Vorbereitung Lihtgeshwindigkeit Stefan Shierle Versuhsdatum: 13. 12. 2011 Inhaltsverzeihnis 1 Drehspiegelmethode 2 1.1 Vorbereitung auf den Versuh......................... 2 1.2 Justierung der Apparatur und Messung................... 4 2 Phasenvergleihsmethode 5 2.1 Vorbereitung auf den Versuh......................... 5 2.2 Justierung der Apparatur und Eihmessung................. 6 2.3 Lihtgeshwindigkeits- und Brehzahlmessung................ 6 2.3.1 Lihtgeshwindigkeit in der Luft................... 6 2.3.2 Brehzahlbestimmung von Wasser.................. 7 2.3.3 Brehzahlbestimmung von Plexiglas................. 7 2.3.4 Lissajous-Figuren - Lihtgeshwindigkeitsbestimmung....... 7 2.3.5 Brehzahlbestimmung via Lissajous-Figuren............. 8 1
1 Drehspiegelmethode 1.1 Vorbereitung auf den Versuh Zum Versuhsaufbau: Der Aufbau ist durh die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Maße beshränkt: d(endspiegel - Umlenkspiegel) - in der Skizze d 1 : 6, 57m d(umlenkspiegel - Drehspiegel) - in der Skizze d 2 : 7, 23m d(laser - Drehspiegel) - in der Skizze d max : 6, 80m d 3 < d max Es bleibt hier zu bestimmen, welhe Entfernung die Linse vom Laser und dem Shirm haben muss, und die Entfernung der Lupe vom Shirm. Aufbauskizze des Versuhs Funktionsweise des Versuhs: Vom Laser wird monohromatishes Liht ausgesandt. Der Lihtstrahl trifft durh den Strahlteiler auf den Drehspiegel. Dieser sorgt wegen seiner Rotation dafür, dass der Laserstrahl in vershiedenen Winkeln reflektiert wird. Die so reflektierten Strahlen werden durh eine Linse wieder zu parallelen Strahlen gebrohen, welhe über den Umlenkspiegel, den Endspiegel und wieder über den Umlenkspiegel auf die Linse treffen. Die Linse muss nun so positioniert sein, dass die parallel einfallenden Strahlen im Mittelpunkt des Drehspiegels gebündelt werden. Daraus ergibt sih, dass der Abstand f in der Skizze genau der Brennweite der Linse (5m) betragen muss. Der nun wieder gebündelte Lihtstrahl wird am Drehspiegel reflektiert, da dieser aber rotiert, wird das Liht in einem anderen Winkel (Θ) reflektiert, als es beim Hinweg in den Spiegel eingefallen ist. Um diesen Winkel versetzt trifft der Strahl nun auh auf den Strahlteiler wo dieser nun durh die Versetzung nohmals shief reflektiert wird. Zudem wird der Strahlteiler benötigt, um auh geringe Ablenkungen messbar zu mahen, da ohne diesen der Laserstrahl wieder in die Austrittsöffnung des Lasers zurükgeworfen 2
und somit niht messbar wird. Am Shirm ist also ein vershobener Punkt im Vergleih zum ruhenden Drehspiegel zu erkennen. Über diese Vershiebung und die Frequenz des Drehspiegels lässt sih die Lihtgeshwindigkeit ermitteln. Berehnung der noh fehlenden Größen: Die Linse muss, wie oben shon erwähnt, den Brennpunkt im Drehspiegel haben, also ist f = 5m. Da nah Möglihkeit beim Versuh sharfe Bilder zu erzeugen sind, muss der Laser und der Strahlteiler mit Shirm passend positioniert werden, was mit der Linsengleihung berehnet werden kann. Zuerst wird die die Distanz Laser Drehspiegel ermittelt: 1 f = 1 g + 1 b W obei : g = d 3 + f 1 f = 1 d 3 + f + 1 d 1 + d 2 f f 2 d 3 = d 1 + d 2 2f b = d 1 + d 2 f Setzt man nun die gegebenen Werte ein, so Erhält man eine Streke d 3 = 6, 58m. Dies liegt in dem realisierbaren Bereih von d max = 6, 8m. Der Shirm muss sih ebenfalls in dieser gleihen Entfernung vom Drehspiegel befinden, damit wir auh hier ein sharfes Bild erhalten. Damit gilt: d 3 = x 1 + x 2. Mit Hilfe der Lupe (Abstand vom Shirm: f L = 10m) muss der Abstand (a) des Strahls bei ruhendem Drehspiegel und beim durh den rotierenden Drehspiegel abgelenkten Strahl ermittelt werden. Durh eben diesen Abstand lässt sih die Lihtgeshwindigkeit bestimmen: = s t t = s t = 2(d 1 + d 2 ) Nun wird die Spiegelrotation berüksihtigt: Θ = ωt s = 2(d 1 + d 2 ) Θ = 2πft t = 2(d 1 + d 2 ) Θ = 2πf 2(d 1 + d 2 ) 3
