Montag, 26.4.1999 Dennis S. Weiß & Christian Niederhöfer Versuchsprotokoll (Fortgeschrittenen-Praktikum) zu Versuch 18 Magnetische Quadrupole 1
Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung 3 2 Physikalische Grundlagen 3 2.1 Magnetischer Dipol................................... 3 2.1.1 Die effektive Länge............................... 4 2.2 Magnetischer Quadrupol................................ 5 2.2.1 Quadrupol als Linse.............................. 5 3 Versuchsaufbau 5 3.1 Beschreibung...................................... 5 4 Die Messung 6 4.1 Dipol.......................................... 6 4.2 Quadrupol........................................ 6 5 Auswertung 6 5.1 Dipol.......................................... 6 5.2 Quadrupol........................................ 7 6 Anhang 8 6.1 Original-Meßprotokoll................................. 8 6.2 Ausgaben des Computers................................ 8 2
1 Problemstellung Das Feld eines Dipols und das Feld eines Quadrupols sollen mit Hilfe einer CNC-Maschine sowie einer HALLsonde ausgemessen werden. 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Magnetischer Dipol Das magnetische Feld eines Dipolmagneten ist zwischen den Polschuhen weitgehend homogen. Ab- S N S B N x Abbildung 1: H-Feld eines Dipolmagneten bildung 1 verdeutlicht diesen Sachverhalt. Das elektrische Feld eines Plattenkondensators ist zwischen den Kondensatorplatten weitgehend homogen und nimmt nach außen hin ab. Abbildung 2 verdeutlicht diesen Sachverhalt. Das elektrische + E - x Abbildung 2: E-Feld eines Plattenkondensators Feld ist immer positiv, d. h. es gibt an keiner Stelle im Raum ein entgegengesetzt gerichtetes Feld. 3
2.1.1 Die effektive Länge Bewegt sich ein Teilchen genau senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so führt die Richtung der Kraftwirkung dazu, daß das Teilchen im Magnetfeld eine Kreisbahn beschreibt. Den Radius dieser Bahn können wir berechnen indem wir gemäß dem zweiten NEWTONschen Gesetz die Beträge der Zentripedalkraft der Kreisbewegung, mv 2 =r, und der Kraft des Magnetfeldes, qvb, gleichsetzen: qvb = mv2 r oder r mv = (1) qb Die Zeit T, die das Teilchen für einen Umlauf benötigt, ist gemäß v =2ßr=T mit der Bahngeschwindigkeit v verknüpft: T 2ßr = v Setzt man das in (1) ein, so erhält man: T = 2ß (mv=qb) v = 2ßm qb (2) und damit folgt für die Umlauffrequenz: ν = 1 qb T = (3) 2ßm Bemerkenswert ist, daß diese Umlauffrequenz, die häufig auch Zyklotronfrequenz genannt wird, nicht vom Bahnradius abhängt. 1 Das Teilchen durchläuft nur den im Versuch vorliegenden kurzen Dipol. Dessen Feld nimmt nur ein kleines Bogenstück des Kreises ein und man kann, die Geometrie beachtend, den Sinus des Winkels durch sein Argument ersetzen. Damit ergibt sich der Ablenkwinkel zu ff ` `qb ß r = (4) mv wobei ` = L ef f die effektive Länge des magnetischen Dipols ist. Unter der effektiven Länge eines Dipols versteht man die Breite des Rechtecks mit der Höhe B max, welche sich ergibt, wenn man das Integral B z dz einem Rechteck annähert. z 2: N ullstelle R ist 1: N ullstelle Symmetrieachse und die Flugrichtung des Teilchens durch den magnetischen Dipol. Man erhält: L ef f = 1 2: N ullstelle Z B max 1: N ullstelle B z dz (5) Die Nullstellen ergeben sich zwangsläufig, da keine magnetischen Monopole existieren und die Induktionslinien ringförmig geschlossen sind (vgl. Abb. 1). 4
N S S N y Abbildung 3: H-Feld eines Quadrupolmagneten mit Kraftvektoren x 2.2 Magnetischer Quadrupol Abbildung 3 zeigt die Kraftkomponenten, die auf ein negativ geladenes Teilchen wirken, welches sich aus der Zeichenebene herausbewegt. Die F x -Komponente zeigt bei dieser Anordnung immer zur Symmetrieebene x =0hin, während die F y -Komponente von der Symmetrieebene y =0wegzeigt. Dies bedeutet, daß der Quadrupol in x-richtung fokussierend wirkt, während er in y-richtung defokussiert. 2.2.1 Quadrupol als Linse Ordnet man mehrere Quadrupole, welche jeweils im 90 ffi zueinander gedreht sind, hintereinander an, so erfährt ein Teilchen sowohl in x- als auch in y-richtung eine Fokussierung. Dies beruht auf der Tatsache, daß Teilchen, die defokussiert wurden, sich weiter von der Mittelachse entfernt haben, als diejenigen, die fokussiert wurden. Somit erfahren - aufgrund des linearen Anstiegs der Feldkomponente vom Mittelpunkt aus - die fokussierten Teilchen im nächsten Quadrupol eine kleinere Kraftkomponente als die defokussierten Teilchen. Die Fokussierung ist somit sowohl in x- als auch in y-richtung stärker als die Defokussierung. 