Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Einsendearbeit zum Kurs 41730 Marktversagen, Kurseinheit 1 zur Erlangung der Teilnahmeberechtigung an der Prüfung zum Modul 31731 Marktversagen Hinweise: 1. Die Einsendearbeit umfasst 2 Aufgaben. 2. Insgesamt sind max. 100 Punkte erreichbar. 3. Bei jeder Aufgabe bzw. Teilaufgabe ist die erreichbare Punktzahl vermerkt. 4. Sie benötigen mindestens 50 Prozent der insgesamt erreichbaren Punktzahl, damit diese Einsendearbeit als erfolgreich bearbeitet gelten kann.
Aufgabe 1 (85 Punkte) Monopolist A sieht sich einer Nachfrage von x A (p A ) = 1 4 p A + 205 gegenüber. Der Monopolist B stellt das gleiche Gut her. Allerdings bietet er sein Gut auf einem vollständig getrennten Markt in einem benachbarten Land an. Die Nachfrage auf diesem Markt ist durch die Funktion x B (p B ) = 1 2 p B + 160 gegeben. Beide Unternehmen produzieren das Gut mit einer identischen Technologie und haben die gleiche Kostenfunktion K i (x i ) = 20x i mit i = A, B. Nehmen Sie an, dass den Monopolisten eine Preisdifferenzierung ersten Grades nicht möglich ist, es sei denn in einer Teilaufgabe ist explizit danach gefragt. a) Welche Menge produziert der Monopolist A im Gewinnmaximum? Wie hoch sind der Preis des Gutes und der Monopolgewinn? (10 Punkte) b) Wie hoch fällt der Unternehmensgewinn aus, wenn Monopolist A nun eine Preisdifferenzierung ersten Grades möglich ist? Wie groß ist die produzierte Menge? (10 Punkte) c) Berechnen Sie die Produzenten- und Konsumentenrenten für die Teilaufgaben a) und b) und vergleichen Sie die sozialen Wohlfahrten. (10 Punkte) d) Berechnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge und den Gewinn von Monopolist B ohne Preisdiskriminierung. Wie hoch sind die Produzenten- und Konsumentenrente? (15 Punkte) e) Zeigen Sie, dass für den Monopolisten B die Gleichung p B M = E x,p 1+E x,p GK im Gewinnmaximum aus d) erfüllt ist, wobei E x,p für die Preiselastizität der Nachfrage und GK für die Grenzkosten des Monopolisten stehen. (10 Punkte) f) Angenommen die Monopolisten A und B fusionieren zu Monopolist C. Das Gut kann noch immer mit der gleichen Kostenfunktion produziert werden. Wie hoch ist der Unternehmensgewinn in diesem Fall? (Arbitragegeschäfte sind nicht möglich) (10 Punkte) g) Die zwei Länder in denen der Monopolist C sein Gut verkauft bilden eine Freihandelszone. Arbitragegeschäfte seien somit für Käufer kostenlos möglich. Welchen Gewinn kann der Monopolist nun erzielen? Würde er es bevorzugen, beide Märkte getrennt zu beliefern? (20 Punkte)
Aufgabe 2 (15 Punkte) Was versteht man unter einer Preisdifferenzierung zweiten Grades? Beurteilen Sie dieses Instrument des Monopolisten unter Effizienzgesichtspunkten. (15 Punkte)
Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Musterlösung zur Einsendearbeit zum Kurs 41730 Marktversagen, Kurseinheit 1
