Die Weierstraßsche Funktion

Die Weierstraßsche Funktion Nicolas Weisskopf 7. September 0 Zusammenfassung In dieser Arbeit führen wir die Weierstraßsche Funktion ein und untersuchen einige ihrer Eigenschaften. Wir zeigen, dass jede elliptische Funktion mittels der Weierstraßschen Funktion und deren Ableitung konstruiert werden kann. Des Weiteren löst (z) eine besondere Differentialgleichung, mit der man jedem Periodentorus eine kompakte Riemannsche Fläche, die sogenannte elliptische Kurve, zuordnen kann. Diese Arbeit basiert auf den Text [FB05, V.-3].

INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Die Weierstraßsche Funktion. Die Konstruktion............................ Die Differentialgleichung....................... 6 Der Struktursatz für elliptische Funktionen 7 3 Elliptische Kurven 9 Die Weierstraßsche Funktion Eine elliptische Funktion f : C C ist eine meromorphe Funktion, welche zwei komplexe Perioden ω, ω C besitzt. Hier werden ω und ω als R linear unabhängig angenommen und somit spannen sie ein Periodengitter L = Zω + Zω auf. Eine elliptische Funktion kann also als eine Abbildung f : C/L C auf dem Quotienten C/L, dem sogenannten Periodentorus, aufgefasst werden. Als Beispiele für elliptische Funktionen dienen die konstanten Funktionen. Die Theoreme von Liouville (siehe [FB05, V.]) formulieren jedoch notwendige Bedingungen an nichtkonstante elliptische Funktionen. So ist die Ordnung einer solchen Funktion mindestens zwei und die Anzahl der Nullstellen ist gleich der Anzahl der Pole in C/L, mit Vielfachheit gezählt. In diesem Abschnitt konstruieren wir zu einem vorgeschriebenen Gitter L eine nichtkonstante elliptische Funktion der Ordnung zwei, welche einen Pol der Ordnung zwei im Ursprung und somit in jedem Gitterpunkt annimmt. Diese Funktion heisst Weierstraßsche Funktion. Um eine solche elliptische Funktion zu konstruieren wählen wir den Ansatz ω L (z w). Jedoch konvergiert diese Reihe nicht. Durch das Hinzufügen neuer Summanden können wir dennoch Konvergenz erhalten. Definition. Die Weierstraßsche Funktion (z) zum Gitter L ist definiert als Grenzwertfunktion der Reihe (z) = z + [ (z ω) ] ω. () Der Struktursatz besagt, dass jede nichtkonstante elliptische Funktion mithilfe der Weierstraßschen Funktion gebildet werden kann. Wir gehen daher genauer auf die Konstruktion von (z) ein.. Die Konstruktion In diesem Unterabschnitt zeigen wir, dass die oben eingeführte Funktion (z) eine gerade, elliptische Funktion der Ordnung zwei darstellt. Dazu benötigen wir den Begriff einer normal konvergenten Reihe.

DIE WEIERSTRASSSCHE FUNKTION 3 Definition. Sei (f n ) n N : D C C eine Funktionenfolge. Die Reihe n N f n heisst normal konvergent in z 0 D, falls es eine Umgebung U von z 0 und eine reelle Zahlenfolge (M n ) n N gibt, sodass f n (z) M n für alle z U D und n N gilt und, sodass n N M n konvergiert. Eine normal konvergente Reihe hat folgende wichtige Eigenschaft (siehe [FB05, III.]). Satz.. Sei f(z) = n N f n(z) eine normal konvergente Reihe von holomorphen Funktionen. Dann ist die Grenzwertfunktion f holomorph. Weiter ist die Ableitung gegeben durch f (z) = n N f n(z). Wir widmen uns nun der Konstruktion von (z) und beginnen mit dem folgenden Lemma. Lemma.. Sei α >. Dann konvergiert die Reihe (m,n) Z m +n (m,n) Z (m,n) (0,0) (m + n ) α. Beweis. Die Summanden sind monoton fallend in m bzw. n. Also gilt (m + n ) α (x + y ) α dxdy. x +y Wir führen eine Variablentransformation durch und wechseln zu Polarkoordinaten. Mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und r folgt x +y (x + y ) α dxdy = π 0 r dϕdr = π rα Letzteres Integral konvergiert genau dann wenn α >. Mittels dieses Lemmas beweisen wir den nächsten Hilfssatz. Lemma.3. Sei s >. Dann konvergiert die Reihe ω s. Beweis. Wir zeigen, dass ein δ > 0 existiert, sodass mω + nω s δ(m + n ) s r α dr. gilt und benutzen anschliessend Lemma.. Wir betrachten dafür die Funktion g : R {0} R gegeben durch g(x, y) = xω + yω s. (x + y ) s

