INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Parabel 2 1.1 Definition................................ 2 1.2 Bemerkung............................... 3 1.3 Tangenten................................ 3 1.4 Lemma................................. 3 1.5 Brennpunkt Tangenten Abstand.................... 4 1.6 Lemma................................. 4 2 Die allgemeine Kurve zweiten Grades 5 2.1 Definition................................ 5 2.2 Lemma................................. 7 2.3 Korollar................................. 7 2.4 Normalform............................... 7 2.5 Satz................................... 8 2.6 Korollar................................. 8 2.7 Klassifikation der Kurven zweiten Grades............... 9 2.8 Satz................................... 9 2.9 Definition................................ 9 2.10 Definition................................ 9 2.11 Bemerkung............................... 9 2.12 Proposition............................... 10 2.13 Bemerkung............................... 10 2.14 Lemma................................. 11 2.15 Kurven zweiten Grades als Kegelschnitt................ 11 2.16 Satz................................... 11 3 Anhang 12
1 Die Parabel 2 1 Die Parabel 1.1 Definition Der geometrische Ort Paller Punkte x R heißt Parabel, wenn alle Punkte den gleichen Abstand von einer Geraden G und einem Punkt p E haben, wobei p / G. Das heißt: P = {x E : dx, G = x p }, 2ρ := dp, G > 0 1 Die Gerade G heißt Leitlinie und p der Brennpunkt der Parabel. Gilt G = H e,γ, also < e, x >= γ, e = 1, dann wird P nach dem Satz über die Hessesche Normalform durch die Gleichung < e, x > γ = x p, 2ρ = < e, p > γ, e = 1 2 beschrieben. Ein weiterer Punkt, neben dem Brennpunkt, ist der Scheitelpunkt von P. Dieser ist die Mitte des Lotes von p auf die Gerade G = H e,γ. Für den Scheitelpunkt von P gilt nach III.2.3: p s = p + 1 γ < p, e >e 2 Bis auf eine Translation von annehmen, dass der Scheitelpunkt im Nullpunkt liegt. Da e H e,γ gilt: p = ρ e und p H e,γ. Ohne Einschränkung gilt: Aus Gleichung 2 folgt mit Quadrieren: p = ρ e e = 1 γ = ρ 3 < e, x > γ 2 = x p 2 < e, x > 2 2γ < e, x > + γ 2 = x 2 2 < x, p > + p 2 x 2 < e, x > 2 = 2ρ < e, x > +2 < x, ρe > ρe 2 + ρ 2 x 2 < e, x > 2 = 4ρ < e, x > 4
1.2 Bemerkung 3 1.2 Bemerkung 1. Wird eine Parabel in Koordinaten X, Y beschrieben, mit e=1, 0, so wird P gegeben durch: Y 2 = 4ρX. Dieses gilt, da x 2 < e, x > 2 = 4 < e, x > X 2 + Y 2 1X 0Y 2 = 4ρX + 0Y Y 2 = 4ρX, ρ > 0 2. Wie unter Verwendung mit der symmetrischen 2 2 Matrix, Kapitel V.1.3, kann die Matrix S := E ee t, dets = 0 eingeführt werden und wir erhalten anstelle von Gleichung 4 P = {x E :< x, Sx >= 4ρ < e, x >} 1.3 Tangenten Es sei eine Parabel P durch < x, Sx >= 4ρ < e, x > 5 mit S := E ee t gegeben.für c P wird die Gerade T c folgendermaßen definert: T c = {x E :< x, Sc >= 2ρ < e, c + x >} = H c,γ 6 T c heißt Tangente durch c an P. Für c gilt: c := Sc 2ρe = c 2ρ+ < e, c >e 7 mit γ := 2ρ < e, c > 1.4 Lemma Für c P gilt: 1. Die Tangente T c hat mit P nur den Punkt c gemeinsam. 2. P liegt auf einer Seite von T c