Aufgabe 1 (85 Punkte) Monopolist A sieht sich einer Nachfrage von x A (p A ) = 1 p 4 A + 205 gegenüber. Der Monopolist B stellt das gleiche Gut her. Allerdings bietet er sein Gut auf einem vollständig getrennten Markt, in einem benachbarten Land an. Die Nachfrage auf diesem Markt ist durch die Funktion x B (p B ) = 1 p 2 B + 160 gegeben. Beide Unternehmen produzieren das Gut mit einer identischen Technologie und haben die gleiche Kostenfunktion K i (x i ) = 20x i mit i = A, B. Nehmen Sie an, dass den Monopolisten eine Preisdifferenzierung ersten Grades nicht möglich ist, es sei denn in einer Teilaufgabe ist explizit danach gefragt. a) Welche Menge produziert der Monopolist A im Gewinnmaximum? Wie hoch sind der Preis des Gutes und der Monopolgewinn? (10 Punkte) Herleitung der Gewinnfunktion: x A = 1 4 p A + 205 p A = 820 4x A G A = (820 4x A )x A 20x A Notwendige Bedingung: dg A dx A = 820 8x A 20 = 0 x A M = 100 und p A M = 420 und G A M = 40.000 b) Wie hoch fällt der Unternehmensgewinn aus, wenn Monopolist A nun eine Preisdifferenzierung ersten Grades möglich ist? Wie groß ist die produzierte Menge? (10 Punkte) Der Preis der letzten abgesetzten Einheit muss gleich den Grenzkosten sein: p A = GK A 820 4x A = 20 x A = 200 Für den Gewinn gilt somit: 200 200 G D A = (p A GK A )dx A = (820 4x A 20)dx A = [800x A 2x 2 A ] 200 0 = 80.000 0 0
c) Berechnen Sie die Produzenten- und Konsumentenrenten für die Teilaufgaben a) und b) und vergleichen Sie die sozialen Wohlfahrten. (10 Punkte) Die Produzentenrenten entsprechen den Unternehmensgewinnen: PR A M = G A M = 40.000 und PR A D = G A D = 80.000 Die Konsumentenrente im Fall der Preisdifferenzierung ersten Grades ist offensichtlich null, da für alle Käufer der bezahlte Preis ihrer maximalen Zahlungsbereitschaft entspricht. Im Fall ohne Preisdifferenzierung gilt: 100 KR M A = (820 4x A 420)dx A = [400x A 2x 2 A ] 100 0 = 20.000 0 Die soziale Wohlfahrt ergibt sich jeweils aus der Summe der Konsumenten- und der Produzentenrente: W A M = 20.000 + 40.000 = 60.000 und W A D = 0 + 80.000 = 80.000 Damit ist die soziale Wohlfahrt im Fall der Preisdifferenzierung größer als ohne. d) Berechnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge und den Gewinn von Monopolist B ohne Preisdiskriminierung. Wie hoch sind die Produzenten- und Konsumentenrente? (15 Punkte) Herleitung der Gewinnfunktion: x B = 1 2 p B + 160 p B = 320 2x B Notwendige Bedingung: G B = 320x B 2x B 2 20x B dg B dx B = 320 4x B 20 = 0 x B M = 75 und p B M = 170 und G B M = 11.250 Für die Produzenten- und Konsumentenrente gilt somit: 75 PR B M = G B M = 11.250 und KR B M = (320 2x B 170)dx B = [150x B x B 2 ] 0 75 = 5625 0
e) Zeigen Sie, dass für den Monopolisten B die Gleichung p B M = E x,p 1+E x,p GK im Gewinnmaximum aus d) erfüllt ist, wobei E x,p für die Preiselastizität der Nachfrage und GK für die Grenzkosten des Monopolisten stehen. (10 Punkte) E x,p = x M B p B M p B x = 1 B 2 E x,p 170 150 GK = 1 + E x,p 1 + ( 170 150) 170 75 = 170 150 ; GK = 20; p M = 170 B 20 = ( 170 150)( 150 20 )20 = 170 = p B M f) Angenommen die Monopolisten A und B fusionieren zu Monopolist C. Das Gut kann noch immer mit der gleichen Kostenfunktion produziert werden. Wie hoch ist der Unternehmensgewinn in diesem Fall? (Arbitragegeschäfte sind nicht möglich) (10 Punkte) Da die Märkte trotz der Fusion strikt getrennt sind, ergibt sich der Gewinn aus der Summe der Monopolgewinne der Monopolisten A und B: G C D = G A M + G B M = 40.000 + 11.250 = 51.250 g) Die zwei Länder in denen der Monopolist C sein Gut verkauft bilden eine Freihandelszone. Arbitragegeschäfte seien somit für Käufer kostenlos möglich. Welchen Gewinn kann der Monopolist nun erzielen? Würde er es bevorzugen, beide Märkte getrennt zu beliefern? (20 Punkte) Die aggregierte Nachfrage lautet: 1 p + 205, falls 320 < p 820 4 x(p) = 1 4 p + 205 + 1 p + 160, falls 0 p 320 2 0 sonst x(p) = 1 p + 205, falls 320 < p 820 4 3 4 p + 365, falls 0 p 320 0 sonst
