Übungen X: Risikobereitschaft

Übungen X: Risikobereitschaft Christian Keuschnigg Universität St.Gallen, FGN Dezember 2004 Exercise 1 Es sei u (W )=ln(w), W 1 =100, W 2 =20und p =.5. (a) Angenommen s sichere Vermögen ist gleich dem Erwartungswert des riskanten Vermögens, W = E [W ]. Überprüfen Sie anhand des Zahlenbeispiels u W >E[u (W )]. (b) Wie hoch ist s sichere Vermögen W, welches denselben Nutzen wie s riskante Vermögen W stiftet? Berechnen Sie die Risikoprämie! Lösung: (a) Man berechnet E [W ]=.5 100 +.5 20 = 60. Der Nutzen des erwarteten (sicheren) Vermögens ist u (E [W ]) = ln (60) = 4.09. Der Erwartungsnutzen aus dem riskanten Vermögen beträgt E [u (W )] =.5 ln(100) +.5 ln(20) = 3.8. DieUngleichung (10.5) ist mit 4.09 > 3.8 erfüllt. (b) Um den gleichen Nutzen zu stiften, muss s sichere Vermögen die Bedingung u W = E [u (W )] bzw. ln W =3.8 erfüllen. Wir invertieren diese Gleichung und erhalten s sichere Endvermögen W = e 3.8 = 44.7. Der Vergleich mit dem erwarteten Vermögen E [W ]=60wie in Teil (a) ergibt eine Risikoprämie von E [W ] W =15.3.Diesentspricht der Ungleichung (10.6). Exercise 2 Betrachten Sie folgenden Fall mit zwei Zuständen, r =0, x 1 =2, x 2 = 1 und p =.5. Das riskante Asset hat also einen höheren erwarteten Ertrag als s Institut für Nationalökonomie, Varnbüelstrasse 19, CH-9000 St.Gallen. 1

sichere, E [x] =.5 > r = 0. Ermitteln Sie für die nachfolgenden Nutzenfunktionen die Portfolioanteile a bzw. Nachfrage A nach der Risikoanlage: (a) u (W )= e bw und (b) u (W )=W 1 b / (1 b). Welche Interpretation hat bei jeweils der Parameter b? Lösung: Im vorliegenden Fall mit r =0wird die Budgetbeschränkung zu W =(1+xa) W 0. (i) Teil (a): Die Ableitungen der Nutzenfunktion betragen u 0 (W ) = be bw > 0 und u 00 (W )= b 2 e bw < 0. Damit drückt der Parameter b dengradeinerkonstantenabsoluten Risikoabneigung aus, ρ A = u 00 (W ) /u 0 (W )=b. Für zwei Zustände lautet die BEO E [u 0 (W ) x] =0 b px 1 e bw 0(1+ax 1 ) +(1 p) x 2 e bw 0(1+ax 2 ) =0. Wir setzen die angegebenen Werte ein, mit dem Ergebnis 2e bw0(1+2a) = e bw0(1 a).wir logarithmieren und erhalten nach weiteren Umformungen die Nachfrage A = aw 0 = (ln 2) / (3b). Dies bestätigt unser Ergebnis, ss die Gesamtnachfrage vom Vermögen unabhängig und mit die Vermögenselastizität Null ist. Der Anteil a muss also mit zunehmendem Vermögen sinken. Wir stellen ausserdem fest, ss die Risikonachfrage mit dem Grad der absoluten Risikoabneigung b sinkt. Teil (b): Wir ermitteln u 0 (W )=W b > 0 und u 00 (W )= bw b 1 < 0. Parameter b ist gleich dem Grad der konstanten relativen Risikoaversion, ρ R = Wu 00 (W ) /u 0 (W )=b. Die BEO E [u 0 (W ) x] =0lautet nun px 1 [(1 + ax 1 ) W 0 ] b +(1 p) x 2 [(1 + ax 2 ) W 0 ] b =0. (iii) Aus den angegebenen Werten folgt 2 1/b = 1+2a bzw. a = 2 1/b 1 / 2 1/b +2. Nunmehr 1 a ist der Portfolioanteil vom Vermögen unabhängig, so ss die Vermögenselastizität der Nachfrage A = aw 0 gleich Eins ist. Die Risikonachfrage steigt linear mit dem Vermögen. Anhand eines Beispiels kann man sich überzeugen, ss der Portfolioanteil a mit dem Grad der relativen Risikoabneigung b sinkt. Mit b =1erhalten wir a =.25, mit höherer Risikoabneigung b =2fällt der Anteil auf a = 2 1 / 2+2.12. 2

