Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern. Zahlensysteme Dezimales Zahlensystem: Darstellung der Zahlen durch Ziffern 0,,,..., 9. Aneinanderreihung mehrerer Ziffern mit verschiedenen Stellenwertigkeiten. Die Stellenwerte sind gleich ; 0; 00;... bzw. 0,; 0,0; 0,00;... (ganzzahlige Potenzen der asis 0)... Prinzipieller Aufbau Das ildungsgesetz eines Polyadischen Zahlensystems lautet dabei wie folgt: Z n n L n n m m L 0 0 Oder in Kurzform: n Z i wobei: im i Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie Potenzschreibweise: Z 3 0 0 0 0 0 0 4 0 Z 0 9 8 7 6 0 5 4 0 3 0 0 0 Stellenschreibweise: Für Rechnersysteme hat sich das duale (oder binäre) Zahlensystem als das Geeignetste erwiesen. Es ist das einfachste in Rechnersystemen zu realisierende Zahlensystem (Strom an / Strom aus) mit der asis und den Ziffern 0 und. Die Ziffern einer Dualzahl werden auch als it (englisch: binary digit) bezeichnet. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 3 Eine Gegenüberstellung der gängigsten Zahlensysteme zeigt die folgende Tabelle: asis 4 8 0 6 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 00 0 4 4 4 0 5 5 5 0 6 6 6 3 7 7 7 000 0 0 8 8 00 9 9 00 0 A 0 3 3 00 30 4 C 0 3 5 3 D 0 3 6 4 E 33 7 5 F 0000 00 0 6 0 Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 4.. Umwandlung von Zahlen in verschiedenen Systemen Zahlensystem asis Stellenlänge Ziffern Dual {0,} Ternär 3 * {0,,} Oktal 8 3 {0,,,3,4,5,6,7} Dezimal 0 4* {0,,,3,4,5,6,7,8,9} Headezimal 6 4 {0,,,3,4,5,6,7,8,9,A,,C,D,E,F} ( ): Ohne Ausnutzung der gesamten Stellenlänge.... Umwandlung in eine Dezimalzahl Kurzform der Potenzschreibweise: n i Z 0 i im eispiele:. Gegeben sei die Dualzahl ( ): Z 000. Gegeben sei die Zahl zur asis 5 ( 5): Z 43,3 5 Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 5 3. Gegeben sei die Zahl zur asis 6 ( 6): Z AF3,3C 6... Umwandlung von Dual nach Oktal/Headezimal Umwandlung einer Dualzahl in eine Oktal- oder Headezimalzahl: Festkommazahl: separates etrachten der Vorkomma- sowie die Nachkommastellen. Umwandlung Dualzahl in Oktalzahl: Gruppen von je drei Dualstellen einzeln konvertieren, gegebenenfalls führende Nullen hinzuzufügen bzw. für die Nachkommastellen Nullen anhängen. Analog bilden von Gruppen mit vier Dualstellen bei einer Umwandlung einer Dualzahl in eine Headezimalzahl. eispiele: 0,0 N A 6 M 6 Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 6 Grundlagen der Technischen Informatik...3 Umwandlung nach dem Hornerschema Um eine Zahl Z zur asis A in eine äquivalente Darstellung zur asis zu konvertieren, muss die folgende eziehung gelten: l k i i i n m i i i A y Z Zur Umwandlung nach dem Hornerschema wird die oben erwähnte Gleichung in die folgende Form gebracht. Dies geschieht durch mehrfaches Ausklammern von. ( ) ( ) ( )...... Z m m 0 n n i i n m i Die Konvertierung einer rationalen Zahl ist in zwei Einzelkonvertierungen zerlegbar:.) Konvertierung der ganzen Zahl: ( ) ( ) ( ) 0 n n... Z.) Konvertierung der gebrochenen Zahl:... Z m m
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 7 Zu.): Aus der ganzen Zahl Z ergibt sich die Ziffer 0 als Rest der Division Z durch : Z G R ((( )... ) ) 0 n n Der gebrochen-rationale Anteil R (Rest der Division durch ) wird abgespalten und das neue Z entspricht dem ganzrationalen Anteil dieser ersten Division durch (G). Fortsetzen des Verfahrens bis Z 0. Die sukzessive gewonnenen Reste R i von rechts nach links geschrieben ergeben den Vorkommaanteil in der Stellenschreibweise (R n R n-...r R ). Zu.): Ähnliches Vorgehen für gebrochene Zahl Z : Hier wird nicht durch dividiert, sondern durch / - also mit multipliziert. Es entsteht somit kein Rest, sondern (gegebenenfalls) ein Überlauf (Ü j ) in die erste Vorkommastelle. Dieser wird abgespalten und das neue Z gebildet usw.. Die sukzessive anfallenden Überläufe von links nach rechts geschrieben ergeben den Nachkommaanteil in der Stellenschreibweise (Ü Ü...