Mtknr.: 5380 GEOMETRISCHE OPTIK VORBEREITUNG 0. Vorbemerkungen. S.. Brennweitenbestimmung.. Brennweite mit Lineal.. S.3/4. Besselverahren. S.4/5.3 Abbéverahren.. S.5/6. Aubau optischer Instrumente.. Keplersches u. Galileisches Fernrohr. S.7/8. Diaprojektor.. S.9.3 Mikroskop.. S.0
Mtknr.: 5380 Vorbemerkungen: Im Folgenden Bild wird der Begri Brennweite dargestellt: Die Sammellinse wird durch Kugellächen beschränkt; verbindet man deren Mittelpunkte, so nennt man die Verbindung optische Achse. Nun wird Licht am Punkt A von einem Körper emittiert, der Winkel ω sei klein, so dass die Strahlen als parallel angenommen werden können. Das parallele Strahlenbündel trit nun au die Sammellinse und wird zum. Mal gebrochen (B) (Brechungsstärke je nach Linseneigenschat), läut dann durch die Linse und wird am Punkt C zum. Mal gebrochen. Der Schnittpunkt mit der optischen Achse wird als Brennpunkt bezeichnet; er ist ür alle parallel zur optischen Achse einallenden Strahlen derselbe (s.bild unten). Verlängert man gedanklich die Strecken AB und CF, so schneiden sich beide in einem Punkt. Fällt man nun das Lot au die optische Achse durch den Schnittpunkt, hat man sich die sogenannte Hauptebene (H) konstruiert. Die. Hauptebene H wird analog konstruiert. Den Abstand zwischen Hauptebene und Brennpunkt bezeichnet man als (bildseitige) Brennweite (objektseitiger Brennpunkt analog). Parallel einallende Strahlen treen sich nach der Brechung in einem Punkt: dem Brennpunkt
Mtknr.: 5380 Die Linsengleichung Für eine dünne Linse sei hier die Abbildungssituation dargestellt. Es olgt unmittelbar aus G B G B dem Strahlensatz: =, sowie =. Durch umormen gelangt man zu g b b g b = = und somit zur Linsengleichung: = +. b b b g g b (Anm.: die rechte Kerze ist natürlich nur symbolhat dargestellt, sie ist das Bild, daß au den Schirm S projiziert wird (mit der Höhe B)). Brennweiten Bestimmungen: Augabe. (Kontrollieren Sie nur mit Hile eines Maßstabes und eines Schirmes die angegebene Brennweite einer dünnen Sammellinse.) Zuerst ist estzuhalten, dass die von einem ernen Objekt emittierten Lichtstrahlen idealisiert als parallel eintreende Strahlen auassbar sind. Treen diese Strahlen au eine Sammel- /Konvexlinse, so werden sie entsprechend der Brechkrat der Linse gebrochen und zwar sowohl beim Eintritt, als auch beim Austritt aus der Linse (s.o.). Ist die Linse nun wie in der Augabenstellung dünn, so kann man in der Näherung annehmen, dass die beiden Hauptebenen aueinanderliegen und zwar in der Mitte der Linse. Somit kann die Brennweite als Abstand zwischen Mittelpunkt der Linse und Brennpunkt angenommen werden. Nun stellt sich die Frage, wie der Brennpunkt zu inden ist: am besten eignet sich Sonnenlicht als Lichtquelle, denn die Sonne ist sehr weit von der Linse enternt und lieert uns die als parallel anzusehenden Strahlen (alternativ: anderes gut gebündeltes Licht). Also sollte die Konstruktion olgendermaßen sein: man montiert die Linse au eine Schiene, dahinter sollte verschiebbar der Schirm angebracht sein. Nun hält man die Schiene so, dass das Sonnenlicht parallel zur Schiene einällt, man richtet die Schiene (bzw. die Linse) also au die Sonne aus. Nun verschiebt man den Schirm au der Schiene, wobei 3
Mtknr.: 5380 man ein kreisörmiges Bild au dem Schirm beobachten wird, dessen Durchmesser, je nach Abstand zum Brennpunkt, variieren wird. Das Ziel ist die Minimierung des Durchmessers, denn an dem Punkt, an dem der Durchmesser am kleinsten ist (idealisiert ein einziger Lichtpunkt ist), beindet sich der Brennpunkt (Anm.: an diesem Punkt sollte auch die Helligkeit am größten sein). Nun ist der Abstand zwischen Linsenmittelpunkt und Schirm, also die konstruierte Brennweite, mit einem Maßstab zu messen. Augabe. (Bestimmen Sie mit Hile des Besselschen Verahrens die Brennweite dieser Linse.) Der Aubau ür das Bessel sche Verahren ist ähnlich dem Aubau aus der Herleitung zur Linsengleichung. Lichtquelle und Schirm werden im Abstand e augestellt, wobei man den Abstand der Linse zwischen beiden