1 Verknüpfungen, Halbgruppen, Gruppen

1 Verknüpfungen, Halbgruppen, Gruppen 1.1 Def. M (i) assoziatives : M M M (a,b) a b heißt Verknüpfung auf M. (ii) Verknüpfung auf M heißt assoziativ a, b, c M Verknüpfung auf M heißt kommutativ a, b M 1.2 Def. H, Verknüpfung auf M (i) (H, ) heißt Halbgruppe ist assoziativ (ab)c = a(bc) ab = ba (ii) (H, ) Halbgruppe, dann e H heißt linksneutrales (rechtsneutrales) ea = a Element a H (ae = a) (iii) e H heißt neutrales Element e links- und rechtsneutral 1.3 Lemma Halbgruppe H besitzt höechstens ein neutrales Element. 1.4 Def. linksinvers Sei (H, ) eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Sei a H. Ein Element b H heißt linksinvers zu a b a = e 1.5 Def. Sei G eine nichtleere Menge. Sei eine Verknüpfung auf G. Das Paar (G, ) heißt Gruppe (i) ist assoziativ (ii) e G a G : e a = a (Existenz eines linksneutralen Elementes) (iii) e G mit (ii) a G b G : b a = e (Lösbarkeit der Gleichung) 1

1.6 Lemma Rechenregeln in Gruppen Sei (G, ) eine Gruppe mit linksneutralem Element e. Dann gelten: (i) a,b G (b a = e = a b = e) (ii) e ist neutrales Element in G (somit nach } Lemma {{ 1.4} : e ist eindeutig bestimmt. neutr. Elt. eindeutig (iii) a G ex. genau ein b G mit b a = e (b = a 1, das Inverse von a) (iv) a,b G (a b) 1 = b 1 a 1, insbesondere (a 1 ) 1 = a (v) a,x,y G (Kürzungsregeln) a x = a y = x = y x a = y a = x = y (vi) a,b G ex. genau ein x und genau ein y mit ax = b und ya = b (vii) a G ist die Linkstranslation l a : G G l a (x) = a x und die Rechtstranslation r a : G G r a (x) = x a bijektiv 1.7 Lemma Sei (G, ) eine Halbgruppe. Dann gilt: (G, ) ist Gruppe a G sind die Linkstranslation l a und die Rechtstranslation r a surjektiv. 1.8 Lemma Sei G eine nichtleere endliche Menge. Sei (G, ) eine Halbgruppe. Dann sind folgende Aussagen äquivalent (i) (G, ) ist Gruppe 2

(ii) In jeder Spalte und in jeder Zeile der Verknüpfungstafel von steht jedes Element von G. (iii) Es gibt weder eine Spalte s noch eine Zeile z in der Verknüpfungstafel mit der folgenden Eigenschaft: s enthält ein Element von G zweimal z enthält ein Element von G zweimal 1.9 Def. Eine Gruppe (G, ) heißt abelsch oder kommutativ a,b G : a b = b a M Menge γ(m) Menge der Bijektionen von M in sich 3

2 Gruppenhomomorphismen 2.1 Def. Seien (G, ) und (G, ) Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G G heißt Homomorphismus a,b G : ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) 2.2 Lemma (i) Seien G,G Gruppen mit den neutralen Elementen e bzw. e. Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Dann gelten: ϕ(e) = e, a G : ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1 (ii) Sind G,G,G Gruppen und sind sowie ϕ : G G ϕ : G G Homomorphismen dann ist ϕ ϕ ein Homomorphismus von G nach G. 2.3 Def. Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Sei e das neutrale Element in G. Dann heißen 2.4 Def. {a a G,ϕ(a) = e } Kern von ϕ (Kern ϕ) {a G a G : ϕ(a) = a } Bild ϕ Ein Homomorphismus ϕ : G G heißt Monomorphismus ϕ injektiv Epimorphismus ϕ surjektiv Isomorphismus ϕ bijektiv Falls G = G, so heißt ϕ Endomorphismus. 4