Ü m- Ü m ). Sollte bei einem Rechenschritt kein Überlauf entstehen, wird für dieses Ü j eine Null notiert. Anmerkung: Manchmal ist es nicht möglich eine endliche Zahl zu einer asis in eine endliche Zahl mit einer anderen asis zu konvergieren. In diesem Fall wird die Konvertierung von Z an geeigneter Stelle abgebrochen. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 8 Aufgabe: Die Dezimalzahl Z 37,56 0 soll in das Dualsystem konvergiert werden: Z Z Z 37 0 0,56 0 Z : Z : Es wurde schon gesagt, dass nicht jede Zahl in eine endliche Zahl mit einer anderen asis konvergiert werden kann. Der Konvertierungsfehler F k der sich hierbei ergibt, lässt sich berechnen zu: Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 9. Zahlendarstellung.. Ganzzahldarstellung... Vorzeichen- etrag-darstellung (V--Darstellung) MS: Vorzeichen (Vorzeichenbit) restlichen its: etrag der Zahl Vorzeichenbit 0 Zahl positiv negativ Darstellungsform Repräsentierung im Rechner Wertebereich vorzeichenlos MS LS [0..55] V--Darstellung MS Zahlenwert (it 7-0) LS [-8..7] MS LS V V etrag (it 6-0) most significant bit; das it mit dem höchsten Stellenwert least significant bit; das it mit dem niedrigsten Stellenwert Vorzeichen Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 0... Komplementdarstellung Neben der V--Darstellung können vorzeichenbehaftete Zahlen auch durch die Komplementdarstellung repräsentiert werden. Dabei werden zwei Komplemente unterschieden: -Komplement (echtes Komplement): n n K (Z) ( ) Z Z K (Z) Z n (-)-Komplement (unechtes Komplement): K (Z) ( n ) Z K (Z) Z n Hierbei bedeutet: Z: K (Z): K (Z) : : n: eispiel: Z 00 3 0 mit und n 4 Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie Unechtes Komplement Das unechte Komplement K (Z) einer Zahl Z wird gebildet, indem stellenweise jede Ziffer durch die Differenz zur größten Ziffer des gegebenen Zahlenalphabets (-) ersetzt wird. Das bedeutet, dass jede Ziffer des Komplements Z K (Z ) die entsprechende Ziffer der Zahl Z zur größten Ziffer ( ) ergänzt. Im Dualsystem ist die ildung des (-)-Komplement (des so genannten Einer- Komplements oder -Komplements) denkbar einfach, denn das Komplement zu 0 ist und das zu ist 0. Somit wird das -Komplement (zur asis ) durch schlichtes vertauschen der Nullen und Einsen, sprich durch eine stellenweise Inversion, gebildet. Die folgende Abbildung verdeutlicht das -Komplement für eine Datenwortlänge von 4 it. -3-4 - -5-0 00 0 00-6 -0 0 00 000-7 0 0000 000 0 7 00 000 00 000 00 6 3 4 5 0 00 4 0-4 - Nachteil des unechten Komplements ist, dass für die Null zwei Darstellungen eistieren (im eispiel 0000 und ). Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie Echtes Komplement Das echte Komplement K (Z) wird in zwei Schritten gebildet. Zuerst wird das unechte Komplement K (Z ) gebildet (s.o.) und dann wird eine zur niedrigstwertige Ziffer (LS) hinzuaddiert. Im echten Komplement ist jede Darstellung einer Zahl eindeutig. Die folgende Abbildung zeigt das - Komplement oder auch Zweierkomplement zur asis für eine Datenwortlänge von 4 it. -4-5 -3-6 - 0 00 0 00-7 - 0 00 000-8 0 0000 000 0 7 00 000 00 000 00 6 3 4 5 0 00 4 00-4 - Man beachte, dass das echte Komplement eines echten Komplementes wieder die Zahl in Normaldarstellung ergibt. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 3 Der Vorteil der Komplementdarstellung gegenüber der Repräsentation des Vorzeichens als separates it (V-- Darstellung) zeigt sich bei der Addition bzw. Subtraktion. - eispiel: 0 Anmerkung: ei der Komplementdarstellung zeigt das höchstwertige it (MS) zwar ebenfalls das Vorzeichen der repräsentierten Zahl, allerdings entsprechen die anderen its nicht dem etrag der Zahl. Deshalb sollte das höchstwertige it (MS) bei der Komplementdarstellung nicht als Vorzeichenbit bezeichnet werden, da die erechnung des etrags mit Hilfe der Vorschrift zur Komplementbildung nur bei Verwendung aller its stets zum richtigen Ergebnis führt. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 4 Zur Interpretation eines Datenwortes muss folglich neben der asis auch die Darstellungsform (V--Darstellung, - bzw. - Komplement) und die Datenwortlänge bekannt sein. Die folgende Tabelle stellt die verschiedenen Interpretationen der immer gleichen itfolge (Datenwortlänge 3 it) gegenüber: itfolge vorzeichen los V-- Darst. -Kompl. -Kompl. 000 00I 0I0 0II I00 I0I II0 III Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 5.. Festkommadarstellung Analoges Darstellungsprinzip (mit allen vier gezeigten Darstellungsformen). Unterschied: Der Stellenwert des niedrigstwertige it (LS) ist nicht 0. Das heißt also, dass an einer festen Position innerhalb des Datenworts konstanter Wortlänge k n m ein Komma steht, welches das Datenwort in eine ganz-rationale Vorkomma- und eine gebrochen-rationale Nachkommaanteil unterteilt. Dabei ist die Anzahl an Vorkommastellen (m) und die der Nachkommastellen (m) immer gleich, also fest. Durch die feste Position des Kommas ist es nicht erforderlich, das Komma selbst zu speichern. Zur Repräsentation einer Festkommazahl der Wortlänge 8 in -Komplement-Darstellung mit n 5 Vorkomma- und m 3 Nachkommastellen ist ein Datenwort der folgenden Struktur notwendig: MS LS MS most significant bit least significant bit Vorkommastellen (it 7-3) LS Nachkommastellen (it -0) Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 6.3 Rechnen mit Dualzahlen.3. Addition/Subtraktion Die Addition von Dualzahlen läuft prinzipiell analog zur Addition von Dezimalzahlen. Definition -: Überlauf Tritt bei einer Addition zweier Dualzahlen der Wortlänge k ein Übertrag in die Stelle k auf, so wird dieser als Überlauf bezeichnet. Diese eventuell entstehende (k)- Stelle geht bei der Ergebnisdarstellung mit der Wortlänge k verloren. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 7 eispiel: Addition zweier vorzeichenloser Dualzahlen 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Die folgende Tabelle verdeutlicht die Addition einzelner Dualziffern. Addition von Dualziffern zweiter Übertrag Summand von rechts Summe 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 erster Summand Übertrag nach links Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 8 Die Subtraktion der eträge zweier Dualzahlen ähnelt wiederum der im Dezimalsystem mit all seinen Problemen. Hierbei muss der Subtrahend stellenweise vom Minuend subtrahiert werden. Tritt dabei der ungünstige Fall auf, dass die zu subtrahierende Ziffern des Subtrahenden größer ist als die des Minuenden, muss von der nächst höheren Stelle des Minuenden eine "geborgt" werden. eispiel: Subtraktion zweier vorzeichenloser Dualzahlen 0 0 0 0-0 0 0 0 0 0 0 0 0 Die folgende Tabelle verdeutlicht die Subtraktion einzelner Dualziffern. Subtraktion von Dualziffern Minuend Subtrahend Übertrag orger von Differenz von rechts links 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 9 ei der Addition / Subtraktion zweier Zahlen mit den Vorzeichen V und V sind weitere Überlegungen