. Netzwerke II 4. Maschenstromanalyse 5. Knotenpotentialanalyse 4. Netzwerkberechnungsverfahren Das Maschenstromanalyse Paul, Elektrotechnik 2, Seite 68 ff. Unbehauen, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 178 ff Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 2 ff Der Vorteil des Maschenanalyseverfahrens liegt darin, dass an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur m Gleichungen (für die Anzahl der Maschen) aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. 1
Lösungsalgorithmus für das Maschenstromanalyse 1. Alle Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen umwandeln 2. Jeder Masche wird ein unabhängiger Maschenstrom zugeordnet. Die Richtung des Maschenstromes ist beliebig wählbar, die angenommene Zählrichtung gilt als positiv. Die Maschenwahl ist zweckmäßig so zu treffen, dass durch den besonders interessierenden Zweig nur ein Maschenstrom fließt.. Aufstellung der Beziehungen zwischen den Maschen- und Zweigströmen. 4. Aufstellung der Maschengleichungen. 5. Verknüpfung der Zweigspannungen und der Maschenströme. 6. Lösung des Gleichungssystems für die Maschenströme. 7. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen nach Punkt. Berechnung der Zweigspannungen nach Punkt 5. Vorteile des Maschenanalyseverfahrens gegenüber der Netzwerkanalyse nur mit Kirchhoffschen Regeln An Stelle von z Gleichungen für die z Zweige eines Netzwerkes werden nur m Gleichungen für die Anzahl der m Maschen aufgestellt und gelöst. So werden k-1 Gleichungen eingespart! Wichtig: Die Anzahl der Maschen muß richtig gewählt werden m = z -(k-1) 2
Wahl der Maschen Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 1 ff Für die richtige Wahl der Maschen muss im Allgemeinen die Topologie des Netzwerkes analysiert werden. Hier ein Rezept für die Wahl der Maschen: 1. Wähle die erste Masche beliebig. 2. Beginne jedesmal an einem bereits verwendeten Knoten die nächste Masche.. Führe jede neue Masche über mindestens einen noch nicht benutzten Zweig. 4. Stößt man auf einen schon benutzten Knoten, schließe die Masche über die schon benutzen Zweige ohne Überkreuzung. 5. Baue neue Maschen an, bis jeder Zweig mindestens einmal durchlaufen ist. Prüfe die Zahl der Maschen: m = z -(k-1). U Q M1 R R 5 Falsche Maschenwahl! FALSCH R 4 M2 R 6 Wenn man auf einen schon benutzten Knoten stößt, muss man den schon benutzten Zweigen folgen! und m = z -(k-1) = 6 - (4-1)
Bei der Wahl von zu wenigen Maschen m < z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das zwar lösbar ist, dessen Ergebnisse aber physikalisch falsch sind! Bei der Wahl von zu vielen Maschen m > z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das u.u. nicht mehr linear ist und unbestimmt sein kann! 1. Beispiel: Maschenstromanalyse U Q U I U 5 I 5 U 1 R R 5 U 2 1 2 I 2 U 6 I 4 I 4 U 4 0 Bezugsknoten I 6 Gesucht sind die Spannungen U 1 bis U 6 und die Ströme I 1 bis I 6. 1. Schritt: Stromquellen durch Spannungsquellen ersetzen. Achtung: Richtung umgekehrt 2. Schritt: Knoten nummerieren. Schritt: Zweige nummerieren Zweigspannungen und Zweigströme eintragen Unter Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze sind k-1 Knotengleichungen und m Maschengleichungen aufzustellen: k = 4 z = 6 m = z - (k-1) = R 6 4
