Gasthermometer 1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN durchgeführt am 21.06.2010 von Matthias Dräger, Alexander Narweleit und Fabian Pirzer 1 Physikalische Grundlagen 1.1 Zustandgleichung des idealen Gases Ein ideales Gas ist durch den Zusammenhang zwischen Den Größen Temperatur (T), Druck (ρ) und Volumen (V) wie folgt definiert: ρ V = n R T (1) Dabei ist n die Stoffmenge (in mol) und R die allgemeine Gaskonstante (R = 8, 314472 mol K ). Ein ideales Gas besteht in der Vorstellung aus einer Menge von Massenpunkten, zwischen den keine Wechselwirkungen bestehen. Die Stoffmenge n setzt sich aus der Anzahl der Teilchen geteilt durch die Avogadrozahl N A 6, 022 10 23 mol 1, die die Anzahl der Teilchen pro Stoffmenge angibt: Diese Gleichung kann nun in (1) eingesetzt werden und man erhält: R n = N N A (2) ρ V = N N A R T = N k T (3) Dabei ist k = N A die universelle Boltzmann-Konstante. Die Zustandsgleichung (1) gilt nicht im Kondensationsbereich, da durch die hohe Dichte die Wechselwirkungen der teilchen untereinander nicht mehr vernachlässigt werden können. J 1.2 Temperatureinheit und Temperaturskala Aus der Gleichung (1) folgt, dass die Temperatur nur positive Werte annehmen kann und ein Nullpunkt bei T = 0, ρ = 0 und V = 0 existiert. Diese Temperaturskala wird thermodynamische oder absolute Temperaturskala genannt und die Werte in Kelvin (1 K) angegeben. Die Celsius-Skala betrachtet hingegen den Tripelpunkt des Wassers, der umgerechnet bei 273,16 K liegt. Die Beziehungen zwischen Kelvin und Grad-Celsius sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Celsius-Skala in C Kelvin-Skala in K Absoluter Nullpunkt -273,15 0 Schmelzpunkt Wasser 0 273,15 Siedepunkt Wasser 100 373,15 Tabelle 1: Celsius- und Kelvin-Skala Der Zusammenhang zwischen den Skalen ist wie folgt definiert: T K = 1.3 Praktische Realisierung der Temperatureinheit t + 273, 15 (4) C Die Kelvin-Skala hat weitere Fixpunkte erhalten, da der Nullpunkt nicht erreichbar ist und reale Thermometersubstanzen ein nicht lineares Verhalten Zeigen. Einige sind in folgender Tabelle unter Normaldruck (1013 hpa) aufgelistet: 1
1.4 Gasgesetze und Spannungskoeffizienten 2 AUFGABEN in K Siedepunkt von Wasserstoff 20,28 Siedepunkt von Sauerstoff 90,188 Siedepunkt von Wasser 373,15 Schmelztemperatur von Silber 1235,08 Schmelztemperatur von Gold 1337,58 Tabelle 2: Auswahl von Fixpunkten der Kelvin-Skala bei Normaldruck 1.4 Gasgesetze und Spannungskoeffizienten Betrachtet man Gleichung (1) und hält dabei die Stoffmenge n und eine beliebige andere Größe konstant, dann ergeben sich folgende Gesetzmäßigkeiten: Gesetz von Konstante Größe in (1) Prozessart Gesetz Boyle-Mariotte Temperatur T isotherm ρ 1 V Gay-Lussac Druck ρ isobar V T Charles Volumen V isochor ρ T Tabelle 3: Spezielle Gasgesetze bei konstanter Stoffmenge n