Kombinatori Kombinatori Ziel: Bestimmen der Mächtigeiten bestimmter endlicher Mengen, die durch Anordnung oder Auswahl von Elementen einer Menge gebildet werden. Wir wissen bereits, dass für die Potenzmenge gilt: card (P(M = 2 card (M Elementarerweise gilt für Produtmengen zweier Mengen M und N card (M N =card (M card (N Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 54 / 415
Wir werden nun Formeln für die Anzahl von Permutationen, Kombinationen und Variationen von Elementen einer gegebenen n-elementigen Menge zusammenstellen. Permutationen: Alle Elemente werden verwendet, ihre Reihenfolge ist entscheidend, Kombinationen: Es werden Elemente ausgewählt (der Rest verworfen, es ommt auf die Auswahl an, Variationen: Es ommt auf Auswahl und Reihenfolge an. Ferner sind die Optionen mit und ohne Wiederholungen zu unterscheiden. Mit Wiederholungen ist gemeint: Gewisse Vertauschungen sollen ignoriert werden. Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 55 / 415 Beispiele: Permutationen: Es gibt 6 verschienene Reihenfolgen, drei Kugeln anzuordnen. Sind zwei der Kugeln blau, eine rot, und es ommt uns nur auf die Farben an, so unterscheiden wir nur 3 Permutationen mit Wiederholung. Kombinationen: Das typische Beispiel ist die Ziehung der Lottozahlen, 6 Kugeln werden ausgewählt, 43 bleiben übrig, die Reihenfolge spielt einerlei Rolle. Keine der Zahlen von 1 bis 49 ist auf mehreren Kugeln, es gibt also eine Wiederholungen. Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 56 / 415
Anders ist es, wenn 7 Mitarbeiter eingestellt werden sollen, zur Wahl stehen (beliebig viele Informatier, BWL-er und Juristen. Zwei Teams von je 2 Informatiern und BWL-ern sowie 3 Juristen gelten als identisch, aber z.b. verschieden von einer Mannschaft aus lauter Informatiern. In diesem Fall sprechen wir von Kombinationen mit Wiederholung. Variationen: Werden die gewählten Elemente in einer vorgeschriebenen Weise angeordnet, etwa die Ziffern einer Gewinnzahl, oder Kandidaten auf einer Wahlliste, ist also die Reihenfolge zu beachten, so sprechen wir von Variationen. Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 57 / 415 Grafi Permutationen von 3 bzw. 4 Elementen Permutationen von 3 bzw. 4 Elementen mit 2 mal 2 Wiederholungen Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 58 / 415
Symbole und Formeln Definition: n! (lies: n Faultät 0!=1 reursive (n + 1!=n! (n + 1 Definition! Die Faultäten sind für alle natürlichen Zahlen (inlusive 0 definiert. Beachte: 0! =1 (nicht Null. Definition: Binomialoeffitienten ( n (lies: n über ( n = n! (n!! = n(n 1(n 2...(n +1! Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 59 / 415 Bemerung: Die obere Definition ist nur für natürliche Zahlen n und sinnvoll, die untere ann auch für beliebige n R angewendet werden, ( x, x R, N. Beispiele: ( 2 3 = ( 2 ( 3 ( 4 6 = 4 ( 1 3 3 = 10 162 = 5 81 = 0.06172839506 Maple: binomial(-2,3; bzw. binomial(1/3,3; combinat.mw Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 60 / 415
Eigenschaften Satz: (n + 1! = (n + 1n! ( ( n n = 1, = n, 0 1 ( ( n n = n ( n + 1 = + 1 ( ( n n + + 1 ( n = 1 n (Pascalsches Dreiec Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 61 / 415 ( n ( + 1 + 1 n ( + i i=0 n =0 ( n ( n = (n ( n + + 1 = + 1 = 2 n Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 62 / 415
Binomischer Satz Beispiele: a = b = 1, (a + b n = n =0 a = 1, b = 1 ( n a n b Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 63 / 415 Permutationen Permutationen von n Elementen (ohne Wiederholung: n! Beispiel: Warteschlange Permutationen mit Wiederholungen von n Elementen bei r Gruppen von identifizierten Elementen, n! Gruppenstären 1... r : 1!... r! Beispiel: Nachtzug Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 64 / 415
Beispiele {a, b, c} a b c a c b Permutation. a a b eine Permutation Charaterisierung einer Permutation: p M card (M, i, j (i j p i p j Im Gegensatz hierzu: Permutationen mit Wiederholung: aabbc n! n 1! n 2!...n r! bei r Gruppen mit je n i identischen Elementen Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 65 / 415 Kombinationen und Variationen Kombinationen von aus ( n Elementen: - ohne Wiederholung.: n = n!!(n! Beispiel: Lotto, Massenentlassung ( - mit Wiederholung.: n+ 1 Beispiel: Bevorratung Variationen von aus n Elementen: n! - ohne Wiederholung.: (n! Beispiel: Rollenbesetzung, Jobmart - mit Wiederholung.: n Beispiel: Telefonnummern, Passwörter Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 66 / 415
