Vorlesung Logiksysteme

Vorlesung Logiksysteme Teil 1 - Aussagenlogik Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 15. Mai 2014

Formalien zur Vorlesung/Übung Termine: dienstags 16:15 17:45 Uhr freitags 10:15 11:45 Uhr Beweissprechstunde montags 12-14 Uhr (oder n.v.) Zulassungsvoraussetzung zur Prüfung: 50% der Punkte aus den schriftlichen Übungsaufgaben wöchentliche Abgabe dienstags aktive Teilnahme an den Übungen Modulprüfung: mündliche Prüfung oder Klausur (Termin wird noch bekanntgegeben)

0.0.1 Vorlesung Logiksysteme (Sommer 2014) 1. Aussagenlogik Grundbegriffe (Wiederholung) Tableau-Kalkül Frege-Kalkül [Resolutions-Kalkül] [Natürliches Schließen] [Vergleich von Beweis-Kalkülen] 2. Modale Aussagenlogik Grundbegriffe Tableau-Kalkül Frege-Kalkül Algorithmen 3. Temporale Aussagenlogik LTL Grundbegriffe Büchi-Automaten Das Gültigkeitsproblem Formelauswertung von LTL-Formeln Computation tree logic (CTL)

Klassische Aussagenlogik (15. Mai 2014) 1. Aussagenlogik Grundbegriffe (Wiederholung) Syntax (Formeln) Semantik (Belegungen) Erfüllbarkeit und Gültigkeit Äquivalenz und adäquate Formelmengen Normalformen Erfüllbarkeitsäquivalentes Umformen Semantische Folgerung Algorithmische Fragen Tableau-Kalkül Frege-Kalkül [Resolutions-Kalkül] [Natürliches Schließen] [Vergleich von Beweis-Kalkülen] [Literatur: Schöning: Logik für Informatiker ((fast) jedes Logikbuch)]

Syntax der Aussagenlogik: Formeln Formeln bestehen aus 1. und (Konstantensymbole) 2. A 0, A 1, A 2,... (atomare Formeln, Variablensymbole) 3. (einstelliges Verknüpfungszeichen) 4. und (zweistellige Verknüpfungszeichen) 5. ( und ) (Klammern) Beispiele: A 3 (A 1 A 5 ) (A 1 ( A 3 ( A 5 ))) Sprechweisen: Für : falsum, falsch ; für : verum, wahr Für α : nicht α oder Negation von α Für (α β) : α und β oder Konjunktion von α und β Für (α β) : α oder β oder Disjunktion von α und β

Syntax der Aussagenlogik: Formeln Definition 1.1 (aussagenlogische Formeln) Eine atomare Formel hat die Form A i für i = 0, 1, 2,... (Aussagenlogische) Formeln sind induktiv definiert wie folgt. 1. Die Konstanten und und alle atomaren Formeln sind Formeln. 2. Für alle Formeln α ist α ebenfalls eine Formel. Für alle Formeln α und β sind (α β) und (α β) ebenfalls Formeln. (3. Es gibt keine anderen Formeln.)

Syntaxbäume, Teilformeln Formeln lassen sich auch durch ihre Syntaxbäume darstellen. Die Teilformeln einer Formel entsprechen den Teilbäumen des Syntaxbaumes. Beispiel: ((A 4 A 1 ) A 2 ) A 4 : (A 4 A 1 ): A 2 A 4 A 2 A 4 A 1 A 1 1.1.4

Semantik: Belegungen Atomare Formeln erhalten Wahrheitswerte, aus denen sich der Wahrheitswert von Formeln bestimmt. Die Wahrheitswerte sind 0 und 1 (oder falsch und wahr oder F und T ). Definition 1.2 (Belegung) Eine Belegung ist eine Funktion A : D {0, 1} für beliebige Mengen atomarer Formeln D. Beispiel: A belegt A 1, A 2, A 3 und A 4, also A : {A 1, A 2, A 3, A 4 } {0, 1}. A i A 1 A 2 A 3 A 4 A(A i ) 0 1 1 0 1.1.5

1.1.6 Idee: Wert einer Formel unter einer Belegung Sei A die Belegung für α = ((A 4 A 1 ) A 2 ) mit A i A 1 A 2 A 4 A(A i ) 1 1 0 A 2 A 4 A 1

1.1.6 Idee: Wert einer Formel unter einer Belegung Sei A die Belegung für α = ((A 4 A 1 ) A 2 ) mit A i A 1 A 2 A 4 A(A i ) 1 1 0 A 2 1 A 4 0 A 1 1

1.1.6 Idee: Wert einer Formel unter einer Belegung Sei A die Belegung für α = ((A 4 A 1 ) A 2 ) mit A i A 1 A 2 A 4 A(A i ) 1 1 0 A 2 1 A 4 0 A 1 0 1

1.1.6 Idee: Wert einer Formel unter einer Belegung Sei A die Belegung für α = ((A 4 A 1 ) A 2 ) mit A i A 1 A 2 A 4 A(A i ) 1 1 0 0 A 2 1 A 4 0 A 1 0 1

1.1.6 Idee: Wert einer Formel unter einer Belegung Sei A die Belegung für α = ((A 4 A 1 ) A 2 ) mit A i A 1 A 2 A 4 A(A i ) 1 1 0 0 0 A 2 1 A 4 0 A 1 0 1

1.1.6 Idee: Wert einer Formel unter einer Belegung Sei A die Belegung für α = ((A 4 A 1 ) A 2 ) mit A i A 1 A 2 A 4 A(A i ) 1 1 0 1 0 0 A 2 1 A 4 0 A 1 0 1

Wir schreiben abkürzend auch A für Â. 1.1.7 Semantik: erweiterte Belegung Definition 1.3 (erweiterte Belegung) Wir erweitern Belegung A : D {0, 1} zu einer Funktion  : E {0, 1} für die Menge E aller Formeln, die mit den atomaren Formeln D gebildet werden können. Â( ) = 1 und Â( ) = 0 Â(A i ) = A(A i ), für atomare Formeln A i D { 1, falls Â(α) 1 Â( α) = 0, sonst { 1, falls Â(α) = 1 und Â(β) = 1 Â((α β)) = 0, sonst { 1, falls Â(α) = 1 oder Â(β) = 1 Â((α β)) = 0, sonst

Erfüllbarkeit, Gültigkeit Definition 1.4 (erfüllbar, gültig) 1. Belegung A erfüllt Formel α (Schreibweise: A α), wenn Â(α) = 1. 2. Eine Formel heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung gibt, die sie erfüllt. Anderenfalls heißt die Formel unerfüllbar (oder Kontradiktion). 3. Wenn α von jeder (passenden) Belegung erfüllt wird, dann heißt α gültig (oder Tautologie, Schreibweise: α).

1.1.9 Erfüllbarkeit, Gültigkeit Beispiele: ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) erfüllbar unerfüllbar gültig

1.1.9 Erfüllbarkeit, Gültigkeit Beispiele: ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) erfüllbar unerfüllbar gültig

1.1.9 Erfüllbarkeit, Gültigkeit Beispiele: ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) erfüllbar unerfüllbar gültig

1.1.9 Erfüllbarkeit, Gültigkeit Beispiele: erfüllbar unerfüllbar gültig ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A)

1.1.9 Erfüllbarkeit, Gültigkeit Beispiele: erfüllbar unerfüllbar gültig ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A) ( (A B) A)

Wahrheitstafeln Die Semantik der Verknüpfungszeichen kann auch durch Wahrheitstafeln beschrieben werden. Beispiel: Semantik von Â((α β)) = { 1, falls Â(α) = 1 oder Â(β) = 1 0, sonst Wahrheitstafel dazu: Â(α) Â(β) Â((α β)) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1.1.10

1.1.11 Auswertung einer Formel als Wahrheitstafel Beispiel: α = ((A 4 A 1 ) A 2 ) A(A 1 ) A(A 2 ) A(A 4 ) Â( A 1 ) Â((A 4 A 1 )) Â(((A 4 A 1 ) A 2 )) Â(α) 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

1.1.12 Abkürzende Schreibweisen A, B, C,... oder... für A 0, A 1, A 2,... (α β) für ( α β) (α β) für ((α β) ( α β)) ( n α i ) für (... ((α 1 α 2 ) α 3 )... α n ) i=1 ( n α i ) für (... ((α 1 α 2 ) α 3 )... α n ) i=1

Nochmal Semantik: die Implikation Sprechweise für α β: wenn α, dann β, oder α impliziert β Â((α β)) = { 1, falls: wenn Â(α) = 1, dann Â(β) = 1 0, sonst Â(α) Â(β) Â((α β)) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Achtung: aus Â((α β)) = 1 kann man keine eindeutigen Rückschlüsse auf die Wahrheitswerte Â(α) und Â(β) ziehen! 1.1.13

1.1.14 Nochmal Semantik: die Äquivalenz Sprechweise für α β: α genau dann, wenn β, oder α äquivalent β Â((α β)) = { 1, falls Â(α) = Â(β) 0, sonst Â(α) Â(β) Â((α β)) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

1.1.15 Äquivalente Formeln Die Formeln (A B) und ( A B) haben unter jeder Belegung den gleichen Wert. A B (A B) ( A B) ( A B) 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 Formeln α und β heißen (semantisch) äquivalent, falls für jede passende Belegung A gilt: A(α) = A(β). Schreibweise: α β.

