Übung 7 Abgabe: 29.04. bzw. 03.05.2016 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2016 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Strahlungsdruck, Potentiale 1 Der Brewsterwinkel (15 Pkt.) Als Nachtrag zu den Fresnel schen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten beschäftigen wir uns in dieser Aufgabe mit einigen ihrer Eigenschaften und den daraus resultierenden Anwendungsmöglichkeiten. Praktisch sämtliche Materialien, die in der Natur vorkommen, sind im optischen Frequenzspektrum kaum magnetisierbar, so dass gilt µ = 1. Wir verwenden diesen Umstand während der gesamten Aufgabe. (a) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass für p-polarisiertes Licht beim Übergang von einem Medium mit Brechungsindex n 1 zu einem Medium mit Brechungsindex n 2 ein Einfallswinkel θ 1 = θ B = arctan (n 2 /n 1 ) existiert, unter dem keinerlei Intensität an der Grenzfläche reflektiert wird, so dass sämtliche Intensität in das Material mit Brechungsindex n 2 hineingebrochen wird. (b) (2 Pkt.) Man nennt den Winkel θ B den Brewsterwinkel. Der Brewsterwinkel wird ausgenutzt, um Laserstrahlen verlustfrei durch Glasfenster (beispielsweise von Einhausungen oder Vakuumkammern) zu führen. Unter welchem Winkel muss ein Glasfenster geschliffen sein, d.h. unter welchem Winkel müssen die beiden Oberflächen zueinander stehen, damit ein unter dem Brewsterwinkel für eine Luft-Glas-Oberfläche in das Fenster eintretender Laserstrahl unter dem Brewsterwinkel für eine Glas-Luft-Oberfläche wiederum reflexionsfrei aus dem Fenster austritt? (c) (5 Pkt.) Erstellen Sie (unter Verwendung eines geeigneten Computerprogrammes) einen Graphen für den Intensitätsreflexionskoeffizienten R s/p (θ) = r s/p (θ) 2 für s- sowie für p- polarisiertes Licht an einer Grenzfläche zwischen Luft n 1 = 1 und Wasser n 2 = 1.4. Markieren Sie den Brewsterwinkel, und beschriften Sie Ihre Achsen aussagekräftig und mit Einheiten. (d) Polarisierende Sonnenbrillen reduzieren die blendende Wirkung von an Wasseroberflächen oder nassen Fahrbahnen reflektiertem Sonnenlicht. Die Gläser solcher Brillen sind mit einem linearen Polarisationsfilter versehen. Verwenden Sie Ihren Graphen aus der vorhergehenden Aufgabe, um folgende Fragen zu beantworten. (a) (2 Pkt.) Sie fahren der Sonne auf regennasser Fahrbahn entgegen. Warum werden Sie durch Reflexionen an der Fahrbahn umso stärker geblendet, je tiefer die Sonne steht? 1
(b) (2 Pkt.) Unter welchem Winkel sollten die Polarisationsfilter auf Ihrer Sonnenbrille relativ zur Erdoberflächennormalen angebracht sein, um Blendung zu minimieren? Der Winkel gebe die Polarisationsrichtung an, die von dem Filter transmittiert wird. 2
2 Die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Draht (35 Pkt.) Elektromagnetische Strahlung übt Kräfte aus. In der Vorlesung haben wir diesen Umstand für zeitabhängige elektromagnetische Felder hergeleitet. Selbstverständlich gilt unsere Theorie auch im Limit verschwindender Frequenzen, also für elektrostatische Probleme. Um uns mit dem Formalismus des Maxwell schen Spannungstensors vertraut zu machen, betrachten wir in dieser Aufgabe die Kraft, die ein stromdurchflossener Draht in einem homogenen Magnetfeld verspürt. Wir betrachten einen Draht entlang der z-achse, in dem ein Strom I in positive z-richtung fliesse. Der Draht befinde sich in einem homogenen Magnetfeld mit Stärke H 0, das entlang der y-richtung zeige. H 0 I z y x (a) (5 Pkt.) Berechnen Sie mithilfe einer Maxwell schen Rotationsgleichung das Magnetfeld H ind (r), das durch den Strom generiert wird. (b) (4 Pkt.) Formulieren Sie das totale Magnetfeld H(r, φ) unter Verwendung kartesischer Einheitsvektoren als Summe des durch den Strom generierten Feldes und des externen Feldes. Hinweis: Es gilt für den Einheitsvektor n φ = sin φn x + cos φn y. (c) (10 Pkt.) Berechnen Sie den Maxwell schen Spannungstensor für das vorliegende Problem. (d) (12 Pkt.) Berechnen Sie die Kraft pro Einheitslänge, die auf den Draht wirkt. Integrieren Sie dazu den Maxwell schen Spannungstensor über die Oberfläche eines Zylinders mit Radius r um den Draht. (e) (4 Pkt.) Berechnen Sie nun die Lorentzkraft F = q(e + v B). (1) auf den stromdurchflossenen Draht und bestätigen Sie Ihr Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe. 3