1.5 Brennpunkt Tangenten Abstand 4 Sei d P. Dann gilt nach 5 und 7 γ < c, d > = 2ρ < e, c + d > < d, Sc > = 1 2 < c, Sc > +1 2 < d, Sd > < d, Sc > = 1 2 < d c, Sd c > 0, denn S ist nach 5 positiv semi-definit. Es folgt 2. aus P T c, so erhält man aus 5 0 =< d c, Sd c >=< d c, d c > < e, d c > 2. Die Cauchy-Schwarze Ungleichung liefert d c = α e mit α R. Nutzt man 5 für c und c + α, so folgt wegen Se = 0 schon α = 0. q.e.d. 1.5 Brennpunkt Tangenten Abstand Sei P wie in 4 gegeben. q c bezeichnet den Fußpunkt des Lotes von p auf die Tangente T c in c, mit c P. 1.6 Lemma Für c P gilt: 1. q c liegt auf der Tangenten T c an P durch Null, genauer: q c = 1 c < e, c > e. 2 2. Unter dem Brennstrahl versteht man die Gerade durch c und p, und unter dem Leitstrahl das Lot von c auf die Leitlinie. Die Tangente in c ist eine Winkelhalbierende zwischen Brenn- und Leitstrahl in c. 1. Mit p = ρe gilt: a γ < p, c >= 2ρp+ < e, c > b c 2 = 4ρρ+ < e, c >
2 Die allgemeine Kurve zweiten Grades 5 nur von b c 2 = c 2ρ+ < e, c >e 2 = c 2 4ρ < e, c > 2 < e, c > 2 +4ρ 2 + 4ρ < e, c > + < e, c > 2 = c 2 + 4ρ 2 < e, c > 2 = 4ρρ+ < e, c > q.e.d Für den Fußpunkt q c gilt: γ < p, c > q c = p + c c 2ρρ+ < e, c > = p + 4ρρ+ < e, c > c = ρe + 1 2 c = ρe + 1 2 c ρe 1 2 < e, c > e = 1 c < e, c > e q.e.d 2 2. f c sei Fußpunkt des Lotes von c auf die Leitlinie H e, ρ. Somit folgt f c = c ρ+ < e, c >e. Also gilt f c q c = q c p und < f c p, q c c >= 0. Da p c = f c c folgt: < f c c, q c c > f c c q c c = < p c, q c c > p c q c c Somit ist der Winkel zwischen dem Leitstrahl und der Tangente, sowie Brennstrahl und Tangente gleich. 2 Die allgemeine Kurve zweiten Grades 2.1 Definition Die allgemeine Kurve zweiten Grades über R mit den Unbekannten x 1, x 2 beschreibt man üblicherweise in der Form: a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33 = 0 0
2.1 Definition 6 mit a ij R. Wie aus der linearen Algebra bekannt, kann man die Koeffizienten einer reellen symmetrischen 3 3 Matrix A = a ij auffassen. Umgekehrt kann jede Matrix A in eine Gleichung 1 umgewandelt werden. Zur Abkürzung folgende Notation: S A A = 0 a t α mit a 11 a 12 S := a 12 a 22 und a := sowie α := a 33. Es wird definiert: a 13 a 23 κ A x = x t Sx + 2a t x + α =< x, Sx > +2 < a, x > +α = y t Ay -2 mit y = 0 1 Aus 1 folgt: κ A x = 0-3 Des Weiteren bezeichnet man die Menge der Lösungen dieser Gleichung wie folgt: K A := {x E : κ A x = 0} -3 Ist S = 0 und a Ø, so wird K A eine ebene Kurve zweiten Grades genannt. Der Fall S = 0 und a 0 führt auf eine Gerade. Die Diskussion der Gleichungen zweiten Grades ist gleichwertig mit der geometrischen Beschreibung der Kurven zweiten Grades. Für β 0 gilt, K βa = K A, so dass die Gleichungen 1,3,4, ohne die Kurven zu verändern, normiert werden können. Bei einer Bewegung von E ändert sich die geometrische Konfiguration nicht.