Ein Isomorphismus ϕ : G G heißt Automorphismus. Zwei Gruppen G und G heißen isomorph 2.5 Lemma Isomorphismus ϕ : G G Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Dann gelten (i) ϕ ist Monomorphismus Kern ϕ = {e} (ii) ist ϕ ein Isomorphismus, so ist auch ϕ 1 ein Isomorphismus. G a G ϕ a : G G x axa 1 Automorphismus innerer Automorphismus von G Aut ϕ von G heißt innerer Automorphismus von G a G : ϕ = ϕ a 5

3 Untergruppen 3.1 Def. Sei (G, ) eine Gruppe. Sei U G. Dann heißt (U, ) Untergruppe von G (U, ) ist Gruppe implizit: U ist bei abgeschlossen a,b Ugilta b U U UG von G e neutral in G e neutral in U = e = e e e kürzen = e = e e 3.2 Lemma Sei G eine Gruppe. Sei U G,U Dann gilt: U ist UG von G a,b U gilt a b 1 U Proof. ist U UG = mit a,b U gilt auch a b 1 U Umgekehrt gelte a,b Ua b 1 U a U Vor. für a,a a a 1 U = e U b U Vor. mit e,b e b 1 U = b 1 U Verknüpfung auf U : a,b U = a,b 1 U = a b 1 U = V or. a (b 1 ) 1 6

3.3 Lemma Sei ϕ : G G ein Homomorphismus Dann gelten: (i) Ist U UG von G, dann ist ϕ(u) UG von G. Insbesondere ist Bild ϕ eine UG von G. (ii) Ist U UG von G ϕ 1 (U ) = {a G ϕ(a) U} ist UG von G. Insbesondere Kern ϕ ist UG von G Inn(G) = Menge der inneren Automorphismen von G Inn(G) Aut(G) γ(g) 7

4 Normalteiler 4.1 Def. Sei G eine Gruppe. Sei H eine UG von G. Sei a G. Die Menge a H = {a h h H} heißt Linksnebenklasse von a bezüglich H. Die Menge H a = {h a h H} heißt Rechtsnebenklasse von a bezüglich H. Falls G abelsch a G UG H von G : ah = Ha ah = Ha ah = ha 4.2 Lemma Sei G eine Gruppe, sei H eine UG von G. Seien a,b G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) ah = bh (ii) b ah (iii) a 1 b H 4.3 Def. Sei G eine Gruppe, sei H eine UG von G. Seien a,b G. a heißt kongruent zu b modulo H (a b mod H) eine der drei Bedingungen aus 4.2 ist erfüllt. 4.4 Lemma Sei G eine Gruppe, H UG von G. Dann wird durch durch die Kongruenz eine Äquivalenzrelation auf G definiert. Für alle a G ist ah die Äquivalenzklasse, welche a enthält. 8

4.5 Lemma Sei G eine Gruppe, H eine UG von G. Sei G / H (G modulo p H) die Menge der Linksnebenklassen von H, sei H \ G die Menge der Rechtsnebenklassen bzgl. H. Dann wird durch eine bijektive Abbildung ah Ha 1 f : G / H H \ G definiert. Sei R eine Äquivalenzrelation auf G. Sei K eine Äquivalenzklasse. Dann heißt ein Element a K Repräsentant von K. 4.6 Lemma Sei G eine Gruppe. Sei H eine UG von G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) a G : ah = Ha (ii) a G : aha 1 H (iii) a G : aha 1 = H 4.7 Def. Eine UG heißt Normalteiler eine der Bedingungen aus 4.6 ist erfüllt. falls G abelsch = jede UG ist NT H G 4.8 Lemma Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Dann gelten: (i) Ist N G, so ist ϕ 1 (N ) G insbesondere: Kern ϕ G (ii) Ist ϕ surjektiv und gilt N G, so gilt auch ϕ(n) G 9

