Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 38 5.6 Spannungsproblem Verzweigungsproblem Wird ein Tragwerk belastet, so wurde in den bisherigen Betrachtungen stillschweigend vorausgesetzt, dass eine Erhöhung der Lasten, im Bild 5-0 (links) symbolisiert durch die Last P, eine adäquate Erhöhung der sichtbaren Tragwerksreaktionen, symbolisiert durch die Verschiebungen w, hervorruft. In Abhängigkeit vom Material kann deutlich ein elastischer Bereich von einem plastischen Bereich unterschieden werden. Eine Maximallast, dies sei allgemein die Traglast des Systems, führt zu dessen Versagen, was sich auf verschiedene Art und Weise andeutet. Wichtigste Erscheinungen dahingehend sind große Verschiebungen, wie z.b. Durchbiegungen, Risse oder lokale Plastizierungen. Aus diesem Grund war es ausreichend, für die entsprechenden Nachweise mit dem Teilsicherheitsbeiwert γ M0 =,0 für das Material zu arbeiten (s. Abschnitte 3 und 4 im Script). Nicht sichtbare Tragwerksreaktionen sind die Spannungen, die jedoch mit den Verschiebungen über das Hooksche Gesetz verknüpft sind. Dieses Systemverhalten wird als Spannungsproblem bezeichnet. Im Bild 5-0 (rechts) sei nun ein System unter vorwiegender Druckbeanspruchung N betrachtet. Im Idealfall eines zentrisch in seiner Achse gedrückten Stabes wird dieser zunächst keinerlei Verschiebungen senkrecht zu seiner Achse aufweisen, bis eine kritische Last N cr erreicht ist. An diesem Punkt wird das System (der Druckstab) plötzlich seitlich ausweichen bzw. (bei sprödem Material) ausknicken. Im Falle eines rotationssymmetrischen Stabes ist dabei ferner nicht klar, in welcher Richtung dieses Ausweichen stattfindet. Mithin ist der Verschiebungszustand des Stabes nach Erreichen der kritischen Last N cr nicht mehr eindeutig vorherbestimmbar. Der Punkt des Erreichens von N cr wird daher als Verzweigungspunkt bezeichnet und das zugeordnete Problem als Verzweigungsproblem. P N P max P el Bild 5-0: plastischer Bereich elastischer Verzweigungs - I Bereich punkt w 0 w w w el w max III II Last-Verschiebungs-Diagramme (qualitativ) a) Spannungsproblem (links) b) Verzweigungsproblem (rechts) N cr Wie sich die Verschiebungen des Systems am Verzweigungspunkt entwickeln, kann nur schwer vorausgesagt werden. Ist dieser aber überschritten, kann die Verschiebung bei Lasterhöhung entweder mit der linearen Momenten-Krümmungs-Beziehung beschrieben werden (horizontaler Ast) oder unter Ansatz der nichtlinearen Momenten-Krümmungsbziehung. In jedem Fall werden die Verschiebungen ohne wesentliche Lasterhöhung schnell sehr groß. Baupraktisch sind die Tragwerke de facto nicht mehr verwendbar.
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 39 Aus der Beschreibung des Verzweigungsproblems wird klar, dass sich der Moment des Ausknickens bzw. seitlichen Ausweichens nicht ankündigt. Es finden keine sichtbaren Verschiebungen statt und wegen der Druckkraft sind auch Risse eher selten. Darin ist der Hauptgrund zu sehen, dass im Stahlbau Nachweise in dieser Versagensart mit dem Materialsicherheitsbeiwert γ M =, zu führen sind. Im Bild 5-0 sind mit I, II und III Bereiche verschiedener Gleichgewichtslagen bezeichnet: I II III stabiles Gleichgewicht indifferentes Gleichgewicht labiles Gleichgewicht Zum besseren Verständnis sind im Bild 5- weitere Möglichkeiten angegeben, die verschiedenen Gleichgewichtslagen zu beschreiben. stabil labil indifferent y S y D=S y D S D z z z Bild 5-: Gleichgewichtslagen links labil (Bereich III) Mitte indifferent (Bereich II) rechts stabil (Bereich I) Kennzeichnend ist das Verhalten des Systems bei einer kleinen Störung. In den rechten Darstellungen (stabiles Gleichgewicht) werden sich die Kugel (oben) und das Pendel (unten) nach Abklingen des Einflusses der Störung stets wieder in den Ausgangszustand bewegen und dort stabil verharren. Am Verzweigungspunkt wird eine Störung die Kugel (oben) bzw. das Pendel (unten) vom Ausgangszustand wegbewegen und beides wird in einer nicht bekannten (indifferenten) verschobenen Lage verbleiben. Dieses indifferente Gleichgewicht wird im Bild 5-0 durch die seitlichen Äste beschrieben. Eine instabile Gleichgewichtslage liegt vor, wenn die Störung zu einem Anwachsen der Verschiebungen über alle Grenzen führt (linke Darstellungen). Das Pendel (unten) ist nicht mehr brauchbar. Es gibt keine Chance zum stabilen Gleichgewicht zurückzukehren. Auch die Kugel (oben) wird nicht auf die Bergkuppe zurückkehren können. Nachfolgend wird durch Betrachtung des zentrisch gedrückten Stabes in die Stabilitätstheorie eingeführt.