Fallunterscheidung: 1) Falls 320 < p 820: G C = G A M = 40.000 > 0 2) Falls 0 p 320: p = 4 1460 x + 3 3 und somit G C = 4 3 1460 x + x 20x 3 Notwendige Bedingung: dg C dx = 8 1460 x + 3 3 20 = 0 x = 175 und p = 4 1460 175 + 3 3 = 760 3 G C M = 760 3 175 20 175 = 122500 3 40.833,33 > G A M Der Monopolist erzielt nun einen Gewinn von ungefähr 40.833,33. Dieser Gewinn ist kleiner als im Fall ohne mögliche Arbitragegeschäfte zwischen den Märkten, daher würde es der Monopolist C bevorzugen, beide Märkte getrennt zu beliefern. Aufgabe 2 (15 Punkte) Was versteht man unter einer Preisdifferenzierung zweiten Grades? Beurteilen Sie dieses Instrument des Monopolisten unter Effizienzgesichtspunkten. (15 Punkte) Preisdifferenzierung zweiten Grades: vgl. KE 1, S. 6, S. 10-13. Von einer Preisdifferenzierung zweiten Grades spricht man, wenn der Käufer einen Preis pro Einheit bezahlen muss, welcher von der von ihm nachgefragten Menge abhängt. Dies ist zum Beispiel bei Mengenrabatten der Fall. Der Monopolist möchte durch die Preisdifferenzierung seine Produzentenrente im Vergleich zum Monopolfall mit einheitlichem Preis für alle Käufer erhöhen. Im unrealistischen Fall, dass er die marginalen Zahlungsbereitschaften der Käufer kennt, könnte er sich mittels Preisdifferenzierung zweiten Grades die gesamte Konsumentenrente aneignen. Dieser Fall maximiert die soziale Wohlfahrt. Ziel der Preisdifferenzierung zweiten Grades ist es im Allgemeinen, den Konsumenten mögliche Verträge in der Form anzubieten, dass sie offenbaren, ob sie hohe oder niedrigere Zahlungsbereitschaften haben, wenn der Monopolist diese nicht anderweitig erkennen kann. Es kommt dann zur Selbstselektion der Konsumenten. Auch in diesem Fall steigt die Effizienz in Relation zur Nichtdifferenzierung.
Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Einsendearbeit zum Kurs 41730 Marktversagen, Kurseinheit 2 zur Erlangung der Teilnahmeberechtigung an der Prüfung zum Modul 31731 Marktversagen Hinweise: 1. Die Einsendearbeit umfasst 1 Aufgabe. 2. Insgesamt sind max. 100 Punkte erreichbar. 3. Bei jeder Aufgabe bzw. Teilaufgabe ist die erreichbare Punktzahl vermerkt. 4. Sie benötigen mindestens 50 Prozent der insgesamt erreichbaren Punktzahl, damit diese Einsendearbeit als erfolgreich bearbeitet gelten kann.
Aufgabe (100 Punkte) Betrachten Sie eine Modellökonomie, in der zunächst zwei Firmen {1,2} agieren. Diese stellen unterschiedliche Güter x i mit i {1,2} her. Es herrscht vollständige Information und die Gewinnfunktionen haben die folgende Form: G 1 (x 1 ) = 20x 1 x 1 2 ; G 2 (x 2 ) = 40x 2 x 2 2 1 2 x 1 2 a) Was versteht man unter einem externen Effekt? Welche Art eines externen Effektes liegt hier vor? (10 Punkte) b) Wie groß sind die produzierten Mengen und Gewinne der beiden Firmen, wenn diese ihre Gewinne maximieren? (10 Punkte) c) Bestimmen Sie nun das soziale Wohlfahrtsoptimum. Wie lauten