5 Faktorgruppen und Isomorphiesätze 5.1 Satz Sei G eine Gruppe, sei N G. Sei G / N die Menge der Linksnebenklassen von N in G. Sei π : G G / N die durch a an gegebene Abbildung. Dann gilt: Es gibt genau eine Verknüpfung auf G / N mit folgenden Eigenschaften: (i) ( G / N, ) ist eine Gruppe (ii) π : G G / N ist ein Homomorphismus 5.2 Def. Sei G eine Gruppe, N G. Dann heißt die in 5.1 konstruierte Gruppe ( G / N, ) Faktorgruppe von G modulo N. π heißt kanonischer Homomorphismus. 5.3 Folg. Sei G eine Gruppe. Sei U UG von G. Dann gilt: U G Gruppe G und Hom. ϕ : G G mit Kern ϕ = U 5.4 Satz Sei ϕ : G G Homomorphismus Sei N G. Dann gelten: Es gibt einen Homomorphismus ϕ : G / N G so dass D kommutiert N Kern ϕ D : G ϕ ϕ π G / N Gilt N Kern ϕ = ϕ ist eindeutig bestimmt. G Bild ϕ = Bild ϕ, Kern ϕ = π(kernϕ) Kern ϕ = π 1 Kern(ϕ) 10

Speziell: ϕ surj. ϕ surj. N = Kernϕ = ϕ inj.. einzige Möglichkeit, ϕ yu definieren: ϕ(an) = ϕ(a) 5.5 Folg. (Homomorphiesatz) Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Dann ist durch ϕ(a Kern ϕ) := ϕ(a) ein injektiver Homomorphismus ϕ : G / Kern ϕ G definiert. Insbesondere sind G / Kern ϕ und ϕ(g) isomorph. 5.6 Folg. (Erster Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe, seien H,N UG von G mit N G. Dann gilt: H / H N HN / N 5.7 Folg. (Zweiter Isomorphiesatz) Sei G eine Gruppe. Seien M N G mit M G,N G. Dann gelten: (i) N / M G / M (ii) ( G / M) /( N / M ) G / N 11

6 Gruppenordnung, zyklische Gruppen 6.1 Def. Sei G eine Gruppe, sei U eine UG in G. Dann heißt die Anzahl der Linksnebenklassen von U in G Index von U ([G : U]). Der Index der trivialen Untergruppe {e} in G heißt Ordnung von G. 6.2 Satz (Lagrange) Sei G eine Gruppe. U UG in G. Dann gilt: [G : U] ord U = ord G Insbesondere: Falls ord G endlich ist, so teilt ord U die ord G. 6.3 Def. Eine Gruppe G heißt zyklisch a G : G = {a n n Z} a heißt erzeugendes Element von G G =< a > G zyklisch Epimorphismus ϕ : Z G 6.4 Satz Sei G eine zyklische Gruppe mit erzeugendem Element a. Sei m = ord G Dann gelten: (i) m = G Z (ii) m < G Z / mz 6.5 Def. Sei G eine Gruppe, a G. Dann heißt die Ordnung der von a erzeugten zyklischen Untergruppe < a > Ordnung von a (ord a). 6.6 Folg. Sei G eine endliche Gruppe mit ord G = n. Dann gilt: a G ord a ord G Ist ord G eine Primzahl, dann ist G zyklisch, und jedes Element a G,a e erzeugt G. (hat also ord a = p) 12

6.7 Folg. (Kleiner Fermatscher Satz) Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt: 6.8 Folg. a G a ord G = e Sei G eine Gruppe. Sei a G mit ord a = n <. Sei m Z, sei d = (m,n). Dann gilt: ord (a m ) = n d 6.9 Folg. Sei G zyklische Gruppe der Ordnung n. Sei a erzeugendes Element von G. Dann gilt: Genau die Potenzen a m mit (m,n) = 1 erzeugen G. 6.10 Folg. Sei G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n. Es gilt: Zu jedem Teiler t von n,t > 0 gibt es genau eine Untergruppe U mit ord U = t. Ist a erzeugendes Element von G, so ist U erzeugt von a n t. 13