3 Versuchsaufbau 3.1 Beschreibung Der Versuch besteht aus einer CNC-Maschine die mit einer HALLsonde ausgerüstet ist. Mit Hilfe eines Computers wird die CNC-Maschine so angesteuert, daß sie mit der HALLsonde wahlweise das Feld eines Dipol-Magneten oder eines Quadrupol-Magneten ausmessen kann. Die Meßwerte der HALLsonde werden ebenfalls mit Hilfe des Computers aufgenommen. Es stand nur eine HALLsonde zur Verfügung die das Magnetfeld parallel zur Tischoberfläche messen kann. Durch Drehen der Sonde an der CNC-Maschine konnte somit die x-y-ebene des Magnetfeldes ausgemessen werden. Die HALLsonde für die z-richtung stand leider nicht zur Verfügung. 1 Zumindest im nicht-relativistischen Bereich. 5
4 Die Messung 4.1 Dipol Der Dipol wird nur in x-richtung durchfahren. Es gibt also nur eine Messung. Die Meßwerte liegen als Computer-Ausdruck A vor, der sich im Anhang befindet. 4.2 Quadrupol Der Quadrupol kann in mehreren Richtungen durchfahren werden. Zum einen in Richtung der beiden Diagonalen und zum anderen kreisförmig, wobei verschiedene Kreisradien gewählt werden können. Die Diagonalen wurden jeweils in positiver x-richtung durchfahren. Die Meßwerte mit negativer y-richtung liegen als Ausdruck B 1 vor, die mit positiver y-richtung als Ausdruck B 2. Für die Auswertung ist es notwendig beim kreisförmigen Durchfahren des Magnetfeldes sowohl die x- als auch die y-komponente des Magnetfeldes auszumessen. Die Meßwerte für einen Kreis mit 25 mm Durchmesser liegen als Ausdruck C 1=2 vor, wobei die HALLsonde jeweils um 90 ffi gedreht wurde. Die Meßwerte für einen Kreis mit 50 mm Durchmesser liegen als Ausdruck D 1=2 vor. Die Werte der vier kreisförmigen Messungen sind auch als Dateien im Computer abgelegt, um mit Hilfe des Mathematikprogramms Maple eine Fast-FOURIER-Transformation der Meßwerte vornehmen zu können. 5 Auswertung 5.1 Dipol Die effektive Länge ` des Dipols soll bestimmt werden. Die maximale Induktion B max ist 234 mt, wie man dem Ausdruck A entnehmen kann. Die Kurve ist symmetrisch. Ich habe also die beiden Punkte mit halber Induktion 1=2 B max gesucht und als effektive Länge die Distanz zwischen diesen beiden Punkten ermittelt. Die effektive Länge ` ergibt sich somit zu: ` = L ef f =70mm Für die Gesamtenergie eines Elektrons W ges gilt: W ges = mc 2 Die Ruhemasse eines Elektrons W r ist: Aus der speziellen Relativitätstheorie folgt: W r = m 0 c 2 Einsetzen liefert: Auflösen nach v führt zu: m 0 m = q 1 v2 c 2 0 W ges W r = W kin = @ v = c s 1 1 q 1 1 v2 c 2 m 0 c 2 m 0 c 2 + W kin 2 1 A m 0 c 2 6
W kin ist die kinetische Energie des Elektrons die es beim Durchlaufen eines Potentials gewonnen hat. Für ein Elektron ergeben sich für verschiedene Beschleunigungsspannungen folgende Geschwindigkeiten, der Radius ergibt sich aus Gleichung (1) und der Ablenkwinkel aus Gleichung (4): h i U [kev] v kms r [m] ff [ ffi ] 10 58:447 0; 021 3; 33 100 164:358 0; 068 1; 03 1000 282:282 0; 289 0; 24 Als Stärke der Induktion B wurde mit B = B max ` =0; 01638 gerechnet. 5.2 Quadrupol Der lineare Bereich des Quadrupolfeldes liegt auf der Diagonalen im Bereich von x = 42 mm bis x =60mm. Die Steigung im linearen Bereich beträgt m =0; 93 (siehe dazu Ausdruck B 1 ). Die Werte eines Kreises mit 25 mm und eines Kreises mit 50 mm werden FOURIERtransformiert. Dabei ergeben sich zusätzlich zu den Dipol- bzw. Quadrupolmomenten noch höhere Momente. Dies Abbildung 4: Höhere Momente beim 25 mm-kreis (links) und beim 50 mm-kreis (rechts). liegt an der Geometrie der Polschuhe. Idealerweise sollte eine Quadrupol hyperbelförmige Polschuhe besitzen. Diese sind schwierig zu fertigen, weswegen man sich mit zylinderförmigen Polschuhen behilft. Letztere kommen Hyperbeln in erster Näherung am nächsten. Im vorliegenden Versuch sind die Polschuhe rechteckig, was eine sehr schlechte Näherung eines Quadrupols darstellt. Im B-Feld des Quadrupols sind also noch Momente höherer Ordnung vorhanden, deren Überlagerung das Feld der rechteckigen Polschuhe darstellt. Je näher man mit der HALL-Sonde den Polschuhen kommt, d. h. je größer der Radius ist, desto stärker treten die höheren Momente auf. Die Abweichung von der idealen Hyperbelform ist, anschaulich gesprochen, umso größer, je näher man dem Rechteck kommt. Die Brennweite des Quadrupols konnte nicht bestimmt werden, da die HALL-Sonde für die z- Richtung defekt war. 7
6 Anhang 6.1 Original-Meßprotokoll 6.2 Ausgaben des Computers 8