die sozial optimalen Produktionsmengen der Unternehmen? Welche Gewinne würden die beiden Unternehmen im sozialen Optimum erzielen? (10 Punkte) d) Die Regierung schlägt die Einführung einer Pigou-Steuer vor. Wie lautet der optimale Steuersatz? Zeigen Sie, dass es auf diese Weise möglich ist, den externen Effekt zu internalisieren. Berechnen Sie auch die Gewinne nach Einführung der Steuer. (20 Punkte) e) Vergleichen Sie die Unternehmensgewinne in den Teilaufgaben c) und d). Warum fällt der Gewinn von Unternehmen 1 in d) geringer aus als in c)? (5 Punkte) Mit Unternehmen 0 betritt ein drittes Unternehmen den Markt. Es stellt ein weiteres Gut x 0 her. Allerdings beeinflusst die Produktionsentscheidung direkt Unternehmen 1. Die Gewinnfunktionen lauten nun: G 0 (x 0 ) = 16x 0 x 0 2 ; G 1 (x 1 ) = 20x 1 x 1 2 + 1 2 x 0x 1 ; G 2 (x 2 ) = 40x 2 x 2 2 1 2 x 1 2 f) Welche Mengen x i produzieren die drei Unternehmen, wenn sie ihre Gewinne maximieren? Wie groß sind die Gewinne und wie lautet deren Summe? (20 Punkte) g) Hat die Produktionsentscheidung der Firma 0 einen Einfluss auf Firma 2? (5 Punkte) h) Die Regierung erkennt den zusätzlichen externen Effekt und schlägt eine Fusion der drei Unternehmen vor. Wie lauten die produzierten Mengen und der Fusionsgewinn? (20 Punkte)
Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Musterlösung zur Einsendearbeit zum Kurs 41730 Marktversagen, Kurseinheit 2
Aufgabe (100 Punkte) Betrachten Sie eine Modellökonomie in der zunächst zwei Firmen {1,2} agieren. Diese stellen unterschiedliche Güter x i mit i {1, 2} her. Es herrscht vollständige Information und die Gewinnfunktionen haben die folgende Form: G 1 (x 1 ) = 20x 1 x 1 2 ; G 2 (x 2 ) = 40x 2 x 2 2 1 2 x 1 2 a) Was versteht man unter einem externen Effekt? Welche Art eines externen Effektes liegt hier vor? (10 Punkte) Externer Effekt: vgl. KE 2, S. 4 Die Produktion von Gut 1 verursacht einen negativen externen Effekt bei Firma 2. b) Wie groß sind die produzierten Mengen und Gewinne der beiden Firmen, wenn diese ihre Gewinne maximieren? (10 Punkte) Firma 1: Notwendige Bedingung: dg 1 dx 1 = 20 2x 1 = 0 x 1 = 10 und G 1 = 100 Firma 2: Notwendige Bedingung: dg 2 dx 2 = 40 2x 2 = 0 x 2 = 20 und G 2 = 40 20 20 2 1 2 102 = 350 c) Bestimmen Sie nun das soziale Wohlfahrtsoptimum. Wie lauten die sozial optimalen Produktionsmengen der Unternehmen? Welche Gewinne würden die beiden Unternehmen im sozialen Optimum erzielen? (10 Punkte) Das soziale Optimum lässt sich durch gemeinsame Gewinnmaximierung bestimmen: G = 20x 1 x 1 2 + 40x 2 x 2 2 1 2 x 1 2
Notwendige Bedingung: G x 1 = 20 2x 1 x 1 = 0 und x 1 opt = 20 3 und x 2 G x 2 = 40 2x 2 = 0 opt = 20 Angenommen die Firmen produzieren die sozial optimalen Mengen, dann würden sie folgende Gewinne erzielen: G 1 = 20 20 3 (20 3)2 = 800 9 88,89 und G 2 = 40 20 20 2 1 2 (20 3)2 = 3400 9 377,78 [Man erkennt am Vergleich der Gewinne von Firma 1 unter b) und c), dass es für sie nicht gewinnmaximal ist, die sozial optimale Menge zu produzieren.] d) Die Regierung schlägt die Einführung einer Pigou-Steuer vor. Wie lautet der optimale Steuersatz? Zeigen Sie, dass es auf diese Weise möglich ist, den externen Effekt zu internalisieren. Berechnen Sie die Gewinne nach Einführung der Steuer. (20 Punkte) Behauptung: Der optimale Steuersatz lautet: t P = d K j dx Ex (x i ) = d 1 i dx 1 2 x 1 2 = x 1 und x 1 = x opt 1 = 20 3 tp = 20 3 Beweis: G 1 t P = 20x 1 x 1 2 t P x 1 = 20x 1 x 1 2 20 3 x 1 Notwendige Bedingung: t dg P 1 = 20 2x dx 1 20 1 3 = 0 x 1 = 20 3 = x opt 1 Für die Gewinne der Firmen gilt demzufolge: Firma 1: G 1 t P = 20 20 3 (20 3 )2 (20 3 ) 2 = 400 9 44,44