7 Gruppenoperationen 7.1 Def. Sei G eine Gruppe. Sei M. Sei : G M M eine Abbildung heißt Operation von G auf M (i) a,b G, C M a (b C) = (a b) C (ii) C M e C = C G operiert vermöge auf M G operiere auf M = jedes Element a G induziert eine Permutation von M 7.2 Satz (Cayley) Jede Gruppe G ist zu einer Permutationsgruppe isomorph. M γ(m) Gruppe der bijektiven Abb. von M in sich eine UG von γ(m) heißt Permutationsgruppe G operiere auf M Äquivalenzrelation auf M: A,B M A B a G : B = a A 7.3 Def. Die Gruppe G operiere auf der Menge M. Die Äquivalenzklassen bei der Operation heißen Bahnen. (Bahn auch Transitivitätsgebiet) Die Anzahl der Elemente in einer Bahn heißt Bahnlänge. Die Gruppe G operiert transitiv auf M A,B M gilt: B A A,B M gilt: a G : B = a A Falls G auf M transitiv operiert, so heißt M homogener Raum. 14

7.4 Lemma Seien G eine Gruppe, M eine Menge. G operiere auf M. Sei x M. Dann ist die Menge U = {a G ax = x} eine UG von G, die Stabilisationsgruppe von x. (Stabilisator, Isotropiegruppe) 7.5 Lemma Die Länge der Bahn eines Elementes x M stimmt mit dem Index von Stab(x) in G überein. 7.6 Satz (Bahnzerlegungsformel) Seien M eine endliche Menge, G eine Gruppe. G operiere auf M. Sei R ein vollständiges Repräsentantensystem für die der Operation entsprechenden Äquivalenzklassen. Dann gilt: M = x = [G : Stab(x)] x R x R 15

8 Sylow Sätze 8.1 Lemma Sei p eine Primzahl. Seien m,n,r N, so dass gilt: n = p r m Dann gilt für s = 0, 1, 2,...,r: ( ) n = p r s mξ mit ξ N Proof. ( ) n p s p s = n(n 1)...(n ps + 1) p s (p s 1)...(p s p s + 1) = n ps 1 p s i=1 p n i s 1 p s i = pr s m i=1 n i p s i } {{ } ξ für i = 1,...,p s 1 i = p i t i p t i p i i noch z.z. ps 1 i=1 n i 1 mod p p s i p s 1 i=1 n i p s i ξ = = = ( ) n 1 p s 1 p s 1 i=1 p s 1 i=1 p r m p i t i p s p i t i p r i m t i p s i t i = Z N N = λp + a Z = µp + a µ,a Z p s 1 a = ( t i ) p a i=1 ξ = µp + a λp + a 16

ξλp + ξa = µp + a aξ a = µp ξλ = p a(ξ 1) aber p a = p ξ 1 8.2 Def. Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G der Ordnung p n (n N) heißt p-gruppe. Seien G eine endliche Gruppe und U eine UG von G. U heißt p-sylow Gruppe in G (i) U ist p-untergruppe U heißt p-untergruppe U ist p-gruppe (ii) ord U ist die höchste p-potenz welche ord G teilt. 8.3 Satz (1. Sylowscher Satz) Sei p eine Primzahl. Sei G eine endliche Gruppe mit ord G = p r m mit m N,p m Dann besitzt G zu jedem s mit 0 s r eine Untergruppe U mit ord U = p s 8.4 Folgerung Jede Teilmenge T von G mit T = p s, so dass B(T) nicht durch p r s+1 teilbar ist, hat die Gestalt Stab(T) a, wobei Stab(T) = p s und a T 8.5 Satz Sei G eine endliche Gruppe. Sei p eine Primzahl mit p ord G. Seien P eine p-sylow Gruppe in G und U eine p-untergruppe von G. Dann gilt: U ist in einer zu P konjugierten p-sylow-gruppe enthalten. Insbesondere: je zwei p-sylow Gruppen in G sind konjugiert. 17

8.6 Satz Sei G eine Gruppe der Ordnung p r m,p Primzahl,r 1,p m. Dann gilt s = 0,...,r : Die Anzahl der Untergruppen von G der Ordnung p s ist 1 mod p. insbesondere: Die Anzahl der p-sylowgruppen von G ist 1 mod p. weiter gilt: Die Anzahl der p-sylowgruppen von G teilt m. 8.7 Lemma Seien G eine Gruppe und M eine endliche Menge. G operiere transitiv auf M (d.h. M einzige Bahn). Für y M sei Staby Stab UG dann gelten folgende Aussagen: v N : y M : {y M Stab x = Staby} = v Ist t = {Staby y M}, so folgt M = t v 18

