V (x) = 1 2 mω2 x 2. E n = ω n + 1 )

Transkript

1 Lichttechnisches Institut Universität Karlsruhe Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer Kaiserstrasse Karlsruhe Festkörperelektronik Beispiel- und Üungsklausur Musterlösungen 1. Elektronen im harmonischen Potential Betrachten Sie ei T0 K das Potential V (x) 1 2 mω2 x 2 (a) Geen Sie die Energie-Eigenwerte E n in diesem Potential an (keine Rechnung nötig!) [1P]. ( E n ω n + 1 ) 2 () Skizzieren Sie die ersten vier Eigenfunktionen ψ 0...ψ 3 [1P]. (c) Zeigen Sie, daß die Grundzustands-Wellenfunktion ψ 0 (x) c 0 exp die zeitunahängige Schrödingergleichung löst [3P]. mω ( ) x2 2 2 mit

2 Ĥψ 0 ( 2 d 2 2m dx ) 2 mω2 x 2 ψ 0 ( 2 d 2 2m dx ) ( ) 2 mω2 x 2 c0 e x2 2 2 ( 2 d 2m dx ( x 2 ) + 1 ) ( ) 2 mω2 x 2 c0 e x2 2 2 ( 2 2m ( x2 4 ) + 1 ) ( ) 2 mω2 x 2 c0 e x2 2 2 ( 2 2m ( mω + m2 ω 2 x 2 h 2 ) + 1 ) ( 2 mω2 x 2 c0 e x2 2 2 ) 1 2 ω }{{} E 0 ψ 0 (d) Berechnen Sie den Orts-Erwartungswert <ˆx> eines Elektrons im Grundzustand [2P]. + < ˆx > c 0 exp ( x ψ ˆxψdx ) x c0 exp ) ( x2 2 2 dx ( )) 2 c0 x exp ( x2 2 2 dx ) ( ) 2 x exp ( x2 c0 }{{ 2 dx 0 } 0 (e) Sei das Potential nun mit einer großen Zahl N Elektronen gefüllt. Bestimmen Sie die Fermi-Energie. Welches fundamentale Prinzip muß hierei eachtet werden [2P]? Für die möglichen Eigen-Energien in einem harmonischen Potential gilt: ( E n ω n + 1 ) 2 Jedes Energie-Niveau kann entsprechend dem Pauli-Prinzip mit 2 Elektronen ( Spin hoch und Spin runter ) esetzt werden. Dementsprechend ist der höchste esetzte Zustand n N/2. ( N E F ω ) (N + 1) ω 2 2 (f) Wie ändert sich qualitativ die Verteilung der Elektronen ei Temperaturen T>0 K [1P]? 2

3 Die Elektronen gewinnen thermische Energie. Damit werden Elektronen von Energie- Niveaus kleiner als die Fermi-Energie auf Energie-Niveaus größer als die Fermi-Energie umverteilt. Daei gehorchen die Elektronen der Fermi-Statistik. Die Fermi-Verteilungs-Funktion lautet: f(e) 1 e (E E F )/(k B T ) + 1 Die Zahl der Elektronen in einem Energie-Interval (E 1, E 2 ) erechnet sich zu N e (E (E 1, E 2 )) woei D(E) die Zustandsdichte ist. E2 E 1 f(e)d(e)de 2. Neutronen (a) Wie groß sind die Geschwindigkeit und die kinetische Energie eines Neutrons, wenn seine De-Broglie-Wellenlänge m eträgt [2P]? Es gilt: p k 2π λ p mv Daraus folgt: E kin 1 2 mv2 p2 2m 24 kg m p 6, s v 3956 m s E kin 1, J () Wie genau läßt sich der Ort dieses Neutrons estenfalls estimmen [1P]? Es gilt die Heisenerg sche Unschärferelation: x p 2 Mit der Annahme p < p folgt x 2 p 7, m (c) Was passiert mit diesem einzelnen Neutron, wenn es durch einen Doppelspalt fliegt [1P]? Das Neutron geht durch eide Spalte gleichzeitig und interferiert mit sich selst. 3

