Aufgabe 1a Werten Sie die folgenden Ausdrücke mit Octave/Matlab aus: (i) 2 + 3(5 11) (ii) sin π 3 (iii) 2 2 + 3 2 (iv) cos 2e (v) ln π log 10 3,5 Aufgabe 1b Betrachten Sie (i) a = 0.59 + 10.06 + 4.06, b = 0.42 + 11.29 + 2.66, a b. Was fällt auf? Schauen Sie sich a und b in format long an.
Aufgabe 2 Werten Sie die folgenden Ausdrücke mit Octave/Matlab aus: (i) (1 + i)(2 i) (ii) 1 + 2i (iii) e πi/2 (iv) 3+1 i i 3 (v) arg(2 i)
Aufgabe 3 Erzeugen Sie folgende Variablen: (i) den Zeilenvektor x = (1, 5, 0, 3.5) 4 (ii) den Spaltenvektor y = 0 1 (iii) den Null-(Zeilen-)Vektor z im R 8 (iv) einen Zeilenvektor d aus lauter Dreien im R 6 Ersetzen Sie danach den dritten Eintrag von z durch eine 4. Wie lautet die Quadratwurzel des letzten Eintrags von x?
Aufgabe 4a Bestimmen Sie zu den Vektoren 1 1 0 x = 0, y =, z = 2 3 5 1 2 4 (i) jeweils deren Euklidische Länge, (ii) den Winkel α zwischen x und y in Grad, (iii) und das Volumen V des von x, y und z aufgespannten Spats im R 3. Tipps: Benutzen Sie x, y = x y cos α undv = x y, z. Aufgabe 4b Berechnen Sie das komponentenweise Produkt von x und y aus Teil 4a.
Aufgabe 5 Erstellen Sie jeweils einen 2D-Plot folgender Funktionen mit den entsprechenden x-werten und in der entsprechenden Farbe. Benutzen Sie jeweils ein neues Plotfenster, so dass am Ende alle drei Funktionen separat zu sehen sind. (i) x für x = 1, 2,..., 6 in schwarz (ii) sin(x) für x = 0, 0.01, 0.02,..., 2π in blau (iii) x 2 + 2x 2 für x [ 3, 3] in rot (unterteilen Sie dazu das Intervall [ 3, 3] in 100 äquidistante Punkte) Tipps: Für Teil (iii) hilft die Funktion linspace. Nutzen Sie ggfs. die Matlab/Octave Hilfe.
Aufgabe 6 Erstellen Sie folgende Plots: (i) 2 x für x = 2, 1.95,..., 2 in rot, gepunktet, Titel Zwei hoch x (ii) 1 2, 2 2,..., 5 2 in cyan, Strichpunkt, Marker Dreieck mit Spitze nach oben, x-achse n, y-achse n 2, Titel Quadrate (iii) sin(α) und cos(α) gleichzeitig für α = 0, 0.01,..., 2π in rot bzw. schwarz, Legende sin bzw. cos, Titel Sinus und Kosinus, x-achse α, y-achse sin(α), cos(α)
Aufgabe 7 Erstellen Sie folgende Plots: (i) Eine Zeichnung mit den beiden Funktionen f (x) = x und g(x) = x in schwarz für x = 0, 0.01,..., 2. Platzieren Sie rechts unten eine Legende mit f bzw. g und markieren Sie die beiden Schnittpunkte (0, 0) und (1, 1) jeweils mit einem roten Fünfeck. (ii) Einen Plot mit den Vektoren x = (1, 2) und y = (2, 1) zu dem Aufpunkt (0, 0). Zeichnen Sie mit Rot die Summe x + y der beiden Vektoren ein, sowie in Schwarz das Parallelogramm, welches durch x und y aufgespannt wird.
Aufgabe 8 (i) Zeichnen Sie auf einem Gitter x = 0, 0.01,..., 4 eine nach oben geöffnete Parabel p(x) mit Nullstellen bei x 0 = 1 und x 1 = 2.5. Wählen Sie dabei die Farbe Schwarz, beschriften Sie die x-achse mit x, die y-achse mit p(x), und wählen Sie den Titel Eine Parabel. (ii) Zeichnen Sie zusätzlich die Tangente an den Graphen von p im Punkt z = 2 in rot, und markieren Sie den Schnittpunkt (z, p(z)) mit einem blauen Quadrat. Tipp: Punkt-Steigungs-Form t(x) = p(z) + (x z)p (z)
Aufgabe 9 Erzeugen Sie (möglichst effizient) folgende Matrizen: A = 3 0 1 0 0 1 1 0 3 0, B = 0 0 1 1 0 0 3 0 0 0 0 Ersetzen Sie dann die zweite Zeile von A durch den Zeilenvektor v = ( 1, 4, π) und die ersten beiden Einträge der letzten Spalte von B durch die letzten beiden Einträge des Spaltenvektors v.