DIE WEIERSTRASSSCHE FUNKTION 4 Die Funktion g ist stetig, positiv und homogen, i.e. g(λx, λy) = g(x, y). Also nimmt g sein Minimum auf der S an. Wir wählen δ := min g(x, y) > 0 und x +y = erhalten schliesslich ω s = mω + nω s. δ(m + n ) s (m,n) Z (m,n) (0,0) (m,n) Z (m,n) (0,0) Nach Lemma. konvergiert die letzte Reihe für s >. Wir sind nun im Stande die Konvergenz von (z) zu zeigen. Theorem.4. Die Reihe [ (z ω) ] ω konvergiert normal in C L und stellt auf diesem Gebiet eine holomorphe Funktion dar. Also ist (z) eine gerade, meromorphe Abbildung und hat in allen Gitterpunkten einen Pol zweiter Ordnung. Beweis. Sei z 0 C L. Wir wählen eine Abzählung (ω n ) n N von L {0} und definieren die Funktionenfolge (f n ) n N : C L C gegeben durch f n (z) = (z ω n ) ω n. Dann gilt für z 0 < ω n und somit für fast alle n N f n (z 0 ) = (z 0 ω n ) ω n = z 0 z 0 ω n ω n z 0 ω n z 0 ( z 0 + ω n ) ω n z 0 ω n z 0 ( ω n + ω n ) ω n ( ω n ω n ) = z 0 ω n 3. Aus Lemma.3 folgern wir, dass z 0 w L {0} ω 3 konvergiert und somit die gegebene Reihe normal konvergent ist. Nach Satz. ist die Grenzwertfunktion holomorph. Um die Elliptizität der Weierstraßschen Funktion nachzuweisen, analysieren wir zuerst die Ableitung (z). Theorem.5. Die Ableitung der Weierstraßschen Funktion ist gegeben durch (z) = ω L (z ω) 3. () Es handelt sich um eine ungerade, elliptische Funktion bezüglich L, welche in jedem Gitterpunkt einen Pol der Ordnung drei sowie drei einfache Nullstellen in C/L besitzt.