4 (d) Wie verändert sich qualitativ die Wellenlänge des Neutrons, wenn es von einem Geiet mit dem Potential V 0 0 in ein Potential-Geiet 0 < V 1 < E n fliegt (Begründung)? E n sei die kinetische Energie des Neutrons [1P]. Die Wellenlänge wird größer. Für den k-vektor gilt: Für die Wellenlänge gilt: k 1 2m(En V 1 ) λ 2π k 2π 2m(En V 1 ) Die Differenz E n V wird kleiner, damit werden der Bruch und die Wellenlänge größer. (e) Was passiert mit einem Neutron, das gegen eine -hohe, 5 nm dicke Potentialarriere fliegt [1P]? Das Neutron wird reflektiert. Es dringt nicht in die Barriere ein. 3. Wasserstoff-Atom Berechnen Sie die Grundzustands-Energie des Wasserstoff-Atoms in ev [2P]. Mit n1 folgt: E e4 m e 1 8h 2 ɛ 2 0 n 2 E 2, J 13, 6 ev 4. Schrödinger-Gleichung Was eschreit die zeitahängige Schrödinger-Gleichung [2P]? In der klassischen Mechanik werden Bewegungsvorgänge durch die Newton schen Bewegungs-Gleichungen eschrieen. Diese Aufgae üernimmt die Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik. Sie eschreit, wie sich ein System von einem gegeenen Zustand aus weiterentwickelt. 5. Begriffsklärung Erklären Sie die folgenden Begriffe: (a) Dispersionsrelation [1P] Als Dispersionsrelation ezeichnet man eine Beziehung zwischen dem Wellenvektor k und der Kreisfrequenz ω. Für Licht gilt espielsweise ω c k eschreien lassen. () Bloch-Elektronen [1P] Bloch-Elektronen werden Elektronen genannt, die in einem Kristallgitter propagieren und sich durch ψ u e ikx mit u einer Gitterperiodischen Funktion. 4

5 (c) Diffusionsstrom [1P] Diffusionsstrom ist ein Strom der von einem Ladungsträger-Konzentrationsgradienten her rührt. 6. Dotierung (a) Beschreien Sie ein Verfahren zur Dotierung von Halleitern [1P]. Czochralski-Verfahren: Beim Züchten den Einkristalls werden hochdotierte Kristallstücke der Schmelze zugeführt. Zonenzieh-Verfahren: Beim Züchten des Kristalls ist ein Dotiergas anwesend. Ionen-Implantation: Dotieratome werden nach der Züchtung des Kristalls per Ionen-Beschuß in das Material einlegiert. Eindiffusion: Phosphin (PH) zw. Phosphoroxychlorid (POCl 3 ) wird an die heiße Silizium-Oerfläche geracht. Reaktion zu P 2 O 3. Dieses dient als Diffusionsquelle an der Oerfläche. Z.B. Eindiffusion des Emitterkontaktes. () Welchen Einfluß hat die Dotierung auf die grundlegenden Halleiter-Eigenschaften [1P]? Die Dotierung ewirkt einen Üerschuß an Elektronen oder Löchern (Defektelektronen). Diese Elektronen werden nicht für den Aufau des Kristallgitters enötigt (zw. fehlen im Aufau). Und können demnach leicht vom Atomrumpf getrennt werden. Damit erhöht sich die Leitfähigkeit des Halleiters. (c) Silizium hat ei Raumtemperatur eine Bandlücke E g 1, 1 ev. Elektronen und Löcher sollen die Masse eines freien Elektrons haen. Berechnen Sie die intrinsisch erzeugte Ladungsträgerdichte (Anzahl Ladungsträger pro Volumen) [2P]. Aus dem Massenwirkungsgesetz folgt im intrinsischen Fall mit np n p Neff V N eff L E n L En V e k B T n i p i ( ) En L np N Veff N Leff En V 2k e B T (m e m p) 3/4 kb T 3/2 2 2π 2 e Eg 2k B T 2, m 3 (d) Zeigen Sie, daß ei Raumtemperatur die Eigenleitung ei einem n-dotierten Silizium-Kristall vernachlässigar ist. Der Kristall sei mit einer Konzentration von N D cm 3 Phosphor-Atomen dotiert. Das Donator-Niveau der Phosphor-Atome liege 0,044 ev unter dem Leitungsand [2P]. 5

6 Bei Raumtemperatur kann Störstellen-Erschöpfung angenommen werden. Demnach gilt: n N D cm m 3 Dieser Wert liegt um 9 Größenordnungen üer der intrinsischen Ladungsträgerdichte. Damit sind sind die Beiträger der intrinsisch erzeugten Ladungsträger zu vernachlässigen. 7. Photodetektoren Betrachten Sie einen Galliumarsenid (GaAs) Photodetektor. Die Bandlücke von GaAs etrage 1,43 ev ei Raumtemperatur. (a) In der optischen Telekommunikation wird eine Wellenlänge von 1,55 µm zur Üermittlung von Daten enutzt. Eignet sich GaAs zur Signal-Detektion (Begründung) [2P]? E 1, 43 ev 2, J λ c ν ch E 8, m 0, 865 µm Da GaAs aufgrund der Bandlücke nur Licht mit einer Wellenlänge kleiner als 865 nm asorieren kann, ist es für die Datenüermittlung mit λ 1, 55µm nicht geeignet. () Wie ändert sich die Bandlücke, wenn der Detektor gekühlt wird [1P]? Wird der Kristall gekühlt, so wird die Bandlücke größer, da die Aufweichung der Bandkante durch thermische Effekte reduziert wird. (c) Galliumarsenid ist ein direkter Halleiter. Wie unterscheiden sich seine Detektionseigenschaften von einem indirekten Halleiter wie Silizium [1P]? Größere Wellenlängen, die ei einem indirekten Halleiter nicht durch einen direkten Üergang asoriert werden können, können a einer estimmten Wellenlänge durch einen indirekten Üergang asoriert werden. Dieser Üergang ist jedoch ineffektiver als ein direkter Üergang. (d) Wie könnte man einen Detektor aus einer Metallplatte (z.b. Zink) auen? Für welchen Teil des Lichtspektrums wäre dieser Detektor geeignet (Begründung)? Wie heißt der zugrunde liegende Effekt [3P]? Dieser Detektor kann sich den Photoeffekt (nach A. Einstein) zunutze machen. Wird eine Metallplatte mit UV-Licht (Lichtenergie muß größer als Austrittsareit der Elektronen sein) estrahlt, so werden Elektronen aus der Oerfläche der Platte geschlagen. Entsprechend müssen Ladungen nachströmen. Der resultierende Strom kann an einer Zuleitung zur Platte gemessen werden. 8. Zustandsdichte 6