Äquivalenz: Beispiele Welche der folgenden Äquivalenzen gilt? (A (A B)) A (A B) ( A B) (A B) (B A) (A B) (B A) (A (B C)) ((A B) C) (A (B C)) ((A B) (A C))

Ersetzungstheorem Satz 1.5 Sei ϕ eine Formel mit der Teilformel α, und β sei äquivalent zu α. Sei ϕ eine Formel, die aus ϕ entsteht, wenn ein Vorkommen der Teilformel α durch β ersetzt wird. Dann sind ϕ und ϕ äquivalent. (Äquivalentes Ersetzen von Teilformeln erhält Äquivalenz.) Beispiel: ϕ = (B (A (A B))) α = (A (A B)) β = A ϕ = (B A) 1.1.17

1.1.18 Nützliche Äquivalenzen Idempotenz: (α α) α (α α) α Kommutativität: (α β) (β α) (α β) (β α) Absorption: (α (α β)) α (α (α β)) α Doppelnegation: α α demorgan s Regeln: (α β) ( α β) (α β) ( α β) Tautologieregeln: (α ) α (α ) Kontradiktionsregeln: (α ) (α ) α

Nützliche Äquivalenzen Assoziativität: ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) Distributivität: (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) Vereinfachende Schreibweise: überflüssige Klammern können weggelassen werden.

1.1.20 Äquivalentes Umformen Die semantische Äquivalenz von Formeln lässt sich jetzt syntaktisch durch äquivalentes Umformen verifizieren (da eine Äquivalenzrelation ist). Beispiel 1: (A B) ( B A) (A B) ( A B) (Schreibweise) ( A B) (Doppelnegation) ( B A) (Kommutativität) ( B A) (Schreibweise)

Äquivalentes Umformen Beispiel 2: (A B) ((A B) (B A)) (A B) ((A B) ( A B)) (Schreibweise) ((A B) (A A)) (( B A) ( B B)) (Kontr., Komm.) (A (B A)) ( B ( A B)) (Distr.) (( A B) A) (( A B) B) (Kommut.) (( A B) (A B)) (Distr.) (( A B) ( B A)) (Kommut.) ((A B) (B A)) (Schreibweise)

Äquivalentes Umformen Beispiel 3: ((A B) C) (A (B C)) ((A B) C) ( (A B) C) (Schreibweise) (( A B) C) (demorgan) ( A ( B C)) (Assoziativität) ( A (B C)) (Schreibweise) (A (B C)) (Schreibweise) Allgemeiner gilt: ( n ) A i B (A1 (A 2 ( (A n B) ))) i=1

Lemma 1.6 ( und sind adäquat) Für jede aussagenlogische Formel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur Atome und die Verknüpfungszeichen und enthält. Beweis: mittels Induktion über den Formelaufbau der Formel ϕ. Was ist zu zeigen? Induktionsanfang (IA) zu zeigen ist: Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die, oder ein Atom ist, gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur Atome, und enthält. Fall 1: ϕ =. Dann ist ϕ = (A 1 A 1 ) äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und. Fall 2: ϕ =. Dann ist ϕ = (A 1 A 1 ) äquivalent zu ϕ, und ϕ besteht nur aus Atomen, und. Fall 3: ϕ = A i. Dann gilt die Behauptung für ϕ = ϕ.

1.1.24 Was noch zu zeigen bleibt: Für alle aussagenlogischen Formeln α und β gilt: wenn α und β äquivalente Formeln besitzen, die nur aus Atomen, und bestehen, dann gibt es auch für α, (α β) und (α β) äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen. Daraus wird: und Induktionsvoraussetzung: α und β besitzen äquivalente Formeln α bzw. β, die nur aus Atomen, und bestehen. Induktionsschluss zu zeigen ist: α, (α β) und (α β) besitzen äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen.

Induktionsvoraussetzung (IV): α und β besitzen äquivalente Formeln α bzw. β, die nur aus Atomen, und bestehen. Induktionsschluss (IS) zu zeigen ist: α, (α β) und (α β) besitzen äquivalente Formeln, die nur aus Atomen, und bestehen. Fall 1: ϕ = α. Dann ist ϕ = α äquivalent zu ϕ (IV und Satz 1.5), und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor. Fall 2: ϕ = (α β). Dann ist ϕ = (α β ) äquivalent zu ϕ (IV und Satz 1.5), und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor. Fall 3: ϕ = (α β). Dann ist ϕ = ( α β ) äquivalent zu ϕ (IV, Satz 1.5 und demorgan s Regel), und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor.

Lemma 1.6 Für jede aussagenlogische Formel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ, die nur Atome und die Verknüpfungszeichen und enthält. Beweis: mittels Induktion über den Formelaufbau der Formel ϕ. Induktionsanfang: Fall 1: ϕ =. Dann gilt die Behauptung für ϕ = (A 1 A 1 ). Fall 2: ϕ =. Dann gilt die Behauptung für ϕ = (A 1 A 1 ). Fall 3: ϕ = A i. Dann gilt die Behauptung für ϕ = ϕ. Induktionsschluss: Fall 1: ϕ = α. Dann ist ϕ = α äquivalent zu ϕ (IV und Satz 1.5), und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor. Fall 2: ϕ = (α β). Dann ist ϕ = (α β ) äquivalent zu ϕ (IV und Satz 1.5), und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor. Fall 3: ϕ = (α β). Dann ist ϕ = ( α β ) äquivalent zu ϕ (IV, Satz 1.5 und demorgan s Regel), und in ϕ kommen laut IV nur Atome, und vor.

Satz 1.7 (Adäquate Formelmengen) Für jede aussagenlogische Formel gibt es äquivalente Formeln, die nur die folgenden Bestandteile haben. 1. Atome und die Verknüpfungszeichen und, oder 2. Atome und die Verknüpfungszeichen und, oder 3. Atome und die Verknüpfungszeichen und, oder 4. Atome, und das Verknüpfungszeichen.

Negationsnormalform Lemma 1.8 (Negationsnormalform) Zu jeder Formel gibt es eine äquivalente Formel, in der Negationen nur direkt vor atomaren Formeln vorkommen. Beispiel: (A ( B (C D))) A (B ( C D)) (A ( B (C D))) A ( B (C D)) (demorgan) A ( B (C D)) (demorgan) A (B (C D)) (Doppelnegation) A (B ( C D)) (demorgan)

Konjunktive bzw. Disjunktive Normalform Ein Literal ist eine bel. atomare Formel A i (positives Literal) oder deren Negation A i (negatives Literal). Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen. Eine Formel ist in konjunktiver Normalform, wenn sie eine Konjunktion von Klauseln ist. Beispiel: (A B C) B ( A B D) Ein Monom ist eine Konjunktion von Literalen. Eine Formel ist in disjunktiver Normalform, wenn sie eine Disjunktion von Monomen ist. Beispiel: (A B C) B ( A B D)

Normalformsatz Satz 1.9 (Konjunktive und Disjunktive Normalform) Für jede Formel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ K in konjunktiver Normalform und eine äquivalente Formel ϕ D in disjunktiver Normalform. Methode zum Umformen in Konjunktive Normalform. 1. Bringe die Formel in Negationsnormalform. 2. Ziehe die s nach innen, d.h. ersetze alle Teilformeln der Form (α (β γ)) durch ((α β) (α γ)) und ((α β) γ) durch ((α γ) (β γ)), bis die Formel in Konjunktiver Normalform ist. Umformen in Disjunktive Normalform geht entsprechend.

1.1.31 Größenunterschiede Durch Umformen in Normalform kann die Formelgröße exponentiell wachsen. (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A n B n ) besteht in Disjunktiver Normalform aus allen Monomen aus n Atomen, die jeweils ein Atom aus jeder Klausel dieser KNF enthalten. Das gleiche gilt für die dualen Formeln. Die DNF (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A n B n ) besteht in Konjunktiver Normalform aus allen Klauseln aus n Atomen, die jeweils ein Atom aus jedem Monom der DNF enthalten.

Erfüllbarkeitsäquivalentes Umformen Zwei Formeln sind erfüllbarkeitsäquivalent, wenn sie beide erfüllbar oder beide nicht erfüllbar sind. Beispiele: A B und A B sind nicht äquivalent, aber erfüllbarkeitsäquivalent (beide erfüllbar). A B und A A sind nicht erfüllbarkeitsäquivalent. A B und C D sind erfüllbarkeitsäquivalent. Wenn zwei Formeln beide nicht erfüllbar sind, dann sind sie sowohl äquivalent als auch erfüllbarkeitsäquivalent.

Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Satz 1.10 (erfüllbarkeitsäquivalente KNF) Zu jeder Formel α lässt sich in polynomieller Zeit eine erfüllbarkeitsäquivalente Konjunktive Normalform ϕ α berechnen. A 1 B 1 A 2 B 2

Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Satz 1.10 (erfüllbarkeitsäquivalente KNF) Zu jeder Formel α lässt sich in polynomieller Zeit eine erfüllbarkeitsäquivalente Konjunktive Normalform ϕ α berechnen. X 1 X 2 X 3 A 1 B 1 A 2 B 2 (1) Bringe die Formel in Negationsnormalform α. Markiere jeden Operatorknoten von α mit einem neuen Atom. X 1,..., X n seien diese Atome, und X 1 sei Markierung der Wurzel. Die Blätter bleiben mit den Literalen markiert.

Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Satz 1.10 (erfüllbarkeitsäquivalente KNF) Zu jeder Formel α lässt sich in polynomieller Zeit eine erfüllbarkeitsäquivalente Konjunktive Normalform ϕ α berechnen. X 1 (X 2 X 3 ) X 2 (A 1 B 1 ) X 3 ( A 2 B 2 ) A 1 B 1 A 2 B 2 (2) Jeder Operatorknoten mit Markierung X i, Operator und Söhnen mit Markierungen Y und Z induziert eine Formel α i = X i (Y Z).

Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Satz 1.10 (erfüllbarkeitsäquivalente KNF) Zu jeder Formel α lässt sich in polynomieller Zeit eine erfüllbarkeitsäquivalente Konjunktive Normalform ϕ α berechnen. X 1 (X 2 X 3 ) X 2 (A 1 B 1 ) X 3 ( A 2 B 2 ) A 1 B 1 A 2 B 2 (3) Falls α ein Literal ist, dann ist α = α. Sonst ist α = X 1 α 1... α n.

Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Satz 1.10 (erfüllbarkeitsäquivalente KNF) Zu jeder Formel α lässt sich in polynomieller Zeit eine erfüllbarkeitsäquivalente Konjunktive Normalform ϕ α berechnen. X 1 (X 2 X 3 ) X 2 (A 1 B 1 ) X 3 ( A 2 B 2 ) A 1 B 1 A 2 B 2 (3) Falls α ein Literal ist, dann ist α = α. Sonst ist α = X 1 α 1... α n. (4) Ersetze jedes α i in α durch eine äquivalente Formel in KNF. Die Ergebnisformel ϕ α hat Größe n + n 8 5.

Semantische Folgerung Definition 1.11 (Semantische Folgerung) Formel ϕ ist eine (semantische) Folgerung aus der Formelmenge F, wenn jede Belegung, die jedes α F erfüllt, ebenfalls ϕ erfüllt. (D.h.:... wenn für jede Belegung A gilt: wenn A(α) = 1 für alle α F, dann gilt auch A(ϕ) = 1.) Schreibweisen: F ϕ bedeutet: ϕ ist Folgerung aus F. Mengenklammern und Vereinigungszeichen lässt man gerne weg: z.b. α 1,..., α n ϕ oder F, α ϕ Statt α schreibt man α. α bedeutet: α wird von jeder (passenden) Belegung erfüllt.

1.1.35 Folgerung, Gültigkeit, Unerfüllbarkeit Lemma 1.12 Die folgenden Aussagen sind äquivalent für alle i = 1, 2,..., n + 1. 1. α 1,..., α n ϕ 2. α 1,..., α i 1 (α i (α i+1... (α n ϕ)...)) ( n 3. α 1,..., α i 1 ( α j ) ϕ ) j=i Insbesondere gelten also folgende Äquivalenzen zu 1. : (α 1 (α 2... (α n ϕ)...)) (( n α i ) ϕ) i=1

1.1.36 Zentrale algorithmische Fragen Entscheidungsprobleme Erfüllbarkeit (Satisfiability) gegeben: Formel ϕ gefragt: ist ϕ erfüllbar? Gültigkeit (Validity, Tautology) gegeben: Formel ϕ gefragt: ist ϕ gültig? Unerfüllbarkeit (Unsatisfiability) gegeben: Formel ϕ gefragt: ist ϕ unerfüllbar?

1.1.37 Zentrale algorithmische Fragen Entscheidungsprobleme Folgerung (Consequence) gegeben: endl. Formelmenge S, Formel ϕ gefragt: gilt S ϕ? Äquivalenz (Equivalence) gegeben: Formeln α und ϕ gefragt: gilt α ϕ? Formelauswertung (Model checking) gegeben: Formel ϕ und Belegung A gefragt: ist A(ϕ) = 1?

Reduzierbarkeiten Beziehungen zwischen den Fragen: Folgerung reduziert zu Gültigkeit: α 1,..., α n ϕ gdw. (α 1... α n ) ϕ gdw. (α 1... α n ) ϕ ist gültig Gültigkeit reduziert zu Unerfüllbarkeit: ϕ ist gültig gdw. ϕ ist unerfüllbar Unerfüllbarkeit reduziert zu Äquivalenz: ϕ ist unerfüllbar gdw. ϕ Äquivalenz reduziert zu Folgerung: α ϕ gdw. α ϕ und ϕ α Diese vier Probleme sind also gleich schwierig. Ein Algorithmus für eines von ihnen liefert direkt einen gleichschnellen Algorithmus für die anderen Probleme.

1.1.39 Komplexität der zentralen Fragen Formelauswertung Erfüllbarkeit Gültigkeit Aussagenlogik NC 1 NP conp Intuitionistische Logik P NP PSPACE Modallogik P PSPACE PSPACE Temporale Logik LTL PSPACE PSPACE PSPACE NP NC 1 P PSPACE parallel superschnell conp polynomielle Zeit polynomieller Platz deterministisch nicht-determ. schnell langsam

Kurzzusammenfassung Dieser Teil hat die grundlegenden Begriffe der Aussagenlogik wiederholt. Atome, Konstanten, Verknüpfungszeichen, Formeln Belegung erfüllbar, gültig, unerfüllbar äquivalentes Umformen adäquate Formelmengen Normalformen semantische Folgerung die zentralen algorithmischen Fragen

1.2.1 Der Tableau-Kalkül (15. Mai 2014) 1. Aussagenlogik Grundbegriffe (Wiederholung) Tableau-Kalkül Tableau-Beweise Korrektheit Vollständigkeit Algorithmen Frege-Kalkül [Resolutions-Kalkül] [Natürliches Schließen] [Vergleich von Beweis-Kalkülen] Mit dem Tableau-Kalkül beweist man die Gültigkeit von Formeln. [Literatur: Priest: An introduction to non-classical logic. Nerode, Shore: Logic for applications.]

Ein erstes Beispiel (A B) ( A B) Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind. Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht. Die Knoten werden expandiert und die Markierungen dabei in ihre Bestandteile zerlegt bis auf die Literale. Die Expansion ist durch Expansionsregeln bestimmt. 1.2.2

Ein erstes Beispiel (A B) ( A B) Expansionsregeln für und : α β : α β Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind. Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht. Die Knoten werden expandiert und die Markierungen dabei in ihre Bestandteile zerlegt bis auf die Literale. Die Expansion ist durch Expansionsregeln bestimmt. 1.2.2

Ein erstes Beispiel (A B) ( A B) A B A B Expansionsregeln für und : α β : α β Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind. Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht. Die Knoten werden expandiert und die Markierungen dabei in ihre Bestandteile zerlegt bis auf die Literale. Die Expansion ist durch Expansionsregeln bestimmt. 1.2.2

Ein erstes Beispiel (A B) ( A B) A B Expansionsregeln für und : α β : α β : A B α α β β Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind. Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht. Die Knoten werden expandiert und die Markierungen dabei in ihre Bestandteile zerlegt bis auf die Literale. Die Expansion ist durch Expansionsregeln bestimmt. 1.2.2

Ein erstes Beispiel (A B) ( A B) A B Expansionsregeln für und : α β : α β : A B α α β A B β Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind. Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht. Die Knoten werden expandiert und die Markierungen dabei in ihre Bestandteile zerlegt bis auf die Literale. Die Expansion ist durch Expansionsregeln bestimmt. 1.2.2

Ein erstes Beispiel (A B) ( A B) A B Expansionsregeln für und : α β : α β : A B α α β A B β A B A B Ein (semantisches) Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind. Man beginnt mit einem Baum, der nur aus einer Wurzel besteht. Die Knoten werden expandiert und die Markierungen dabei in ihre Bestandteile zerlegt bis auf die Literale. Die Expansion ist durch Expansionsregeln bestimmt. 1.2.2