Firma 2: t G P 2 = 40 20 20 2 1 2 (20 3)2 = 3400 9 377,78 [Für das Steueraufkommen durch die Pigou-Steuer gilt: T = x 1 opt t P = 20 3 20 3 = 400 9 44,44] e) Vergleichen Sie die Unternehmensgewinne in c) und d). Warum fällt insbesondere der Gewinn von Unternehmen 1 kleiner aus als in c)? (5 Punkte) Die Summe der Gewinne ist bei beiden Teilaufgaben identisch, wenn man das Steueraufkommen des Staates in Teilaufgabe d) berücksichtigt. Die Firma 1 muss bei der Pigou-Besteuerung einen fixen Steuersatz bezahlen, der den externen Grenzkosten der letzten produzierten marginalen Einheit entspricht. Da die externen Grenzkosten mit steigender Produktionsmenge des Gutes x 1 zunehmen, ist die Belastung der Firma 1 bei Pigou- Besteuerung größer. Mit Unternehmen 0 betritt ein drittes Unternehmen den Markt. Es stellt ein weiteres Gut x 0 her. Allerdings beeinflusst die Produktionsentscheidung direkt Unternehmen 1. Die Gewinnfunktionen lauten nun: G 0 (x 0 ) = 16x 0 x 0 2 ; G 1 (x 1 ) = 20x 1 x 1 2 + 1 2 x 0x 1 ; G 2 (x 2 ) = 40x 2 x 2 2 1 2 x 1 2 f) Welche Mengen x i produzieren die drei Unternehmen, wenn sie ihre Gewinne maximieren? Wie groß sind die Gewinne und wie lautet deren Summe? (20 Punkte) Firma 0: Notwendige Bedingung: Firma 1: Notwendige Bedingung: dg 0 dx 0 = 16 2x 0 = 0 x 0 = 8 G 0 = 16 8 8 2 = 64 dg 1 = 20 2x dx 1 + 1 1 2 x 0 = 0 x 1 = 1 2 20 + 1 8 = 12 2 G 1 = 20 12 12 2 + 1 (8 12) = 144 2
Firma 2: Notwendige Bedingung: dg 2 dx 2 = 40 2x 2 = 0 x 2 = 20 G 2 = 40 20 20 2 1 2 122 = 328 Die Summe der Gewinne lautet: G i = 64 + 144 + 328 = 536 g) Hat die Produktionsentscheidung der Firma 0 einen Einfluss auf Firma 2? (5 Punkte) Ja, durch den externen Effekt auf Firma 1 erhöht sich deren Produktionsmenge und somit ist der negative externe Effekt auf Firma 2 größer. Daher ist der Gewinn von Firma 2 abhängig von der Produktionsentscheidung der Firma 0. h) Die Regierung erkennt den zusätzlichen externen Effekt und schlägt eine Fusion der drei Unternehmen vor. Wie lauten nun die produzierten Mengen und der Fusionsgewinn? (20 Punkte) G = 16x 0 x 0 2 + 20x 1 x 1 2 + 1 2 x 0x 1 + 40x 2 x 2 2 1 2 x 1 2 Notwendige Bedingung: G x 0 = 16 2x 0 + 1 2 x 1 = 0 und G x 1 = 20 2x 1 + 1 2 x 0 x 1 = 0 und G x 2 = 40 2x 2 = 0 x 2 Fu = 20 und x 1 Fu = 192 23 8,35 und x 0 Fu = 232 23 10,01 und GFu 564,17
Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Einsendearbeit zum Kurs 41730 Marktversagen, Kurseinheit 3 zur Erlangung der Teilnahmeberechtigung an der Prüfung zum Modul 31731 Marktversagen Hinweise: 1. Die Einsendearbeit umfasst 2 Aufgaben. 2. Insgesamt sind max. 100 Punkte erreichbar. 3. Bei jeder Aufgabe bzw. Teilaufgabe ist die erreichbare Punktzahl vermerkt. 4. Sie benötigen mindestens 50 Prozent der insgesamt erreichbaren Punktzahl, damit diese Einsendearbeit als erfolgreich bearbeitet gelten kann.