variieren kann. Man wird eststellen, dass man ür genau Positionen der Linse eine schares Bild erzeugen wird, was sich olgendermaßen erklärt: Linsengleichung: = +, wobei (s.o.) g der Abstand von Lichtquelle zur Linse g b und b der Abstand von Linse zu Schirm ist ( ist diebrennweite). Somit erhalten wir: e = g + b = + g e g Umormung ergibt olglich: eg g² = e g² eg + e = 0 Diese quadratische Gleichung lässt sich lösen, d.h. e e² g / = ± e 4 e² Nun wird auch deutlich, dass man e 4 > 0 e > 4 ordern muss, damit der Radikand nicht negativ wird. Wir haben also Lösungen ür eine quadratische Gleichung geunden, die uns beschreibt, wo sich die Linsen in Abhängigkeit des Abstands Lichtquelle/Schirm und der Brennweite beinden müssen, damit das Bild schar ist. Die beiden Lösungen werden sich symmetrisch verhalten, d.h., dass der Abstand Lichtquelle/Linse der einen Lösung gleich dem Abstand Linse/Schirm der anderen Lösung sein muss. Sei nun d der Abstand zwischen den beiden Positionen der Linse, in denen ein schares Bild e² entsteht. Dann gilt: d = g g d = e 4 d e d Quadrieren und umstellen ergibt: ² e² ² ² = e = 4 4 4e Nun ist es möglich, die Brennweite experimentell zu bestimmen: wir messen beide Stellungen, in denen das Bild schar ist und können dann aus dem Abstand Lichtquelle/Schirm und dem Abstand der Stellungen die Brennweite errechnen! Die Wahl von e/ ist deshalb wichtig, da bei zu groß oder zu klein gewähltem e/ die Positionen, an denen das Bild schar ist (g, g, so.), nicht eindeutig erkennbar sind, da die 4
Mtknr.: 5380 Lichtintensität zu schwach ist, um einen eindeutigen Punkt estzulegen, an dem gemessen werden soll. Aberration: chromatische Aberrationen: Die Brechung von Licht in einer Linse oder einem Körper hängt nicht nur von den Eigenschaten der Linse selbst ab, sondern auch von dem einallenden Licht, denn Licht verschiedener Wellenlängen wird unterschiedlich stark gebrochen (s.prisma). Aus unterschiedlich starker Brechung olgt auch ein unterschiedlicher Brennpunkt und da das Licht mit dem wir messen nicht nur eine Wellenlänge beinhaltet, sondern ein ganzes Spektrum, verzerrt dieser Eekt die Messungen. sphärische Aberrationen: Hier hat die Tatsache Einluß, dass die von uns augestellte Linsengleichung nur ür Strahlen exakt ist, die nah an der optischen Achse liegen. Strahlen, die weiter enternt sind, werden von der Linse stärker gebrochen und werden somit durch einen Brennpunkt okussiert, der näher an der Linse ist, als der mit der Linsengleichung errechnete. Augabe.3 (Bestimmen Sie mit Hile des Abbéschen Verahrens die Brennweite eines Zweilinsensystems bei zwei verschiedenen Linsenabständen.) 5
Mtknr.: 5380 Bei einem Linsensystem kann man die Brennweite nicht einach aus Gegenstands- und Bildenternung berechnen, da man daür von den Hauptebenen des Systems rechnen müsste, die nicht vorweg bekannt sind. Man bestimmt diese mit dem Abbéschen Verahren. Das Linsensystem beindet sich au einer optischen Bank. Man bestimmt nun einen Punkt K, der von der Hauptebene H den Abstand h, von der Hauptebene H den Abstand h hat. Man misst nun ür verschiedene Abstände x des Gegenstandes zum Punkt K, die Vergrößerungen γ. Anschließend wird das Linsensystem um 80 um den Punkt K gedreht, d.h. die beiden Hauptebenen vertauschen ihre Lagen. Man misst nun erneut ür verschiedene Abstände x die Vergrößerungen γ. Für die Vergrößerung γ gilt: B b B b γ = = und γ = = G g G g Benutzt man nun wieder die Linsengleichung = + erhält man: b g g = + = (+ / ), b / g / g / b/ = + / b / = + γ / γ / Der Hauptebenenabstand beträgt a = h + h Der Abstand x des Gegenstandes zum Punkt K ist x / = g/ + h/ Man erhält also: x / = + + h/ γ / g und ( ) Aus zwei Wertepaaren ( x ) und ( x ) bzw. ( x ) und ( ),γ,γ Brennweite des Systems berechnen: x x = bzw. γ γ = x,γ x γ γ x kann man die,γ Mit der Brennweite erhält man auch die Abstände h und h und daraus schließlich den Hauptebenenabstand a. h = + / x/ γ / a = x + + + x γ γ Haben die beiden Linsen des Systems gleiche Brennweiten, so kann man diese berechnen: a = + a mit = = 6