Aufgabe 10 Die Cramersche Regel zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit A R n n und b R n lautet a 1,1 a 1,k 1 b 1 a 1,k+1 a 1,n det........... a n,1 a n,k 1 b n a n,k+1 a n,n x k =, 1 k n. det A Berechnen Sie mit der Cramerschen Regel die zweite Komponente x 2 der Lösung x R 4 des linearen Gleichungssystems 1 2 3 4 2 0 5 6 7 0 0 8 9 x = 0 1. 0 0 0 10 3 Berechnen Sie auch den kompletten Lösungsvektor x mit der Backslash-Operation A\b.
Aufgabe 11 Gegeben seien die Punkte ( ) 0 A =, B = 1 ( ) 3, C = 1 ( ) 1, D = 3 ( ) 2. 0 (i) Bestimmen Sie den Schnittpunkt E der Geraden AB und CD. Tipp: Der Ansatz E = A + s(b A) = C + t(d C) liefert ein lineares Gleichungssystem für ( s t ). (ii) Bestimmen Sie den Punkt F auf der Geraden AB mit minimalem Abstand zu C. Wie groß ist dieser Abstand? Tipp: Ansatz F = A + t(b A) mit C F, B A = 0 (iii) Erstellen Sie eine Zeichnung mit den beiden Geraden in schwarz, dem Schnittpunkt E als rotem Kreis und dem Punkt F als blauem Quadrat. Wählen sie den Ausschnitt [ 2, 4] [ 2, 4] mit dem Befehl axis (siehe Matlab-Hilfe). Tipp: Laufbereich 1 s 3 ist ok
Aufgabe 12 Erzeugen Sie möglichst elegant folgende Matrizen für gegebenes n N: (i) die Gegendiagonalmatrix zu einem Vektor v = (v k ) 1 k n C n ( 0 v1 )... v n 0 (ii) die Standardmatrix im R n 2 1 0 1............ 1 0 1 2 (iii) die Frobenius-Begleitmatrix zu v = (v k ) 1 k n C n ( 0 1 0 )... 1 v 1 v n
Aufgabe 13 Erzeugen Sie möglichst elegant folgende Matrizen: (i) (ii) (iii) A = B = 1 1 2 1........... 2 2 1 R 6 6 ( 5 5 0 0 0 ) 0 5 0 0 0 0 0 2 2 2 R 5 5 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 C = 1 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 3 0 0 3 R 6 3
Aufgabe 14 Das kartesische Blatt ist eine Kurve aus Punkten (x, y) R 2 mit x 3 + y 3 3xy = 0, und besitzt z.b. in Polarkoordinaten die Parameterdarstellung { x(t) = r(t) cos t y(t) = r(t) sin t, r(t) := 3 cos t sin t (cos t) 3 + (sin t) 3, t ( π 4, 3π 4 ). Zeichnen Sie ein kartesisches Blatt in blauer Farbe, mit dem Parameterbereich 0.7 π 4 t 0.9 3π 4 in 1 100-Schritten, sowie die Asymptote y = x 1 als blau gepunktete Gerade mit 2 x, y 2. Beschriften Sie die Achsen mit x und y, und setzen Sie den Titel Kartesisches Blatt. Tipp: axis equal und axis([-2 2-2 2]) sehen gut aus nach R. Descartes
Aufgabe 15 Eine Lissajous-Figur ist eine 2-dimensionale Kurve der Form ( ) sin(ω1 t + φ t 1 ) sin(ω 2 t + φ 2 ) mit Frequenzen ω 1, ω 2 R und Phasen φ 1, φ 2 R. Sie ist genau dann periodisch (d.h. geschlossen), wenn ω1 ω 2 rational ist. Zeichnen Sie für folgende Parameterwerte und t = 0, 0.01,..., 2π jeweils in einem neuen Fenster eine Lissajous-Figur und die 3-dimensionale Kurve t sin(ω 1t + φ 1 ) sin t sin(ω 2 t + φ 2 ) (i) ω 1 = 1, ω 2 = 2, φ 1 = φ 2 = 0 (ii) ω 1 = 2, ω 2 = 3, φ 1 = φ 2 = 0 (iii) ω 1 = 2, ω 2 = 3, φ 1 = 0, φ 2 = 3π 4
Aufgabe 16 Erstellen Sie zu folgenden Funktionen, Laufbereichen und Optionen jeweils mit surf einen 3D-Plot auf einem kartesischen Gitter: (i) f (x, y) = cos ( 5(x 2 + y 2 ) ), 1 x, y 1 in 1 50 -Schritten, Achsenbeschriftung x, y und f(x,y), Titel rotierter Kosinus (ii) g(x, y) = max { 27xy(1 x y), 0 }, 0 x, y 1 in 1 100 -Schritten, Achsenbeschriftung x, y und g(x,y), Titel Bubble-Funktion Tipp: Benutzen Sie meshgrid.