Ein erstes Beispiel (A B) ( A B) A B Expansionsregeln für und : α β : α β : A B α α β A B β A B A B Wenn alle Knoten expandiert sind, dann gibt es für jede erfüllende Belegung der Wurzel-Formel einen Pfad, auf dem die Belegung alle Formeln erfüllt, und jeder nicht-widersprüchliche Pfad bestimmt erfüllende Belegungen der Wurzel-Formel. Erfüllende Belegungen: A B 1 0 und A B 0 1 1.2.2

1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu (A ( A B))

1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu (A ( A B)) Expansionsregeln für : (α β) : α β

1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu Expansionsregeln für : (α β) : (A ( A B)) A ( A B) α β

1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu Expansionsregeln für : (α β) : (α β) : (A ( A B)) A ( A B) α β α β

1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu Expansionsregeln für : (α β) : α β (α β) : α (A ( A B)) A ( A B) A B β

1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu (A ( A B)) Expansionsregeln für : (α β) : α β (α β) : α β β : β A ( A B) A B

1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu (A ( A B)) Expansionsregeln für : (α β) : α β (α β) : α β β : β A ( A B) A B A Erfüllende Belegungen: A B 0 0 0 1 1 0

Disjunktive Normalform: A (A B) 1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu (A ( A B)) Expansionsregeln für : (α β) : α β (α β) : α β β : β A ( A B) A B A Erfüllende Belegungen: A B 0 0 0 1 1 0

Disjunktive Normalform: A (A B) A B 1.2.3 Ein zweites Beispiel (A ( A B)) wird expandiert zu (A ( A B)) Expansionsregeln für : (α β) : α β (α β) : α β β : β A ( A B) A B A Erfüllende Belegungen: A B 0 0 0 1 1 0

Die Expansionsregeln α β : α β : (α β) : (α β) : α : α α β α α β α β β Expansion eines Knotens v mit Markierung ϕ in einem Tableau heißt: für jeden Pfad, der in v beginnt: hänge die durch die Expansionsregel für ϕ bezeichneten Knoten an das Ende des Pfades an. In der Expansionsregel steht für den letzten Knoten im Pfad.

1.2.5 Expansionsregeln für andere Verknüpfungszeichen α β : (α β) : α β : (α β) : α β α α α α α β β β β β Knoten mit Markierungen,, A i und A i werden nicht expandiert.

1.2.6 Tableaux Ein Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind. Er entsteht durch wiederholte Expansion von Knoten. Definition 1.13 (Tableau) Sei ϕ eine aussagenlogische Formel. 1. Ein Knoten, der mit ϕ markiert ist, ist ein Tableau für ϕ. 2. Sei T ein Tableau für ϕ und v ein Knoten von T, der expandiert werden kann. Dann entsteht durch Expansion von v ein Tableau für ϕ.

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)]

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C)

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C A C

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C A C A B

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C A C B C A B

1.2.7 Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C A C B C A B A B

Systematischer Aufbau eines Tableaus [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C A C B C A B Erfüllende Belegungen: A B C 0 1 0 1 0 0 A B (in Mengendarstellung { A, B, C} und {A, B, C}) 1.2.7

Eigenschaften von Pfaden und Tableaux Ein Pfad durch ein Tableau heißt widersprüchlich, wenn er oder zwei widersprüchliche Literale A i und A i enthält. Ein Tableau heißt geschlossen, wenn jeder Knoten auf allen nicht-widersprüchlichen Pfaden, auf denen er liegt, expandiert wurde. (Widersprüchliche Pfade müssen nicht weiter expandiert werden.) Ein Tableau heißt widersprüchlich, wenn alle Pfade durch das Tableau widersprüchlich sind. Lemma 1.14 (endliche Tableaux reichen) Für jede Formel α gibt es ein geschlossenes Tableau mit 2 α Pfaden. Beweis: Übungsaufgabe.

Definition 1.15 (Tableau-beweisbar) Eine Formel α heißt Tableau-beweisbar (Schreibweise: Tab α), falls α ein widersprüchliches Tableau besitzt. Beispiel: Tab (A (B A)) (A (B A)) A (B A) B A

Definition 1.15 (Tableau-beweisbar) Eine Formel α heißt Tableau-beweisbar (Schreibweise: Tab α), falls α ein widersprüchliches Tableau besitzt. Beispiel: Tab (((A B) (B C)) (A C)) (((A B) (B C)) (A C)) (A B) (B C) (A C) A B B C A C A B B C

Korrektheit und Vollständigkeit Der Tableau-Kalkül unterteilt die Menge aller Formeln in beweisbare und nicht-beweisbare Formeln. Sind die Tableau-beweisbaren Formeln genau die gültigen Formeln? Diese Frage besteht aus zwei Teilen: 1) Ist jede Tableau-beweisbare Formel gültig? (Korrektheit des TK) 2) Ist jede gültige Formel Tableau-beweisbar? (Vollständigkeit des TK) Zur Beantwortung der Frage braucht man einen Zusammenhang zwischen Tableaux und Belegungen. Definition 1.16 Sei A eine Belegung. Ein Pfad durch ein Tableau heißt A-treu, wenn A jede Formel auf dem Pfad erfüllt.

1.2.11 Bsp: Ein Tableau mit einem { A, B, C}-treuen Pfad [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C A B C B C A B C A C B C A B A B Wir werden zwei Eigenschaften A-treuer Pfade beweisen: 1.) Wenn ein Tableau einen A-treuen Pfad hat, dann behält es auch einen nach der Expansion eines Knotens.

1.2.11 Bsp: Ein Tableau mit einem { A, B, C}-treuen Pfad [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C A B C B C A B C A C B C A B A B Wir werden zwei Eigenschaften A-treuer Pfade beweisen: 2.) Wenn ein geschlossenes Tab. einen nicht-widersprüchlichen Pfad hat, dann gibt es eine Belegung A, zu der er A-treu ist.

1.2.12 Zur Korrektheit... Man betrachtet eine Belegung A, die die Wurzel eines Tableaus erfüllt, und verfolgt die Entwicklung eines A-treuen Pfades beim Aufbau des Tableaus. Wenn auf einem A-treuen Pfad ein Knoten expandiert wird, dann wird der A-treue Pfad verlängert. Lemma 1.17 (Expansion erhält A-Treue) Sei A eine Belegung und T ein Tableau, und T entstehe aus T durch Expansion eines Knotens. Wenn T einen A-treuen Pfad besitzt, dann besitzt auch T einen. Zum Beweis:... Expansionsregeln anschauen...

Zum Beweis:... Expansionsregeln anschauen... Sei π = p 1, p 2,..., p k ein A-treuer Pfad durch das Tableau T. Fall 1: T entsteht aus T durch Expansion eines Knotens, der nicht auf π liegt. Dann ist π ein A-treuer Pfad durch T. Fall 2: T entsteht aus T durch Expansion eines Knotens p i auf π. Fall 2.1: p i = α β. α β : Dann ist π = p 1, p 2,..., p k, α, β ein Pfad durch T. α Da A α β, folgt A α und A β. Also ist π ein A-treuer Pfad durch T. β

1.2.14 Fall 2.2: p i = α β. α α β : β Dann sind π 1 = p 1, p 2,..., p k, α und π 2 = p 1, p 2,..., p k, β Pfade durch T. Da A α β, folgt A α oder A β. Also ist π 1 ein A-treuer Pfad durch T oder π 2 ist ein A-treuer Pfad durch T. Die übrigen Fälle für die übrigen Expansionsregeln gehen entsprechend (siehe Übungsaufgaben). Fall 2.3: p i = (α β). Fall 2.4: p i = (α β). Fall 2.5: p i = α.

Lemma 1.18 (Korrektheit des Tableau-Kalküls) Wenn Tab α, dann α. Beweis: wir zeigen die Kontraposition: wenn α nicht gültig ist, dann ist α nicht Tableau-beweisbar, d.h. wenn α erfüllbar ist, dann ist α nicht Tableau-beweisbar. Sei α erfüllbar. Dann gibt es eine Belegung B mit B( α) = 1. Behauptung: Jedes Tableau für α besitzt einen B-treuen Pfad. IA: Das Tableau T 0 aus einem mit α markierten Knoten besitzt einen B-treuen Pfad. IV: Jedes Tableau, das durch k Expansionen aus T 0 entsteht, besitzt einen B-treuen Pfad. IS: T k+1 entstehe durch Expansion eines Knotens aus einem Tableau T k, das durch k Expansionen aus T 0 entstanden ist. Da T k nach IV einen B-treuen Pfad besitzt, folgt mit Lemma 1.17, dass T k+1 ebenfalls einen B-treuen Pfad besitzt. Jeder B-treue Pfad ist nicht-widersprüchlich. Also folgt aus der Behauptung, dass jedes Tableau für α einen nicht-widersprüchlichen Pfad besitzt. Folglich gibt es kein widersprüchliches Tableau für α. D.h. α ist nicht Tableau-beweisbar.