DIE WEIERSTRASSSCHE FUNKTION 5 Beweis. Die Weierstraßsche Funktion konvergiert normal auf C L. Nach Satz. ko nnen wir die Reihe () Term fu r Term ableiten und erhalten somit die Formel () fu r 0 (z). Weiter ist 0 (z) normal konvergent auf C L nach Lemma.3 und stellt damit eine meromorphe Funktion dar, welche in den Gitterpunkten Pole dritter Ordnung aufweist. Der Index in () durchla uft die beiden Perioden ω und ω und wir schliessen daraus 0 (z + ω ) = 0 (z) sowie 0 (z + ω ) = 0 (z) z C. Somit ist 0 (z) eine ungerade, elliptische Funktion. Es bleibt noch die Nullstellen zu bestimmen. Wir zeigen, dass ω, ω und ω +ω die drei Nullstellen sind. Wir benutzen hierbei, dass 0 (z) ungerade und elliptisch ist. Es gilt ω ω ω 0 = 0 = 0 und somit ist ω eine Nullstelle. Die Behauptung fu r ω und ω +ω folgt analog. Diese drei Nullstellen sind verschieden. Da 0 (z) einen Pol dritter Ordnung im Ursprung besitzt, schliessen wir aus dem Theorem von Liouville, dass dies die einzigen Nullstellen sind und, dass es sich um einfache Nullstellen handelt. l = 0; Wir beenden diesen Unterabschnitt mit dem Beweis, dass (z) elliptisch ist. d := Floor@H * l + 8L ê 3D k := Ceiling@Hl - L ê 3D l Theorem.6. Die Weierstraßsche Funktion ist elliptisch bezu glich L. d k 0 Beweis. Wir betrachten die Funktion (z + ω ) (z). Die Ableitung dieser Funktion ist Null, da70 0 (z) elliptisch bezu glich L ist. Also ist (z + ω ) (z) 33 eine konstante Funktion. Wir wa hlen z = ω und berechnen 3+5 ω 8 ω ω ω 6+ = = 0. + 3 ω In[]:= Out[]= In[]:= Out[]= 9 WeierstrassP@, 8.87, 0<D Wir haben dabei benutzt, dass (z) gerade ist. Also ist (z) = (z + ω ). Der.7879 + 0. Â Beweis fu r die Periode ω ist analog. In[54]:= Out[54]= In[66]:= Plot3D@Re@WeierstrassP@x + y * I, 8.87, 0<DD, 8x, -.5,.5<, 8y, -.5,.5<, Boxed Ø False, Axes Ø False, ColorFunction Ø "Rainbow"D Out[66]= In[67]:= WeierstrassInvariants@8.,. I<D Abbildung : Die Weierstraßsche Funktion fu r das Gitter L = Z + iz 9.87 + 0. Â,.5808 µ 0 + 0. Â= -5 Out[67]= In[49]:= Out[49]= WeierstrassHalfPeriods@8.87, 0.<D 8., 0. +. Â<

DIE WEIERSTRASSSCHE FUNKTION 6. Die Differentialgleichung Als Beispiel für den anschliessenden Struktursatz zeigen wir, dass die Weierstraßsche Funktion eine besondere algebraische Differentialgleichung erfüllt. Dazu bestimmen wir zuerst die Laurentreihenentwicklung von (z) um z = 0. Da (z) gerade ist und einen Pol zweiter Ordnung in z = 0 besitzt, hat die Laurentreihe die Form (z) = z + a n z n. Wir betrachten die Funktion g(z) := (z) z. Diese ist holomorph in einer Umgebung von z = 0 und die Koeffizienten a n können mittels der Taylorreihe von g(z) berechnet werden. Es gilt Man rechnet sofort nach, dass n= a n = g(n) (0). (n)! ( ) (n) g (n) (z) = (n) (z) z = ( ) n (n + )! und somit gilt a n = (n + ) ω n+. (z ω) n+ Die letztgenannten Reihen konvergieren nach Lemma.3 und heissen Eisensteinreihen. Wir notieren G n := ω n und fassen zusammen. Satz.7. Die Weierstraßsche -Funktion besitzt um z = 0 die Laurentreihenentwicklung (z) = z + (n + )G (n+) z n. n= Wir kommen zur Differentialgleichung. Theorem.8 (algebraische Differentialgleichung). Die Weierstraßsche Funktion löst die Differentialgleichung wobei g = 60 G 4 und g 3 = 40 G 6. ( ) (z) = 4 3 (z) g (z) g 3, (3) Beweis. Wir weisen diese Identität durch einen Vergleich der Laurentreihen nach. Aus obigem Satz erhalten wir (z) = z + 3 G 4 z + 5 G 6 z 4 + o(z 6 ) und somit gilt 3 (z) = z 6 + 9 G 4 z + 5 G 6 + o(z ).