9 Freie abelsche Gruppen 9.1 Lemma Sei G eine Gruppe. Seien U 1,U 2 UG von G mit U 1 U 2 = {e}, U 1 U 2 = G Dann ist die Abbildung x U 1,y U 2 xy = yx ϕ : U 1 U 2 G mit (x,y) x y ein Isomorphismus. 9.2 Def. Sei S eine nichtleere Menge. Sei F(S) die Menge der Abbildungen f : S Z mit f(s) = 0 für alle außer endlich vielen s S. F(S) mit der durch (f + g)(s) = f(s) + f(g) (f,g F(S)) definierten Addition heißt die freie von S erzeugte abelsche Gruppe. S heißt freies Erzeugendensystem oder auch Basis von F(S). Eine abelsche Gruppe A heißt freie abelsche Gruppe S : A F(S) 9.3 Lemma Seien A und A abelsche Gruppen. A sei frei. Sei f : A A ein surjektiver Homomorphismus mit Kernf = B. Dann gibt es eine UG C von A mit C A und A = B C 19

9.4 Satz Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Sei B eine UG von A. Dann gelten: (i) B ist frei. Die Kardinalzahl einer Basis von B ist nicht größer als die Kardinalzahl einer Basis von A. (ii) Je zwei Basen von B sind gleichmächtig. (Diese Mächtigkeit heißt Rang von B). 20

10 Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen 10.1 Def. Sei A eine abelsche Gruppe. Ein Element a A endlicher Ordnung heißt Torsionselement. Die Menge der Torsionselemente in A heißt die Torsionsuntergruppe von A. Eine abelsche Gruppe, in der das neutrale Element 0 das einzige Torsionselement ist heißt torsionsfrei. A t Menge der Torsionselemente in A p Primzahl A(p) Menge der Elemente in A, deren Ordnung eine Potenz von p ist. 10.2 Lemma A(p) ist UG von A t. Ist A endlich, so ist A(p) eine p-gruppe. 10.3 Satz Sei A eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n. Dann gilt: p n p Primzahl A = A(p) 10.4 Lemma Sei A eine abelsche p-gruppe. Sei a 1 A ein Element maximaler Ordnung. Sei A 1 =< a 1 >. Sei b A / A1 von der Ordnung p r. Dann gibt es einen Repräsentanten a in A von b mit ord a = p r. 10.5 Def. Seien r 1,...,r s nat. Zahlen. Eine abelsche p-gruppe A heißt vom Typ (p r 1,...,p rs ) A Z / p r 1Z... Z / p rsz 21

10.6 Satz Sei A {0} eine abelsche p-gruppe. Dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen r 1,...,r s, so dass A vom Typ (p r 1,...,p rs ) ist, und so dass r 1 r 2... r s 10.7 Satz Sei A {0} eine endliche erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppe. Dann ist A frei und besitzt eine endliche Basis. 10.8 Satz Sei A eine endlich erzeugte Gruppe. Sei A t die Torsionsuntergruppe von A. Dann gilt: A t ist endlich und A / At ist eine endlich erzeugte, torsionsfreie abelsche Gruppe. Weiter A A t A / At 22

11 Rechenregeln in Ringen 11.1 Def. Sei R eine nichtleere Menge. Seien + und Verknüpfungen auf R. Das Tripel (R, +, ) heißt Ring (i) (R, +) ist abelsche Gruppe (ii) ist assoziativ, d.h. a,b,c R a (b c) = (a b) c (iii) (Distributivgesetze) a,b,c R gilt (a + b)c = ac + bc a(b + c) = ab + ac R heißt kommutativ kommutativ ( a,b R a b = b a) Falls R {0} und falls es ein Element 1 R gibt mit a R 1 a = a 1 = a, so heißt R Ring mit 1 11.2 Lemma Sei R ein Ring. Seien a,b,c R. Dann gelten: (i) a 0 = 0 a = 0 (ii) ( a)b = a( b) = (a b) (iii) ( a)( b) = ab (iv) a(b c) = ab ac (v) ist R Ring mit 1 1 ist eindeutig bestimmt und 1 0 11.3 Def. Sei R ein Ring. Seien a,b R \ {0} a b = 0 Dann heißt a Linksnullteiler, b Rechtsnullteiler. R heißt nullteilerfrei R besitzt keine Nullteiler. Ein Nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritätsbereich. 23