2.2 Lemma 7 2.2 Lemma Ist x T x + b,t GL2;R, b E, eine affine Abbildung von E, so gilt κ A = T y + b = κ B y mit: T b 0 1 t A T b 0 1 = T t ST T t Sb + a Sb + a t T b t Sb + 2a t b + α -3 Speziell gilt K A = T K B + b und S B = T t S A T. Man trägt x = T y + b in 3 ein: κ A T y + b = T y + b t ST y + b + 2a t T y + b + α = y t T t + b t ST y + Sb + 2a t T y + 2a t b + α = y t T t ST y + 2b t ST y + b t Sb + 2a t T y + 2a t b + α = κ B y q.e.d 2.3 Korollar Für eine Bewegung, also für T O2, ergibt 6: Die Werte Spur S, det S und falls det A=0 der Rang von A sind Invarianten der Kurve K A. Alle vier Werte sind invariant gegenüber Bewegungen der Kurve. Das Vorzeichen von det S, aber nicht von det A ist invariant gegenüber Normierung. Die Vorzeichen von det S und Spur S det A, sowie der Rang von A sind gegenüber Bewegungen und Normierung invariant. 2.4 Normalform Durch geeignete Wahl von T O2 versucht man die Matrix T t ST möglichst einfach zu machen. Wie in 4 κ A x = 0 führt man eine Bewegung aus um auf eine Normalform κ B x = 0 zu gelangen. 1. Sei dets 0. Man wähle T = T ρ nach dem Satz über die Hauptachsentransformation, so dass λ1 0 0 λ 2 mit λ 1,2 0. Mit b := S 1 a erhält man aus Lemma 2 die Gleichung: κ B x = λ 1 x 2 1 + λ 2 x 2 2 + β
2.5 Satz 8 mit β = κ A b 2. Sei det S=0. Wegen S 0 lässt sich T = T ρ folgendermaßen wählen, so dass: T t 0 0 ST = 0 λ mit λ 0 gilt.sei Man setze c := T t a = b := T mit einem noch unbekannten τ R. Wiederum aus Lemma 2 folgt nun die Gleichung: mit λ c 2 τ c 1 c 2 κ B x = λx 2 2 + 2c 1 x 1 + β β = c2 2 λ + 2c 1τ + α 1 und 2 können zusammengefasst werden. Somit ergibt sich folgender Satz. 2.5 Satz Jede Gleichung zweiten Grades kann, mit den Nebenbedingungen a 22 0, a 11 a 13 = 0, a 13 a 33 = 0 und a 13 0, durch eine Bewegung in die Normalform der Gleichung zweiten Grades a 11 x 2 1 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 + a33 = 0 gebracht werden. 2.6 Korollar Da die Gleichung bei der Spiegelung an der x 1 -Achse wieder in sich übergeht, folgt: Jede Kurve zweiten Grades ist invariant gegenüber Spiegelungen an mindestens einer Geraden. Unter Betrachtung der Normierung darf a 12 = 1 gesetzt werden.somit gilt dann: dets = 0 und deta = a 11 a 33 a 2 13
2.7 Klassifikation der Kurven zweiten Grades 9 Nur für deta = a 11 a 33 a 2 13. Für dets = 0 ist der Beweis trivial. a 11 0 a 13 a 11 0 deta = 0 1 0 0 1 = a 11 a 33 a 2 13 a 13 0 a 33 a 13 0 2.7 Klassifikation der Kurven zweiten Grades Die Tabelle 1 gibt nach Satz 5 mögliche Fälle mit der Normierung a 22 = 1 an. 2.8 Satz Äqivalent sind im Falle einer allgemeinen Gleichung zweiten Grades: 1. κ A ist Ellipse oder Hyperbel oder Parabel. 2. deta 0 und dets, sowie SpurS deta sind nicht beide positiv. Siehe Tabelle im Anhang. 2.9 Definition Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln werden unter dem Begriff eigentliche Kegelschnitte zusammengefasst. 2.10 Definition Eine Abbildung x T x + b, T GL2,R, b E nennt man eine affine Abbildung der Ebene. Jede Bewegung von E ist eine affine Abbildung. Abstände und Winkel bleiben im Allgemeinen nicht erhalten. Die Aussage, dass sich zwei Kurven schneiden ist invariant unter affinen Abbildungen. 2.11 Bemerkung Bei affinen Abbildungen gehen Kurven zweiten Grades in Kurven zweiten Grades und Geraden in Geraden über vgl. Lemma 2.2.