nötig: a) V--Darstellung: V V : Subtrahieren des etrages der negativen Zahl von der positiven Zahl. V V : Tritt bei der Addition der eträge ein Übertrag in die k-te Stelle (Vorzeichenbit) auf? Ja > Nein > Für Rechneranlagen ist die Überprüfung, ob der Subtrahend größer ist, und das orgen einer Ziffer sehr umständlich. Insgesamt ist die Addition / Subtraktion von Dualzahlen in der V--Darstellung sehr aufwendig; deshalb soll sie auch an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden. b) Komplementdarstellung: Die Addition / Subtraktion in Komplementdarstellung ist wesentlich einfacher: Vor der bitweisen Addition muss keine Vorzeichenprüfung vorgenommen werden und die Subtraktion Z -Z lässt sich auf die Addition Z Z zurückführen. V V : Das Ergebnis ist darstellbar. Falls bei der Addition ein Übertrag auftritt: Einerkomplement > Zweierkomplement > V V : Das Ergebnis ist nur dann darstellbar, wenn V Ergebnis V bzw. V ist. Tritt für den Fall V Ergebnis V bzw. V ein Übertrag auf: Gleiche Vorgehensweise anwenden, wie bei V V beschrieben. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 0 Die folgenden eispiele (Wortlänge 5 it) verdeutlicht dies für das -Komplement und das -Komplement: Dualzahl -Komplement -Komplement. 000, 0,75 00,0,5. 0000 0 5 Vorzeichenkontrolle ergibt: 3. 0, 3,75 3,75, -0,5-0,00 3,50 3,75 0,0 4. 5. 00-0 - 9 00-6 -6-5 -4 0000 000 Korrektur wegen Überlauf 00-0 - 9 00-7 - 6-7 -5 0 Korrektur wegen Überlauf 0000 Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie.3. Multiplikation eispiel: 49 63 49 894 447 487 Die Multiplikation mehrstelliger Dualzahlen wird wie im Dezimalsystem durch die ildung von Teilprodukten des Multiplikanden mit den einzelnen Multiplikatorstellen und anschließender Stellenverschiebung durchgeführt. Die Teilprodukte werden dabei entweder gleich 0 oder gleich dem Multiplikanden selbst (wenn die Multiplikatorstelle ist) sein. Zum Schluss werden die Teilprodukte addiert. Damit lässt sich die Multiplikation ebenfalls auf die Addition zurückführen. Die Multiplikation kann nur in der vorzeichenlosen (s. obiges spl.) oder in der V--Darstellung erfolgen: Schritt : Multiplikation der eträge; Schritt : Ermittelung des Vorzeichens durch modulo Addition; ei der Multiplikation von Festkommazahlen ist zudem noch die Position des Kommas zu beachten. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie Aufgabe: 000000,00 000000,0 in V--Darstellung mit n 9 Vorkomma- u. m 3 Nachkommastellen : 000000, 00 000000,0 00000, 000 0 000000, 00 000000, 00 0 0 00000000, 000000000, _ 0000000, 0000 V: 0 Ergebnis: 0 0000000, 00 Anmerkung: Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 3.3.3 Division Die Division kann für vorzeichenbehaftete Zahlen ebenfalls nur in der V--Darstellung durchgeführt werden: Schritt : Division der eträge; Schritt : Vorzeichenbetrachtung; Die schriftliche Division der eträge verläuft dabei in zwei Schritten:. Verschiebung des Kommas bei Dividenden und Divisors, um so viele Stellen nach rechts bis der gebrochen-rationale Anteil des Divisor Null ist. Dies entspricht einer Erweiterung des ruches Dividend/Divisor um potenziert mit Anzahl der signifikanten Nachkommastellen vom Divisor.. Durchführung der eigentlichen Division. Sie läuft nach dem Prinzip der schriftliche Division ab, wie sie in der Schule für das Dezimalsystem eingeführt wurde. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 4 Durch den folgenden Vergleich der schriftlichen Division in beiden Zahlensystem soll die Vorgehensweise verdeutlich werden: Aufgabe: 368,98 :, <> 3689,8 : 307,483-36 08-0 89-84 58-48 00-96 40-36 40 Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 5 Aufgabe: erechne 0,0 : 0 000,0 für die V--Darstellung mit n 5 und m! : 0,0 : 000,0 <> 00,:0 0,0-0 00-0 000-0 00-0 000-0 Schritt : Kommaverschiebung, sowie führende und angehängte Nullen des Divisor streichen Schritt : Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 6 Die Vorzeichenbetrachtung erfolgt wie bei der Multiplikation mit einer modulo Addition. V: 0 > Das Ergebnis-Datenwort lautet wie folgt: Ergebnis: 00,0 Ergebnis der etragsrechnung Ergänzung zur gegebenen Stellenanzahl Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 7.4 Gleitkommazahlen.4. Darstellungsform Für die Darstellung von Gleitkommazahlen sind prinzipiell zwei verschiedene Formen üblich, wobei die rechnerinterne Realisierung im Detail variieren kann..4.. Normalisierte halblogarithmische Form Jede Zahl Z kann in folgende Form gebracht werden: Z ± E ± M wobei: Festkommazahl: 0,000968 Gleitkommazahl: 9680-7 oder 9,680-5. Für Dualzahlen gilt entsprechendes: 0,000000 0,0-5 0, -7 0-9 Anmerkung: Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 8 Die folgende Abbildung zeigt die resultierende rechnerinterne Darstellung: V E (etrag) Eponent E (Stellenanzahl e) V E Vorzeichen des Eponenten V M Vorzeichen der Mantisse V M (etrag) Mantisse M (Stellenanzahl m) Die Festlegung des Vorzeichenbits entspricht der Konvention, wie sie bereits für die V--Darstellung eingeführt wurde. Eponent E & Mantisse M liegen jeweils in V--Darst. vor; Der Eponent ist stets eine ganze Zahl; Die Mantisse kann auch einem gebrochen-rationalen Anteil entsprechen; Aufgrund einer Normierung entfällt die Speicherung der Position des Kommas von der Mantisse: Dabei wird (meist) der Eponent so gewählt, dass für die Mantisse für eine Zahl Z 0 die folgende edingung gilt: M < ; D.h. für das Dualsystem: Die erste Stelle hinter dem Komma muss ungleich 0 sein (> Einsparung der ersten Nachkommastelle, dem "hidden bit"); Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 9 eispiel: Z - 0,000 0 ( -0,000 00-0,000 000 ) wird dargestellt: ohne hidden bit 0 0 0 0 0 0 0 mit hidden bit 0 0 0 0 0 0 0 0 V E (etrag) Eponent E (e 4) V M (etrag) Mantisse M (m 6) Im Allgemeinem ergibt sich für die duale Gleitkommazahl Z bei und ohne Verwendung eines hidden bits mit den oben eingeführten Parametern der folgende absolute Wertebereich: e Z m ( ) e Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 30 Grundlagen der Technischen Informatik Anschaulich: Die betragsmäßig kleinste darstellbare Gleitkommazahl min Z mit e 4 und m 6 lautet: ohne hidden bit 0 0 0 0 0 V E Eponent E V M Mantisse M ± ± E min 4 0, M Z Allgemein: e e e min Z Die betragsmäßig größte darstellbare Gleitkommazahl ma Z mit e 4 und m 6 lautet: ohne hidden bit 0 V E Eponent E V M Mantisse M ± ± E ma 4 0, M Z Allgemein: ( ) m ma e Z
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 3 Grundlagen der Technischen Informatik Die größtmögliche Genauigkeit (betraglich kleinste Differenz zweier "benachbarten", darstellbaren Zahlen) ergibt sich dabei zu: e ) (m Anschaulich: Die größtmögliche Genauigkeit ma G ist die Differenz zwischen der zweitkleinsten Zahl min. Z und der kleinsten Zahl min Z. Für e 4 und m 6 lauten min. Z ohne hidden bit 0 0 0 0 V E Eponent E V M Mantisse M und min Z ohne hidden bit 0 0 0 0 0 V E Eponent E V M Mantisse M Allgemein: min e Z ( ) m.min e Z ( ) ( ) ( ) e e e e e m m m m min.min ma Z Z G