Zur Vollständigkeit... Man betrachtet die Belegung A, die die Literale auf einem nicht-widersprüchlichen Pfad bilden, und zeigt, dass der ganze Pfad A-treu ist. Lemma 1.19 (Pfad bestimmt Belegung) Sei T ein Tableau und π ein nicht-widersprüchlicher Pfad durch T, auf dem jeder Knoten expandiert ist. Dann gibt es eine Belegung A, so dass π A-treu ist. Beweis: Sei π = p 1, p 2,..., p m ein solcher Pfad (wir fassen die p i als Formeln auf). Sei A π eine Belegung, die alle Literale auf dem Pfad erfüllt. Wir zeigen induktiv, dass A π p i für i = m, m 1,..., 1. IA: zu zeigen: A π p m. Da (1) p m ein Literal ist und A π alle Literale auf π erfüllt oder (2) p m =, folgt A π p m. 1.2.16

IV: A π p j, A π p j+1,..., A π p m (für ein j > 1) IS: zu zeigen: A π p j 1. Es muss nachgeschaut werden, wie p j 1 aussieht. Fall 1: p j 1 ist ein Literal oder p j 1 =. Dann gilt A π p j 1 entsprechend der Definition von A π. Fall 2: p j 1 = α β. α β : Da jeder Knoten auf π expandiert ist, gibt es i j mit p α i = α und p i+1 = β. Da A π α und A π β (gemäß IV), folgt A π α β. β Fall 5: p j 1 = (α β). (α β) : α β Dann gibt es i j mit p i = α oder p i = β. Da A π p i (gemäß IV), folgt A π α β, und mit α β (α β) erhalten wir A π (α β). Die übrigen Fälle gehen entsprechend. 1.2.17

Lemma 1.20 (Vollständigkeit des Tableau-Kalküls) Wenn α, dann Tab α. Beweis: Wir zeigen die Kontraposition. Sei α nicht Tableau-beweisbar. Dann gibt es für α ein geschlossenes Tableau T α (Lemma 1.14), das nicht widersprüchlich ist. Also gibt es einen nicht-widersprüchlichen Pfad π durch T α, auf dem jeder Knoten expandiert ist. Nach Lemma 1.19 gibt es eine Belegung, die jede Formel auf π erfüllt. Da α am Anfang von π steht, ist α erfüllbar. D.h. α ist nicht gültig.

1.2.19 Vollständigkeitssatz für den Tableau-Kalkül Satz 1.21 (Vollständigkeitssatz für den Tableau-Kalkül) Sei α eine aussagenlogische Formel. α ist gültig genau dann, wenn α Tableau-beweisbar ist, d.h. α genau dann, wenn Tab α. Beweis: folgt aus Lemmas 1.18 und 1.20. Gültigkeit ist über Belegungen definiert: semantisch. Tableau-Beweisbarkeit ist über Formeln definiert: syntaktisch.

Algorithmen Ein vollständiges Tableau für beliebige Formeln α ist mit einem einfachen Algorithmus konstruierbar. Starte mit dem Tableau, das nur aus der mit α markierten Wurzel besteht. Durchsuche das Tableau mittels Tiefensuche und expandiere jeden besuchten Knoten, der nicht mit einem Literal markiert ist. (Das Tableau verändert sich, während es durchsucht wird... ) Falls alle Pfade widersprüchlich sind, dann gib gültig aus. Tableaux können jedoch exponentiell groß in der Formelgröße werden. Deshalb können Tableau-Algorithmen exponentielle Laufzeit haben.

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. [((A C) (B C)) ((A B) C)] (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C A A C B A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} (A C) (B C) ((A B) C) A C B C A B A B C C A A C B A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} A C B C A B A B C C A A C B A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} B C A B A B C C A A C B A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} B C A B {A C, A B, C} C A A C B A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} B C A B {A C, A B, C} C { A, A B, C} A B C A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} B C A B {A C, A B, C} C { A, A B, C} { A, A, C} B C A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} B C A B {A C, A B, C} C { A, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} C A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} B C A B {A C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} A C B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} {B C, ((A B) C)} A B {A C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} A C B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} {B C, ((A B) C)} {A C, A B, C} {B C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} A B C B

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} {B C, ((A B) C)} {A C, A B, C} {B C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} { B, A B, C} A B C

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} {B C, ((A B) C)} {A C, A B, C} {B C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { B, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} { B, A, C} B C

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} {B C, ((A B) C)} {A C, A B, C} {B C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { B, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} { B, A, C} { B, B, C} C

1.2.21 Algorithmen aus dem Tableau-Kalkül Mit (fast) jedem Knoten ist eine Menge aus zerlegbaren Formeln und Literalen verbunden. { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} {B C, ((A B) C)} {A C, A B, C} {B C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { B, A B, C} {C, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} { B, A, C} { B, B, C}

Typen von Tableau-Knoten In Tableaux für Aussagenlogik gibt es zwei Typen von Regeln. Typ 1: Markierung α β, (α β), (α β), α: es werden Knoten mit allen Zerlegungsformeln angehängt α β hat Zerlegungsformeln α und β, (α β) hat Zerlegungsformeln α und β etc. Typ 2: Markierung α β, α β, (α β): es wird zu zwei Knoten mit jeweils einer Zerlegungsformel verzweigt

Algorithmische Umsetzung Wenn man das Tableauverfahren durch Mengen zerlegbarer Formeln ausdrückt, dann ergeben sich diese Mengen wie folgt: für eine Formel vom Typ 1 (α β, (α β), (α β), α): ersetze sie durch alle ihre Zerlegungsformeln; z.b wenn α β S, dann wird S := (S {α β}) {α, β} für eine Formel vom Typ 2 (α β, α β, (α β)): ersetze sie nichtdeterministisch nur durch eine ihrer Zerlegungsformeln; z.b. wenn α β S, dann entscheide nichtdeterministisch, ob mit S := (S {α β}) {α} oder mit S := (S {α β}) {β} weitergemacht wird.... aus Verzweigung im Tableau wird Nichtdeterminismus...

Methode zum Bestimmen der Zerlegungsformeln Methodenaufruf zerlege(ϕ,i) ergibt die i-te Zerlegungsformel von ϕ. Methode zerlege (Formel ϕ, Index i) falls i = 1 dann ( bestimme die erste Zerlegungsformel ) falls ϕ {α β, α β, (α β), α} dann return α falls ϕ { (α β), (α β), α β} dann return α sonst ( bestimme die zweite Zerlegungsformel ) falls ϕ {α β, α β, α β} dann return β falls ϕ { (α β), (α β), (α β)} dann return β

Implementierung des Tableau-Kalküls als nichtdeterministischer Algorithmus Eingabe Formel ϕ S := { ϕ} solange S eine Formel vom Typ 1 oder 2 enthält und nicht widersprüchlich ist wiederhole { falls S eine Formel ψ vom Typ 1 enthält dann ( ersetze ψ durch alle ihre Zerlegungsformeln ) S := (S ψ) {zerlege(ψ, 1), zerlege(ψ, 2)} sonst sei ψ eine Formel vom Typ 2 in S ( ersetze ψ durch eine ihrer Zerlegungsformel, die nichtdet. gewählt wurde ) wähle nichtdeterministisch b {1, 2} S := (S ψ) {zerlege(ψ, b)} } ( S ist widersprüchlich oder enthält nur noch Literale ) falls S widersprüchlich ist dann akzeptiere sonst verwirf ( S ist erfüllende Belegung von ϕ )

1.2.26 Altes Beispiel nochmal... { [((A C) (B C)) ((A B) C)]} {(A C) (B C), ((A B) C)} {A C, ((A B) C)} {B C, ((A B) C)} {A C, A B, C} {B C, A B, C} { A, A B, C} {C, A B, C} { B, A B, C} {C, A B, C} { A, A, C} { A, B, C} { B, A, C} { B, B, C}

Implementierung des Tableau-Kalküls als rekursive Methode Methode suche(formelmenge S) { falls S eine Formel ψ vom Typ 1 enthält ( ersetze ψ durch alle ihre Zerlegungssformeln ) return suche((s ψ) {zerlege(ψ, 1), zerlege(ψ, 2)}) sonst: falls S eine Formel ψ vom Typ 2 enthält ( ersetze ψ durch eine ihrer Zerlegungsformel, die nichtdet. gewählt wurde ) return suche((s ψ) {zerlege(ψ, b)}) min b {1,2} sonst: falls S widersprüchlich ist ( S ist widersprüchlich oder enthält nur noch Literale ) dann return 1 ( S ist widersprüchlich ) sonst return 0 ( S ist erfüllende Belegung von ϕ ) } Hauptprogramm (liefert Ergebnis 1, falls ϕ gültig ist, und Erg. 0 sonst) Eingabe Formel ϕ Ausgabe suche({ ϕ})

Grobe Analyse des Tableau-Algorithmus für Aussagenlogik Der Algorithmus simuliert das Tableau-Verfahren. Jeder (nichtdeterministische) Berechnungspfad entspricht einem Pfad durch das Tableau. Die Menge S enthält stets die Knoten-Markierungen auf dem Pfad, die noch nicht zerlegt wurden. Da jede Formel der Länge n höchstens n Teilformeln besitzt, läuft der nichtdeterministische Algorithmus in polynomieller Zeit. Aufgrund der Korrektheit und Vollständigkeit des Tableau-Kalküls ist der Algorithmus ein conp-algorithmus für das Gültigkeitsproblem für aussagenlogische Formeln.