Exercise 3 Es gelte x 1 >r>0 >x 2, so ss die Nettoerträge nach Steuer (1 τ) x : x>0, ˆr =(1 τ) r, ˆx (α) = (1 ατ) x : x<0, (i) betragen. Eine Verbesserung des Verlustausgleichs α erhöht den Nettoertrag der riskanten Anlage nur in Verlustfällen, d.h. ˆx 0 (α) > 0 für x<0 und ˆx 0 (α) =0sonst. Das Endvermögen in Abhängigkeit von der Portfoliowahl beträgt W =[1+ˆr +(ˆx (α) ˆr) a] W 0. Zeige, ss eine Verbesserung des Verlustausgleichs den Anteil der riskanten Anlagen eindeutig erhöht: /dα > 0. Lösung: Maximiere den Erwartungsnutzen unter der Nebenbedingung, max a E [u (W )]. Die BEO lautet E [u 0 (W )(ˆx (α) ˆr)] = 0, diebzoe u 00 (W )(ˆx ˆr) 2 < 0. DasDifferential der BEO nach a und α ergibt dα = E [{u0 (W )+u 00 (W )(ˆx ˆr) aw 0 } ˆx 0 (α)] E u 00 (W )(ˆx ˆr) 2 W 0 > 0. (iii) Der Nenner ist wegen der BZO eindeutig positiv. Der Zähler ist ebenfalls positiv, weil ˆx 0 (α) =0für alle x>0 und ˆx 0 (α) > 0 für alle x<0. Immernn,wennx<0 und her ˆx 0 (α) > 0 gilt, ist s Produkt u 00 (W )(ˆx ˆr) positiv und mit auch die geschwungene Klammer positiv. Der Erwartungswert im Zähler wird her nur über positive Realisierungen gebildet und ist mit ebenfalls positiv. Dies beweist s Vorzeichen /dα > 0. Exercise 4 Die Einkommensteuer erfasst nur den Ertrag des sicheren Assets, während der Ertrag des riskanten Assets steuerbefreit ist. Das Endvermögen beträgt W =[1+r n +(x r n ) a] W 0, r n (1 τ) r. (i) Zeigen Sie, wie sich eine höhere Einkommensteuer auf den Portfolioanteil auswirkt, wenn s riskante Asset steuerbefreit bleibt, d.h. ermitteln Sie /dτ. Verwenden Sie bei die 3

Vermögenselastizität der Risikonachfrage A = aw 0 (ε W unterscheidet sich geringfügig von (10.16), s riskante Asset unbesteuert ist) ε W = 1+rn a E [u 00 (W )(x r n )] E u 00 (W )(x r n ) 2. Lösung: Die Anleger maximieren E [u (W )], gegeben s Endvermögen in (i). Wir ermitteln die BEO und BZO für den Portfolioanteil a, E [u 0 (W )(x r n )] = 0, E u 00 (W )(x r n ) 2 < 0. (iii) Die Portfolioanpassung folgt aus dem Differential der BEO, E [u 00 (W )(x r n ) dw + u 0 (W ) r dτ] =0. (iv) Einsetzen des Differentials dw =(x r n ) W 0 (1 a) rw 0 dτ in (iv) ergibt dτ =(1 a) r E [u00 (W )(x r n )] E u 00 (W )(x r n ) 2 + re [u 0 (W )] W 0 E u 00 (W )(x r n ) 2. Verwende die Vermögenselastizität in, dτ a) ra re [u 0 (W )] = (1 ε 1+r n W + W 0 E u 00 (W )(x r n ) 2. Der zweite Ausdruck entspricht dem Substitutionseffekt und ist positiv (wegen der BZO). Wenn nur die Erträge des sicheren Assets besteuert werden, nn schichten die Anleger zugunsten des steuerbefreiten Risikokapitals um. Der erste Term steht für den Vermögenseffekt. Für konstante absolute Risikoaversion gilt ε W =0.DiesentsprichtderBewegung PC in Abbildung 8. Sobald die Vermögenselastizität positiv ist, wird der Substitutionseffekt abgeschwächt, und die Zunahme des Portfolioanteils wird weniger eindeutig. In Abbildung 8 würde der Vermögensexpansionspfad flacher verlaufen (z.b. PP 00 ). Beachte, ss es bei diesem Experiment keinen Versicherungseffekt nach Domar-Musgrave geben kann, weil s riskante Asset nicht besteuert wird. (v) (vi) Exercise 5 Das sichere Asset zahlt einen laufenden Zins, der Ertrag des riskanten Assets sei ein Kapitalgewinn. Das Endvermögen beträgt W =[1+θr +(θ x x θr) a] W 0. (i) 4

