Robert Freimann Hydraulik für Bauingenieure Grundlagen und Anwendungen., aktualisierte und erweiterte Auflage
.1 Flüssigkeitsdruck 19 Von Druck im Sinne von Überdruck wird dann gesprochen, wenn dieser den Atmosphärendruck p a übersteigt. Liegt der Druck unterhalb des Luftdrucks p a, dann handelt es sich um Unterdruck. Die Druckabsenkung in einer Flüssigkeit unterliegt allerdings physikalischen Grenzen, ein Unterdruck von 1 bar oder rund 10 m WS ist nur eine theoretische Größe. Wird der Dampfdruck (Abschn. 1..6) erreicht, dann erfolgt ein Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Zustand. Im ungünstigsten Fall kann es dabei zum sog. Abreißen der Flüssigkeitssäule mit Schadensbildungen kommen. Zur Vermeidung wird der zulässige Unterdruck auf etwa 7 m WS begrenzt..1. Kommunizierende Gefäße und Röhren Wenn Behälter mit Flüssigkeitsspiegel durch Rohrleitungen miteinander verbunden sind, dann kann aus der Feststellung, dass der hydrostatische Druck in gleicher Flüssigkeitstiefe überall gleich groß ist, das Flüssigkeitsniveau errechnet werden. Dies geschieht immer durch einen Vergleich der auftretenden Drücke. Wird in einer hydraulischen Aufgabenstellung nach dem Überdruck gefragt, dann geht nur die Flüssigkeit in die Berechnung ein (Gl. (.1)). Sucht man dagegen den Absolutdruck, dann resultiert der Gesamtdruck aus Flüssigkeitsdruck und Umgebungsdruck (Gl. (.)). Eine Anwendung für Letzteres ist z.b. in Saugleitungen von Pumpen (Abschn. 5.4) gegeben. Beispiel.1 Die kommunizierenden Gefäße und Röhren in Bild. sind mit einer in Ruhe also im Gleichgewicht befindlichen, homogenen Flüssigkeit der Dichte gefüllt. Auf die linke Hälfte des Systems wirkt der Druck p 1 auf den Flüssigkeitsspiegel ein, der rechte Schenkel ist durch den Druck p belastet. Entlang des Schnittes C C muss der Druck überall gleich groß sein, da es sonst Verschiebungen der Flüssigkeitsteilchen geben würde. Mit Gl. (.) werden die Drücke p C für beide Seiten ermittelt und gleichgesetzt: pc p1 g h1 p g h Daraus kann die Differenz der Flüssigkeitsspiegel h = h 1 h aufgrund der unterschiedlichen Drücke p 1 und p errechnet werden: p p1 h (.7) g Bild. Kommunizierende Gefäße Zahlenwerte zu Bild.: = 1.000 kg/m p 1 = 97,1 kpa p = 1.00 mbar Dieser Spiegelunterschied h ist unabhängig von Form und Größe der Gefäße sowie des Verbindungsrohres. Die Drücke p 1 und p in Beispiel.1 werden mit unterschiedlichen Messgeräten ermittelt, die voneinander abweichende Druckeinheiten ausgeben. Die beiden Druckangaben sind also zunächst in die SI-Einheit Pa umzurechnen: p 1 97, 1 10 Pa sowie p 10 10 Pa Englische Fachbegriffe: Atmosphärendruck atmospheric pressure kommunizierende Röhren communicating tubes Überdruck overpressure Unterdruck negative pressure; vacuum
0 Hydrostatik Mit diesen unterschiedlichen Drücken ergibt sich mit Gl. (.7) der Spiegelunterschied zwischen linker und rechter Seite: 10 10 97, 1 10 h 1. 000 9, 81 0, 49949 m 0,50 m Schlauchwaagen können wie Wasserwaagen eingesetzt werden. Darüber hinaus bieten sie die Möglichkeit, über längere Distanzen hinweg Höhenunterschiede festzustellen. Das einfachste Flüssigkeitsmanometer ergibt sich durch eine Druckbohrung an einem Behälter, an die ein Standrohr angeschlossen wird. Die Flüssigkeit in Behälter und Standrohr ist die gleiche. Damit erfolgt die Druckbzw. Spiegelmessung direkt über den Flüssigkeitsstand. Unterliegen beide Gefäße dem gleichen Umgebungsdruck, also p 1 = p, dann stellt sich auf beiden Seiten der gleiche Flüssigkeitsspiegel ein und die Differenz wird h = 0. Dieser Umstand kann genützt werden, um mit einem durchsichtigen Kunststoffschlauch Nivellierungsaufgaben durchzuführen (Schlauchwaage) oder um mittels Beobachtung des Flüssigkeitsstandes in Standrohren oder Wasserstandsgläsern die Füllhöhe von Behältern