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 40 5.7 Zentrisch belastete Druckstäbe Ableitung der Eulerfälle Es ist offenbar, dass ein gedrückter Stab in Abhängigkeit von seiner Schlankheit und der Größe der Druckkraft dazu neigt, seitlich auszuweichen. Ursache dafür können nur Inhomogenitäten im Material und mithin der Spannungsverteilung im Querschnitt sein. Damit handelt es sich im Grunde also um ein Spannungsproblem, welches aber eben sehr dicht am Verzweigungsproblem liegt. Daher wird die Lösung für das Verzweigungsproblem hier angedeutet. Die gesamte Stabilitätstheorie wiederum ist so umfangreich, dass sie an dieser Stelle nicht umfassend dargestellt werden kann. Es wird u.a. auf die Fachliteratur verwiesen, u.a. [3]. Da hierbei die Differentialgleichung für den ebenen Stab nach Elastizitätstheorie II. Ordnung verwendet wird, ist natürlich die Stabilitätstheorie in der nachfolgenden Schreibweise auch eine Theorie II. Ordnung. Wird die Differentialgleichung für den Stab ohne angreifende Lastfunktion, also für den Fall p(x)= 0 betrachtet, verbleibt von der inhomogenen Differentialgleichung nur deren homogener Teil. Er entspricht also dem System eines zentrisch gedrückten Stabes, da nur noch die Last N x angreift. Sie sei im Folgenden als Druckkraft positiv definiert (s.a. Bild 5-). N x, d z l x Bild 5-: zentrisch gedrückter Stab mit der Länge l und der positiven Druckkraft N x, d Ziel der nachfolgenden Berechnungen ist die Bestimmung der kritischen Last N cr für verschiedene Randbedingungen des Druckstabes. Ausgangspunkt ist wie erläutert der homogene Anteil der Differentialgleichung für den ebenen Stab: w(x)' ' ' ' + λ w(x)' ' = 0 λ = N x, d E I y (5-64) Die Lösung des homogenen Anteils lautet: w(x)= C sin(λ x) + C cos(λ x) (5-65) Die für die Auswertung verschiedener Randbedingungen ggf. notwendigen Ableitungen der Lösung lauten damit: w(x)' = C λ cos(λ x) C λ sin(λ x) w(x)' ' = C λ sin(λ x) C λ cos(λ x)= λ [C sin(λ x) + C cos(λ x)] w(x)' ' = λ w(x) (5-66)
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 4 Allein aus der Lösung und deren Ableitungen ist ersichtlich, warum die Knickfiguren mit den Winkelfunktionen Sinus und Kosinus verknüpft sind. Es erfolgt nunmehr die Auswertung für die im Bild 5-3 angegebenen Lagerungsbedingungen, die im Wesentlichen mit Bild 5- übereinstimmen. N x N ki E I min l s ki Bild 5-3: Eulerfall, beiderseits gelenkig gelagerter Druckstab Die auszuwertenden Randbedingungen lauten: w(x=0)= 0 w(x=l)= 0 (5-67) Aus der ersten Randbedingung folgt wegen cos0 = und sin 0 = 0 sofort: w(x=0)= C 0 + C = 0 C = 0 (5-68) Damit kann die. Randbedingung ausgewertet werden: w(x=l)= C sin(λ l) = 0 (5-69) Gleichung (5-69) wird auch als Knickbedingung bezeichnet. Sie kann nur identisch Null werden, wenn einer der Faktoren Null wird. C = 0 repräsentiert dabei eine unbrauchbare Triviallösung. Folglich muss ausgewertet werden: sin(λ l)= 0 λ l = 0,π, π,... (5-70) Der kleinste Eigenwert (kleinste Lösung der Gleichung) wird erhalten, wenn gilt: λ l = π (5-7) Die Gleichung (5-7) wird quadriert und für λ die Definition (5-64) eingesetzt: λ l = π = N x, d E I y l (5-7) Die Gleichung wird nach der Kraft aufgelöst, die damit in die gesuchte kritische Last N ki
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 4 übergeht: N ki = E I y π l = E I y π (5-73) s k In (5-73) wird mit der Definition s k = β l hier : β = (5-74) noch der Knicklängenbeiwert β eingeführt, der für diesen Fall gleich eins ist. Dieser erste Grundfall geht auf Lösungen von Leonhard Euler zurück, nach dem dieser und die nachfolgenden 3 Fälle benannt sind. Bild 5-3 stellt den Eulerfall dar. Bild 5-4 dagegen einen am Fuß eingespannten Kragarm, den Eulerfall. N x N ki E I min l s ki Bild 5-4: Eulerfall, Kragarm unter zentrischem Druck Auszuwertende Randbedingungen sind in diesem Fall: Fußeinspannung, keine Verdrehung w '( x =0) = 0 freier oberer Rand, kein Biegemoment w ' '( x=l) = 0 Aus der ersten Bedingung folgt C = 0 und damit in Auswertung der zweiten Bedingung (Knickbedingung) für den Eulerfall : w ' '( x=l) = C cos(λ l)= 0 (5-75) Die (unbrauchbare) Triviallösung ist hier C = 0. Die Kosinusfunktion wird gleich Null bei λ l = π ; 3 π ; 5 π,... (5-76) Der kleinste Eigenwert entsteht also bei λ l = π. Das wird nunmehr ausgewertet, indem die Definition für λ eingesetzt wird und nach N x, d = N ki umgestellt wird:
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 43 N ki = E I y π 4 l = E I y π (5-77) s k Im Vergleich der Nenner in Gleichung 5-77 wird klar, dass für den Eulerfall offensichtlich gilt: 4 l = ( l) = s k s k = β l mit β =,0 (5-78) Als nächstes erfolgt die Auswertung der Randbedingungen für den im Bild 5-5 gezeigten beiderseits unverdrehbar gelagerten Stab. Dieser repräsentiert den Eulerfall 4. N x N ki E I min l ski Bild 5-5: beiderseits unverdrehbar gelagerter zentrisch gedrückter Stab, (Eulerfall 4) Neben der Bedingung w(x=0)= w(x=l)= 0 (5-79) aus der sich analog zum Eulerfall direkt C = 0 ergibt (s. 5-68), unterscheidet sich dieser Fall insbesondere darin, dass die Verdrehungen bei x = 0 und x = l jeweils zu Null werden, was unter Verwendung von C = 0 zu C λ cos(λ l)= C λ cos0 (5-80) führt. Da λ per Definition ungleich Null ist, folgt daraus: C [cos(λ l) ] = 0 (5-8) mit C = 0 als unbrauchbarer Triviallösung und cos(λ l)= (5-8) als auswertbarer Knickbedingung. Der kleinste verwendbare Eigenwert ist wegen λ l 0 also durch λ l = π bestimmt:
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 44 N ki l E I y = 4 π N ki = E I y π ( l ) = E I y π s k (5-83) mit l = s k = β l β = 0,5 (5-84) Als letzter der 4 Grundfälle wird abschließend der Eulerfall 3 bearbeitet. Hier ist die Auswertung der Randbedingungen nicht ganz so einfach zu erkennen, wie bei den anderen drei Fällen. Der dritte Eulerfall ist im Bild 5-6 dargestellt. Es handelt sich um einen Stab, der an einer Seite eingespannt und an der anderen Seite gelenkig gelagert ist. N x N ki E I min l s ki Bild 5-6: Eulerfall 3, Druckstab, an einer Seite mit Gelenk und auf der anderen Seite mit einer Einspannung Die Bedingung, dass Verschiebung und Moment an der Stelle des Gelenks ( x = 0 ) jeweils Null werden müssen, führt analog zu: w(x=0)= 0 w ' ' (x=0)= 0 C = 0 (5-85) Am zweiten Auflager, der Einspannung, sind sowohl Verschiebung als auch die Verdrehung jeweils gleich Null: w '(x=l)= w(x=l)= 0 C λ cos(λ l) = C sin(λ l)= 0 (5-86) Wenn die Verdrehung w gleich Null ist, ist auch die l -fache Verdrehung gleich Null: C λ l cos(λ l)= C sin(λ l) = 0 (5-87) Da natürlich auch hier die Triviallösung C = 0 nicht auswertbar ist, wird die Knickbedingung durch Umstellen der Gleichung nach Division durch C erhalten und ausgewertet:
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 45 λ l cos(λ l) = sin(λ l) λ l = sin(λ l) cos(λ l) = tan(λ l) λ l tan(λ l) = (5-88) Der einzige Wert der Tangensfunktion, bei dem das Argument gleich dem Funktionswert ist, ist gegeben durch: λ l = 4,493 (5-89) Damit kann nun berechnet werden: λ l = 4,493 = N ki l N E I ki = E I y π = E I y π y l ( π 4,493 ) s k s k = β l = 0,7 l β = 0,7 (5-90) Als Zusammenfassung zu den Eulerfällen kann festgestellt werden, dass sie sich durch die Definition der Knicklänge s k = β l einheitlich durch: N ki = E I y π s k (5-9) beschreiben lassen, wobei lediglich der Knicklängenbeiwert β angepasst werden muss: Eulerfall 3 4 Beiwert β,0,0 0,7 0,5 Tabelle 5-: Knicklängenbeiwerte β für die Eulerfälle ist in den Bildern 5-3 bis 5-6 be- Eine geometrische Interpretation der Knicklänge s k reits angedeutet: Die Knicklänge s k ist der Abstand der Wendepunkte der Knickfigur des untersuchten Tragwerksteils. Davon ausgehend lassen sich weitere Definitionen angeben. Ist die ideale Knickkraft N ki bekannt, kann bei voraussetzungsgemäß konstantem Querschnitt ( E I y = konst. ) die ideale Knickspannung σ ki berechnet werden:
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 46 σ ki = N ki A = E I y π s k A (5-9) Mit Definition des Schlankheitsgrades λ (Achtung, nicht mit dem λ aus den vorstehenden Berechnungen verwechseln!) λ = s k i mit i = I y A (5-93) kann die Gleichung für die sogenannte Eulerhyperbel aufgeschrieben werden, die einen Zusammenhang zwischen der idealen Knickspannung und dem Schlankheitsgrad des gedrückten Stabes beschreibt: σ ki = E π λ (5-94) Aus dem qualitativen Verlauf der Eulerhyperbel geht hervor, dass mit steigender Schlankheit die ideale Knickspannung überproportional abnimmt (Bild 5-7). σ ki λ= s k i Bild 5-7: Eulerhyperbel, Zusammenhang zwischen dem Schlankheitsgrad λ und der idealen Knickspannung σ ki In Gleichung (5-93) ist mit i der Trägheitsradius definiert. Es ist offensichtlich, dass ein kleinerer Trägheitsradius für eine größere Schlankheit steht und damit nach Bild 5-7 eine kleinere ideale Knickspannung hervorruft. Alle bisherigen Gleichungen wurden für die Ebene entwickelt. Räumlich gesehen wird der Druckstab also zuerst um die schwächere Achse ausweichen wollen. Richtiger wäre somit die Bezeichnung: λ = s k i min (5-95) In den Normen, so auch in EN 993-- wird mit einem bezogenen Schlankheitsgrad λ gearbeitet. Der bezogene Schlankheitsgrad bildet das Verhältnis des Schlankheitsgrades λ zum Bezugsschlankheitsgrad λ, der nach Gleichung (5-96) definiert ist:
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 47 und damit λ = π E f y = 93,9 ε ε = 35 f y (5-96) λ = λ λ (5-97) Der Zusammenhang des in diesem Abschnitt angegebenen Formelsatzes mit den in EN 993-- enthaltenen Ersatzstabverfahren wird durch einige einfache Umformungen und Änderungen der Formelzeichen verdeutlicht. Ausgehend von Gleichung (5-9) wird durch Erweiterung mit der Fläche A erhalten: N ki = A I E π A s k N ki = A i E π s k wobei wegen i = I A geschrieben werden kann. Daraus folgt A N ki = s k i π E und nach Multiplikation mit f y A f y N ki = s k f y i π E Wegen π E = λ f y ist das gleich mit A f y N ki = s k i λ und schließlich wird die Gleichung 6.50 aus EN 993-- erhalten, in der die ideale Knicklast N ki als kritische Last N cr und die Knicklänge statt mit s k als L cr bezeichnet ist: λ = A f y N cr = L cr i λ (5-98) Diese Schreibweise ist ein weiterer Beleg dafür, dass in der Norm die theoretischen Erkenntnisse exakt enthalten sind. Lediglich Bezeichnungen und Schreibweisen werden variiert. L cr wird in EN 993-- als kritische Länge bezeichnet. λ ist ebenfalls ein bezogener Schlankheitsgrad. 5.8 Übergang zum allgemeinen Einzelstab Wird ein einzelner Stab aus einem Tragsystem herausgelöst, sind seine Randbedingungen für die Lagerung in der Regel nicht so leicht anzugeben, wie für die 4 Eulerfälle. Auch die Idee, den definierten Knicklängenbeiwert β so festzulegen, dass ein Nachweisformat entsteht, welches stets auf der sicheren Seite liegt, muss scheitern, da es zum einen