7 (a) Was eschreit die Zustandsdichte [1P]? Die Zustandsdichte git die Anzahl der möglichen Zustände pro Energie-Intervall an. () Cäsium kristallisiert in einem cc-gitter. Jedes Atom git ein Leitungselektron a. Die Fermi-Energie eträgt 1,53 ev. Die Elektronen-Masse entspreche der des freien Elektrons. Wie groß ist die Zustandsdichte in Cäsium ei E E F, wenn die Größe der Elementarzelle V EZ (0, 614 nm) 3 ist [3P]? Für die Zustandsdichte gilt: D(E F ) L3 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 E Nun ist zu erücksichtigen, daß Elektronen 2 Spin-Einstellungen haen können (Faktor 2) und daß Cäsium 2 Elektronen pro Einheitszelle esitzt (2 Atome in einer Einheitszelle mit jeweils einem Valenz-Elektron, Faktor 1 2 ). Mit E E F 1, 53eV 2, J und L a nm 6, m ergit sich: 9. Halleiter-Grundgleichungen D Cu (E F ) 2 2 L3 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 E D Cs (E F ) 6, J 1 Beschreien Sie mit Worten, welche physikalischen Sachverhalte in den Halleiter- Grundgleichungen zum Ausdruck kommen [3P]. Drift- und Diffusionsgleichung j n enµ n E + ed n n j p epµ p E + ed p p Der Strom aus Elektronen und Löchern setzt sich aus den jeweiligen durch das Feld sowie den durch ein Konzentrationsgefälle getrieenen Ladungsträgern zusammen. Kontinuitätsgleichung ( en) t + j n e(g n r n ) ( ep) t + j p e(g p r p ) Ändert sich die jeweilige Ladungsträgerdichte oder die Stromdichte, so müssen Ladungsträger erzeugt oder vernichtet worden sein. Poisson-Gleichung φ e ɛɛ 0 (p n + n + D n A ) Das elektrostatische Potential hängt von den intrinsisch und den durch ionisierte Störstellen erzeugten Ladungen a. 10. Temperaturahängigkeit von Halleitereigenschaften Sie kühlen einen Halleiter mit flüssigem Helium auf 4 K a. Nun erhöhen Sie langsam die 7

8 Temperatur auf einige 100 K. Die effektive Masse der Löcher m h entspreche der effektiven Masse der Elektronen m e. (a) Wie verhält sich daei die Fermi-Energie eines p-dotierten Halleiters (Begründung!) [2P]? Die Fermi-Energie nimmt zu. Die Fermi-Energie liegt ei T0 K im Fall eines p-dotierten Halleiters in der Mitte zwischen dem Energie-Niveau der Akzeptor-Störstellen und der Valenzand-Kante. Bei der Erwärmung eines Halleiters nimmt der Anteil der Leitungs-Elektronen, die intrinsisch erzeugt werden, mit steigender Temperatur zu. Bei hinreichend hohen Temperaturen dominieren die intrinsisch erzeugten sogar die aus Störstellen erzeugten Leitungs-Elektronen. Im intrinsischen Fall, liegt die Fermi-Energie aer in der Mitte zwischen Valenz- und Leitungsand (siehe Teil a). Demnach muß die Fermi-Energie mit steigenden Temperaturen zunehmen. () Wie verhält sich daei qualitativ die Beweglichkeit der Ladungsträger (Begründung)? Welche Einflüsse estimmen die Beweglichkeit [3P]? Zunächst wächst die Beweglichkeit der Elektronen, da mit wachsender Temperatur immer mehr Löcher aus den Akzeptor-Niveaus in das Valenzand gelangen. Oerhal einer Temperatur T 0 sind die Störstellen erschöpft. Durch die steigende Temperatur wird aer der Einfluß der Phononen (thermische Gitterschwingungen) immer größer. Stöße mit den Phononen reduziert die Elektronen-Moilität wieder. 8