Aufgabe 17 (i) Schreiben Sie eine Funktion x=summe(n), die die Zahlen von 1 bis n aufsummiert, und testen Sie Ihre Funktion mit n=100. (ii) Schreiben Sie eine Funktion x=fakultaet(n), die die Fakultät n! = 1 2 n mit Hilfe der Produktfunktion prod berechnet, und testen Sie Ihre Funktion mit n=10. (iii) Schreiben Sie eine Funktion [a,b]=tausche(a,b), die den Wert der Variablen a und b miteinander vertauscht, und testen Sie Ihre Funktion mit a=3 und b=eye(2).
Aufgabe 18 Der quadratische B-Spline f ist eine stückweise quadratische Funktion der Form 1 2 x 2, 0 x < 1 x 2 + 3x 3 f (x) := 2, 1 x < 2 1 2 (3, für alle x R. x)2, 2 x < 3 0, sonst Erstellen Sie eine hierzu passende Octave/Matlab-Funktion als.m-datei und plotten Sie den quadratischen B-Spline auf dem Intervall [ 1, 4]. Tipp: Mit dem Befehl arrayfun(@f,x) kann man eine Funktion f komponentenweise auf einen Vektor x anwenden.
Aufgabe 19 (i) Angenommen, Sie möchten einen festen Geldbetrag K 0 über n Jahre anlegen, mit einer jährlichen Verzinsung von p Prozent. Am Ende jedes Jahres erhöht sich dann Ihr Kapital gemäß ( K j+1 = K j 1 + p ), j = 0,..., n 1. 100 Schreiben Sie eine Matlab-Funktion geldanlage(k0,n,p) und berechnen Sie das Endkapital K n für K 0 = 2000, n = 5 und p = 3. (ii) Bei unterjähriger Verzinsung nach k Monaten gilt ( K j+1 = K j 1 + p k ) 12/k, j = 0,..., n 1. 100 12 Erweitern Sie Ihre Funktion geldanlage um einen Parameter k und rechnen Sie das Beispiel aus (i) mit k = 12 und k = 1. (iii) Was ändert sich, wenn Sie statt eines festen Startkapitals K 0 am Anfang jedes Jahres eine Einzahlung in Höhe von E durchführen? Schreiben Sie hierzu eine Matlab-Funktion sparen(e,n,p,k) und berechnen Sie K n für E = 500, n = 5, p = 3 und k = 12 sowie k = 1.
Aufgabe 20 Betrachten Sie zu a R die parameterabhängige Funktion f a (x) = ax(1 x), x [0, 1], und erstellen Sie für die Parameter a {1, 2, 3.5} jeweils einen Plot von f a in blau auf dem Intervall [0, 1] mit Schrittweite 0.01. Setzen Sie dabei: die x-achsenbeschriftung x die y-achsenbeschriftung f a (x) den Titel Plot von f a für a = 123, dabei ist statt 123 der konkrete Wert von a einzusetzen einen blauen Kreis in den Hochpunkt ( 1 2, a 4 ) den Text Hochpunkt an die Stelle ( 1 2, a 4 + 0.04) den Achsenbereich auf [0, 1] [0, 1], mit axis([0 1 0 1])
Aufgabe 21 Die Rosenbrock-Funktion lautet f (x, y) = (1 x) 2 + 100(y x 2 ) 2, x, y R und wird gerne als Testobjekt für Optimierungsalgorithmen verwendet. Das globale Minimum von f liegt bei (x, y ) = (1, 1), in einem flachen Tal. Visualisieren Sie die Rosenbrock-Funktion jeweils als 3D-Funktionsplot sowie mit Hilfe von 100 2D-Höhenlinien im Laufbereich 1 x, y 3 mit Schrittweite 0.05. Beschriften Sie jeweils die Achsen geeignet und setzen Sie die Titel Die Rosenbrock-Funktion bzw. Höhenlinien der Rosenbrock-Funktion. Markieren Sie in beiden Plots den Tiefpunkt (x, y, f (x, y )) bzw. (x, y ) von f als roten Stern (siehe doc scatter bzw. doc scatter3) und setzen Sie im 3D-Plot den Achsenausschnitt passend, z.b. mit axis([-1 3-1 3 0 1000])
Aufgabe 22 Die Funktion von Himmelblau f (x, y) = (x 2 + y 11) 2 + (x + y 2 7) 2, x, y R ist ebenfalls ein häufiges Testobjekt für Optimierungsalgorithmen. Erstellen Sie einen Höhenlinienplot von f im Bereich 5 x, y 5 mit Gitterweite 0.05 und 20 Höhenlinien. Legen Sie darüber einen Plot des Gradienten g = f auf einem x-y-gitter mit Gitterweite 0.2. Wählen Sie im quiver-befehl den Skalierungsfaktor 3, damit das Gradientenfeld g (=Richtung des steilsten Anstiegs von f ) gut erkennbar ist. Setzen Sie den Titel Höhenlinien und Gradient der Funktion von Himmelblau sowie geeignete Achsenbeschriftungen.