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 48 durchaus β -Werte gibt, die größer sind als für den Eulerfall ( β > ) und zum anderen viele Bauteile schlicht unökonomisch bemessen wären. Das kann nicht Ziel der Ingenieurarbeit eines Tragwerksplaners sein. Folglich werden Überlegungen angestellt werden müssen, wie die Randbedingungen für Einzelstäbe erfasst werden können. Erste Hinweise gibt die verbale Definition der Knicklänge s k (s.s. 45) als Abstand der Wendepunkte der Knickfigur. Wenn es gelingt, die Randbedingungen für aus dem System herausgelöste Einzelstäbe so zu beschreiben, dass sie den diesem Stab zugeordneten Teil der Knickfigur des Gesamtsystems abbilden, dann kann der Stabilitätsnachweis am Ersatzstab geführt werden. Das kann vorteilhaft durch den Ansatz geeigneter Federkonstanten erfolgen (Bild 5-8). N x, d N x, d N x, d C ϕ o C ho Maßgebend ist in jedem Fall die Knickfigur des Gesamtsystems. Diese kann zum Beispiel durch Berechnungen mit EDV-Unterstützung bestimmt werden. Vielfach ist die Figur aber auch aus Erfahrungen bekannt. Dabei ist aber nicht nur die Geometrie des Systems, sondern auch die Verteilung der Steifigkeiten sowie die Anordnung der Stützungen von großer Bedeutung. Das soll am Beispiel eines Rahmens erläutert werden. Im Bild 5-9 ist ein einl Lcr l L cr C ϕ u C hu sk = Lcr C vu Bild 5-8: Herausgelöster Ersatzstab mit Anschlussfedern, Prinzipskizze Federkonstanten sind so zu bestimmen, dass die Knickfigur des Ersatzstabes mit der Knickfigur am System übereinstimmt Es ist klar, dass die Systemsteifigkeit bei der Bestimmung der Federkonstanten eine große Rolle spielen muss. Es ist definitiv nicht immer leicht, diese Werte zu ermitteln. Ebenso ist es kaum möglich, allgemeingültige Rechenregeln anzugeben. Im folgenden Abschnitt werden einige Anregungen gegeben, wie Federkonstanten zu berechnen sind. Beim Herauslösen eines Ersatzstabes aus einem System ist wie folgt vorzugehen: a) Einschalten eines Gelenkes und Ersatz der Drehsteifigkeit durch eine adäquate Drehfeder b) Einschalten einer Verschieblichkeit und Ersatz durch eine adäquate Wegfeder
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 49 geschossiger Rahmen mit (seitlich) unverschieblicher Lagerung dargestellt. Der Rahmen hat eine symmetrische Knickfigur, die dem Eigenwert des Systems zugeordnet werden kann (s.a. Verzeigungslastfaktor, s. folgender Abschnitt 5.9). Die Federsteifigkeiten müssen so festgelegt werden, dass der Ersatzstab die rot skizzierte Knicklinie aufweist. N x, d, N x, d, C ϕ o C ho s k = L cr h h L cr Bild 5-9: unverschieblicher Rahmen mit symmetrischer Knickfigur, L cr = β h Für unverschiebliche Rahmensysteme gilt allgemein: sehr steifer Riegel β 0,7 ( C φ groß, Näherung an Eulerfall 3) sehr weicher Riegel β,0 ( C φ klein, Näherung an Eulerfall ) Die Wegfeder sichert hier die seitliche Unverschieblichkeit, ist also entsprechend groß. Im Grenzfall kann hier auch ein festes Lager angegeben werden. Im Bild 5-0 ist nun dargestellt, wie sich der Rahmen als verschiebliches System verhält, also bei Wegfall der horizontalen Halterung. Aus der ehemals symmetrischen Knickeigenform wird eine antimetrische Knickeigenform. N x, d, N x, d, C ϕ o s k = L cr h h L cr Bild 5-0: seitlich verschieblicher Rahmen, erheblich größere Knicklängen als bei unverschieblichen Rahmen, z.t. β >,0
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 50 Die seitliche Verschieblichkeit fordert, dass keine Wegfeder mehr in horizontaler Richtung angeordnet werden darf. Lediglich die Drehfeder ist zu bestimmen und anzusetzen. Die Übergänge zwischen den Systemen nach Bild 5-9 und Bild 5-0 sind fließend. Vielfach kann nicht vorausgesagt werden, ob eine Knickfigur symmetrisch oder antimetrisch entsteht. Petersen gibt in seinen Werken viele praktische Hinweise dazu [3]. Im Bild 5- ist schematisch das Vorgehen des Herauslösens eines Stabes aus einem Rahmensystem demonstriert. N x, d, N x,d, N x,d,3 N x,d, C ϕ N x,d, C ϕ 3 h C ϕ 4 C ϕ N x, d, N x,d, N x,d,3 b b b N x,d, Bild 5-: schrittweises Herauslösen eines Stabes aus einem größeren System nach Roik [] Im Bild 5- ist zu beachten, dass die Drehfederkonstanten im mittleren und rechten Bild unterschiedlich sind. Ferner ist zu berücksichtigen, dass die angedeutete Symmetrie und damit die Lage der Wendepunkte der Knickfigur in den Systemknoten nur bei ebenfalls symmetrischer Geometrie UND symmetrischer Verteilung der Steifigkeiten zutreffen kann. Im Bild erkennbar sind auch verschiedene vertikale Lasten, die in den Stützen Druck erzeugen. Im Folgenden soll nun ein konkreter Lastzustand in einem System betrachtet werden, der gleichmäßig so lange gesteigert wird, bis das System ausknickt, also auf Stabilität versagt. Der kritische Lastzustand wird erreicht, wenn der ursprüngliche Zustand um einen einheitlichen Faktor linear erhöht wird. Dieser Faktor wird der Verzweigungslastfaktor, der in EN 993-- eine entscheidende Rolle spielt.