11.4 Lemma Sei R ein nullteilerfreier Ring. Sei a R \ {0}. Dann gilt b,c R : 11.5 Def. ab = ac = b = c ba = ca = b = c (i) Sei R Ring mit 1. Seien a,b R mit ab = 1. b heißt rechtsinvers zu a, a heißt linksinvers zu b. b heißt invers zu a a b = b a = 1 a heißt Einheit in R a hat in R ein inverses Element. (ii) Bildet R \ {0} bei eine Gruppe, so heißt (R, +, ) Schiefkörper. Ist R \ {0} bei abelsche Gruppe, so heißt (R, +, ) Körper. 11.6 Lemma R \ {0} = R Sei R {0} ein Ring mit 1. Dann bildet die Menge der Einheiten in R bei eine Gruppe (die Einheitengruppe). Folgerung R {0} ist Schiefkörper. R \ {0} bildet bei eine Gruppe. 11.7 Satz Sei R {0} ein endlicher nullteilerfreier Ring. Dann ist R bereits ein Schiefkörper. Insbesondere ist jeder endliche Integritätsbereich ein Körper. 11.8 Folgerung Sei m N eine natürliche Zahl. Dann gilt: Z / mz ist Körper m Primzahl 24

12 Ringhomomorphismen und Ideale 12.1 Def. Seien R,R Ringe. Eine Abb. ϕ : R R heißt Ringhomomorphismus (i) a,b R : ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) (ii) a,b R : ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) Ein bijektiver Ringhomomorphismus heißt Isomorphismus. Ein Isomorphismus ϕ : R R heißt Automorphismus. 12.2 Lemma Sei ϕ : R 1 R 2 ein Ringhomomorphismus Dann gelten: (i) ϕ(r 1 ) ist Ring, ϕ(0) = 0 (ii) Sei R 1 {0} Ring mit Eins und ϕ(r 1 ) {0} = ϕ(1) ist Eins in ϕ(r 2 ) 12.3 Def. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge I R heißt Ideal (i) (I, +) ist UG von (R, +) (ii) r R gilt r I I I r I und r I := {r i i I} R Ring I R Ideal. I induziert auf R Äquivalenzrelation. r 1,r 2 R r 1 r 2 mod I r 1 r 2 I R / I Ringstruktur auf R / I r 1,r 2 R r 1,r 2 R / I r 1 r 2 := r 1 r 2 25

12.4 Def. Sei R ein Ring, I ein Ideal in R (I R). Dann heißt der Ring R / I der Restklassenring von R nach I (R modulo I) 12.5 Satz Seien R 1,R 2 Ringe, I R 1. Dann gelten: (i) π : R 1 Kern π = I. R 1 / I mit π(r) = r ist ein Ringhomomorphismus mit (ii) Ist ϕ : R 1 R 2 Ringhomomorphismus, so ist Kernϕ ein Ideal in R 1. (iii) Ein Homomorphismus ϕ : R 1 R 2 ist injektiv Kern ϕ = {0} (iv) Sei ϕ : R 1 R 2 ein surjektiver Ringhomomorphismus. Dann gilt: R 1 / Kern ϕ R 2 12.6 Hauptsatz über simultane Kongruenzen, chinesischer Restsatz Seien R ein kommutativer Ring mit 1, n N,n 2 I 1,...,I n Ideale in R, so dass für alle Paare (i,j) 1 i < j n gilt: I i + I j = R, Dann gibt es ein x R mit x x j x 1,...,x n R mod I j für j = 1,...,n. 12.7 Folgerung Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Seien I 1,...,I n Ideale in R mit I j + I k = R für j k. Dann gilt R / n Ì i=1 R / I1... R / In 26