und einer weiteren Größe Das Gesetz von Charles beschreibt einen linearen Zusammenhang als Ursprungsgerade zwischen Druck und Temperatur. Bei Benutzung der Celsius-Skala verschiebt sich die Druckachse (Ordinate) entlang der Temperaturachse (Abszisse) um 273,15 K (entspricht 0 C). Als Geradengleichung erhält man: ρ = ρ 0 + Abbildung 1: Gasgesetz von Charles ρ 0 273, 15K t = ρ 0 ( 1 + ) t = ρ 0 (1 + β t) (5) 273, 15 Dabei ist β der Spannungskoeffizient, der für ein ideales Gas 1 273,15K 3, 66 10 3 K 1 beträgt. 2 Aufgaben 1. (Zimmertemperatur) Messung der Zimmertemperatur mit dem Gasthermometer und Vergleich mit der Anzeige eines Quecksilberthermometers. 2. (Spannungskoeffizient) Bestimmung des Spannungskoeffizienten von Luft. 2
4 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 3 Geräte und Materialien Für den Versuch verwendeten wir folgende Geräte: Gasthermometer (offener Quecksilbermanometer und geschlossene, mit Luft erfüllte Glaskugel) Elektrische Heizplatte 1000ml Becherglas, niedere Form Digitalthermometer Digitalbarometer Zimmerthermometer (für Vergleich mit berechnetem Wert) Gerät Gasthermometer Digitalthermometer Digitalbarometer Zimmerthermometer Fehler ±1mmHg (geschätzt) ±1 C ±1mbar = ±1hPa = ±100Pa ±1 C (geschätzt) Tabelle 4: Messfehler in der Übersicht 4 Versuchsdurchführung Wichtig bei der Durchführung war, darauf zu achten, dass der Quecksilberpegel auf der rechten Seite des Rohres immer an der eingezeichneten Linie ausgerichtet war, um sinnvolle Vergleichswerte zu erhalten. Anhand des Quecksilberpegels auf der linken Seite konnten wir dann die Druckdifferenz von Normaldruck bei Zimmertemperatur ablesen. Hierbei gehen wir von einem manuellen Ablesefehler von ±1 Skaleneinheiten aus. 4.1 Messungen Aufgabe 1 Zuerst haben wir den Außendruck mithilfe des Barometers bestimmt und kamen auf 1016 ± 1mbar. Die Druckdifferenz, die wir dabei am Gasthermometer ablesen konnten, betrug 6 ± 1mmHg bei einer Zimmerthemperatur von 24 ± 1 C. Aufgabe 2 Hiernach haben wir einerseits Eis und andererseits die Heizplatte genutzt, um die Temperatur des Wassers zu verändern und die Auswirkungen auf den abgelesenen Druck zu beobachten. Wir erhielten folgende Werte: Temperatur Druckdifferenz 4, 0 ± 1 C 57 ± 1mmHg 99, 0 ± 1 C 189 ± 1mmHg Tabelle 5: Ablese-Ergebnisse in der Übersicht 3
5 AUSWERTUNG 5 Auswertung 5.1 Aufgabe 1 Nach Umrechnung der Druckdifferenz von mmhg in Pa (1 mmhg = 133,3 Pa; Angabe von Skript, Fehler vernachlässigbar) und Addition dieses Wertes (800 ± 134)Pa zu dem mit Hilfe des Digitalbarometers gemessenen Außendruck ergab sich ein Druck innerhalb der Glaskugel bei Raumtemperatur von: Fehlerrechnung ρ z = (102.400 ± 234)Pa δ( Hg) = 1 6 = 0, 167 ρ = (6 ± 1) 133, 3 = 799, 8 ± ( 1 799, 8)Pa = 800 ± 134Pa 6 ρ z = ρ + ρ = 101600 ± 100 + 800 ± 234Pa = 102400 ± 234Pa 5.2 Aufgabe 