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 5 5.9 Der Verzweigungslastfaktor Die folgenden Überlegungen wurden im Wesentlichen der Literatur [] entnommen. Es soll zunächst ein einfaches System betrachtet werden (Bild 5-). N z, d N z, d k x, S x, E I = E A = ẑ l ϕ klein x A x A z Bild 5-: einfaches System zur Bestimmung der Verzweigungslast und des Verzweigungslastfaktors Die Dehnsteifigkeit und die Biegesteifigkeit des Stabes im Bild 5- sollen außer Betracht bleiben, haben also den Wert. Damit behält der Stab bei Belastung seine Gestalt bei. Am unteren Ende sei ein Vollgelenk angeordnet. Dort treten infolge einer Belastung, im Beispiel eine vertikale Belastung N z,d, nur die Stützkräfte A x und A z auf. Die Koordinatenachsen x und ẑ wurden zur Unterscheidung von den üblichen Stabkoordinatensystemen, bei denen x die Stabachse und y und z die Querschnittsachsen sind, mit einem übergestellten Dach indiziert. Dieses Koordinatensystem gilt für das gesamte System und wird als globales Koordinatensystem bezeichnet. Jedes EDV-Programm arbeitet mit verschiedenen Koordinatensystemen. Es soll nunmehr die Last N cr in Abhängigkeit von N z,d bestimmt werden, bei der das System seitlich ausweicht. Solange das System nicht ausweicht, treten offenbar keine horizontalen Stützkräfte auf. Der Fall des Ausweichens ist im Bild rechts dargestellt. Die Feder mit der Konstante k x, muss gedehnt (oder gedrückt) werden. Dafür ist die Federkraft S x, verantwortlich, die im Gleichgewicht mit der Stützkraft A x stehen muss. Da nur der Moment des Ausweichens gesucht ist, reicht es aus, die Betrachtungen für kleine Winkel ϕ durchzuführen. Es ist offensichtlich, dass der Stab ohne Federkonstante sofort, also ohne vertikale Belastung ausweichen würde. Ist dagegen die Konstante sehr groß (Grenzfall k x, = ) kann der Stab beliebig hoch beansprucht werden. Es ist also notwendig, über die Federkonstante Aussagen zu treffen. Zur Ermittlung von Federkonstanten wird im Abschnitt 5.0 einiges ausgesagt. Hier sollen aber bereits einige grundlegende Überlegungen angegeben werden. Bild 5-3 zeigt qualitativ den Zusammenhang zwischen Verschiebungen, Federkonstanten und Federkräften. Dabei wird eingeteilt:
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 5 a) progressives Federgesetz (grüne Linie) b) lineares Federgesetz (blaue Geraden) c) degressives Federgesetz (rote Linie) S Federkraft Federmoment k Verschiebung Verdrehung v Bild 5-3: Federgesetze, qualitative Darstellung Im Folgenden wird mit linearen Federgesetzen gearbeitet, was wiederum mit der Zulassung von nur kleinen Verschiebungen begründet werden kann. Dabei ist die Federkonstante der Proportionalitätsfaktor. Es wird unterschiedenen zwischen Wegfedern und Drehfedern: S = k v Wegfeder mit k = Federsteifigkeit, Federkonstante S =Federkraft (5-99) M ϕ =k ϕ ϕ Drehfeder k ϕ =Drehfedersteifigkeit M ϕ =Federmoment Bei Systemen mit mehreren Federn ist zu unterscheiden, ob die Federn gekoppelt sind, oder ob sie linear unabhängig von einander arbeiten können. Im ersten Fall sind neben den Konstanten aus Gleichung (5-99) weitere Konstanten zu beschreiben. Der Zusammenhang ist dann durch die Gleichung (5-00) gegeben: [ S S ] = [ k k k k ] [ v v ] (5-00) Im Fall mehrerer linear unabhängiger Federn sind die Konstanten, welche die gegenseitige Beeinflussung der Federn beschreiben entsprechend gleich Null: [ S S ] = [ k 0 0 k ] [ v v ] (5-0) In EDV-Programmen wird eine entsprechende Federmatrix belegt. Gleichung (5-0) enthält wegen der Unabhängigkeit der Federn untereinander so viele Gleichungen (5-99), wie das System Federn hat.
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 53 Am System aus Bild 5- werden nun die Gleichgewichtsbedingungen ausgewertet: H =! 0 A x =S x,, V =! 0 A z =N z,d (5-0) M =! 0 S x, l =N z,d v x Dabei ist v x die horizontale Kopfauslenkung des Stabes. Sie kann für übliche kleine Winkel ϕ durch die Stablänge ausgedrückt und in das Momentengleichgewicht eingesetzt werden: v x = ϕ l (5-03) S x, l =N z,d ϕ l S x, =N z,d ϕ Nunmehr kann die in der Feder absorbierte Kraft S x, durch das lineare Federgesetz (5-99) beschrieben werden: k x, v x =N z,d ϕ (5-04) und die horizontale Verschiebung v x wird wiederum durch das Produkt aus Drehwinkel und Stablänge ersetzt (5-03) und umgestellt: k x, ϕ l =N z,d ϕ ϕ (N z,d k x, l)=0 (5-05) Die Gleichung (5-05) hat zwei Lösungen:. Fall ϕ = 0 Theorie I.Ordnung. Fall N z,d =k x, l N z,d =N cr (5-06) Der. Fall repräsentiert die Knickbedingung. Die Last N z,d geht in die gesuchte Verzweigungslast über und es kann definiert werden: N cr = α cr N z,d (5-07) Der Faktor α cr, um den die Ausgangslast N z,d erhöht werden muss, damit das System seitlich ausweicht, das Gleichgewicht also verzweigt, wird Verzweigungslastfaktor genannt. Dieser Faktor wird in EN 993-- zur Beurteilung von Systemen genutzt. Überschreitet er ein gewisses Maß, dann muss dass System nach Theorie II. Ordnung nachgewiesen werden. Anderenfalls reicht ein Nachweis nach Theorie I. Ordnung aus. Bevor ein konkreter Anwendungsfall gezeigt wird, soll zunächst noch ein System mit Federn untersucht werden. Die gegebenen Werte sind im Bild 5-4 aufgezeichnet. An diesem Beispiel wird deutlich, dass durch α cr nicht die Lasten gesteigert werden, wie aus dem Begriff Verzeigungslastfaktor fälschlich abgeleitet werden könnte, sondern der Nor-
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 54 malkraftzustand des Systems. Daher wurde im ersten Beispiel auch mit der Bezeichnung für die Normalkraft N z,d gearbeitet. Zuerst ist in einem System also der Normalkraftzustand nach Theorie I. Ordnung zu ermitteln. Das Ergebnis ist im Bild 5-4 auf der rechten Seite mit angegeben. k x, F S x, F l F N z, = F k S x, x, F E I = E A = ẑ x l ϕ klein A x N z, = F +F A z Bild 5-4: Beispiel zum Verzweigungslastfaktor, starres Stabsystem mit unabhängigen Federn Der Verzweigungslastfaktor α cr wird nun analog dem ersten Beispiel ermittelt und berechnen sich wie folgt: S x, = ϕ l k x, S x, = ϕ (l +l ) k x, (5-08) M =! 0 S x, (l +l ) +S x, l F ϕ (l +l ) F ϕ l =0 Der zur Übergang zur Verzweigungslast wird erreicht, indem alle Belastungen, und damit der Normalkraftzustand, mit α cr, dem Verzweigungslastfaktor vervielfacht werden, um die Gleichung auszuwerten: S x, (l +l ) +S x, l α cr F ϕ (l +l ) α cr F ϕ l =0 ϕ (l +l ) k x, (l +l ) + ϕ l k x, l α cr F ϕ (l +l ) α cr F ϕ l =0 (5-09) Mit ϕ =0 ist wieder die Lösung nach Theorie I. Ordnung gegeben. Da diese Lösung hier nicht gesucht ist, darf wegen ϕ 0 durch ϕ dividiert und umgestellt werden.: (l +l ) k x, +l k x, α cr F (l +l ) α cr F l =0 (l +l ) k x, +l k x, = α cr (F (l +l ) +F l )
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 55 α cr = (l +l ) k x, +l k x, = N cr F (l +l ) +F l N (5-0) Mit Hilfe des Verzweigungslastfaktors α cr bzw. seinem Reziprokwert q cr = α cr (5-) wird in EN 993-- ein Abgrenzungskriterium formuliert. Zur Erläuterung dessen wird das folgende Beispiel betrachtet (Bild 5-5). N z, d ϕ l N z, d E I = E A = ẑ H x, d l ϕ H x, d x A x M y A z C ϕ y Bild 5-5: Kragarm nach Theorie II. Ordnung Das Moment M y am Fuß der im Bild 5-5 dargestellten Stütze berechnet sich unabhängig von der Drehfederkonstante C ϕy aus: M y I =H x,d l (5-) Nach Theorie II. Ordnung müssen die Gleichgewichtsbedingungen am verformten System aufgestellt werden. Es wird erhalten: M y II =H x,d l +N z,d ϕ l (5-3) M y II =M y I + M y M y =N z,d ϕ l (5-4) Es ist auch hier zu erkennen, dass die Erhöhung der Biegemomente von Theorie I. Ordnung zu Theorie II. Ordnung ( M y ) sowohl von der Last N z,d als auch von der seitlichen Verformung v = ϕ l abhängt. Damit gilt das lineare Superpositionsgesetz bei Theorie II. Ordnung nicht mehr. Darauf ist insbesondere bei der Anwendung von EDV-Programmen zu achten. Schnittgrößen und Verformungen nach Theorie II. Ordnung aus verschiedenen Berechnungen und/oder Lastfällen dürfen nicht superponiert werden!