DER STRUKTURSATZ FÜR ELLIPTISCHE FUNKTIONEN 7 Um die Laurentreihe von (z) zu bestimmen leiten wir Term für Term ab. Wir beobachten (z) = z 3 + 6 G 4 z + 0 G 6 z 3 + o(z 5 ) und erhalten ( ) (z) = 4z 6 4 G 4 z 80 G 6 + o(z ). Wir vergleichen die Entwicklungen von (z), 3 (z) bzw. ( ) (z) und stellen fest, dass ( ) (z) 4 3 (z) + 60 G 4 (z) = 40 G 6 + o(z ). Die linke Seite der Gleichung stellt demzufolge eine holomorphe, elliptische Funktion dar und ist nach dem ersten Theorem von Liouville konstant. Diese Konstante ist genau 40 G 6. Die Behauptung folgt somit. Es stellt sich heraus, dass jede elliptische Funktion durch (z) und (z) mit einem ähnlichen Verfahren konstruiert werden kann. Dies ist der Struktursatz. Der Struktursatz für elliptische Funktionen Seien f, g : C C zwei elliptische Funktionen bezüglich eines fixen Gitters L. Summe, Differenz, Produkt sowie Division von f mit g ergeben wiederum elliptische Funktionen. Diese bilden daher einen Körper, den wir mit K(L) bezeichnen. Der Struktursatz besagt, dass K(L) durch (z) und (z) erzeugt wird. Genauer gilt Theorem. (Struktursatz). Jede elliptische Funktion f(z) hat die Form f(z) = R( (z)) + (z)s( (z)) für zwei gebrochen rationale Funktionen R und S. Beweis. Wir unterteilen den Beweis in drei Schritte. Schritt : Wir zeigen die Behauptung für gerade, elliptische Funktionen, welche Pole nur in den Gitterpunkten annehmen. Dies beweisen wir durch Induktion über die Ordnung. Wir merken an, dass nach Liouville die Ordnung mindestens zwei ist und, dass die Ordnung gerade ist, da die Funktion gerade ist. Für die Verankerung betrachten wir eine gerade, elliptische Funktion f(z) der Ordnung zwei. Die Laurentreihe von f(z) um z = 0 hat die Gestalt f(z) = a z + o(z ). Nun ist f(z) a (z) elliptisch und holomorph, also konstant nach Liouville. Dementsprechend ist f(z) = b 0 + b (z) für eine geeignete Wahl von b 0 bzw. b. Für den Induktionsschritt nehmen wir eine gerade, elliptische Funktion f(z) der Ordnung n. Die Laurentreihe von f(z) um z = 0 hat die Form f(z) = a n z n + o(z n+ ).

DER STRUKTURSATZ FÜR ELLIPTISCHE FUNKTIONEN 8 Weiter hat n (z) die Gestalt n (z) = z n + o(z n+ ). Wir folgern, dass f(z) a n n (z) elliptisch ist mit Ordnung kleiner oder gleich n. Nach Induktionsvoraussetzung ist f(z) a n n (z) = b 0 + b (z) + + b n n (z). Durch Umstellen der letzten Gleichung lässt sich f(z) als Polynom in (z) schreiben. Schritt : Wir zeigen nun die Behauptung für eine beliebige gerade, elliptische Funktion f(z). Sei a C ein Pol von f(z). Nach obigem Schritt können wir annehmen, dass a kein Gitterpunkt von L ist. Wir betrachten die Funktion f(z)( (z) (a)) N für ein N N gross genug. Der rechte Faktor besitzt eine N fache Nullstelle in a und hebt damit den Pol auf. Wir wenden die gleiche Methode bei den anderen Polen von f(z) an. Die Anzahl der Polstellen a j von f(z) ist endlich im Periodentorus und somit besitzt die Funktion g(z) := f(z) j ( (z) (a j )) Nj keine Pole ausser in L. Nun ist g(z) gerade und elliptisch und lässt sich somit als Polynom in (z) schreiben. Damit ist f(z) = g(z) ( (z) (a j )) Nj j eine gebrochen rationale Funktion in (z). Schritt 3 : Wir schliessen den Beweis ab. Sei f(z) also eine beliebige elliptische Funktion. Dann kann f(z) auf eindeutige Weise in eine gerade Funktion f (z) und eine ungerade Funktion f (z) zerlegt werden f(z) = f (z) + f (z) = (f(z) + f( z)) + (f(z) f( z)). Man prüft leicht nach, dass sowohl f (z) als auch f (z) elliptisch sind. Die Funktion f (z) ist gerade, also bleibt uns noch f (z) zu behandeln. Nun ist das Produkt zweier ungerader Funktionen stets gerade, also ist f(z) (z) gerade und lässt sich durch (z) beschreiben. Wir folgern, dass f(z) = f (z) + f (z) = R( (z)) + (z)s( (z)). Als Illustration des Struktursatzes dient die algebraische Differentialgleichung (3) für (z).