zu ermitteln (Flüssigkeitsmanometer). Große Schwankungen oder hohe Lagen des Flüssigkeitsspiegels in einem Behälter wären mit der gleichen Flüssigkeit im Standrohr (Bild.4a) allerdings schlecht ablesbar. Zu diesem Zweck wird eine Sperrflüssigkeit größerer Dichte in ein sog. U-Rohr-Manometer eingebracht, um eine deutlich geringere Anzeigeschwankung zu erhalten, siehe Bild.4b. Aufgabe.: In dem in Bild.4a gezeigten Behälter sind zwei Standrohre angebracht. Auf welchen Höhen über dem Behälterboden stellen sich die Wasserstände in den Standrohren 1 und ein? Wie groß sind die Drücke p 1 und p auf die Niveauflächen 1 und? Bild.4 a) Standrohre am Behälter b) U-Rohr-Manometer mit Sperrflüssigkeit Beispiel. Englische Fachbegriffe: Quecksilber mercury Sperrflüssigkeit sealing fluid Standrohr stand pipe; pipe riser U-Rohr-Manometer vertical liquid manometer Zur Beobachtung des Wasserstandes ( W = 1.000 kg/m ) in einem oben offenen Behälter ist ein U-Rohr-Manometer mit Quecksilber ( Hg = 1.600 kg/m ) als Sperrflüssigkeit angebracht (siehe Bild.4b). Es werden eine Höhendifferenz h = 0 cm und die Höhe h 1 = 0 cm beobachtet. Wie hoch ist der Wasserstand im Behälter relativ zur Höhenlage der Stelle 1 (Druckbohrung)? Aus dem Gleichgewicht der Drücke im Schnitt C C (Luftdruck greift sowohl im Behälter und als auch im Standrohr an) erhält man die Druckbedingung pc p W g h1 Hg g h.
. Grundlegendes zum Druck auf Flächen 1 Daraus wird der Druck p erhalten zu p Hg g h W g h1 N 1.600 9, 81 0, 1. 000 9, 81 0, 8.06, 8. m Der Wasserstand über Stelle 1 ist dann Früher wurden Flüssigkeitsmanometer häufig in der Versuchstechnik eingesetzt, z.b. auch um zwischen zwei Druckbohrungen den Druckverlust in einer Rohrleitung (vgl. Kapitel 5) zu untersuchen. h W p g 8.06, 8, 88 m. 1. 000 9, 81 Die Wasserdruckhöhe h =,88 m plus h 1 = 0,0 m links des U-Rohres wird also durch die Quecksilbersäule h = 0, m rechts des U-Rohres abgebildet. Dieses Ergebnis zeigt den Einsatzvorteil einer Sperrflüssigkeit.. Grundlegendes zum Druck auf Flächen Auf Basis der fundamentalen Regeln aus Abschn..1 Druck wirkt immer senkrecht zur belasteten Fläche, ist richtungsunabhängig und resultiert aus der lotrechten Entfernung zwischen Flüssigkeitsspiegel und betrachtetem Punkt kann die Druckverteilung und in Folge die Druckkraft auf flüssigkeitsbelastete Flächen ermittelt werden. In Bild.5 ist eine beliebig geformte Stauwand mit der entsprechenden Druckverteilung zu sehen. Die Druckkraft F errechnet sich allgemein aus der resultierenden Druckfläche p multipliziert mit der belasteten Staufläche A: F p A (.8) Bild.5 Wasserdruckbelastete Stauwand Die rechnerische Bestimmung der Druckkraft aus der resultierenden Druckfläche ist in manchen Fällen aufwendig oder gar auf direktem Wege unmöglich (Bild.5). In diesen Fällen kann man sich durch eine Zerlegung der resultierenden Druckfläche in einfacher zu berechnende Teilflächen behelfen (Bild.6): Bild.6 Aufteilung des Wasserdrucks aus Bild.5 in Einzelkomponenten
Zu beachten ist der Fußpunkt der Stauwand in Bild.6, hier liegt sowohl in der horizontalen Druckfigur als auch in der vertikalen Auftriebskomponente der gleiche Druck vor. Dies zeigt die Richtungsunabhängigkeit des Drucks. Hydrostatik Gemäß Gl. (.1) nimmt der Flüssigkeitsdruck unter dem Einfluss der Schwerkraft linear mit der Tiefe z zu. In der Tiefe h beträgt der Druck schließlich p = gh. Daher werden die Horizontalkomponenten von hydrostatischen Druckfiguren zeichnerisch mit dem Winkel 45 dargestellt, um die direkte Abhängigkeit der Druckordinaten von der Wassertiefenzunahme zum Ausdruck zu bringen (Bild.6, links). Bezüglich der Vertikalkomponenten unterliegen die Bereiche, auf denen die Flüssigkeit von oben angreift, einer Auflast. Die Druckfigur ist in diesem Fall vom Wasserspiegel bis