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 3.4.. IEEE-Standard Die zweite (heute übliche und im weiteren Verlauf ausschließlich betrachtete) Form der Gleitkommadarstellung entspricht dem 985 verabschiedeten Institute of Electrical and Electronics Engineers-Standard. Dort wird für die Gleitkommazahl folgende Form festgelegt: V Charakteristik C (Stellenanzahl c) V Vorzeichen der Mantisse (etrag) Mantisse M (Stellenanzahl m) Die Charakteristik C wird aus dem Eponent E durch Addition einer geeigneten Konstante K E gebildet: C E K E (> nur noch positive Werte für die Charakteristik). Diese Art der Zahlendarstellung wird Ezessform genannt. Als geeignete Wahl von K E ergibt sich für einen Eponenten E mit e Stellen: K E e Die Konvertierung einer Dezimalzahl in eine Gleitkommazahl im Dualsystem erfolgt in drei Schritten:.) Umwandlung der Dezimalzahl in eine Festkommazahl.) Normierung der Mantisse 3.) erechnung der Charakteristik Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 33 Die Konvertierung von beliebigen Dezimalzahlen liefert einen Konvertierungsfehler F K. Er gibt den maimalen Fehler (worst case) an, der bei der Konvertierung einer beliebigen Dezimalzahl in eine mit m Mantissenstellen dargestellten Gleitkommazahl auftreten kann. Er wird wie folgt berechnet: F K Anschaulich:.................. - -...... -m............ 0 V E Eponent E V M Mantisse M m m Umgekehrt kann so bei vorgegebener Genauigkeit die erforderliche Mantissenstellenzahl bestimmt werden: eispiel: Gegeben ist ein Genauigkeit von F K 0% 0, m [-ld 0, - ] [3, - ], > mindestens m 3 Mantissenstellen werden benötigt. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 34.4..3 Addition und Subtraktion Gegeben seien die zwei normierten Gleitkommazahlen Z und Z in Ezessform (m 7, c 3): C Z V,M 0,0000 0 C Z V,M,0000 0 Zur Addition bzw. Subtraktion sind folgende vier Schritte durchzuführen:.) Abgleich der Charakteristiken. Die Charakteristiken C und C differieren um C - C 0-0 -0 3 0, somit muss das Komma der Mantisse M um 3 Stellen nach links verschoben werden. Z lautet dann 0,0000 0..) Umformung der beiden Mantissen und deren Vorzeichen in die -Komplement-Darstellung. ei der Subtraktion muss zusätzlich nach Umformung des Subtrahend in - Komplement-Darstellung hiervon noch das -Komplement gebildet werden, um die Subtraktion wie üblich in eine Addition der negativen Zahl zu überführen. V,M 0,0000 identische Darstellung in V--Darst., da positive Zahl V,M,0000,000 in -Komplement-Darst. 3.) Durchführen der Addition in -Komplement-Darstellung. 4.) Umwandlung des Ergebnis in V--Darstellung und ggf. Normierung. Anmerkung: ei der erechnung ist nicht nur zu überlegen, ob das Ergebnis, d.h. in diesem Fall die Charakteristik bei gegebener Stellenzahl noch dargestellt werden kann, sondern auch, ob durch die vor der Addition notwendig Verschiebung der Mantisse nicht alle signifikanten Stellen aus dieser geschoben werden und somit das Ergebnis stark verfälschen. Grundlagen der Technischen Informatik
Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie 35.4..4 Multiplikation und Division Die Multiplikation oder Division zweier Gleitkommazahlen kann ohne vorheriges Angleichen der Charakteristiken erfolgen. Sie unterteilt sich folgende drei Schritte:.) Multiplikation / Division der Mantissen der Operanden..) Addition / Subtraktion der Charakteristiken der Operanden. Multiplikation: E E : E 3 > C 3 K E E 3 C C (K E E ) (K E E ) - K E C C - K E K E (E E ) C C - K E K E E 3 C C - K E C 3 Division: E - E : E 3 > C 3 K E E 3 C - C (K E E ) - (K E E ) C - C E - E K E C - C K E (E - E ) K E C - C K E K E E 3 C - C K E C 3 3.) Normalisierung des Ergebnisses durch Verschieben des Kommas. ei allen Rechenarten können im dritten Schritt Verarbeitungsfehler durch die egrenzung des Ergebnisformats entstehen. Grundlagen der Technischen Informatik