13 Ringerweiterungen R kommutativer, nullteilerfreier Ring S R,S, 0 / S,S bei abgeschlossen a,b S a b S Ziel Konstruktion eines Oberringes R s von R. Brüche mit Zählern in R und Nennern in S Betrachten Relation auf R S, sei s die durch (r 1,s 1 ) s (r 2,s 2 ) r 1 s 2 r 2 s 1 = 0 gegebene Relation s ist Äquivalenzrelation Ringstruktur auf R s R s Menge der Äquivalenzklassen (r 1,s 1 ) + (r 2,s 2 ) := (r 1 s 2 + r 2 s 1,s 1 s 2 ) (r 1,s 1 ) (r 2,s 2 ) := (r 1 r 2,s 1 s 2 ) (R s, +, ) ist kommutativer Ring 0 : (0,s) s S bei + ist zu (r,s) ( r,s) invers R s Ring mit Eins s S (s,s) (r,s 1 ) = (rs,s 1 s) = (r,s 1 ) Einheiten in R s alle Elemente der Form (s 1,s 2 ) (s 2,s 1 ) invers bei s 1,s 2 S 13.1 Def. Sei R ein kommutativer nullteilerfreier Ring. Sei S R,S, 0 / S. S sei bei abgeschlossen. Dann heißt der Ring R s der Quotientenring von R nach S. 13.2 Satz Sei R ein nullteilerfreier, kommutativer Ring. Sei S R,S, 0 / S,S bei abgeschlossen. Dann gibt es einen injektiven Ringhomomorphismus ϕ : R R s 27

Das Element (r,s) in R s kann als Quotient von r R,s S aufgefasst werden. Gilt S = R \ {0}, so ist R s ein Körper, (Quotientenkörper von R). R kommutativer Ring mit Eins F = {f f : N 0 R,f(s) = 0 für alle außer endlich vielen s N 0 } 13.3 Lemma Die Menge F mit den durch und (f + g)(s) = f(s) + g(s) s N 0 (f g)(s) = f(s 1 )g(s 2 ) s N 0 s 1 +s 2 =s s 1,s 2 N 0 erklärten Verknüpfungen ist ein kommutativer Ring mit Eins. 13.4 Def. Bezeichnung: (F, +, ) = R[X] Dann heißt der Ring R[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über R (Polynomring in X mit Koeffizienten in R). 13.5 Satz Seien R 1 und R 2 kommutative Ringe mit 1 (1 R),R 1 R 2. Sei α R 2. Dann wird durch die Zuordnung f(x) f(α) ein Homomorphismus ϕ : R 1 [X] R 1 [α] definiert. ϕ ist ein Isomorphismus f(α) = 0 sämtliche Koeffizienten von f sind 0 28

14 Teilbarkeit in Ringen R kommutativer Ring mit 1 14.1 Def. Seien a,b R. a teilt b c R a c = b in Zeichen a b. a heißt assoziiert zu b Einheit ε R aε = b 14.2 Lemma Der Durchschnitt von Idealen ist ein Ideal. 14.3 Def. Sei M R. (M) heißt das von M erzeugte Ideal = Durchschnitt aller Ideale, welche M enthalten. { } M = (M) = r R m 1,...,m n M, r 1,...,r n R r = n r i m i 14.4 Def. Ein Ideal Z heißt Hauptideal a RZ = (a) R heißt Hauptidealrin jedes Ideal in R ist Hauptideal 14.5 Lemma Für a,b R gelten: (i) a b (b) (a) (ii) Ist R Integritätsbereich = (a assoziert zu b (a) = (b)) 14.6 Def. Sei R Integritätsbereich, sei r R \ {0}, r ist keine Einheit. r heißt unzerlegbar oder irreduzibel (r = ab,a,b R = a oder b ist Einheit) r heißt Primelement (r ab, a, b R = r a oder r b) i=1 29