2.12 Proposition 10 2.12 Proposition 1. Jede Ellipse ist affines Bild des Einheitkreises 2. Der Flächeninhalt einer Ellipse ist ρ 1 ρ 2 π. 1. Aus dem Kreis entsteht die Ellipse E := K := {x E : x = 1} { x E : x 1 2 + x } 2 2, ρ 1 ρ 2 wobei ρ 1 > ρ 2 > 0, Abbildung K E, x Mx mit ρ 1 0 M = 0 ρ 2 2. Flächeninhalt von E = detm Flächeninhalt von K= ρ 1 ρ 2 π 2.13 Bemerkung Aus Tabelle 1Siehe Kapitel 3.Anhang wird entnommen, dass jede Kurve zweiten Grades bis auf eine affine Abbildung und Normierung dargestellt werden kann durch: x 2 1 + x 2 2 = 1, x 2 1 + x 2 2 = 0 x 2 1 x 2 2 = 1, x 2 1 x 2 2 = 0 x 2 2 = x 1, x 2 2 = 1, x 2 2 = 1 Diese sind die affinen Normalformen der Kurven zweiten Grades. Anstatt x 2 1 x 2 2 = 1 bzw. x 2 1 x 2 2 = 0 kann man auch die Gleichungen x 1 x 2 = 1 bzw. x 1 x 2 = 0 benutzen.
2.14 Lemma 11 2.14 Lemma Sei K eigentlicher Kegelschnitt, K eine Kurve zweiten Grades, wobei K K. K K besteht aus höchstens vier Schnittpunkten. Man benutze für K eine Normalform. Ist K Hyperbel oder Parabel, so darf man davon ausgehen, dass x 2 1 + x 2 2 = 1 oder x 2 2 = x 1 ist. Man setze nun x 1 in die zweite Gleichung ein. Man bekommt ein Polynom vom Grad 4 in x 2, das somit maximal vier Nullstellen hat. Somit besteht K K aus höchstens 4 Punkten. Im Falle einer Ellipse sei K der Einheitskreis mit x 2 1 + x 2 2 = 1 und nach einer Drehung kann man annhemen, dass K durch die Gleichung a 11 x 2 1 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33 = 0 beschrieben wird. Setze: x 2 1 = 1 x 2 2 in die gerade erwähnte Gleichung ein. Gilt: a 13 = 0, so hat man zwei quadratische Gleichungen für x 1 uns x 2. Gilt a 13 0, so löst man die Gleichung nach x 1 auf und setzt in die erste Gleichung ein. Man bekommt ein Polynom vom Grad 4 in x 1. Somit existieren wieder maximal vier Schnittpunkte. q.e.d 2.15 Kurven zweiten Grades als Kegelschnitt Im R 3 erhält man einen Kreiskegel K mit Spitze in Null in der Form: K = { x 1, x 2, x 3 t R 3 : x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0 } Eine Ebene im R 3 kann in der Form E = {x 1 a + x 2 b + c : x 1,2 R} dargestellt werden, mit a,b,c R 3 und a,b linear unabhängig. K E ist eine Kurve zweiten Grades, denn { K E = x 1 a + x 2 b + c : x = 2.16 Satz x 1 x 2 } R 2, κ A x = 0. Die nicht-leeren Kurven zweiten Grades sind genau die Schnitte von Ebenen im R 3 mit dem Kreiskegel K = { x 1, x 2, x 3 t R 3 : x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0 }
3 Anhang 12 Wie in 15 kann K E folgendermaßen dargestellt werden: { K E = Des Weiteren gilt: x 1 a + x 2 b + c : x = A = U t DU, D = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 x 2 R 2, κ A x = 0, U = a, b, c. K E Ø, denn im Falle det A=0 liegt der Nullpunkt in K E. Aus dets = a t Da b t Db a t Db 2 Eigenwerte hätte. Speziell setzt man: a = > 0 folgt SpurS > 0, weil A andernfalls zwei negative 1 0 0, b = 0 α β, c = mit α, β, γ R und α, β nicht beide gleich Null. Daraus folgt: 1 0 0 A = 0 α 2 β 2 βγ 0 βγ γ 2 Durch geeignete Wahl von α, β, γ kann man die Fälle in Tabelle 1 erreichen, wobei K A Ø ist. 0 0 γ } 3 Anhang