1. Beispiel: Spannungen werden Ströme U Q U R I U R 5 5 I 5 U 2 I 6 4. Schritt: Verknüpfung der Zweigspannungen und Zweigströme über das Ohmsche Gesetz: U z1 = I 1-1 2 I 2 U 6 R 6 U z = I R + U Q U 1 = I 1 U 2 = I 2 U 1 I 4 I 4 U 4 U = I R U 4 = I 4 R 4 0 Bezugsknoten U 5 = I 5 R 5 U 6 = I 6 R 6 1. Beispiel: Unabhängige Ströme U Q M2 M1 I I 5 R R 5 1 2 I 2 I 4 I 4 0 M Bezugsknoten I 6 R 6 Betrachtung des Knotens 1: ΣI = 0 = I 1 - I 2 - I Sind z.b. I 1 und I bekannt (durch Messung), dann ist I 2 durch die Knotengleichung eindeutig bestimmt. Man kann I 1 und I als unabhängig und I 2 als von I 1 und I abhängig bezeichnen. Es erscheint daher sinnvoll, I 2 in den Gleichungen nicht mehr mitzuführen, sondern von vornherein durch I 1 und I darzustellen. 5
U Q M2 R R 5 1 2 M1 I I 5 I 2 1. Beispiel: Maschenströme M I 4 I 4 I 6 R 6 Betrachtung des Knotens 0: ΣI = 0 = - I 1 - I 4 - I 6 Wird neben I 1 und I auch I 6 als weiterer unabhängiger Strom gewählt, dann ist I 4 eindeutig bestimmt. Die als unabhängig bezeichneten Ströme I 1, I und I 6 fließen in den geschlossenen Stromschleifen der Maschen. Strom über Knoten I 1 0 1 2 0 I M1 0 Bezugsknoten I 1 2 1 I M2 I 6 0 2 0 I M 1. Beispiel: Maschenumlaufsinn U Q 5. Schritt: Einführung von Maschenströmen I M2 R R 5 U 2 U I U 5 I 5 1 2 I 2 I M U 6 I 6 R 6 Zusammenhang zwischen den Zweigströmen und den Maschenströmen: I 1 = I M1 I 2 = I M1 - I M2 I = I M2 U 1 I 4 I 4 I M1 U 4 0 Bezugsknoten I 4 = -I M1 I 5 = I 6 = - I M -I M2 - I M I M 6
1. Beispiel: Maschengleichungen Aufstellung der Maschengleichungen: Zweigspannungen U 1 U 2 U U 4 U 5 U 6 Quellen U Q Masche 1: Masche 2: U 1 + U 2 -U 4 = -U 2 +U -U 5 = -U Q Masche : -U 4 -U 5 +U 6 = 0 Spannungen durch Maschenströme ausdrücken: U 1 = I 1 = I M1 U 2 = I 2 = I M1 - I M2 U 4 = I 4 R 4 = -I M1 R 4 - I M R 4 1. Beispiel: Bestimmungsgleichung Bestimmungsgleichung für die Maschenströme: Zweigspannungen U 1 U 2 U U 4 U 5 U 6 Quellen U Q Masche 1: I M1 ( + + R 4 ) - I M2 + I M R 4 = Masche 2: Masche : -I M1 + I M2 ( + R + R 5 ) +I M R 5 = -U Q I M1 R 4 + I M2 R 5 + I M (R 4 + R 5 + R 6 ) = 0 7
1. Beispiel: Matrixschreibweise ( + + R 4 ) - +R 4 I M1 - +( + R + R 5 ) +R 5 I M2 = -U Q R 4 +R 5 +(R 4 + R 5 + R 6 ) I M 0 Koeffizientenmatrix der Zweigwiderstände Spaltenmatrix der unbekannten Maschenströme Spaltenmatrix der bekannten Quellen Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: 1. Die Widerstandsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv. 2. Jede Zeile der Widerstandsmatrix beschreibt eine Masche und ihre Kopplung zu den anderen Maschen.. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Widerstände in der Masche gebildet. 4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Widerstände, über die die Maschen miteinander gekoppelt sind. Fließen die Maschenströme in gleicher Richtung durch den/die Kopplungswiderstände, dann ist das Vorzeichen des Matrixelementes positiv. 5. Die Quellenspannungen in der Spaltenmatrix der rechten Seite des Gleichungssystems sind mit einem negativen Vorzeichen einzusetzen, wenn der Zählpfeil der Spannungsquelle in Richtung des Maschenstromes zeigt. 8