zur Berandung anzuzeichnen (Bild.6, rechts). Bei von unten angreifendem Wasser ergibt sich dagegen ein Auftrieb, der ebenfalls von der Berandung bis zum Wasserspiegel zu skizzieren ist (Bild.6, Mitte). Da in der Hydrostatik das Prinzip der Superposition gilt, dürfen die beiden Vertikalkomponenten überlagert und damit zur resultierenden Vertikalkomponente F V zusammengefügt werden (Bild.7). Mit der Horizontalkomponente F H erhält man schließlich durch Anwendung des Satzes des PYTHAGORAS Bild.7 Resultierende Vertikalkomponente der Druckverteilung F F F F F FH A L H V (.9) Zur Verdeutlichung: Die in Bild.6 gezeigte Zerlegung der realen Druckverteilung aus Bild.5 ist eine gedankliche Aufteilung und erleichtert in vielen Fällen die weiteren Berechnungen. Diese Aufteilung in Einzelkomponenten dient damit der Berechnung, stellt jedoch nicht die reale Druckverteilung dar. Diese ist in Bild.5 gegeben. Folgende Aufteilungsregeln können fallweise zur Berechnung der Druckkraft angewandt werden: Englische Fachbegriffe: Becken basin; tank Druckkraft compressive force Druckmittelpunkt centre of pressure Druckverteilung pressure distribution Füllhöhe filling level geschichtete Flüssigkeiten layered liquids Momentengleichgewicht equilibrium of moments Schwerpunkt centre of gravity Zerlegung der realen Druckverteilung in horizontale und vertikale Komponenten Aufteilung der Vertikalkomponente in die beiden Anteile Auftrieb und Auflast Bei beidseitigem Wasserangriff an einer Berandung werden die beiden Seiten getrennt voneinander bearbeitet. Entgegengesetzt gerichtete Druckanteile gleicher Größe heben sich auf (siehe z.b. die Vertikalkomponente in Bild.6 sowie Bild.7). Zusammenfügen der ermittelten Teildruckflächen bzw. Berechnung der resultierenden Druckkraft.. Druck auf ebene Flächen Auf ebene Flächen wirkt der Flüssigkeitsdruck an jedem Punkt in die gleiche Richtung. Daher lässt sich die Druckkraft F direkt aus der resultierenden Druckverteilung p multipliziert mit der belasteten Fläche A errechnen. Als Druckgröße ist dabei der Druck im Schwerpunkt p S anzusetzen, also
. Druck auf ebene Flächen p S g z S (.10) Bei ungleichmäßiger Druckverteilung geht die Wirkungslinie der Kraft F nicht durch den Schwerpunkt S der belasteten Fläche, sondern durch den Druckmittelpunkt D (Bild.8). Bei vertikaler Berandung erhält man die Druckkraft F durch Kombination der Gln. (.8) und (.10), wobei die belastete Fläche A =b h beträgt: Der Druckmittelpunkt D wird mittels Momentengleichgewicht als Abstand a eines bekannten Punktes errechnet, beispielsweise des Fußpunktes einer Stauwand. h h F g bh gb (.11) Gl. (.11) macht deutlich, dass die Größe der Druckkraft F nicht vom Wasservolumen in einem Behälter oder vor einem Staubauwerk abhängt, sondern nur von der Füllhöhe h und der Staubreite b. Im Falle einer vertikalen Berandung beträgt der Schwerpunktabstand vom Wasserspiegel also z S = h/. Der Druckmittelpunkt D liegt im unteren Drittelpunkt der Druckfigur, damit ist der Abstand a über dem Fußpunkt Bild.8 Einseitiger Druck auf vertikale Berandung h a (.1) Beispiel. Bei beidseitigem Wasserangriff an der Stauwand (Bild.9) ist die resultierende Druckkraft F aus der Differenz der Einzelkräfte F L und F R zu bilden: F F L F R hr h gb gb gb R (.1) Die Berechnung des Abstandes a der Wirkungslinie der Druckkraft F mittels Momentengleichgewicht um den Fußpunkt der Stauwand ergibt hr F a FL FR. Bild.9 Beidseitiger Druck auf vertikale Berandung Durch Einsetzen der Kräfte F, F L und F R (siehe Gl. (.1)), Kürzen und Zusammenfassen erhält man schließlich a 1 hr (.14) hr Aufgabe.: Berechnen Sie für eine beidseitig durch Wasser belastete Stauwand (Bild.9) der Breite b = 1,0 m die resultierende Druckkraft F und die Höhenlage a der Kraftwirkungslinie für h L = 9 m und h R = 6 m.