Formeln mit langen Tableau-Beweisen Die Formeln T 1, T 2,... werden als KNFen in Mengenschreibweise angegeben (siehe Resolution). T 1 = {{A 1 }, { A 1 }} T i (0) entsteht aus T i, indem alle Vorkommen von Atomen A j durch A 2j ersetzt werden (für alle j). T i (1) entsteht aus T i, indem alle Vorkommen von Atomen A j durch A 2j+1 ersetzt werden (für alle j). T i+1 = {K {A 1 } K T i (0)} {K { A 1 } K T i (1)} Beispiel: { } T 2 = {A 2, A 1 }, { A 2, A 1 }, {A 3, A 1 }, { A 3, A 1 } T 3 = { {A 4, A 2, A 1 }, { A 4, A 2, A 1 }, {A 6, A 2, A 1 }, { A 6, A 2, A 1 }, {A 5, A 3, A 1 }, { A 5, A 3, A 1 }, {A 7, A 3, A 1 }, { A 7, A 3, A 1 } }

Formeln mit exponentiell langen Tableau-Beweisen Jedes T i ist unerfüllbar. Jedes T i hat Größe T i = i 2 i. Jeder Tableau-Beweis für T i hat Größe 2 2i (= 2 T i i ). Beispielformeln: T 2 = { {A 2, A 1 }, { A 2, A 1 }, {A 3, A 1 }, { A 3, A 1 } } { T 3 = {A 4, A 2, A 1 }, { A 4, A 2, A 1 }, {A 6, A 2, A 1 }, { A 6, A 2, A 1 }, } {A 5, A 3, A 1 }, { A 5, A 3, A 1 }, {A 7, A 3, A 1 }, { A 7, A 3, A 1 }

Formeln mit exponentiell langen Tableau-Beweisen Jedes T i ist unerfüllbar. Jedes T i hat Größe T i = i 2 i. Jeder Tableau-Beweis für T i hat Größe 2 2i (= 2 T i i ). Ein polynomielles Beweissystem besitzt Beweise der Länge ϕ k (für ein bel. festes k) für alle beweisbaren Formeln ϕ. Satz 1.22 (Cook, Reckhow (1974)) Der Tableau-Kalkül ist kein polynomielles Beweissystem.

Ein klassisches Beweissystem: der Frege-Kalkül (15. Mai 2014) 1. Aussagenlogik Grundbegriffe (Wiederholung) Tableau-Kalkül Frege-Kalkül Axiome, Regeln und Beweise Das Deduktionstheorem Korrektheit Vollständigkeit Ähnliche Theorien [Resolutions-Kalkül] [Natürliches Schließen] [Vergleich von Beweis-Kalkülen] [Literatur: Mendelson: Introduction to Mathematical Logic]

Theorien Eine formale Theorie T besteht aus 1. einer Menge von Formeln F, 2. einer Menge von Axiomen Ax F, und 3. einer endlichen Menge von Relationen über F, den Schlussregeln (Herleitungsregeln). Axiome und Schlussregeln müssen leicht zu bestimmen sein. Ein Beweis in T ist eine Folge α 1, α 2,..., α l von Formeln in F mit α i ist ein Axiom (also aus Ax), oder α i ist aus davorstehenden α j s mit einer Schlussregel herleitbar (d.h. R(α j1,..., α jk, α i ) für Schlussregel R und j 1,..., j k < i). Ein Theorem der Theorie T ist eine Formel α, die am Ende eines Beweises steht (Schreibweise: α). T

1.3.3 Die Theorie Fre: ein Frege-Kalkül 1. Formeln F: die aussagenlogischen Formeln aus Atomen, und ( α ist abkürzende Schreibweise für α ; ist Abkürzung für ). 2. Axiome Ax: für alle α, β, ϕ F sind folgende Formeln Axiome (A1) α (β α) (A2) (α (β ϕ)) ((α β) (α ϕ)) (A3) (( β) ( α)) ((( β) α) β) 3. Schlussregel: modus ponens (MP) R(α, α β, β), auch beschrieben durch α, α β β Fre α bedeutet α ist ein Theorem von Fre ( α ist in Fre beweisbar/herleitbar ).

1.3.4 Ein Beweis für B B in Fre α 1 = B ( (B B) B ) Axiom (A1) α 2 = ( B ( (B B) B )) (( B (B B) ) ( B B )) Axiom (A2) α 3 = (B (B B)) (B B) MP mit α 1 und α 2 α 4 = B ( B B ) Axiom (A1) α 5 = B B MP mit α 4 und α 3 Nimmt man statt B eine beliebige Formel β, dann hat man einen Beweis für β β für alle β. Also: für alle Formeln β gilt: Fre β β.

Lemma 1.23 Fre β β, für jede Formel β. Beweis: Wir zeigen, dass β β im Frege-Kalkül herleitbar ist. (1) β ((β β) β) (A1) (2) (β ((β β) β)) ((β (β β)) (β β)) (A2) (3) (β (β β)) (β β) MP (1), (2) (4) β (β β) (A1) (5) β β MP (4), (3)

Beweis: (1) β γ Hypothese (2) (β γ) (α (β γ)) (A1) (3) α (β γ) MP (1), (2) (4) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (A2) (5) (α β) (α γ) MP (3), (4) (6) α β Hypothese (7) α γ MP (6), (5) 1.3.6 Beweise mit Hypothesen Sei Γ eine Menge von Formeln. Γ Fre α bedeutet α ist in Fre beweisbar, wenn Formeln aus Γ wie Axiome benutzt werden können Lemma 1.24 (TRANS) {α β, β γ} Fre α γ, für alle Formeln α, β, γ.

Das Deduktionstheorem Satz 1.25 (DT) Sei Γ eine Menge von Formeln, α und β seien Formeln. Dann gilt: Γ {α} Fre β genau dann, wenn Γ Fre α β. Beweis: : Sei Γ Fre α β. Dann gibt es folgenden Beweis mit Hypothesen aus Γ {α}. (1)... }.. hier steht der Beweis für Γ Fre α β (k) α β (k + 1) α Hypothese (k + 2) β MP (k + 1), (k) Damit folgt Γ {α} Fre β. 1.3.7

1.3.8 : Wir führen einen Induktionsbeweis über die Länge l eines Beweises α 1,..., α l von β aus Γ {α}. IA l = 1: dann ist β Ax Γ {α}. Zu zeigen ist nun: Γ Fre α β. Fall 1: β Ax Γ: (1) β Hyp. aus Γ oder Axiom (2) β (α β) (A1) (3) α β MP (1),(2) Also folgt Γ Fre α β. Fall 2: β = α: es gilt β β für jede Formel β (Lemma 1.23). Fre Also gilt auch Γ Fre β β, d.h. hier Γ Fre α β. Das sind alle Möglichkeiten für β, und stets folgt Γ Fre α β.

1.3.9 IV: die Behauptung gilt für Beweise der Länge l k. D.h. wenn es einen Beweis von β mit l k Schritten aus Γ {α} gibt, dann folgt Γ Fre α β. IS l = k + 1: α 1,..., α k+1 sei Beweis von β (= α k+1 ) aus Γ {α}. Zu zeigen ist: es gilt Γ Fre α β. Fall 1: β Ax Γ {α}. Dann folgt Γ Fre α β wie im IA.