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 56 Die Drehfederkonstante C ϕy im Bild 5-5 rechts steht für die Einspannung am Kragarm. Sie muss folglich das gesamte Biegemoment dort absorbieren, bei seitlichen Verformungen auch das Moment nach Theorie II. Ordnung: M II y =C ϕy ϕ ϕ = M II y (5-5) C ϕy Damit kann der (unbekannte, kleine) Drehwinkel ϕ in Gleichung (5-4) ersetzt werden: M II y =M I y +N z,d M II y l (5-6) C ϕy Diese Beziehung wird umgeformt: M y I =M y II M y II N z,d l C ϕy =M y II ( M y II =M y I ( N z,d l C ϕy ) N z,d l C ϕy ) (5-7) Aus (5-7) kann der Verzweigungslastfaktor durch eine Grenzwertbetrachtung gewonnen II werden. Das Biegemoment nach Theorie II. Ordnung M y wächst über alle Grenzen, wenn der Nenner auf der rechten Seite zu Null wird. Daraus folgt: N z,d l = N C z,c =N cr = C ϕy ϕy l (5-8) für die Verzweigungslast. Damit kann in (5-7) ersetzt werden: M y II =M y I ( N z,d N cr ) =M I y ( q cr ) =M y I k (5-9) In Abhängigkeit von der Größe des Wertes q cr bzw. k kann nun entschieden werden, wo ein System rechnerisch einzuordnen ist. Tabelle 5- gibt dafür Anhaltspunkte. Abschließend sei noch angemerkt, dass (5-9) auch für Verformungen anwendbar ist: v y II =v y I ( N z,d N cr ) =v I y ( q cr ) =v y I k (5-0)
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 57 q cr = α cr = N N cr k = q cr α cr = q cr Hinweise 0,0,00 Berechnung nach Theorie I. Ordnung ausreichend 0,, 0,00 0,,5 5,00 Berechnung muss nach Theorie II. 0,3,43 3,33 0,4,67,50 Ordnung erfolgen, üblicher baupraktischer Bereich 0,5,00,00 sehr weiche Systeme, Bedingung 0,6,50,67 0,7 3,33,43 kleiner Verformungen und Drehwinkel nicht mehr eingehalten, Systeme im Bauwesen meist nicht mehr sinnvoll 0,8 5,00,5 unbrauchbare Systeme 0,9 0,00,,0,00 Tabelle 5-: zur Anwendung von q cr und α cr Für die Anwendung der Norm EN 993-- ist die Grenze zwischen Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung interessant: Der Einfluss der Theorie II. Ordnung darf vernachlässigt werden, wenn der Zuwachs der maßgebenden Schnittgrößen infolge der Theorie II. Ordnung kleiner als 0 % ist. In EN 993-- wird das Kriterium wie folgt ergänzt: q cr = N Ed 0, N cr bei elastischer Berechnung von N Ed (5-) q cr = N Ed N cr 0,067 bei plastischer Berechnung von N Ed Abschließend zu dieser Thematik sei angemerkt, dass für die Anwendung des Abgrenzungskriteriums der Verzweigungslastfaktor zu berechnen ist. Streng genommen muss damit für den Nachweis, dass eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung nicht erfolgen muss, eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung durchgeführt werden. Zum Einsatz des Abgrenzungskriteriums abschließend ein kleines Beispiel. Betrachtet wird der Kragarm aus Bild 5-5. Die kritische Last kann nach dem Eulerfall bestimmt werden. Die für den baupraktischen Einsatz unsinnige Bedingung E I = kann hier entfallen und wird durch ein reales Profil ersetzt. Vorliegend wird eine Stütze aus einem U-Profil (U- 0) mit einer Höhe von 3,0 m betrachtet. Es soll die Last N berechnet werden, bei der die Stütze gerade noch nach Theorie I. Ordnung berechnet werden darf.
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 58 Folgende Profil- und Materialwerte können Tabellenwerken entnommen werden: E =0000 N mm, I min =970000mm 4 Die ideale Knicklast N ki berechnet sich zu: N ki = π E I min s k (5-) und entspricht beim Eulerfall der kritischen Last N cr. Der Knicklängenbeiwert ist β =,0 und damit wird: N ki =N cr = π 0000 970000 (3000mm,0) =348,N =3,4kN (5-3) Für den Fall, dass die einwirkende Normalkraft im Kragarm als Schnittgröße in einer elastischen Tragwerksberechnung ermittelt wird, gilt für q cr als Grenzwert: q cr = N Ed N cr 0, N Ed 0, N cr =,34kN (5-4) Als Ergebnis einer plastischen Tragwerksberechnung darf N Ed lediglich q cr = N Ed N cr 0,067 N Ed 0,067 N cr =7,599kN (5-5) betragen. Das erscheint zunächst als Widerspruch, wird aber verständlich, wenn beachtet wird, dass im Ergebnis einer plastischen Berechnung bereits diverse Systemreserven ausgenutzt wurden, die im Falle elastischer Nachweise (noch) vorhanden sind. Da in diesem Abschnitt viel über Federsteifigkeiten und Federkonstanten geredet wurde, soll im folgenden Abschnitt für einige Grundfälle die Ermittlung der Federkonstanten gezeigt werden. Anschließend wird dargelegt, welche Möglichkeiten der Stabilitätsnachweise der Eurocode bietet. Die theoretischen Grundlagen wurden bereits erläutert. 5.0 Beispiele zur Ermittlung von Federsteifigkeiten Tragwerksteile, wie zum Beispiel an einer Stütze anschließende Riegel oder auch Fachwerkstäbe, die an den Gurten befestigt sind, können gleichwertig ersetzt werden durch: a) Wegfedern b) Drehfedern c) Wegbettung und/oder d) Drehbettung.