In der Ausgangssituation wird eine einheitliche Einkommensteuer mit vollem Verlustausgleich mit dem Satz τ erhoben. Die Erträge verschiedener Assets werden gleich besteuert, so ss bei einem Ertrag von einem Euro nach Steuer θ =1 τ Cents übrig bleiben. Die Steuerfaktoren sind in der Ausgangssituation gleich, θ x = θ. DieRegierungerwägt nun eine begünstigte Besteuerung von Kapitalgewinnen, um die Nachfrage nach riskanten Anlagen zu fördern. Dies bedeutet, ss der Steuerfaktor θ x auf θ x >θansteigt, während der Zinssteuerfaktor θ gleichbleibt. Berechnen Sie die Anpassung der Portfoliowahl /dθ x und zeigen Sie, wie die Auswirkung der Begünstigung von den Vermögens-, Substitutionsund Versicherungs- (bzw. Domar-Musgrave-) Effekten abhängt. Lösung: Die Anpassung erhalten wir wie immer aus dem Differential der BEO. Die Anleger maximieren E [u (W )], gegeben s Endvermögen in (i). Wir ermitteln die BEO und BZO für den Portfolioanteil a, E [u 0 (W )(θ x x θr)] = 0, E u 00 (W )(θ x x θr) 2 < 0. Für θ x = θ ergeben sich die üblichen, bekannten Bedingungen. Die Portfolioanpassung folgt aus dem Differential der BEO, E [u 00 (W )(θ x x θr) dw + u 0 (W ) x dθ x ]=0. (iii) Das Differential von W nach a und θ x lautet dw =(θ x x θr) W 0 + xaw 0 dθ x. (iv) Wenn man (iv) in (iii) einsetzt, s Ergebnis an der Stelle θ x = θ bewertet, den Erwartungswert getrennt über die Summenterme anschreibt und nicht stochastische Grössen aus dem Erwartungswert herauszieht, erhält man schliesslich = a E [u 00 (W )(x r) x] dθ x θ E u 00 (W )(x r) 2 E [u 0 (W ) x] θ 2 W 0 E u 00 (W )(x r) 2. Da nach der BZO E u 00 (W )(x r) 2 < 0 gilt, hängt s Vorzeichen der Portfolioanpassung ausschliesslich von den Vorzeichen der beiden Zähler ab. Es gilt (v) E [u 0 (W ) x] =E [u 0 (W )(x r)] + re [u 0 (W )] = re [u 0 (W )] > 0. (vi) 5