Aufgabe 23 Schreiben Sie eine als.m-datei ausgelagerte Funktion dreieck.m mit den Eingabeargumenten A, B, C und ohne Rückgabeargument, d.h. die erste Zeile lautet function dreieck(a,b,c) Nach dem Aufruf mit drei Vektoren A, B, C R 2 soll Ihre Funktion das Dreieck ABC in grüner Farbe zeichnen, mit Seiten in rot, die Ecken A, B und C mit roten Sternen kennzeichnen, den Schwerpunkt S = 1 3 (A + B + C) als blauen Kreis eintragen und die Seitenhalbierenden (A nach 1 2 (B + C), B nach 1 2 (A + C) und C nach 1 2 (A + B)) als blaue Strecken eintragen. Tipp: plot([x1 x2],[y1 y2]) verbindet die Punkte (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) linear... Testen Sie Ihre Funktion mit A = (0, 0), B = (1, 0) und C = (0, 1) sowie A = (0, 0), B = (1, 0) und C = ( 1 2, 1 2 3).
Aufgabe 24 Angenommen, Sie möchten die Einträge der Matrix M mit m Zeilen und n Spalten in einem L A TEX-Dokument als Tabelle weiterverarbeiten. Schreiben Sie hierzu eine als.m-datei ausgelagerte Funktion matrix2latex.m mit Eingabeargumenten M und dateiname. Die Funktion matrix2latex soll die Einträge der Matrix M zeilenweise in die Datei dateiname schreiben und das Zahlenformat %f benutzen. Dabei sollen die Spalten jeweils durch & abgetrennt sein und alle Zeilen bis auf die letzte mit einem doppelten Backslash \\ enden. Vor der ersten Zeile soll der Text \begin{tabular}{c c} ausgegeben werden, mit n cs (d.h. Spalten). Nach der letzten Zeile soll der Text \end{tabular} ausgegeben werden. Testen Sie Ihre Funktion mit der Matrix ( 1 2 3 4 5 6 ).
Aufgabe 25 Die Ecken eines regelmäßigen n-ecks im R 2 liegen auf den Punkten (cos 2πk 2πk n, sin n ), für k = 0,..., n 1. (i) Schreiben Sie eine als.m-datei ausgelagerte Funktion neck.m mit Eingabeargumenten n und dateiname, die ein regelmäßiges n-eck als rot gefülltes Polygon mit schwarzem Rand zeichnet, die Befehle axis([-1 1-1 1]) sowie axis square ausführt und das Ergebnis als PNG-Datei dateiname mit 600dpi Auflösung speichert. (ii) Erzeugen Sie mit einer Schleife alle regelmäßigen n-ecke für n = 3,..., 8 und verwenden Sie dabei die Dateinamen 3eck.png,..., 8eck.png. (iii) Erzeugen Sie mit der Dokumentklasse scrartcl ein L A TEX-Dokument necke.tex mit Titel Regelmäßige n-ecke und Ihrem Namen als Autor. Erstellen Sie einen Abschnitt Einige Bilder und binden darin die sechs erzeugten Grafiken als Abbildungen ein. Setzen Sie sinnvolle Bildunterschriften und erzeugen am Ende des Dokuments ein Abbildungsverzeichnis mit \listoffigures.
Aufgabe 26 Einige gemischte Teilaufgaben zum Thema Zufallszahlen: (i) Schreiben Sie eine Funktion x=zufallszahl(a,b) zur Berechnung gleichverteilter reellen Zufallszahlen im Intervall (a, b). (ii) Würfeln Sie mit Octave/Matlab 1000-mal mit zwei 6-seitigen Würfeln und notieren Sie jeweils die Summe der beiden gewürfelten Zahlen als Vektor v {2,..., 12} 1000. Zählen Sie, wie oft die Augensumme s {2,..., 12} in v vorkommt (Tipp: doc histc) und plotten Sie die ermittelten Anzahlen mit der Funktion bar. (iii) Angenommen, sie starten zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung (0, 0) und laufen in jedem Schritt mit Wahrscheinlichkeit 1 2 nach vorne oder nach hinten (random walk). Schreiben Sie eine Funktion x=random_walk(n), um n solcher Schritte zu simulieren und die Positionen x(t) zu Zeitpunkten t = 0,..., n zu berechnen. Visualisieren Sie drei solcher Pfade in einem t-x(t)-diagramm mit passenden Achsenbeschriftungen und Titel random walks. Testen Sie Ihre Funktion mit n = 100.