2 Die Drücke beim Schmelzpunkt (ρ Smp ) des Wassers (4, 0±1, 0) C und Siedepunkt (ρ Sdp ) des Wassers (99, 0 ± 1, 0) C werden analog zu Aufgabe 1 umgerechnet. Wir erhalten folgende Werte: ρ Smp = (94.001 ± 234)Pa ρ Sdp = (126.794 ± 234)Pa Nach β umgeformte Geradengleichung mit ausgerechnetem Spannungskoeffizient (mit t = (99 ± 1) C (4 ± 1) C = (95 ± 2) C: ( ρsdp ρsmp ) β = ρsmp t β = (3, 7 ± 0, 14) 10 3 K 1 Modifizierte Gleichung für Berechnung des Temperaturunterschieds zwischen (unbekannter) Zimmertemperatur und der Schmelztemperatur: t = (ρ z ρsmp) ρsmp β t = (24, 2 ± 2, 5) C Die Zimmertemperatur ergab sich folgend durch Addition mit der Schmelztemperatur: t z = t Smp ± = (25 ± 4) C 4
6 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION Fehlerrechnung δ( Hg Smp ) = 1 = 0, 018 57 Smp = ( 57pm1) 133, 3 = 7598, 1 ± ( 1 7598, 1)Pa = 7598 ± 134Pa 57 ρ Smp = ρ + ρ Smp = 101600 ± 100 7599 ± 134Pa = 94011 ± 234Pa δ( Hg Sdp ) = 1 = 0, 005 189 Sdp = (189pm1) 133, 3 = 25193, 7 ± ( 1 25193, 7)Pa = 25194 ± 134Pa 189 ρ Sdp = ρ + ρ Sdp = 101600 ± 100 + 25194 ± 134Pa = 126794 ± 234Pa t = (99, 0 ± 1, 0 4, 0 ± 1, 0) C = 95, 0 ± 2, 0 C δ( t) = 0, 021 β = ρ Sdp ρsmp ρ Smp t ρ Sdp ρsmp = 32793 ± 468Pa δ(ρ Sdp ρsmp) = 0, 014 δρ Smp = 0, 0025 δ(ρ Sdp t) = 0, 0025 + 0, 021 = 0, 024 δβ = 0, 014 + 0, 024 = 0, 038 β = 0, 003692 ± (0, 038 0, 003489)K 1 = 0, 00370 ± 0, 00014K 1 t = ρ Z ρ Smp ρ Smp β ρ Z ρ Smp = 8399 ± 468Pa δ(ρ Z ρ Smp ) = 0, 056 δ(ρ Smp β) = 0, 0025 + 0, 0378 = 0, 041 δ( t Z ) = 0, 056 + 0, 041 = 0, 097 t Z = 24, 15 ± (0, 097 24, 15) = 24, 2 ± 2, 5 C t Z = t Smp + t Z = 25, 2 ± 3, 5 C = 25 ± 4 C 6 Zusammenfassung und Diskussion Die aus den isochoren Druckänderungen berechnete Zimmertemperatur stimmt mit dem tatsächlichen Wert gut überein (25 C gegenüber 24 C), obwohl der Mittelwert wenige Grad höher liegt, befindet sich die gemessene Temperatur immer noch ca. bei einen Viertel des Fehlerintervalls. Die Abweichung kann dadurch erklärt werden, dass wir mit keinem idealen Gas (oder z.b. mit Edelgasen, die die Kriterien des idealen Gases im Wesentlichen ganz gut erfüllen), sondern mit Luft arbeiteten. Für nicht-ideale Gase gilt die van-der-waals-gleichung, nach der das p-t-diagramm keinen linearen 5
6 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION Verlauf mehr hätte. Würde der Spannungskoeffizient des idealen Gases (0, 00366K 1 ) statt dem berechnetem Wert benutzt, wäre das Endergebnis dem tatsächlichen Wert um ca. 1 C näher. Auch die Genauigkeit des Zimmerthermometers kann in Frage gestellt werden, da es sich um kein physikalisches Gerät, sondern um ein für den Haushalt bestimmtes Produkt handelt. Der vergleichsmäßig große Fehler (±4 C) des Endergebnisses stammt von der Fortpflanzung der eher auf der oberen Grenze gewählten Messfehlern durch mehrere Rechenoperationen. 6