3 Elektromagnetische Welle im Medium (50 Pkt.) In der Vorlesung haben wir gefunden, dass zeitharmonische Felder in homogenen Medien ebenso wie im Vakuum als Superposition ebener Wellen geschrieben werden können, es ist lediglich die Dispersionsrelation durch den Brechungsindex n zu korrigieren. Dieser Umstand beruht auf der Tatsache, dass ein elektromagnetisches Feld in einem homogenen Medium eine Polarisation erzeugt, die wiederum elektromagnetische Felder abstrahlt. In dieser Aufgabe leiten wir die Dispersionsrelation im Medium (exemplarisch im Fall µ = 1) erneut her, indem wir explizit die Felder betrachten, die durch die zeitharmonische Polarisierung eines Mediums generiert werden. Wir beginnen mit den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen, die lauten E = ρ tot /ε 0, (2) B = 0, (3) E = B, t (4) B = 1 c 2 t E + µ 0j tot. (5) Ausserdem verwenden wir das skalare Potential φ und das Vektorpotential A, aus denen sich die Felder berechnen lassen, wie in der Vorlesung behandelt. (a) (6 Pkt.) Verwenden Sie die Lorenzeichung, die Sie in der Vorlesung kennengelernt haben, um die folgenden Wellengleichungen für die Potentiale herzuleiten 2 A L 1 c 2 2 A L t 2 = µ 0 j tot, (6) 2 φ L 1 c 2 2 φ L t 2 = ρ tot /ε 0. (7) (b) (5 Pkt.) Wir führen nun den elektrischen Hertz-Vektor π e und den magnetischen Hertz-Vektor π m ein, die wir über folgende Gleichungen definieren φ L = π e, (8) A L = 1 c 2 π e t + π m. (9) Wir betrachten im Folgenden ein System ohne freie Ladungen (es existieren also lediglich Polarisationsladungen) und ohne freie Ströme und Leitungsströme (es existieren also lediglich Polarisationsströme und Magnetisierungsströme). Zeigen Sie, dass im betrachteten System die Hertz schen Vektoren π m und π e die inhomogenen Wellengleichungen erfüllen 2 π e 1 c 2 2 π e t 2 = 1 ε 0 P, (10) 2 π m 1 c 2 2 π m t 2 = µ 0 M. (11) 4
(c) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass sich die Felder aus den Hertz schen Vektoren und den Quellen berechnen nach E = π e π m t P ε 0, (12) B = π m + 1 c 2 π e t. (13) (d) (2 Pkt.) Wir können für zeitharmonische Felder zu komplexen Hertz schen Vektoren übergehen, so dass gilt π(r, t) = Re { π(r)e iωt}. Zeigen Sie, dass die komplexen Hertz schen Vektoren die inhomogenen Helmholtzgleichungen erfüllen mit der Wellenzahl im Vakuum k 0. 2 π e + k 2 0π e = 1 ε 0 P, (14) 2 π m + k 2 0π m = µ 0 M, (15) (e) (4 Pkt.) Für die zeitharmonischen Hertz schen Vektoren gilt also die inhomogene Helmholtzgleichung mit der Vakuumwellenzahl k 0. Sie kennen die Green sche Funktion G 0 (r, r ) der Helmholtzgleichung aus der Vorlesung. Wir beschränken uns für den Rest dieser Aufgabe auf ein Medium, das keinerlei Magnetisierung zeigt, so dass wir im Folgenden lediglich den elektrischen Hertz schen Vektor zu betrachten haben. Zeigen Sie, dass für den elektrischen Hertz schen Vektor gilt π e (r) = 1 4πε 0 dv e ik 0 r r r r P(r ). (16) (f) (8 Pkt.) Wir nehmen nun eine Polarisation in der Form einer in positive z-richtung propagierenden ebenen Welle bei Frequenz ω an. Die räumliche Periodizität der Polarisation sei bestimmt durch ihre (bislang unbekannte) Wellenzahl k, so dass gilt P(r) = P 0 e ikz. Ausserdem sei die Polarisation transversal, so dass der Polarisationsvektor P 0 senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht. Unser Ziel im Folgenden ist, die Wellenzahl k in Abhängigkeit von der Frequenz ω (bzw. der Vakuumwellenzahl k 0 ) zu bestimmen. Verwenden Sie die Substitution R = r r = ρ 2 + (z z ) 2 um folgenden Ausdruck für den Hertz schen Vektor herzuleiten π e (r) = P 0e ikz 2ε 0 dz e ik(z z) z z dr e ik 0R. (17) (g) (2 Pkt.) Berechnen Sie das letzte Integral in Gl. (17), indem Sie folgenden Grenzwert betrachten lim dr e ik0r e λr. (18) λ 0 z z Hinweis: Diese Vorgehensweise ist mathematisch nicht völlig einwandfrei, führt aber in unserem Falle zuverlässig zum Ziel. (h) (10 Pkt.) Zeigen Sie, dass der elektrische Hertz sche Vektor lautet π e (r) = P 0e ikz ε 0 (k 2 k0 2 (19) ). 5
Hinweis: Spalten Sie das zu berechnende Integral geeignet auf, um den Betrag im Integranden loszuwerden. Wenden Sie weiterhin den Grenzwert aus Teilaufgabe (g) an. (i) (4 Pkt.) Berechnen Sie das elektrische Feld E(r) aus dem Hertz schen Vektor. Hinweis: Zeigen Sie, dass der Hertz sche Vektor π e divergenzfrei ist und verwenden Sie diese Tatsache zusammen mit der inhomogenen Helmholtzgleichung, um Ihre Rechnung zu vereinfachen. (j) (4 Pkt.) Nehmen Sie an, dass ein linearer Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem elektrischen Feld besteht von der Form P = ε 0 χe. Zeigen Sie, dass damit für die Wellenzahl im Medium k gilt k 2 = (1 + χ)k 2 0. (20) Welcher Zusammenhang besteht folglich zwischen dem Brechungsindex n eines nicht magnetisierbaren Mediums und seiner Suszeptibilität χ? 6