Mtknr.: 5380. Aubau optischer Instrumente Augabe. (Bauen Sie ein Keplersches (astronomisches) Fernrohr mit wenigstens sechsacher Vergrößerung und betrachten Sie damit enternte Gegenstände) Das Keplersche Fernrohr besteht aus Sammellinsen, die olgendermaßen hintereinander angeordnet sind: Mit dem astronomischen Fernrohr betrachtet man weit enternte Objekte nicht mehr direkt, sondern ein reelles Bild von ihnen: dieses Zwischenbild liegt praktisch in der Brennebene des Objektivs und ist stark verkleinert. Das Bild wird mit einer Lupe betrachtet dem Okular. So läßt sich das Auge bis au wenige Zentimeter an das Zwischenbild heranbringen. Au diese Weise werden Sehnwinkel und Netzhautbild vergrößert. Durch ein solches Fernrohr sieht man alles au dem Kop stehend und seitenverkehrt, was aber bei seinem ursprünglichen Zweck 7
Mtknr.: 5380 der Sternenbeobachtung eher keine Bedeutung hatte. Die Länge des Fernrohrs ergibt sich logischerweise aus der Summe der Brennweiten der beiden Linsen. Für die Vergrößerung gilt: e 0 Winkel des Strahls ohne Fernrohr γ = =, bzw. γ = e Fernrohr Winkel des Strahls mit Zur Erhöhung der Vergrößerung braucht man also entweder eine größere Brennweite des Objektivs oder eine kleinere Brennweite des Okulars. Somit wird häuig die Länge des Fernrohrs zunehmen, wenn man eine bessere Vergrößerung erreichen möchte. Das Galileische Fernrohr besteht aus einer bikonvexen Linse als Objektiv und einer bikonkaven Linse als Okular: Diese Konstruktion hat Vorteile: zum einen reduziert sich die Länge des Fernrohrs, da nun gilt Länge L = (die Formel ür die Vergrößerung bleibt aber die gleiche wie bei Kepler). Zum anderen steht das Bild ür den Betrachter aurecht. 8
Mtknr.: 5380 Augabe. (Bauen Sie einen Projektionsapparat, der 4mm*36mm Diapositive ausleuchtet und in etwa,5m Enternung etwa zehnache Vergrößerung auweist.) Der Projektionsapparat wird wie olgend augebaut: Vor das Diapositiv wird eine große Linse gesetzt, der Kondensor, mit dem man die Lichtquelle in die Önung des Objektivs abbildet, wodurch alles durch das Diapositiv gehende Licht auch durch das Objektiv gehen kann und das Diapositiv in seiner ganzen Ausdehnung au dem Schirm zu sehen ist. Kurz: der Kondensor ist ür die optimale Ausleuchtung des Dias nötig. Das Bild erscheint gedreht und seitenverkehrt, weswegen man Dias immer au dem Kop und seitenverkehrt in die Halterung einührt. Die Augabe ist, ein Dia in,5m Enternung um das 0ache zu vergrößern. Wir können nun die Brennweite der Linse errechnen, die daür nötig sein wird: bg aus der Linsengleichung olgt unmittelbar: =. nach Strahlensatz gilt dann: 0g = b b + g und g + b =,5m. Einsetzen ergibt nun: g 0,36 m; b, 36m, woraus sich eine Brennweite von 0, m ergibt. 9
Mtknr.: 5380 Augabe.3 (Bauen Sie ein Mikroskop mit >0-acher Vergrößerung und vergleichen Sie die näherungsweise gemessene Vergrößerung mit dem berechneten Wert. Das Mikroskop besteht im Prinzip aus Sammellinsen. Die erste Linse (Objektiv) entwirt ein reelles Zwischenbild B des Gegenstands G in der Brennebene der zweiten Linse (Okular): Augrund des Strahlensatzes gilt: B/G = b/g Aus der Linsengleichung ergibt sich: b = g g g = x Wird der Gegenstand in die Nähe der Brennebene von L gebracht, so dass g = + x mit x << nur wenig größer ist als, dann wird b >> g B >> G. Das Okular L wirkt als Lupe ür das Zwischenbild. Für die Vergrößerung des Mikroskops gilt olgende Formel: V = s r, wobei s die Bildenternung (des virtuellen Bildes vom Auge) und r die Enternung der beiden Brennpunkte ist. Bei der erreichbaren Vergrößerung des Mikroskops sind der Optik Grenzen durch a) die Wellenlänge des Lichtes gesetzt. Die zu erreichende Abbildungsschäre liegt in etwa in der Größenordnung der Hälte der Wellenlänge des sichtbaren Lichts. b) die numerische Aperatur. Diese beinhaltet den Önungswinkel u der vom Objektiv augenommenen Lichtbündel und die Brechzahl n des Stoes. (n*sin u) Es gilt ür den kleinsten noch erkennbaren Abstand zwischen Dingen: λ y min = n sin u 0