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 59 Dabei sind Federn gemäß a) und b) an Punkte bzw. Punktknoten gekoppelt, während Bettungen gemäß c) und d) entlang einer Linie oder bezogen auf eine Fläche beschrieben werden. Linienbettungen werden beispielsweise bei Pfählen eingesetzt, aber auch bei der Stabilisierung von Rahmenriegeln durch Dach- oder Deckenscheiben. Der Klassiker für die Flächenbettungen ist die Beschreibung des Baugrunds. Die Federn nach a) und c) entsprechen Verschiebungen von Bauteilen bzw. Bauteilknoten. Dagegen sind b) und d) Verdrehungen der Bauteile bzw. Bauteilknoten adäquat. Eine Feder kann Kräfte oder Momente speichern bzw. absorbieren. Die in der Feder gespeicherte Kraftgröße ist mit dem Federweg, also der zugehörigen Verschiebung oder Verdrehung über das Federgesetz gekoppelt. Die Federkonstante einer Wegfeder ist die Kraft, die benötigt wird, den Federweg der Größe Eins zu erzeugen. Analog entspricht die Drehfederkonstante dem Drehmoment, welches den Winkel der Größe Eins erzeugt. Folglich ergibt das Produkt aus Federkonstante und zugehöriger Verschiebung/Verdrehung die in der Feder absorbierte Kraftgröße. Das wurde mit den Gleichungen (5-99) bereits aufgeschrieben und im Bild 5-3 verdeutlicht. Für die konkrete Bestimmung von Federkonstanten müssen die Bauteile in Maß und Material bekannt sein. Im einfachsten Fall kann eine Dehnfeder über die Dehnung/Stauchung eines Bauteils berechnet werden. Das wird aktuell von sehr vielen EDV-Programmen für Deckenplatten exakt so umgesetzt, zum Teil ohne das der Nutzer etwas davon weiß. F l F l E A l Bild 5-6: Bestimmung einer Wegfeder als Dehnfeder Der Federweg, den die Auflast F erzeugt berechnet sich nach den bekannten Gleichungen der Festigkeitslehre (s.a. Abschnitt 3). Als Federkonstante ist nun die Kraft F zu suchen, die den Weg Eins (hier also l =,0 m ) erzeugt. k =F l =m ε = l l = l = σ E = F E A l = k E A k =E A l [ Länge] Kraft (5-6) Im Einsatz für Wände wird die Fläche A oft auf einen imaginären Wandabschnitt von,0m Länge bezogen und dann nicht in der Einheit Kraft je Längeneinheit, sondern Kraft
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 60 je Flächeneinheit angegeben. Im zweiten Fall soll der Widerstand als Feder angegeben werden, den ein Kragarm einer quer an seinem Ende angreifenden Kraft entgegensetzt: System und Feder sind im Bild 5-7 aufgezeichnet. wennv =,0m k =F l v k Bild 5-7: Feder, die einen Kragarm ersetzt (Wegfeder) Für die Bestimmung der Dehnfeder konnten einfache Gleichungen herangezogen werden. Im Allgemeinen Fall kann die Einheitsverschiebung v =m nicht so einfach bestimmt werden. Zur Berechnung der Durchbiegungen ist aber die Arbeitsgleichung aus der Statik bekannt. Diese kann hier entsprechend eingesetzt werden. An der Stelle, an der die Feder gesetzt werden soll, ist eine virtuelle Einheitslast in Richtung des geplanten Federweges anzusetzen und mit der Schnittgröße (Biegemoment) zu überlagern, die in dem Bauteil wirkt, welches durch die Feder ersetzt werden soll (Bild 5-8). E I l k =F v M =F l k =F M = l Bild 5-8: virtuelle Belastung und Federkraft k =F erzeugen Biegemomente M und M im Stab für den Ansatz der Arbeitsgleichung zur Berechnung des Federweges v Damit lässt sich der Federweg v nach dem Arbeitssatz bestimmen: v == E I M Mdx = l E I F l l 3 k =F = 3 E I l 3 (5-7)
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 6 Als drittes Beispiel zur Ermittlung von Federkonstanten soll die Drehfederkonstante als Widerstand eines Kragarms angegeben werden, den er einem Moment an freien Ende entgegensetzt (Bild 5-9). G,I T ϕ In beiden Fällen ist die Federkonstante am abgetrennten Teilsystem zu berechnen, jeweils rechts daneben dargestellt. Für das im Bild links dargestellte System ist die Berechnung einfach, weil das Teilsystem statisch bestimmt ist. Auf der rechten Seite ist die Federwirl M t wennϕ = C ϕ =M t Bild 5-9: Drehfederkonstante eines Kragarms (Torsionsfeder) Für den vorstehenden Fall können ähnlich wie bei der Dehnfeder die Widerstandswerte des Profils auf Torsion verwendet werden. Das ist im Wesentlichen die Torsionssteifigkeit und es wird erhalten: C ϕ = G I T l (5-8) Zwei weitere häufig auftretende Fälle aus der Praxis sind im Bild 5-30 aufgezeichnet. Dabei kann es sich z.b. um Rahmenecken handeln, hier seitlich unverschieblich gelagert. In beiden Fällen wird das System an der Ecke aufgetrennt und der vertikal dargestellte Tragwerksteil soll durch eine Feder gleichwertig ersetzt werden. E I E I l E I l E I E I ϕ = N M = E I C ϕ =M l l ϕ = N M = C ϕ =M wennϕ = C ϕ =M wennϕ = C ϕ =M N N Bild 5-30: Rahmenecken, seitlich unverschieblich gelagert, Fälle Ersatz des jeweils vertikalen Tragwerksteils durch Drehfedern