3 ELLIPTISCHE KURVEN 9 3 Elliptische Kurven Es wurde anfangs erwähnt, dass elliptische Funktionen auch als Abbildungen auf dem Periodentorus C/L interpretiert werden können. In diesem letzten Abschnitt wollen wir eine besondere geometrische Eigenschaft des Periodentorus aufzeigen. Jedem Periodentorus kann eine kompakte Riemannsche Fläche zugeordnet werden, die sogenannte elliptische Kurve. Die algebraische Differentialgleichung für (z) liefert diesen Zusammenhang. Wir führen zuerst das Konzept der ebenen affinen und später der ebenen projektiven Kurve ein. Definition. Sei P : C C ein nichtkonstantes Polynom in zwei Variablen. Die Nullstellenmenge X P = {(z, z ) C P (z, z ) = 0} bezeichnen wir als eine ebene affine Kurve. Sei nun L ein Gitter und g bzw. g 3 die dazugehörigen Vielfachen der Eisensteinreihen. Wir wählen als Polynom die algebraische Differentialgleichung (3) und erhalten die ebene affine Kurve X P (g, g 3 ) = {(z, z ) C z = 4z 3 g z g 3 }. 0 5 4 4 5 0 Abbildung : Die elliptische Kurve für das Gitter L = Z + iz Die Weierstraßsche Funktion löst diese Differentialgleichung. Also ist ( (z), (z)) X P (g, g 3 ) für alle z / L. Dies liefert die wohldefinierte Abbildung ψ : C/L [0] X P (g, g 3 ), [z] ( (z), (z)). Satz 3.. Die Abbildung ψ ist eine Bijektion. Beweis. Wir beginnen mit der Surjektivität. Sei (u, v) X P (g, g 3 ) ein Punkt auf der Kurve. Die Funktion (z) nimmt auf dem Torus alle Werte an, also existiert ein z 0 C/L mit (z 0 ) = u. Nach Definition von X P (g, g 3 ) ist ( ) (z 0 ) = v. Also ist (z 0 ) = v oder (z 0 ) = v.

3 ELLIPTISCHE KURVEN 0 Falls erstes zutrifft, so ist ( (z 0 ), (z 0 )) = (u, v) und wir sind fertig. Andernfalls betrachten wir ( ( z 0 ), ( z 0 )) = ( (z 0 ), (z 0 )) = (u, v). Für die Injektivität betrachten wir z 0, z C/L mit (z 0 ) = (z ) sowie (z 0 ) = (z ). Nach Liouville nimmt (z) jeden Wert in C/L gleich oft an. Jedoch hat (z) maximal zwei Nullstellen in C/L. Da (z) gerade ist, folgern wir, dass z 0 = z oder z 0 = z. Im zweiten Fall gilt z 0 z mod L und somit ist (z 0 ) = ( z ) = (z ) = (z 0 ). Also ist z 0 eine Nullstelle von (z) und damit ist z 0 L nach Theorem.5. Wir schliessen daraus, dass z 0 z mod L und, dass ψ injektiv ist. Auf der affinen Kurve fehlt der Punkt [0] C/L. Wollen wir diesen hinzufügen, so müssen wir zuerst die Kurve X P (g, g 3 ) mit einer Teilmenge des komplex projektiven Raums CP identifizieren. Es ist ein klassisches Resultat der komplexen Geometrie, dass kompakte Riemannsche Flächen nicht im C n eingebettet werden können (siehe [Huy05]). Wir wiederholen einige Definitionen aus der Geometrie. Sei C n+ \ {0} versehen mit folgender Äquivalenzrelation z w z = λw für ein λ C \ {0}. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet den komplex projektiven Raum CP n. Er kann als die Menge der komplexen Ursprungsgeraden in C n+ interpretiert werden. Mit A n C bezeichnen wir die Menge A n C = {[z 0 :... : z n ] CP n z 0 0}. Man prüft leicht nach, dass die Abbildung eine Bijektion ist. ϕ : C n A n C, (z,... z n ) [ : z :... z n ] Die projektive Kurve werden wir genau wie die affine Kurve als Nullstellenmenge eines Polynoms definieren. Damit die Nullstellenmenge jedoch nicht vom Repräsentanten in CP n abhängt, muss das Polynom homogen sein. Definition. Sei P : C 3 C ein nichtkonstantes Polynom in drei Variablen. Man nennt P homogen von Grad d, falls P (tz, tz, tz 3 ) = t d P (z, z, z 3 ) für alle t C gilt. Definition. Sei P : C 3 C ein nichtkonstantes, homogenes Polynom in drei Variablen. Die Nullstellenmenge X P = {[z 0 : z : z ] CP P (z 0, z, z ) = 0} bezeichnen wir als eine ebene projektive Kurve. Sei P : C C ein nichtkonstantes Polynom in zwei Variablen gegeben durch P (z, z ) = ν,ν a νν z ν zν.