In der symmetrischen Ausgangssituation mit θ x = θ fällt der erste Term wegen der BEO in weg, so ss der Erwartungswert in (vi) nur mehr über positive Grenznutzen gebildet wird und mit positiv ist. Der Zähler des ersten Terms in (v) wird zu E [u 00 (W )(x r) x] =E u 00 (W )(x r) 2 + re [u 00 (W )(x r)] erweitert. Nach Einsetzen der Vermögenselastizität aus (10.16) erhält man E [u 00 (W )(x r) x] E u 00 (W )(x r) 2 =1+ re [u00 (W )(x r)] E u 00 (W )(x r) 2 =1 θr 1+θr a ε W. Man setze (vi-vii) in (v) ein, dθ x = a θ 1 θr 1+θr a ε W + r θ 2 W 0 E [u 0 (W )] E u 00 (W )(x r) 2 0. (viii) (vii) Das Vorzeichen des Gesamteffektes ist uneindeutig. Die Versicherungs-, Vermögensund Substitutionseffekten auf die Portfolionachfrage sind teilweise gegenläufig. Der erste Term /dθ x = a/θ steht für den Versicherungs-(Domar-Musgrave-)Effekt der Steuerbegünstigung auf s riskante Asset. Der Versicherungseffekt einer Einkommensteuer auf den riskanten Ertrag ist in (10.15) bzw. Abbildung 4 rgestellt, wobei hier eine Steuersenkung anstatt einer Steuererhöhung betrachtet wird. Ein geringerer Steuersatz erhöht die Varianz bzw. s Risiko der Auszahlungen, so ss die Anleger aus diesem Grund mit einer Verringerung der Portfolionachfrage nach dem riskanten Asset reagieren. Der zweite Term ist der Vermögenseffekt und hängt von der Vermögenselastizität ε W der Portfolionachfrage ab. Da die geringere Besteuerung des riskanten Ertrags wie eine Vermögenserhöhung wirkt, dehnen die Anleger den Portfolioanteil des riskanten Assets aus, sofern die Vermögenselastizität positiv ist (z.b. ε W =0für konstante absolute Risikoaversion, ε W =1für konstante relative Risikoaversion). In Abbildung 9 werden Versicherungs- und Vermögenseffekt durch die Strecke PP 00 angezeigt. Der dritte Term in (viii) steht für den Substitutionseffekt, und entspricht der Bewegung P 00 P 0 in Abbildung 9. Die Begünstigung des riskanten Assets steigert den erwarteten Nettoertrag relativ zum Ertrag des sicheren Assets, so ss die Anleger ihr Portfolio zugunsten des riskanten Assets umschichten. Der Vermögens- und Substitutionseffekt steigern den Portfolioanteil des riskanten Assets, der Domar-Musgrave-Effektverringertihn. 6

Exercise 6 Nur s sichere Asset wird besteuert, und s Steueraufkommen als Pauschalsteuer T rückerstattet, W =[1+(1 a)(1 τ) r + xa] W 0 + T, T =(1 a) τrw 0. (i) Zeigen Sie, wie der Steuer-Transfer-Mechanismus die Portfoliowahl beeinflusst. Nehmen Sie der Einfachheit halber für die Ausgangssituation τ =0an. Lösung: Aus individueller Sicht sind die Transfers fest. Die BEO lautet her E [u 0 (W )(x (1 τ) r)] = 0. Setzt man den Transfer in die Budgetgleichung (i) ein, nn zeigt sich, ss im Gleichgewicht s Endvermögen vom Steuer-Transfer-Mechanismus unabhängig wird, W =[1+(1 a) r + xa] W 0. (iii) Die Steuer beeinflusst die BEO über den Term x (1 τ) r. Das Endvermögen ändert sich jedoch nur mehr mit dw =(x a) W 0, währenddereinfluss des Steuersatzes durch die Rückerstattung kompensiert wird. Das Differential der BEO lautet, ausgehend von τ =0, E [u 00 (W )(x a) dw + u 0 (W ) r dτ] =0 dτ = re [u 0 (W )] W 0 E u 00 (W )(x a) 2. (iv) Die Besteuerung des sicheren Assets mit Rückerstattung der Einnahmen steigert eindeutig den Portfolioanteil des riskanten Assets. Die Rückerstattung neutralisiert nur den Vermögenseffekt, so ss noch ein Substitutionseffekt bleibt, vgl. zu (vi) in Übung 4. Exercise 7 Zeige, ss die Einführung einer kleinen Steuer gemäss (10.25) die Wohlfahrt in (10.23), V =max a E [u (W )], erhöht. [Hinweis: Bilde die Ableitungen dv = dτ τ=0 V + τ V V a,wobei τ a τ V wegen der BEO a =0entfällt (Envelopen-Theorem)]. 7

Lösung: Wir bilden zunächst [jeweils an der Stelle τ =0] die direkte Ableitung V τ = E [u0 (W )(r +(x r) a)] W 0 = E [u 0 (W )] rw 0. (i) Die letzte Gleichheit folgt, nachdem man den Erwartungswert als Summe von zwei Teilen schreibt, wobei der eine Teil wegen der BEO E [u 0 (W )(x r)] = 0 (vgl. 10.24) verschwindet. Ausserdem erhalten wir V = E [u0 (W )] und an der Stelle τ =0aus (10.25) τ =[r +( x r) a] W 0. Nach Berücksichtigung dieser Teilergebnisse gemeinsam mit (i) folgt s zu beweisende Resultat dv = V dτ τ=0 τ + V τ =( x r) aw 0E [u 0 (W )] > 0. 8