Fall 2: β entsteht mit MP aus α i und α j (i, j k). Dann ist α j = α i β. Nach IV gilt Γ Fre α (α i β) und Γ Fre α α i. Folgender Beweis zeigt Γ Fre α β. (1)... } Beweis für.. Γ Fre α (α i β) gemäß IV (s) α (α i β) (s + 1)... } Beweis für.. Γ Fre α α i gemäß IV (m) α α i (m + 1) (α (α i β)) ((α α i ) (α β)) (A2) (m + 2) (α α i ) (α β) MP (s), (m + 1) (m + 3) α β MP (m), (m + 2)

Bsp.: Anwendung des Deduktionstheorems zur Vereinfachung von Beweisen Lemma 1.26 (ex falso quod libet) Fre α (α β), für alle Formeln α und β. Beweis: zuerst zeigen wir {α, α} Fre β. (1) α Hyp (2) α ( β α) (A1) (3) β α MP (1),(2) (4) α Hyp (5) α ( β α) (A1) (6) β α MP (4),(5) (7) ( β α) (( β α) β) (A3) (8) β 2mal MP auf (7) mit (6) und (5) Damit ist {α, α} Fre β bewiesen. Mit einer Anwendung des Deduktionstheorems 1.25 erhält man { α} Fre α β, und mit einer weiteren Anwendung von DT schließlich Fre α (α β). 1.3.11

Bsp.:Anwendung des Deduktionstheorems Vereinfachte Schreibweise für Hypothesenmengen: Mengenklammern und weglassen... Lemma 1.27 (MID) α (β γ), β Fre α γ, für alle Formeln α, β, γ. Beweis: Wir beginnen mit einem einzeiligen Beweis. (1) α (β γ) Hypothese Das beweist α (β γ) α (β γ). Fre Mit DT (1.25) folgt α (β γ), α β γ, Fre und daraus folgt erneut mit DT α (β γ), α, β Fre γ. Mit einer weiteren Anwendung von DT erhalten wir schließlich α (β γ), β α γ. Fre

Weitere Vereinfachungen von Beweisen Bewiesene Formeln (Theoreme) können in Beweisen benutzt werden. Mit Hypothesen bewiesene Formeln können wie Regeln benutzt werden. Lemma 1.28 Fre β β, für alle Formeln β. Beweis: (1) ( β β) (( β β) β) (A3) (2) β β Lemma 1.23 (3) ( β β) β Lemma 1.27 MID (1),(2) (4) β ( β β) (A1) (5) β β Lemma 1.24 TRANS (4), (3)

Verallgemeinerung von TRANS Lemma 1.29 Für k 1 und alle Formeln α 1,..., α k, β, γ gilt α 1 (α 2 (... (α k β)...)), β γ Fre α 1 (α 2 (... (α k γ)...)) Beweis mittels Induktion über k. IA k = 1: für k = 1 ist die Behauptung gleich TRANS (Lemma 1.24). IV: die Behauptung gilt für k. { =:ψ }} { IS: zu zeigen: α 1 (α 2 (... (α k+1 β)...)), β γ Fre α 1 (α 2 (... (α k+1 γ)...)) (1) ψ, β γ Fre β γ Hyp (2) ψ, β γ Fre α 1 (α 2 (... (α k+1 β)...)) Hyp (3) ψ, β γ, α 1 Fre α 2 (... (α k+1 β)...) DT (4) ψ, β γ, α 1 Fre α 2 (... (α k+1 γ)...) IV (3),(1) (5) ψ, β γ Fre α 1 (α 2 (... (α k+1 γ)...)) DT 1.3.14

Wichtige Theoreme von Fre Satz 1.30 Für alle Formeln α, β, γ gilt: 1. α α Fre 2. α α Fre (Lemma 1.23) (Lemma 1.28) 3. Fre α α 4. Fre 5. Fre 6. Fre 7. Fre α (α β) (Lemma 1.26) ( β α) (α β) (α β) ( β α) α ( β ( (α β))) 8. Fre (α β) (( α β) β) 1.3.15

(3) Fre α α (1) ( α α) (( α α) α) (A3) (2) α α Satz 1.30(2) (3) ( α α) α MP (1),(2) (4) α ( α α) (A1) (5) α α TRANS (4),(3)

(5) Fre ( β α) (α β) (1) β α Hyp (2) ( β α) (( β α) β) (A3) (3) ( β α) β MP (1),(2) (4) α ( β α) (A1) (5) α β TRANS (4),(3) (6) ( β α) (α β) DT Hyp (1),(5)

(6) Fre (α β) ( β α) (1) α β Hyp (2) α α Satz 1.30(2) (3) α β TRANS (2),(1) (4) β β Satz 1.30(3) (5) α β TRANS (3),(4) (6) ( α β) ( β α) Satz 1.30(5) (7) β α MP (5),(6) (8) (α β) ( β α) DT Hyp (1), (7)

1.3.19 (7) Fre α ( β (α β)) (i) α, α β Fre β gilt offensichtlich (ii) Fre (iii) Fre (iv) Fre α ((α β) β) folgt aus (i) mit DT (2mal) ((α β) β) ( β (α β)) Satz 1.30(6) α ( β (α β)) folgt aus (ii) und (iii) mit TRANS

(8) Fre (α β) (( α β) β) (1) α β Hyp (2) α β Hyp (3) (α β) ( β α) Satz 1.30(6) (4) β α MP (1),(3) (5) ( α β) ( β α) Satz 1.30(6) (6) β α MP (2),(5) (7) ( β α) (( β α) β) (A3) (8) ( β α) β MP (6),(7) (9) β MP (4),(7) (10) ( α β) β DT Hyp (2), (9) (11) (α β) (( α β) β) DT Hyp (1), (10)

Gottlob Frege (1848-1925) Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)

Gottlob Frege (1848-1925) Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)

1.3.22 Auf dem Weg zum Korrektheitslemma Lemma 1.31 (Alle Axiome sind gültig) Für alle Formeln α, β und ϕ gilt 1. α (β α) ist gültig, 2. (α (β ϕ)) ((α β) (α ϕ)) ist gültig und 3. ( β α) (( β α) β) ist gültig. Beweis: Sei A eine Belegung. Wir zeigen A(γ) = 1 für jedes Axiom γ. zu (A1): Es gilt A(α (β α)) = 1 A(α) = 0 oder A(β α) = 1 A(α) = 0 oder A(β) = 0 oder A(α) = 1 Da A(α) = 0 oder A(α) = 1, gilt A(α (β α)) = 1.

zu (A2): Es gilt A((α (β ϕ)) ((α β) (α ϕ))) = 1 A(α (β ϕ)) = 0 oder A(α β) = 0 oder A(α) = 0 oder A(ϕ) = 1 A(α) = 0 oder A(ϕ) = 1 oder (A(α) = 1 und A(β) = 1 und A(ϕ) = 0) oder (A(α) = 1 und A(β) = 0) Da jede Kombination von Werten für A(α), A(β) und A(ϕ) diesen Ausdruck erfüllt, gilt A((α (β ϕ)) ((α β) (α ϕ))) = 1. zu (A3): Es gilt A(( β α) (( β α) β)) = 1 A( β α) = 0 oder A( β α) = 0 oder A(β) = 1 [A( β) = 1 und (A(α) = 0 oder A( α) = 0)] oder A(β) = 1 [A(β) = 0 und (A(α) = 0 oder A(α) = 1)] oder A(β) = 1 ( ) Offensichtlich ist die letzte Aussage ( ) gültig. Folglich gilt die äquivalente Aussage A(( β α) (( β α) β)) = 1. Da A beliebig gewählt wurde, folgt A(γ) = 1 für jede Belegung A und jedes Axiom γ. 1.3.23

Der Beweis geht entsprechend dem von Lemma 1.32. Lemma 1.32 (Korrektheit von Fre ) Sei α eine Formel. Aus α folgt α. Fre D.h. jedes Theorem von Fre ist eine gültige Formel. Beweis: Induktion über die Länge l des Beweises von α. IA l = 1: dann ist α ein Axiom. Da jedes Axiom gültig ist (Lemma 1.31), folgt α. IV: die Behauptung gilt für Formeln mit Beweisen der Länge l k. IS l = k + 1: falls α ein Axiom ist, dann ist α gültig (Lemma 1.31). Sonst entsteht α mit MP aus α i und α j = α i α (mit i, j k). Nach IV gilt α i und α i α. Dann muss auch α gelten (das hatten wir mal als Übungsaufgabe). Lemma 1.33 (Verallgemeinerung der Korrektheit von Fre ) Sei α eine Formel und Γ eine Formelmenge. Aus Γ Fre α folgt Γ α.

1.3.25 Der Weg zum Vollständigkeitslemma... Wir wollen Lemma 1.48 zeigen: wenn α ( α ist gültig ), dann Fre α ( α ist beweisbar ). Dazu zeigen wir wenn α 1.38 { α} Fre Fre Fre α, dann α wie folgt:, d.h. { α} ist konsistent 1.42 es gibt eine Menge Γ { α}, die maximal bezgl. Konsistenz ist und aus negierten und nicht-negierten Teilformeln von α besteht }{{} α-maximal konsistent 1.47 es gibt eine erfüllende Belegung für dieses Γ { α} α es gibt eine erfüllende Belegung für { α}

Konsistente Formelmengen Definition 1.34 Eine Formelmenge Γ heißt konsistent, falls Γ. Fre Beispiel 1.35 Die leere Formelmenge ist konsistent (d.h. Fre ). Bew.: Aus folgt Fre Beispiel 1.36 (Korrektheitslemma 1.32). Wenn A i, A i Γ (für ein i), dann ist Γ nicht konsistent (d.h. Γ Fre ). Also ist die Menge aller Formeln nicht konsistent. Bew.: sei A i, A i Γ. Dann gilt Γ Fre A i und Γ Fre A i, d.h. Γ Fre A i. Mit MP folgt Γ Fre.