5. Netzwerkberechnungsverfahren Das Knotenpotentialanalyse Paul, Elektrotechnik 2, Seite 81 ff. Unbehauen, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 197 ff Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik 1, S. 6 ff Der Vorteil des Knotenpotentialverfahrens liegt darin, daß an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur k-1 Knotengleichungen aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. Lösungsalgorithmus für f r das Knotenpotentialverfahren 1. Umwandeln aller Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen 2. Wählen eines Bezugsknotens, dem das Bezugspotential zugeordnet wird.. Festlegung der Knotenspannungen. 4. Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. 5. Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. 6. Aufstellung der k-1 Knotengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für die Knotenspannungen. 7. Berechnung der Zweigspannungen nach Punkt. Berechnung der Zweigströme nach Punkt 4. 9
2. Beispiel: Knotenpotentialverfahren R 4 R 5 In einer Schaltung läßt sich jedem Knotenpunkt ein Potential - das Knotenpotential - zuordnen. R R 6 I Q6 0 = Bezugsknoten: Bezugspotential ϕ 0 = 0 Volt Dafür wird ein Knoten als Bezugsknoten ausgewählt, dem ein willkürlich festgelegtes Bezugspotential zugeordnet wird. Meistens wird das Bezugspotential ϕ 0 zu ϕ 0 = 0 Volt gewählt. 2. Beispiel: Knotenspannung Die Spannung zwischen einem beliebigen Knoten des Netzwerkes und dem Bezugsknoten ist die Differenz der Potentiale beider Knoten. Diese Potentialdifferenz wird als Knotenspannung bezeichnet. R 4 1 ϕ 1 2 ϕ 2 ϕ R 5 U 10 = ϕ 1 - ϕ 0 U 20 = ϕ 2 - ϕ 0 U 0 = ϕ - ϕ 0 U 20 R R 6 U 10 U 0 I Q6 0 = Bezugsknoten : Bezugspotential ϕ 0 = 0 Volt 10
1 ϕ 1 2. Beispiel: Vorgehensweise R 4 2 ϕ 2 R 5 ϕ Gesucht sind: die Ströme I 1 bis I 6 und die Spannungen U 1 bis U 6 IQ1 R R 6 IQ6 0 ϕ 0 1. Schritt: Ersetzung aller Spannungsquellen durch äquivalente Stromquellen. Achtung: Richtung kehrt sich um! 2. Schritt: Nummerierung der Knoten von 0 bis k-1. Der Bezugsknoten, dem das Bezugspotential '0 Volt' zugeordnet wird, sollte die Knotennummer 0 erhalten. 2. Beispiel: Nummerierung der Zweige R 4 I 4 I2 I5 1 2 U 4 R 5 I 1 U 2 U 5 I 6 IQ1 R R 6 I Q6 I U U 6 U 1 0 ϕ 0. Schritt: Nummerierung der Zweige von 1 bis z. Für jede Zweigspannung und jeden Zweigstrom wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen (Index = Zweignummer). 11