Beispiele Aufsichtsrat wählt Vorsitzenden und Stellvertreter (2 aus 20 } ( Reihenfolge 1 20 2 2! = 20 19 Wiederholung 0 = 380 Lotto (6 aus 49 Reihenfolge 0 Wiederholung 0 } ( 49 = 13 983 816 6 Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 67 / 415 Würfeln mit 4 Würfeln verschiedener Farbe } Reihenfolge 1 6 4 = 36 2 = 1296 Wiederholung 1 Qualitätsprüfung (2 aus 10 Reihenfolge 0 Wiederholung 1 } ( 11 = 55 2 Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 68 / 415
Mehr Beispiele 8 Teile wurden produziert 40 320 versch. Reihenfolgen ( Umbauzeiten 3 Wagen 1. Klasse 5 Wagen 2. Klasse 2 Schlafwagen 10! = 2520 Möglicheiten 3! 5! 2! Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 69 / 415 Zusammenfassung: Reihenfolge? Wiederholungen? Formel 1 1 n 1 0 0 1 0 0 ( n! ( n+ 1 ( n Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 70 / 415
Wahrscheinlicheitsrechnung Ereignisse sind Teilmengen der Menge Ω aller Elementarereignisse. Begriff der Wahrscheinlicheit (nach Laplace: Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch Anzahl aller möglichen Fälle Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 71 / 415 Bernoulli-Schema n unabhängige Ausführungen eines Experiments mit zwei möglichen Ausgängen (Erfolg = 1, Misserfolg = 0 Wahrscheinlicheit für Erfolg: p, Wahrscheinlicheit für Mißerfolg: 1 p Wahrscheinlicheit für das Auftreten von genau Erfolgen bei n Versuchen beträgt P n = ( n p q n Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 72 / 415
Übungsaufgaben (P 07/97 Für ein Theaterstüc werden Statisten gesucht. Es melden sich 11 Männer und 7 Frauen. Es gibt aber nur 8 männliche und 5 weibliche Rollen mit je 8 bzw. 5 identischen Kostümen und Masen, es gibt eine Doppelrollen. a Wie viele Varianten für die Besetzung der männlichen Rollen durch Männer gibt es? b Wie viele Besetzungsvarianten gibt es insgesamt? c Die neue Intendantin nimmt eine Rücsicht auf das Geschlecht der Statisten und vergrößert damit die Auswahlmöglicheiten, ferner gibt sie den Ateuren Identität durch verschiedenfarbige Perücen. Wie viele Varianten gibt es jetzt? Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 73 / 415 (P 07/96 Zum Vergleichswettampf im Eisstocschießen zwischen Afria und Südostasien reisen aus jeder der beiden beteiligten Regionen vier Mannschaften an. In Afria gibt es zwölf, in Südostasien sechs Bewerber. a Wieviele Varianten gibt es für die Delegation aus Afria und für die aus Südostasien? b Wieviele Varianten gibt es für die Teilnehmer insgesamt? c In den vier Spielen der ersten Runde tritt je eine Mannschaft aus Afria gegen eine aus Asien an. Wieviele Varianten für die Zusammenstellung der erste Runde gibt es? d Wieviele Varianten gäbe es, würden vier beliebige Paarungen ausgelost? Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 74 / 415
(P 02/01 Im Landwirtschaftsministerium sollen 7 neue Mitarbeiter eingestellt werden. Zur Auswahl stehen 10 Agraröologen, davon 8 Männer, und 13 Wirtschaftswissenschaftler, davon 10 Frauen. Die Gruppen seien disjunt. a Wie viele Möglicheiten 7 Personen auszuwählen gibt es, wenn Qualifiationen, Ausbildung und Geschlecht irrelevant sind? b Wie viele Möglicheiten gibt es, wenn 4 Agraröologen einzustellen sind und 3 Wirtschaftswissenschafter? Einschränende Bedingung sei hierbei, dass genau 2 Frauen im Team sein sollen, davon wenigstens eine Agraröologin. Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 75 / 415 (P 07/00 Eine Filmgesellschaft sucht für ihren neuen Film noch Statisten für 7 verschiedene Rollen. Es bewerben sich 25 Frauen, davon 17 junge, und 15 Männer, davon 10 junge. a Wie viele Möglicheiten gibt es, die Rollen zu besetzen, wenn das Geschlecht und das Alter irrelevant sind? b Wie viele Möglicheiten gibt es, wenn 4 Rollen mit männlichen Bewerbern, davon genau 2 mit jungen, und 3 Rollen mit Bewerberinnen, davon genau 2 mit jungen zu besetzen sind? c Maren und Peter gehören zu den jungen Bewerbern und haben sich für die Rollen als Jugendliche beworben, wollen aber nur gemeinsam mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass bei einer Besetzung wie in b beide eine Rolle beommen? Kurt Frischmuth (IfM Mathe4WiWi WS 2012 76 / 415