3 ELLIPTISCHE KURVEN Sei d := max{ν + ν a νν 0}. Dann ist P (z 0, z, z ) = a νν z d ν ν 0 z ν zν ν,ν ein homogenes Polynom von Grad d. P wird die Homogenisierung des Polynoms P genannt. Wir sind nun im Stande die affine Kurve X P mit der projektiven Kurve X P in Beziehung zu setzen. Lemma 3.. Sei P : C C ein nichtkonstantes Polynom und sei P die Homogenisierung von P. Dann bildet die Bijektion ϕ : X P C A C, (z, z ) [ : z : z ] die affine Kurve X P auf X P A C ab. Beweis. Dieses Lemma folgt unmittelbar aus der Definition von P. Wir kommen zu unserem Beispiel zurück. Die affine Kurve X P (g, g 3 ) ist gegeben durch X P (g, g 3 ) = {(z, z ) C z = 4z 3 g z g 3 } und somit erhalten wir die projektive Kurve X P (g, g 3 ) = {[z 0 : z : z ] CP z 0 z 4z 3 + g z 0z + g 3 z 3 0 = 0}. Um den Punkt [0] C/L in CP zu identifizieren, betrachten wir das Komplement von A C in CP. Dieses besteht aus allen Ursprungsgeraden in C 3 mit z 0 = 0. Nun liegen alle Punkte der Ursprungsgerade, welche durch (0, 0, ) C 3 aufgespannt wird, auf der Kurve X P (g, g 3 ). Also ist [0 : 0 : ] X P (g, g 3 ). Dies entspricht genau dem Punkt [0] C/L. Wir fassen unsere Überlegungen zusammen. Theorem 3.3. Die Abbildung φ : C/L CP, [z] { [ : (z) : (z)], für z / L [0 : 0 : ], für z L ist eine Bijektion zwischen dem Periodentorus C/L und der ebenen projektiven Kurve X P (g, g 3 ). Beweis. Für z / L ist φ einfach die Komposition ϕ ψ. Weiter wird der Punkt [0] C/L mit [0 : 0 : ] CP identifiziert und somit ist die Abbildung bijektiv. Bemerkung 3.4. Die projektive Kurve X P (g, g 3 ) ist eine eingebettete kompakte Riemannsche Fläche. Sie wird als elliptische Kurve zum Gitter L bezeichnet. Elliptische Kurven haben vielfältige Anwendungen in Theorie und Praxis. Sie bieten einen hervorragenden Einstieg in die algebraische Geometrie und werden nebenbei in der modernen Kryptographie zur Verschlüsselung von Botschaften verwendet (siehe [Was08]).

LITERATUR Literatur [FB05] Eberhard Freitag and Rolf Busam. Complex analysis. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 005. Translated from the 005 German edition by Dan Fulea. [Huy05] Daniel Huybrechts. Complex geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 005. An introduction. [Was08] Lawrence C. Washington. Elliptic curves. Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, second edition, 008. Number theory and cryptography.