2. Beispiel: Knotenspannungen R 4 U 10 = ϕ 1 - ϕ 0 1 2 U 20 = ϕ 2 - ϕ 0 U 0 = ϕ - ϕ 0 R 5 U 20 IQ1 R R 6 U 0 I Q6 U 10 0 ϕ 0 4. Schritt: Eintragen der Knotenspannungen. Von jedem Knoten wird ein Spannungspfeil zum Bezugsknoten eingetragen. Die Knotenspannungen erhalten im Gegensatz zu den Zweigspannungen einen Doppelindex (1. Index = Ausgangsknoten, 2.Index = Bezugsknoten). 2. Beispiel: Ströme werden Spannungen 5. Schritt: Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. U 1 = U 10 U = U 20 U 5 = U - U 20 0 U 2 = U 10 - U 20 U 4 = U 10 - U 0 U 6 = U 0 6. Schritt: Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. I 1 = U 1 / = G 1 U 1 = G 1 U 10 I 2 = U 2 / = G 2 U 2 = G 2 (U 10 - U 20 ) I = U /R = G U = G U 20 I 4 = U 4 /R 4 = G 4 U 4 = G 4 (U 10 - U 0 ) I 5 = U 5 /R 5 = G 5 U 5 = G 5 (U 20 - U 0 ) I 6 = G 6 U 6 = G 6 U 0 12
2. Beispiel: Knotengleichungen 7. Schritt: Aufstellung der k-1 Knotengleichungen 4 Knoten: Gleichungen Knoten 1 -I 1 -I 2 -I 4 = -I Q1 Knoten 2 I 2 -I -I 5 = 0 Knoten I 4 +I 5 -I 6 = I Q6 In diesen Gleichungen werden die Ströme nun über das Ohmsche Gesetz durch die Produkte aus Leitwert und Spannung des jeweiligen Zweiges ersetzt und dann die Spannungen durch die Knotenspannungen ausgedrückt. Anschließend werden die Terme zur gleichen Knotenspannung zusammengefasst. Wenn in dem Gleichungssystem Gleichungen mit -1 multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Die 1. und. Zeile werden mit -1 multipliziert: Determinante ungeändert! 2. Beispiel: Matrixschreibweise 8. Schritt: Aufstellung und Lösung des linearen Gleichungssystems. (G 1 + G 2 + G 4 ) -G 2 -G 4 U 10 I Q1 -G 2 +(G 2 + G + G 5 ) -G 5 U 20 = 0 Spaltenvektor der bekannten Quellen -G 4 -G 5 +(G 4 + G 5 + G 6 ) U 0 -I Q6 Koeffizientenmatrix der Zweigleitwerte Spaltenvektor der unbekannten Knotenspannungen Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: 1
1. Die Leitwertmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv, alle anderen Elemente sind negativ. 2. Jede Zeile der Leitwertmatrix beschreibt die Schaltungsstruktur in der Umgebung eines Knotens.. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Leitwerte gebildet, die mit einem Pol am zugehörigen Knoten liegen. 4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Leitwerte, die vom betrachteten Knoten zum jeweiligen Nachbarknoten führen. 5. Die Summe der Elemente einer Zeile ist Null, wenn kein Zweig vom betrachteten Knoten zum Bezugsknoten führt. Besteht ein Zweig zum Bezugsknoten, so ist sein Leitwert gleich dieser Summe. 6. Die Elemente der Spaltenmatrix auf der rechten Seite des Gleichungssystems werden von den Quellenströmen gebildet. Fließt in den betrachteten Knoten ein Strom hinein, so wird er positiv gezählt. Ein aus dem Knoten herausfließender Strom erhält ein negatives Vorzeichen. 14
Zusammenfassung Maschenanalyseverfahren (wenige Maschen) Im Vergleich zur Lösung mit den Kirchhoffschen Gesetzen (m+(k-1)=z Gleichungen) sind nur so viele Gleichungen zu lösen, wie das Netzwerk Maschen hat (m = z - (k-1)). Problem: Falsche Maschenzahl führt zu falschen Lösungen Knotenpotentialverfahren (wenige Knoten) Im Vergleich zur Lösung mit den Kirchhoffschen Gesetzen (z Gleichungen) sind nur so viele Gleichungen zu lösen, wie das Netzwerk unabhängige Knoten hat (k-1). Nächste Vorlesung: Zeitabhängige Netzwerke 15