14.7 Def. Sei R kommutativer Ring mit 1. Ein Ideal I R in R heißt maximal es gibt kein Ideal J in R mit I J R und mit I J,J R. Ein Ideal P heißt Primideal P R, R \ P sei abgeschlossen ( a b P = a P oder b P) 14.8 Satz Sei R kommutativer Ring mit 1. Sei I ein Ideal in R. Dann gelten: (i) I Primideal (ii) I maximal R / I ist Integritätsbereich R / I ist Körper 14.9 Folgerung Sei R kommutativer Ring mit 1. Dann ist jedes maximale Ideal ein Primideal. 14.10 Def. Sei R ein Integritätsbereich. (i) Seien a 1,...a n R\{0}. Ein Element d R heißt größter gemeinsamer Teiler von a 1,...a n (a) d a i für i = 1,...,n (b) falls d 1 a i,i = 1,...,n = d 1 d (ii) a 1,...,a n heißen relativ prim von a 1,...,a n sind Einheiten die einzigen gemeinsamen Teiler Konvention ab jetzt Hauptidealring auch Integritätsbereich! 14.11 Satz Sei R ein Hauptidealring. Seien a 1,...a n R \ {0}. Dann gelten: 30

(i) a 1,...,a n haben einen ggt d in R. d ist bis auf einen Einheitsfaktor eindeutig bestimmt. Es gilt r 1,...,r n R : d = n r i a i i=1 (ii) a 1,...,a n sind relativ prim r 1,...,r n R : n r i a i = 1 i=1 (iii) p R ist irreduzibel (p) ist maximal (iv) p R ist irreduzibel p ist prim (v) jede aufsteigende Kette von Idealen in R wird schließlich konstant (vi) zu jedem a R \ {0}, welches keine Einheit ist, existiert ein Primelement p mit p a (vii) Falls a 0 a 1...a n und a 0 und a 1 relativ prim, so gilt a 0 a 2...a n (viii) Sind p,q prim in R = entweder sind p und q assoziiert oder p und q sind relativ prim 14.12 Def. Sei R ein Integritätsbereich. R heißt ZPE-Ring (Zerlegung in Primelemente) (Literatur auch faktorieller Ring) (i) jedes Element r R \ {0},r keine Einheit lässt sich als Produkt von Primelementen schreiben: 14.13 Satz ( ) r = p 1...p s Sei R ein Hauptidealring. Dann ist R ein ZPE-Ring. 14.14 Folgerung Z ist ein ZPE-Ring. 31

14.15 Def. Ein Integritätsbereich R heißt Euklidischer Ring Es gibt eine Abbildung ϕ : R \ {0} N 0 (ϕ Euklidische Bewertungsfunktion) mit folgender Eigenschaft: Für alle a,b R mit b 0 q,r R mit a = qb + r, so dass entweder r = 0 oder ϕ(r) < ϕ(b) 14.16 Satz Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. 14.17 Folgerung Der Polynomring in einer Variablen über einem Körper ist ein euklidischer Ring. 32

15 Primelementzerlegung in Polynomringen 15.1 Def. Sei R ein ZPE-Ring. Sei f(x) = a 0 + a 1 X +... + a n X n R[X]. Dann heißt c = (a 0,a 1,...,a n ) der Inhalt von f. 15.2 Satz (Gaußsches Lemma) Sei R ein ZPE-Ring. Seien f,g primitive Elemente in R[X]. Dann ist auch f g primitiv. 15.3 Lemma Sei R ein ZPE-Ring. Sei K der Quotientenkörper von R. Sei f(x) K[X],f 0. Dann gibt es Elemente a,b R und ein primitives Polynom ϕ(x) R[X] mit f(x) = aϕ(x). b Dabei sind a und ϕ(x) bis auf Einheitsfaktoren aus R eindeutig bestimmt. b 15.4 Lemma Sei R ein ZPE-Ring, K sein Quotientenkörper. Seien f(x),g(x),h(x) K[X] mit f(x) = g(x)h(x) Sei f = af,g = bg,h = ch mit f,g,h R[X] primitiv, a,b,c K Dann gilt: f (X) = εg (X)h (X) wo ε eine Einheit in R ist. Weiter gilt: Insbesondere gelten: εa = b c (i) Sei f(x) R[X], und sei g(x) R[X] primitiv. Falls g(x) f(x) in K[X], dann folgt g(x) f(x) in R[X] (ii) f (X) ist in R[X] irreduzibel f(x) ist in K[X] irreduzibel 33