Nun lässt sih das Dreiek vom Drehspiegel zum Shirm betrahten. Hierbei ih daran zu denken, dass der relevante Winkel im Dreiek 2 Θ beträgt. tan(2 Θ) = a d 3 Da in diesem Fall a d 3 kann man eine Näherung des tan durhführen: tan(2 Θ) 2 Θ 2 Θ = a d 3 Θ = a 2d 3 Nun kann man alle obigen Gleihungen zusammenführen: Θ = 2πf 2(d 1 + d 2 ) = 2πf 2(d 1 + d 2 ) Θ = 2πf 4d 3(d 1 + d 2 ) a = 8πd 3 f (d 1 + d 2 ) a Θ = a 2d 3 Hiermit lässt sih die zu erwartende Größenordnung der Abweihung a auf dem Shirm vorhersagen, unter der Annahme, dass = 3 10 8 m bereits bekannt sei und der Drehspiegel mit der maximalen Frequenz von 500Hz s rotiert. a = 8πd 3 f (d 1 + d 2 ) a = 8 6, 58m 500Hzπ a = 3.80 10 3 m (6, 57m + 7, 23m) 3 10 8 m s 1.2 Justierung der Apparatur und Messung Damit der Versuh durhgeführt werden kann, muss nun der Aufbau und die Justierung der Apparatur erfolgen. Nah den oben bestimmten Maßen sollen nun die Bauteile montiert werden. Da diese aber, aller Wahrsheinlihkeit nah, noh niht ideal ausgerihtet sind, um einen vernünftigen Strahlenverlauf zu ermöglihen müssen sie wie in der Aufgabenstellung beshrieben justiert und ausgerihtete werden. Zum Einstellen der Frequenz soll eine Stimmgabel zur Hilfe genommen werden. Da der Drehspiegel die Rotationsfrequenz 440Hz erreihen soll, kann dies mit einer Stimmgabel der gleihen Frequenz (Kammerton A) ermittelt werden. Die durh den rotierenden 4
Spiegel erzeugten akustishen Shwingungen überlagern sih mit denen der Stimmgabel. Es entstehen Shwebungen; rotiert der Drehspiegel mit ungefähr der gleihen Frequenz, wie die der Stimmgabel so ist eine Shwebung kaum mehr festzustellen. Die so ermittelte Drehfrequenz soll nun mit der Frequenzanzeige verglihen werden. 2 Phasenvergleihsmethode 2.1 Vorbereitung auf den Versuh Es geht darum die Phasenvershiebung eines modulierten Lihtimpulses, der von einer Diode ausgesandt und einen Meter Weiter von einem Phototransistor wieder gemessen wird zu bestimmen. Wenn das Ursprungssignal der Form a os(ωt) entspriht, dann muss das Aufgenommene Signal die Form a os(ωt + ϕ) besitzen. ϕ wäre hierbei unsere Phasenvershiebung, die durh die Laufzeit des Lihts auf der Streke von einem Meter resultiert. ϕ =. So lässt sih auh die Erwartungsgröße der Phasenvershiebung (ϕ), d bzw. der Zeitverzögerung ( t) bestimmen: ϕ = d = 1 t t = d = 1m 2, 998 10 8 m = 3, 336 10 9 s s Nah der Aufgabenstellung soll nun eine Zeitmarkenvershiebung in der Größenordnung von einem Zehntel der Periodendauer errehnet werden: t 10 = 10 t = 3, 336 10 8 s f = 1 t 10 = 2, 998 10 7 Hz Somit wäre die nötige Modulationsfrequenz bei ungefähr 30M Hz. Nun soll die bei einem Oszilloskop nötige Ablenkgeshwindigkeit errehnet werden, die benötigt würde, um eine solhe Zeitmarkenvershiebung als 5-mm-Vershiebung auf dem Shirm darzustellen (x = 5mm): v abl. = xf = 5mm 2, 998 10 7 s = 1, 499 10 5 m s = 149, 9m µs Dieser Wert ist weit aus größer (15-fah), als die an einem konventionellen Oszilloskop zu erreihende Ablenkungsgeshwindigkeit von 10 m s. 5
