairen Würfeln bzw. mit zwei fairen, unterscheidbaren Münzen (M 7, K 4, K 5 L, L 4 berechnen Quadratwurzeln (M 8 u. geben die quadratische Ergänzung an (M 9, K 4, K 5 L 4 leiten ganzrationale, Wurzel- (M 0 und die e-funktion (M ab unter Anwenden der Ketten- und Produktregel, K 4, K 5 L 4 vereinfachen Integrale (M. I III I, II I, II II I III III I III I III Abkürzungen Kompetenzen K (Mathematisch argumentieren; K (Probleme mathematisch lösen; K (Mathematisch modellieren; K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden; K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen; K 6 (Kommunizieren Leitideen L (Zahl und Zahlbereich; L (Messen und Größen; L (Raum und Form; L 4 (Funktionaler Zusammenhang; L 5 (Daten und Zufall Anforderungsbereiche I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren 7 RAAbits Mathematik Juni 0