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 6 kung an einem einfach statisch unbestimmten System zu berechnen. Zunächst aber zum einfacheren System. Am Teilsystem entstehen etwa analog dem Bild 5-8 die Momentenfunktionen infolge M =C ϕ und M = als Dreiecke mit dem Maximalwert an derselben Stelle. Damit erfolgt die Auswertung der Arbeitsgleichung: l E I ϕ = M Mdx (5-9) 0 ϕ == M M E I 3 l mit M = und M =C ϕ C ϕ = 3 E I l (5-30) Statt der dreieckförmigen Momentenfunktionen entstehen am einfach statisch unbestimmten Teilsystem für den Fall im Bild 5-30, rechte Seite, sogenannte verschränkte Trapeze, deren Ordinaten mit dem Kraftgrößenverfahren zu ermitteln sind. Als statisch Überzählige X wird das Einspannmoment am oberen Lager gewählt. Das statisch bestimmte Hauptsystem ist damit also ein Träger auf Stützen (im Bild 5-3, vertikal dargestellt). E I X = E I M X = M 0 v l 3 l M = C ϕ =M M v Bild 5-3: Bestimmung der Momentenlinien M v Kraftgrößenverfahren M v 0 M v 0 mit dem Die Momentenfunktionen für M und C ϕ haben offenbar dieselbe Form. Daher wird die Berechnung am statisch unbestimmten System für ein Vergleichsmoment M v durchgeführt. Für X = ist die Momentenfunktion ein Dreieck mit dem Maximalwert am oberen Auflager. Für M v wird das maximale Moment mit der Ordinate M v am unteren La- 0 0 ger erhalten. Damit können zunächst die Vor- und Belastungszahlen berechnet werden: l E I δ = M M dx = X X 3 l (5-3) 0 l E I δ 0 = M 0 v M dx = X 6 M 0 v l (5-3) 0 X = δ 0 = M 0 v δ (5-33)
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 63 Mit Kenntnis der statisch Überzähligen kann das Moment M v System berechnet werden: am statisch unbestimmten M v =M v 0 +X M X (5-34) x =0 untereslager M v (0)=M 0 v M 0 v 0 =M 0 v x =l obereslager M v (l )=0 M 0 v = M 0 v (5-35) Die Ergebnisordinaten aus Gleichung (5-35) sind im Bild 5-3, rechts, bereits dargestellt und vermaßt. Sowohl das Moment für M als auch das Moment für C ϕ haben diese Form und die Federkonstante kann nunmehr nach dem bekannten Vorgehen mit der Arbeitsgleichung berechnet werden. Dabei werden jeweils Dreiecke mit den Grundseitenlängen 3 l und 3 l integriert, wobei die Dreiecke jeweils gleichgerichtete Maximalordinaten haben (Wert gem. Integrationstafel 3 l E I ϕ = 0 3 l C ϕ Mdx + 0 3 wie schon bei vorherigen Beispielen). ( C ϕ ) ( M )dx (5-36) In Gleichung (5-36) ist das erste Integral der Anteil für das untere Dreieck des verschränkten Trapezes und der obere Anteil wird im zweiten Teilintegral erfasst. Nunmehr kann für ϕ = und M = die Gleichung integriert und nach C ϕ aufgelöst werden. E I = 3 l 3 C ϕ + 3 l 3 ( C ϕ ) ( ) =C ϕ l ( 4 9 + 36 ) C ϕ = 4 E I l (5-37) Als letztes Beispiel für die Bestimmung von Federkonstanten soll das im Bild 5-3 angegebene System untersucht werden. l l wennv = k =F F N v N l v E I Bild 5-3: Träger auf Stützen als federndes Auflager, Wegfeder
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 64 Die virtuelle Last für die Verschiebung und die Federsteifikeit k ist jeweils in Feldmitte des zu ersetzenden Trägers auf Stützen anzusetzen und erzeugt ein Moment mit einer F l Dreiecksfunktion (Spitze in Feldmitte, maximaler Wert ). 4 Damit kann die Arbeitsgleichung ausgewertet werden. Für die Überlagerung zweier Dreiecksfunkionen mit maximalen Ordinaten an derselben Stelle wird wiederum der Integrationsfaktor maßgebend (Integraltafel): 3 l E I v = MMdx = 3 3 l F l 4 l 4 =k l 48 0 k = 48 E I l 3 (5-38) In der Praxis sind an einem Knoten oft mehrere Stäbe angeschlossen. Ferner kann auch beim schrittweisen Herauslösen eines Ersatzstabes die Anordnung mehrerer Federn an einem Lager nötig sein. Mehrere Federn können mittel der linearen Federgesetze miteinander kombiniert und zusammengefasst werden. Dabei sind zwei Grundfälle zu unterscheiden. a) Reihenschaltung von Federn b) Parallelschaltung von Federn Die Kombination von Federn wird auch bei der Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen benötigt und genutzt. Reihenschaltung, Parallelschaltung und Kombinationen von beiden gehorchen ähnlichen Gesetzen, wie elektrische Widerstände. Für die im Bild 5-33 links dargestellte Reihenschaltung muss jede beteiligte Feder die gesamte Kraft F übertragen. Insgesamt wird das System in der Kombination weicher, als bei jeder einzelnen Feder. Bei Krafteinwirkung erzeugt die Kraft F in der ersten Feder die zugehörige Verschiebung v und in der zweiten Feder die zugehörige Verschiebung v. Die Summe aus beiden Verschiebungen v =v +v kann der gesuchten Federkonk k k k k k k 3 Bild 5-33: Kombination von Federn, Federgesetze links: Reihenschaltung, Mitte: Parallelschaltung, Rechts: Kombination aus Reihen- und Parallelschaltung
Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 65 stante des Systems bei Reihenschaltung zugeordnet werden. Nach den linearen Federgesetzen kann damit geschrieben werden: F =v k +v k = (v +v ) k ges (5-39) Für eine Einheitslast F = lassen sich mit v = k und v = k auf der rechten Seite der Gleichung (5-39) v und v ersetzen und es wird das Gesetz für die Reihenschaltung bei gekoppelten Federn erhalten: ( k + k ) k ges = k ges = k + k (5-40) bzw. verallgemeinert für n in Reihe geschaltete Federn: n k ges = i= k i v i = k ges k i v ges (5-4) Mit der zweiten Gleichung (5-4) ist der auf die Feder i entfallende Anteil der Gesamtverschiebung zu berechnen. Im Falle der Parallelschaltung (Bild 5-33, Mitte) teilt sich die Gesamtkraft im Verhältnis der Federkonstanten auf. Alle Federn haben dieselbe Verformung v =v =v und für die Kräfte kann geschrieben werden: und es wird mit F ges =k ges v =F +F =k v +k v (5-4) n k ges = i= k i F i = k i k ges F ges (5-43) das Gesetz für die Parallelschaltung von n Federn gefunden. Für die dritte Darstellung in Bild 5-33 kann unter Verwendung der beiden Grundgesetze für die Federkonstante k ges geschrieben werden: k ges = k + k +k 3 (5-44)