Durh die multiplikative Mishung des Signals mit einem Hilfssignal soll nun die Messung vereinfaht werden. Man bedient sih hier einem Tiefpass, der nur den niederfrequenten Anteil der Shwingung berüksihtigt. Die Phasenvershiebung bleibt in diesem Fall aber gleih: a os(ωt + ϕ) A os(ωt) = aa 2 = aa 2 [os(ωt + ϕ Ωt) + os(ωt + ϕ + Ωt))] [os((ω Ω)t + ϕ) + os((ω + Ω)t + ϕ)] Man sieht hier, dass die Phasenvershiebung erhalten bleibt, und der niederfrequenten Shwingungsanteil (ω Ω) durh den Tiefpass erhalten bleibt. Durh dieses Herausfiltern der hohen Frequenzen erhalten wir aber einen Zeitdehnungsfaktor ( t t ). t t = ϕ ω Ω ϕ ω = ω ω Ω ω 2π 60MHz t t = 600 Ω = 2π59, 9MHz Dieser Zeitdehnungsfaktor ermögliht es, die Phasenvershiebung an einem Oszilloskop darzustellen, da nun die verzögerte Ablenkungsgeshwindigkeit im Rahmen des vom Oszilloskop darstellbaren Bereihes liegt (v abl.verz. = 600 v abl. 0, 25 m ). Die so gemessenen s Werte müssen nur ebenfalls um diesen Faktor korrigiert werden. 2.2 Justierung der Apparatur und Eihmessung Der Versuhsaufbau muss nun noh justiert werden, um eine möglihst gut ausgeleuhtete Photodiode zu erhalten. Dies soll mit Hilfe der Sammellinse geshehen. Außerdem soll der Lihtstrahl möglihst parallel zur Zeiß-Shiene sein. Durh die genauere (quarzstabile) Frequenz der Lihtquelle soll die Zeitablenkung des Oszilloskopes geeiht werden. Hierfür wird der ω 10-Signalausgang der Lihtquelle (ohne grünen Ring) benutzt werden. 2.3 Lihtgeshwindigkeits- und Brehzahlmessung 2.3.1 Lihtgeshwindigkeit in der Luft Es wird der Abstand zwishen Sender und Empfänger variiert und somit in Abhängigkeit dieser Änderung die Phasenvershiebung bestimmt. Aus dieser Phasenvershiebung lässt sih die Lihtgeshwindigkeit berehnen, wobei der Zeitdehnungsfaktor berüksihtigt 6
werden muss. = d t = ω ω Ω d t Oszi 2.3.2 Brehzahlbestimmung von Wasser Unter der Annahme, dass V akuum = Luft gilt, lässt sih der Brehungsindex (n) von Medium W asser Wasser, wenn ebenfalls die Streke d = 1m durhlaufen wird, sehr einfah bestimmen: n = Luft W asser Hierfür wird eigentlih nur eine Bestimmung der Lihtgeshwindigkeit in Wasser nötig, die nah obigem Shema durhgeführt wird. Wird niht die volle Länge zwishen Sender und Empfänger (d > l) ausgefüllt, so wird die Brehzahl wie folgt bestimmt: t = d l l + Luft W asser n W asser = Luft n Luft n Luft = 1 W asser n W asser = Luft t d + l l 2.3.3 Brehzahlbestimmung von Plexiglas Analog zur Brehzahlbestimmung von Wasser. 2.3.4 Lissajous-Figuren - Lihtgeshwindigkeitsbestimmung Werden zwei Shwingungen gleiher Frequenz aber mit Phasenvershiebung gegeneinander (auf x- und y-ahse) aufgetragen, so bilden sih Lissajous-Figuren. Beträgt die Vershiebung genau ein ganzzahliges Vielfahes der halben Periode, also k λ, so ist 2 am Oszilloskop eine Gerade zu erkennen. Es wird der Abstand zwishen Sender und Empfänger variiert, bis zwei Punkte gefunden wurden, bei denen eine Gerade auf dem Oszilloskopshirm angezeigt wird. Die Längendifferenz dieser Punkte sei l Somit lässt sih auh die Lihtgeshwindigkeit bestimmen: l = k λ 2 l = k 2 f = l 2 f λ = f 7
2.3.5 Brehzahlbestimmung via Lissajous-Figuren Auh mit dieser Methode lässt sih die Brehzahl eines Mediums bestimmen. Hat das Medium die Länge x, so ändert dies die Laufzeit vom Sender zum Empfänger und somit die Lissajous-Figur auf dem Shirm. Um dies wieder zu korrigieren wird die Entfernung von Sender und Empfänger geändert ( l), bis wieder die Gerade auf dem Shirm zu sehen ist. l = d d mitmedium = t Luft d mitmedium Analog zur Ermittlung der Brehzahl von Wasser ergibt sih hier die Bestimmungsformel: n = l x + 1 8