UniversitätQ Osnabrück Fachbereich Physik Dr. W. Bodenberger Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern Die klassische Theorie der Leitungselektronen in Metallen ist nicht anwendbar auf die Elektronen und Löcher im Halbleiter. Die Quantenmechanik erfordert, daß die Fermi-Dirac Statistik für die Elektronen benutzt werden muß. Die Teilchen der Fermi-Dirac Statistik sind ununterscheidbar besitzen einen halbzahligen Spin und unterliegen dem Pauli-Prinzip. P FD (W) = +exp( (W W F) P FD (W) ist in der Fermi-Dirac Statistik die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Energiewert W durch ein Elektron im Halbleiter besetzt wird. Dabei ist W F ein rein mathematischer Parameter. Er braucht keinem erlaubten Energiewert zu entsprechen, sondern er stellt nur einen Referenzwert dar. P FD (W) = für ein Elektron bedeutet, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß es sich oberhalb 2 oder unterhalb der Fermienergie W F befindet gleich wahrscheinlich ist. Energie Diagramm im Bändermodell und Wahrscheinlichkeitsverteilung eines intrinsischen Halbleiters. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Elektron bei T = 239K die Bandlücke bei Germanium mit W Gap = 0,72eV und für Silizium mit W Gap =,09eV überwinden kann? Wie lauten die beiden Werte für die Wahrscheinlichkeiten? Bei so kleinen Wahrscheinlichkeiten kann man die im Nenner der Fermi-Dirac Verteilung weglassen, damit geht die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion über in die Maxwell-Boltzmann Verteilungsfunktion, die man bei Halbleitern anwenden muß. Im Leitungsband befinden sich so wenige Elektronen, daß es keine Probleme mit dem Pauli-Prinzip gibt. Die Symmetrie der Fermifunktion W F erfordert, daß die Wahrscheinlichkeit P FD (W C )im
Leitungsband den gleichen Wert hat wie die Wahrscheinlichkeit P FD (W V ) im Valenzband. -P FD (W v ) ist die Wahrscheinlichkeit für einen leeren Energiebereich, d.h. die Wahrscheinlichkeit für ein Defektelektron in einem gefüllten Valenzband. Vernachläßigt man die Eins im Nenner so kann man schreiben: P FD (W) exp( W W F Die vorstehende Formel ist die Maxwell-Boltzmann Verteilung. Sie gilt unter der Voraussetzung daß W W F > 3kT ist. Dies ist bei den meisten intrinsischen Halbleitern erfüllt. Die Elektronendichte n im Leitungsband wird beschränkt durch die Zustandsdichte N C der Energiezustände im Leitungsband, die nur von einem einzigen Elektron eingenommen werden dürfen. Die Anzahl der Energieniveaus pro Einheitsvolumen sei δ(w). Wenn es nun δ(s) Energieniveaus in einem schmalen Energiebereich δw gibt, so folgt für die Zustandsdichte S(W) = δs δw = ds dw. Die kinetische Energie eines freien Elektrons im Kristall ist: p= 2 m W dabei ist p der Impuls des Elektrons und m seine effektive Masse. Der Einfluß der Atomkerne und der anderen Elektronen werden dabei nicht berücksichtigt und das Potential, in dem sich die Elektronen bewegen wird Null gesetzt, d.h. die Elektronen im Leitungsband besitzen nur kinetische Energie. Die Oberfläche einer Kugel in diesem Impulsraum ist 4 π p 2. Die Anzahl der Zustände in einem schmalen Bereich δp ist dann 4 π p 2 δp. Das Einheitsvolumen im Impulsraum ist (h ist das Plancksche Wirkungsquantum). Die Anzahl, der in einem Kreisring zur Verfügung stehender diskreter Energieniveaus ist dann ds = 2 4 π p2 dp Der Faktor 2 rührt vom Spin her unter Beachtung des Pauli Prinzips. ds dw = 8 π 3 2 (m ) 2 W2 Für die Energie W C an der Unterkante des Leitungsbandes gilt dann. ds dw =S(W)=8 π 3 2 (m ) 2 (W W C ) 2 Der Energiewert W V an der Oberkante des Valenzbandes ist:
ds dw =S(W)=8 π 3 2 (m ) 2 (W V W) 2 Zustandsdichte Funktion für einen intrinsischen Halbleiter. Die Anzahl dn der Elektronen in einem Energiebereich dw hängt von der Dichte der zur Verfügung stehenden Zustände ds und der Wahrscheinlichkeit ab, daß die Zustände besetzt oder leer sind. dn = P FD (W) ds n= ds P FD (W) dw dw Das führt zu den folgenden Ergebnissen für die Elektronen im Leitungsband und die Defektelektronen im Valenzband: n=n C exp( W C W F mit N C = 2 3 3 h (2 π 3 m e k) 2 T2 n=n V exp( W F W V mit N V = 2 3 3 h (2 π 3 m h k) 2 T2 Die entsprechenden Energiediagramme im Bändermodell und die Wahrscheinlichkeitsfunktionen für n - und p-dotierte Halbleiter sind im folgenden Bild dargestellt:
Die folgende Abbildung zeigt die Zustandsdichte Funktionen und die Wahrscheinlichkeiten im Leitungsband und Valenzband für einen intrinsischen Halbleiter und einen n - dotierten Halbleiter. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktionen p(w) und - p(w) sind beide gleich und liegen symmetrisch zum Fermi Niveau W F. Der exponentielle Abfall dieser Wahrscheinlichkeiten ist in der Wirklichkeit sehr viel schneller als hier dargestellt. Sie veranschaulichen sehr deutlich die Variation der Elektronendichte und die Variation der Löcherdichte jeweils an der Untergrenze des Leitungsbandes und an der Obergrenze des Valenzbandes, kontrolliert durch die Zustandsdichte Funktion S(W). Die Variation der Ladungsträgerdichte oberhalb von W c und unterhalb von W V werden durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen kontrolliert. Deshalb gibt es im Leitungsband einen Energiewert mit einer maximalen Elektronendichte, entsprechend gibt es im Valenzband einen Energiewert mit einer maximalen Defektelektronendichte. Die Flächen unter den beiden Kurven korrespondieren jeweils zu der Gesamtzahl der Elektronen und Löcher. Beide Flächen sind in einem intrinsischen
Halbleiter gleich, da das Fermi Niveau in der Mitte liegt. Bei einem extrinsischen n - Halbleiter ist das Fermi Niveau in Richtung der Unterkante des Leitungsbandes verschoben, das hat zur Folge daß die Gesamtzahl der Elektronen sehr viel größer ist als die Anzahl der Löcher. Skizzieren Sie den Verlauf der Zustandsdichte und der Wahrscheinlichkeit für einen extrinsischen p - Halbleiter. Entartete Halbleiter Liegt die Störstellendichte über 5 0 23 pro m 3, so liegt das Fermi Niveau bei n-dotierten Halbleitern im Leitungsband und bei p-dotierten Halbleitern im Valenzband. In Metallen liegt das Fermi Niveau im Leitungsband. Fazit:Für nicht entartete Halbleiter gilt die Maxwell-Boltzmann Statistik.Für entartete Halbleiter gilt die Fermi-Dirac Statistik. Für Metalle z.b. Kupfer liegt das Fermi Niveau W F = 7eV oberhalb des Valenzbandes. Die thermische Energie eines Elektrons bei Raumtemperatur ist dagegen 0,038eV. Frage: Woher kommt der Wert? Die Temperatur kann damit vernachlässigt werden. Gitter-Streuung und Beweglichkeit der Ladungsträger Gitter:Periodische Anordnung der Atome im Kristall. Die Bewegung der Ladungsträger (Elektronen und Löcher wird durch ihre effektive Masse m berücksichtigt. Die freie Bewegung wird bei T=0K nicht durch das Gitter beeinflusst. Oberhalb von T = 0K wird die Bewegung durch Gitterschwingungen behindert. Diese thermischen Vibrationen des Kristalls breiten sich als elastische Wellen mit Schallgeschwindigkeit in diskreten Energiestufen h ν im Kristall aus (Phononenwellen). ν ist die Frequenz der Phononen. Analogon zum Photon! Beide sind Quasiteilchen. Die Kollissionen von Elektronen und Löchern mit Phononen bezeichnet man als Gitterstreuung. Ohne äußeres Feld elektrisches Feld ist die thermische Bewegung willkürlich.
Mit einem äußeren Feld wird die thermische Bewegung durch eine Driftbewegung der Ladungsträger als Folge des elektrischen Feldes überlagert. Abschätzungen: Mittlere Energie der Elektronen W El 3 2 k T 3 k T Maxwell-Boltzmann. u = m mit T = 293K und m = m erhält man für u 0 5 m s Die mittlere freie Weglänge ist l 0 7 m Die Relaxationszeit t c ist 0 2 s (Zeit,die zwischen zwei Stößen vergeht). Die Beschleunigung durch das elektrische Feld E ist: b= e E m mit e als Elektronenladung. Dies führt zu einer maximalen Geschwindigkeit v max = e E m t c. Aus der maximalen Geschwindigkeit ergibt sich als Driftgeschwindigkeit u d = 2 v max = e E t c 2 m Für die Driftgeschwindigkeit schreibt man auch durch Definition der Beweglichkeit µ. u d = µ E µ = e t c 2 m Durch die unterschiedlichen effektiven Massen für Elektronen und Löcher ist auch ihre Beweglichkeit im Halbleiter unterschiedlich. Vergleicht man die thermische Geschwindigkeit mit der Driftgeschwindigkeit so erkennt man, daß das elektrische äußere Feld E nur wenig Einfluß auf die thermische Geschwindigkeit besitzt.