1.3.27 Eigenschaften nicht-konsistenter Mengen Beispiel 1.37 Sei Γ nicht konsistent. Dann gilt 1. Γ Fre α für alle Formeln α, und 2. Γ ist unerfüllbar d.h. A(Γ) = 0 für alle Belegungen A. Beweis: 1.) Es gilt Fre ( ) ( α) (Satz 1.30(4)), und mit Fre (Lemma 1.23) und MP folgt Fre α. Mit Γ Fre folgt Γ Fre α. 2.) Aus Γ Fre folgt Γ (Korrektheitslemma 1.33). Da A( ) = 0 für jede Belegung A, folgt A(Γ) = 0 für jedes A.

Schritt 1: aus Fre α folgt { α} Fre Lemma 1.38 Sei α eine Formel. Wenn α, dann ist { α} konsistent. Fre Beweis: wir zeigen die Kontraposition: wenn { α} Fre (d.h. { α} ist nicht konsistent), dann Fre α. Aus { α} Fre folgt α (DT 1.25), Fre und mit α α (Satz 1.30(2)) und MP folgt α. Fre Fre

1.3.29 Schritt 2: Maximal konsistente Mengen Definition 1.39 Eine konsistente Menge Γ heißt maximal konsistent, wenn keine echte Obermenge von Γ konsistent ist. Definition 1.40 Tf(α) ist die Menge aller Teilformeln der Formel α. Tfn(α) = Tf(α) { β β Tf(α)} ist die Menge aller Teilformeln von α und deren Negationen. Definition 1.41 Sei α eine Formel. Eine konsistente Menge Γ Tfn(α) heißt α-maximal konsistent, wenn keine Menge A mit Γ A Tfn(α) konsistent ist.

Konsistente Mengen können maximiert werden Lemma 1.42 Sei α eine Formel. Jede konsistente Teilmenge von Tfn(α) besitzt eine α-maximal konsistente Obermenge. Beweis: Sei Γ Tfn(α) eine konsistente Formelmenge. Sei ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3,..., ϕ m eine Aufzählung aller Formeln in Tfn(α). Definiere Γ 0, Γ 1,..., Γ m wie folgt. Γ 0 := Γ { Γi {ϕ i+1 }, falls Γ i {ϕ i+1 } konsistent ist Γ i+1 := Γ i, sonst Wir zeigen nun, dass Γ m α-maximal konsistente Obermenge von Γ ist. 1.3.30

1.3.31 1.) Γ m ist eine konsistente Obermenge von Γ und Γ m Tfn(α): Das folgt (induktiv) direkt aus der Definition von Γ m. 2.) Γ m ist α-maximal konsistent: Zu zeigen: für jedes ϕ r Tfn(α) Γ m ist Γ m {ϕ r } nicht konsistent. Sei ϕ r eine Formel in Tfn(α) Γ m. Dann ist Γ r 1 {ϕ r } nicht konsistent, und folglich ist auch Γ m {ϕ r } nicht konsistent.

Schöne Eigenschaften maximal konsistenter Mengen Lemma 1.43 Sei α eine Formel und Γ eine α-maximal konsistente Menge. Für alle β Tfn(α) gilt: wenn β Γ, dann Γ Fre β und Γ β. Fre Beweis: Sei β Γ. Dann folgt Γ {β} Fre und damit Γ Fre β (DT 1.25). Da Γ konsistent ist, folgt Γ (da Γ maximal konsistent und β Tfn(α) ist) Fre β (Bsp. 1.36). Folgerung 1.44 (Abgeschlossenheit unter Herleitbarkeit) Sei α eine Formel und Γ eine α-maximal konsistente Menge. Für alle β Tfn(α) gilt: wenn Γ Fre β, dann β Γ.

Schöne Eigenschaften maximal konsistenter Mengen Lemma 1.45 Sei α eine Formel. Für jede α-maximal konsistente Menge Γ und für jede Formel β Tf (α) gilt: entweder β Γ oder β Γ (und nicht β, β Γ). Beweis: Sei Γ α-maximal konsistent und β Tf(α). Aus β Γ folgt Γ Fre β (Lemma 1.43). Da Γ α-maximal konsistent ist und β Tfn(α) ist, folgt β Γ (Folgerung 1.44). (β, β Γ steht im Widerspruch zur Konsistenz von Γ siehe Bsp. 1.36.)

Schöne Eigenschaften maximal konsistenter Mengen Lemma 1.46 Sei Γ α-maximal konsistent und (β γ) Tfn(α). Dann gilt (β γ) Γ genau dann, wenn β Γ oder γ Γ. ( ): (1) Sei γ Γ. Dann folgt Γ Fre γ. Mit Axiom (A1) Fre γ (β γ) und MP folgt Γ Fre β γ und mit (1.44) dann β γ Γ. (2) Sei β Γ. Da β Tf(α), folgt β Γ (1.45) und damit Γ Fre β. Mit Fre β (β γ) (1.30(4)) folgt Γ Fre β γ und mit (1.44) dann β γ Γ. ( ): Sei β γ Γ und β Γ. Dann folgt Γ Fre β γ und Γ Fre β. Daraus erhalten wir Γ Fre γ und damit γ Γ (1.44).

1.3.35 Schritt 3: Erfüllbarkeit konsistenter Mengen Lemma 1.47 Sei α eine Formel. Jede konsistente Teilmenge von Tfn(α) ist erfüllbar. Beweis: Sei Tfn(α) konsistent. Dann besitzt eine α-maximal konsistente Obermenge Γ (Lemma 1.42). Definiere die Belegung A Γ mit A Γ (A i ) = 1 genau dann, wenn A i Γ. Behauptung Für jedes β Tfn(α) gilt: A Γ (β) = 1 genau dann, wenn β Γ.

Behauptung Für jedes β Tfn(α) gilt: A Γ (β) = 1 genau dann, wenn β Γ. Beweis mittels Induktion über den Formelaufbau von β: IA: Fall 1: β = A i ist ein Atom: A Γ (A i ) = 1 gdw. A i Γ gilt gemäß der Definition von A Γ. Fall 2: β = : A Γ ( ) = 0 und Γ, da Γ konsistent ist. IV: A Γ (ϕ) = 1 gdw. ϕ Γ, und A Γ (ψ) = 1 gdw. ψ Γ. IS: zu zeigen: für β = ϕ ψ gilt A Γ (β) = 1 gdw. β Γ. Es gelten folgende Äquivalenzen: A Γ (β) = 1 gdw. A Γ (ϕ) = 0 oder A Γ (ψ) = 1 (Semantik von ) gdw. ϕ Γ oder ψ Γ (IV) gdw. ϕ ψ Γ, also β Γ (Lemma 1.46) Damit ist die Behauptung bewiesen. Mit der Behauptung folgt A Γ (Γ) = 1 und wg. Γ auch A Γ ( ) = 1.

1.3.37 Schritt 4 und Schritt 5, und alles zusammen Lemma 1.48 (Vollständigkeitslemma für Fre ) Sei α eine Formel. Wenn α, dann folgt Fre α. Beweis: wir zeigen die Kontraposition. Gelte α. Fre Dann ist { α} konsistent (Lemma 1.38) und folglich auch erfüllbar (Lemma 1.47). Also gibt es eine erfüllende Belegung A von α, d.h. A( α) = 1. Dann ist A(α) = 0. Also ist α nicht gültig.

Das Vollständigkeitslemma kann auch allgemeiner mit Hypothesen formuliert werden. Lemma 1.49 (Verallgemeinertes Vollständigkeitslemma für Fre ) Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel. Aus Γ α folgt Γ Fre α. Der Beweis geht im Prinzip wie bei der Formulierung ohne Hypothesen.

Der Vollständigkeitssatz für den Frege-Kalkül Satz 1.50 (Vollständigkeitssatz für Fre ) Sei α eine Formel. α genau dann, wenn α. Fre Beweis: Folgt aus Lemmas 1.32 und 1.48. Satz 1.51 (Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz für Fre ) Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel. Γ Fre α genau dann, wenn Γ α. Beweis: Folgt aus Lemmas 1.33 und 1.49.

Ähnliche Theorien I Die Auswahl der Axiome in diesem Frege-Kalkül stammt aus dem Buch von Mendelson und hat das Ziel, den Beweis des Vollständigkeitssatzes technisch einfach zu machen. Eine Theorie von Kleene (1952) hat Modus Ponens und die folgenden Axiome (für Formeln mit Operatoren,, und ). 1. α (β α) 2. (α (β γ)) ((α β) (α γ)) 3. (α β) α und (α β) β 4. α (β (α β)) 5. α (α β) und β (α β) 6. (α γ) ((β γ) ((α β) γ)) 7. (α β) ((α β) α) 8. α α Durch Weglassen des letzten Axioms (Doppelnegationsgesetz) erhält man eine Theorie für die intuitionistische Logik.

Ähnliche Theorien II Eine Theorie, die auf Arbeiten von Frege basiert, hat Modus Ponens und die folgenden Axiome (für Formeln mit Operatoren und ). 1. α (β α) 2. (α (β γ)) ((α β) (α γ)) 3. (α (β γ)) (β (α γ)) 4. (α β) ( β α) 5. α α 6. α α