Stroppel/Knarr 07. 09. 009 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig beschrieben. Bearbeitungen mit Bleistift oder Rotstift sind nicht zulässig! In den Aufgaben 7 sind die vollständigen Lösungswege mit allen notwendigen Begründungen anzugeben. Die Bearbeitung dieser Aufgaben nehmen Sie bitte auf gesondertem Papier vor. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. In den Aufgaben 8 werden nur die Endergebnisse gewertet. Diese sind in die vorgegebenen Kästen einzutragen. Nebenrechnungen sind hier nicht verlangt und werden bei der Bewertung nicht berücksichtigt. Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte können Sie ohne weitere Herleitung verwenden. Alle anderen Ableitungen und Stammfunktionen müssen begründet werden. fx x a e x sin x tanx sinh x arsinhx d dx fx a xa e x cosx cosx cosh x x + fx b x ln x cosx arctanx cosh x arcosh x d dx fx lnbbx x a R,b R + sin x + x sinh x x x sinx cosx 0 0 6 4 0 Die Prüfungsergebnisse werden voraussichtlich ab 9. 0. 009 über das Studenteninformationssystem Universität Stuttgart https://studius.uni-stuttgart.de/ bekanntgegeben. Viel Erfolg! Hinweise für Wiederholer: Studierende, die diese Prüfung als Wiederholungsprüfung schreiben, werden darauf hingewiesen, dass zu dieser Wiederholungsprüfung für bestimmte Fachrichtungen eine mündliche Nachprüfung gehört, es sei denn, die schriftliche Prüfung ergibt mindestens die Note 4,0. Wiederholer, bei denen eine mündliche Nachprüfung erforderlich ist, müssen vom 9. 0. bis 8. 0. 009 mit Frau Dr. Iryna Rybak Raum V 57.7.6 einen Termin vereinbaren. Eine individuelle schriftliche Benachrichtigung erfolgt nicht! Sie sind verpflichtet, sich rechtzeitig über das Ergebnis der schriftlichen Prüfung zu informieren und sich zum vereinbarten Zeitpunkt für die mündliche Nachprüfung bereitzuhalten. Mit Ihrer Teilnahme an dieser Prüfung erkennen Sie diese Verpflichtungen an. Seite von 5
Stroppel/Knarr Höhere Mathematik / 07. 09.009 Aufgabe 5 Punkte Gegeben sind die Mengen { M = z C + iz 4 } { und M = z C Re } z, z 0 in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M, M und M M. Aufgabe 4 Punkte Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung in der Form z = a + bi mit a,b R. z z + 4 i = 0 Aufgabe 6 Punkte a Berechnen Sie alle reellen Lösungen des linearen Gleichungssystems x 5 0 x = 9. 0 4 b Für welche c R bilden die Vektoren eine Basis des R? f =, 0,, f =, c, 0, f =,, c Aufgabe 4 5 Punkte Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik Q := x { } x R x + x x + x = 0 und ermitteln Sie die zugehörige Koordinatentransformation. Bestimmen Sie anhand der Normalform die Gestalt der Quadrik. Aufgabe 5 5 Punkte Bestimmen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte. a lim x 0 x + x + cosx b lim x 0 x cosx sinx e x sinx c lim x + e x x + d lim x + x lnx 0 Seite von 5
Stroppel/Knarr Höhere Mathematik / 07. 09.009 Aufgabe 6 7 Punkte Gegeben ist die Funktion f : R R: x,y y x y. a Skizzieren Sie die Nullstellenmenge der Funktion f. Markieren Sie das Vorzeichen der Funktionswerte in allen Bereichen. b Berechnen Sie den Gradienten von f. Bestimmen Sie alle kritischen Stellen von f und markieren Sie diese in Ihrer Skizze. c An welchen dieser kritischen Stellen liegen Extrema, wo Sattelpunkte vor? Aufgabe 7 Punkte Gegeben ist das Vektorfeld u g: R R + R : v /v u/v und die Kurve K, die parametrisiert wird durch C : [ sint, 4 4] R : t cost. Berechnen Sie K gx d x. Seite von 5
Stroppel/Knarr Höhere Mathematik / 07. 09.009 Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 8 4 Punkte Gegeben ist die Matrix A = i i C. a Bestimmen Sie die Spur und die Determinante von A. SpA = deta = b Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A. χ A λ = c Bestimmen Sie den Eigenwert λ zum Eigenvektor. λ = d Bestimmen Sie die Menge M aller Eigenwerte von A. M = Aufgabe 9 4 Punkte Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik Q := { } x R x + x x 4x = 0. Welche Gestalt hat die Quadrik Q? Aufgabe 0 4 Punkte Bestimmmen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen. Falls die untersuchte Reihe nicht konvergiert, tragen Sie divergent ein. n=0 n n n! n=0 n + 4 n n= n n n + Bitte wenden! Seite 4 von 5
Stroppel/Knarr Höhere Mathematik / 07. 09.009 Aufgabe 6 Punkte Berechnen Sie folgende Integrale. cost sint d t = x + x 4 d x = x + x e x d x = Aufgabe 7 Punkte Bestimmen Sie für die Funktion f : R R: x,y e x+y sinxy den Gradienten gradfx,y = und die Hessematrix H fx,y =. Bestimmen Sie das Taylorpolynom T f, x,y, 0, 0 der zweiten Stufe um den Entwicklungspunkt x 0,y 0 = 0, 0. T f, x,y, 0, 0 = Seite 5 von 5