Elemente der SchulgeometrieGrundschule Aufgabenblatt 4 Flächeninhalt
Achtung Fehler!! Alle Punkte auf der Kreislinie sind gleichweit von Mittelpunkt des Kreises entfernt. Die Distanz entspricht dem Radius des Kreises. Die Kreisbögen beginnen und enden dort, wo die Senkrechten zu den sich in den Ecken treffenden Kantenlinien liegen. Im Beispiel aus Aufgabe 1a, handelt es sich dabei um vier Viertelkreise. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann man leicht berechnen, wie weit die tatsächliche Entfernung von der verlangten abweicht.
Aufgabe 1 Eine Insel hat ungefähr die Form eines Rechtecks... a) Erstellen Sie eine Zeichnung der Insel mit dieser Zone Hier wurde die Fischfangzone richtig eingezeichtnet. Die Ecken müssen zu Viertelkreisen abgerundet sein, da sonst von den Ecken aus gesehen die Distanz von 4 km nicht mehr gegeben ist.
b) Berechnen Sie die Fläche der Fischfangzone! Wie gehen Sie geschickt vor? Welcher Sachverhalt kann hierbei genutzt werden?
Achtung: Maßeinheiten beachten!
Nachfolgende Beispiele sind falsch. Der Rahmen der Grafik wurde fälschlich als Fischfangzone angenommen. Die Bedingung, dass von jedem Punkt der Küste bis zur Grenze der Fischfangzone 4 km liegen müssen, wurde nicht beachtet.
c) Erstellen Sie eine Zeichnung zu nebenstehender Fünfecksinsel und berechnen Sie deren Fischfangzone: Hier sollten die gleichen Bedingungen gelten wie für die Fischfangzone in Aufgabe 1a)
Aufgabe 2 Bestimmen Sie den Flächeninhalt der... Hinweis: Benennen Sie den Radius des kleinen Kreises mit a.... Oben abgebildete Grafik zeigt, wie die Radien benannt werden sollten und worauf sich die Flächenberechnung beziehen musste. Da keine konkreten Maße angegeben waren, war es bei dieser Aufgabe erforderlich, die Flächen allgemein zu berechnen. Im gezeigten Beispiel lässt sich die Fläche als die Summe des kleinen Kreises A= a²π und des großen Kreises A= (2a)²π bilden.
Lösungsvariante zur vorherigen Figur:
Nicht zeichnerische aber trotzdem sehr gut verständliche Darstellung: Nebenstehende Figur ist gemeint!
Bei einigen der Figuren ist das geschickte Verwenden von Rechtecken zur Flächenberechnung nützlich:
Die nachfolgende Darstellung ist teilweise fehlerhaft. Außerdem ist nicht offensichtlich, wie vorgegangen wurde. Ein paar Formulierungen würden das wesentlich verbessern.
Die Flächen sollten bezüglich des Radius des kleinen Kreises bestimmt werden. Das Einsetzen von Zahlen war hier nicht verlangt!
Aufgabe 3 Bestimmen Sie den Flächeninhalt der schwarz gefärbten Fläche in Abhängigkeit von der Seitenlänge a eines kleinen Quadrates.
Verschieben der beiden kleinen Halbkreise entlang der eingezeichneten Vektoren nach x
Im nächsten Schritt wird die untere Figurhälfte an der eingezeichneten Achse gespiegelt. Damit liegen alle gefärbten Teile auf einer Seite.
Man sieht: 1. die gefärbte Fläche ist die Differenz zwischen der Kreisfläche mit Radius 2a und der links liegenden Linse oder 2. die gefärbte Fläche ist ein 2/3-Kreis minus 2 kleinen Segmenten Zu 1. Die Linsenfläche kann folgendermaßen gesehen werden: 2 x der 60 -Kreissektor (grün) + 2 x das Kreissegment (orange) oder Zu 2. Die schwarz gefärbte Fläche kann so entstehen: Von dem 2/3-Kreis werden die beiden Kreissegmente (orange) subtrahiert
Berechnung eines Kreissegmentes Kreissegment = Kreissektor minus Dreieck Kreissektor entspricht hier einem Sechstelkreis Das Dreieck ist gleichseitig. Die Seitenlänge ist 2a, Die Höhe ist nach Pythagoras 4a 2 a 2 = 3a 2 = a 3 Die zwei Dreiecksflächen sind also 1 A Dreieck g h 2 2 A Dreiecke 2a a 3 2a 3
Lösungsvariante: Erarbeitung der Fläche durch Umlegen der einzelnen Segmente Ausgangsfigur
Verschieben der beiden kleinen Halbkreise
Durch weitere Umstellungen erreicht man diese Figur
Verschiebt man nun die Teile der vorherigen Figur so, dass alle farbigen Elemente innerhalb einer Fläche von 2a x 4a liegen, kann man erkennen, dass diese Fläche in zwei gleichseitige Dreiecke mit einer Kantenlänge von 2a und zwei Kreissektoren besteht. Die Kreissektoren haben einen Mittelpunktswinkel von 60. d.h. ihre Fläche beträgt 1/6 der Kreisfläche. A Kreissektor Fläche der Kreissektoren: 1 A Dreieck g h 2 A Dreiecke 2a a 3 2a 2 3 Fläche der Dreiecke: Fläche der Figur: 4 2 2 a 6 1 4a 2 6 2a 2 4 2 3 a 3 2a 2 3 2a 2 2 3 3