Aufgabe 1 (75 Punkte) In einer Modellökonomie werden die Güter x und g hergestellt. Es herrsche Produktionseffizienz und die Transformationskurve sei implizit durch folgende Funktion gegeben: F(x, g) = 180 x 4g = 0. Es existieren zwei Konsumenten mit den Nutzenfunktionen u 1 = x 1 g 2 und u 2 = x 2 g. a) Um welche Güterarten handelt es sich bei x und g? Wie unterscheiden sich diese? (10 Punkte) b) Wie lautet die notwendige Bedingung (Samuelson-Bedingung) für Pareto-Effizienz in der Modellökonomie? Leiten Sie diese her. (15 Punkte) c) Nehmen sie nun an, dass Individuum 1 über ein Einkommen von 60 Euro verfügt. Individuum 2 hat ein doppelt so großes Budget. Eine Einheit des Gutes x habe den Preis 1 Euro, das Gut g sei viermal so teuer. Betrachten Sie die individuelle Nutzenmaximierung der Konsumenten, wenn diese nicht kooperieren. Bestimmen Sie die Reaktionskurven der Individuen. (25 Punkte) d) Welche Gütermengen fragen die Konsumenten in c) nach und wie groß ist ihr Nutzen? (10 Punkte) e) Ist bei individueller Nutzenmaximierung die notwendige Bedingung für ein Pareto-Optimum erfüllt? Zeigen Sie dies auch analytisch. (15 Punkte)
Aufgabe 2 (25 Punkte) Zwei Spieler können sich zwischen zwei Strategien A und B entscheiden. Spielen beide A (A,A), so erhalten sie jeweils eine Auszahlung von 20 Geldeinheiten (GE); spielen sie gemeinsam B (B,B), so erhalten sie jeweils 10 GE. Wenn Spieler 1 A und Spieler 2 B spielt (A,B), dann erhält Spieler 1 eine Auszahlung von null und Spieler 2 eine von 15 GE. Wählt Spieler 1 hingegen B und Spieler 2 A (B,A), so erhält Spieler 1 eine Auszahlung von 12 GE und Spieler 2 eine von null. Es herrsche vollständige Information. a) Stellen Sie die Spielmatrix auf. (5 Punkte) b) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte (in reinen Strategien) für dieses Spiel und erläutern Sie Ihr Vorgehen? (10 Punkte) c) Wie muss die Auszahlung für den Spieler 1 im Fall (B,A) angepasst werden, so dass (B,B) ein eindeutiges Nach-Gleichgewicht (in reinen Strategien) ist, wenn die übrigen möglichen Auszahlungen gleich bleiben? (10 Punkte)
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Aufgabe 1 (75 Punkte) In einer Modellökonomie werden die Güter x und g hergestellt. Es herrsche Produktionseffizienz und die Transformationskurve sei implizit durch folgende Funktion gegeben: F(x, g) = 180 x 4g = 0. Es existieren zwei Konsumenten mit den Nutzenfunktionen u 1 = x 1 g 2 und u 2 = x 2 g. a) Um welche Güterarten handelt es sich bei x und g? Wie unterscheiden sich diese? (10 Punkte) g: öffentliches Gut, da keine Ausschließbarkeit und keine Rivalität im Konsum. x: privates Gut, da Ausschließbarkeit und Rivalität im Konsum. b) Wie lautet die notwendige Bedingung (Samuelson-Bedingung) für Pareto-Effizienz in der Modellökonomie? Leiten Sie diese her. (15 Punkte) Für die Grenzraten der Substitution gilt: MRS 1 = dx 1 dg = u 1 g u 1 x 1 Die Grenzrate der Transformation lautet: df = F x Einsetzen in die Samuelson-Bedingung: MRS 2 = dx 2 dg = u 2 g u 2 x 2 = 2x 1g g 2 = 2x 1 g = x 2 g F dx dx + dg = 0 ( 1)dx + ( 4)dg g dg = 4 MRS = GRT 2x 1 g x 2 g = 4 2x 1 + x 2 = 4 g c) Nehmen sie nun an, dass Individuum 1 über ein Einkommen von 60 Euro verfügt. Individuum 2 hat ein doppelt so großes Budget. Eine Einheit des Gutes x habe den Preis 1 Euro, das Gut g sei viermal so teuer. Betrachten Sie die individuelle Nutzenmaximierung der Konsumenten, wenn diese nicht kooperieren. Bestimmen Sie die Reaktionskurven der Individuen. (25 Punkte) Die Herleitung der Reaktionsfunktionen erfolgt mittels des Lagrange-Verfahrens:
Individuum 1: max u 1 = x 1 (g 1 + g 2 ) 2 u. d. NB. x 1 + 4g 1 = 60 Notwendige Bedingung: L = x 1 (g 1 + g 2 ) 2 + γ(60 x 1 4g 1 ) L x 1 = (g 1 + g 2 ) 2 γ = 0 (1) L g 1 = 2x 1 (g 1 + g 2 ) 4γ = 0 (2) L γ = 60 x 1 4g 1 = 0 (3) (1)(2) 4(g 1 + g 2 ) 2 = 2x 1 (g 1 + g 2 ) (3) 4(g 1 + g 2 ) = 2(60 4g 1 ) g 1 (g 2 ) = 10 1 3 g 2 Individuum 2: max u 2 = x 2 (g 1 + g 2 ) u. d. NB. x 2 + 4g 2 = 120 M = x 2 (g 1 + g 2 ) + μ(120 x 2 4g 2 ) Notwendige Bedingung: M x 2 = (g 1 + g 2 ) μ = 0 (4) M g 2 = x 2 4μ = 0 (5) M μ = 120 x 2 4g 2 = 0 (6) (4)(5) (65) 4(g 1 + g 2 ) = x 2 4(g 1 + g 2 ) = 120 4g 2 g 2 (g 1 ) = 15 1 2 g 1 d) Welche Gütermengen fragen die Konsumenten in c) nach und wie groß ist ihr Nutzen? (10 Punkte) Einsetzen von g 2 (g 1 )in g 1 (g 2 ): g 1 = 10 1 3 15 1 2 g 1 g 1 = 6 Einsetzen in g 2 (g 1 ): g 2 = 15 1 2 6 = 12
Einsetzen in die Budgetrestriktionen liefert die nachgefragten Mengen des privaten Gutes: x 1 = 60 4 6 = 36 und x 2 = 120 4 12 = 72 Damit ergeben sich die folgenden Nutzen: u 1 = 36(6 + 12) 2 = 11.664 und u 2 = 72(6 + 12) = 1.296 e) Ist bei individueller Nutzenmaximierung die notwendige Bedingung für ein Pareto- Optimum erfüllt? Zeigen Sie dies auch analytisch. (15 Punkte) Behauptung: Bei individueller Nutzenmaximierung wird das Pareto-Optimum nicht erreicht. Die Samuelson-Bedingung darf nicht erfüllt sein: 2x 1+x 2 g 1 +g 2 4 Beweis: 2x 1 + x 2 2 36 + 72 = = 144 g 1 + g 2 6 + 12 18 = 8 4 Aufgabe 2 (25 Punkte) Zwei Spieler können sich zwischen zwei Strategien A und B entscheiden. Spielen beide A (A,A), so erhalten sie jeweils eine Auszahlung von 20 Geldeinheiten (GE); spielen sie gemeinsam B (B,B), so erhalten sie jeweils 10 GE. Wenn Spieler 1 A und Spieler 2 B spielt (A,B), dann erhält Spieler 1 eine Auszahlung von null und Spieler 2 eine von 15 GE. Wählt Spieler 1 hingegen B und Spieler 2 A (B,A), so erhält Spieler 1 eine Auszahlung von 12 GE und Spieler 2 eine von null. Es herrsche vollständige Information. a) Stellen Sie die Spielmatrix auf? (5 Punkte) Spieler 1 Spieler 2 A B A 20,20 0,15 B 12,0 10,10 b) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte (in reinen Strategien) in diesem Spiel und erläutern Sie Ihr Vorgehen? (10 Punkte) Die Nash-Gleichgewichte sind (A,A) und (B,B). In diesen Gleichgewichten haben die Spieler keinen Anreiz, unilateral von ihrer Strategie abzuweichen.
c) Wie muss die Auszahlung für den Spieler 1 im Fall (B,A) angepasst werden, so dass (B,B) ein eindeutiges Nach-Gleichgewicht (in reinen Strategien) ist, wenn die übrigen möglichen Auszahlungen gleich bleiben? (10 Punkte) Spieler 1 muss einen Anreiz zum Abweichen in der Situation (A,A) haben, dies ist dann der Fall wenn seine Auszahlung bei (B,A) strikt größer als 20 ist.
Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Einsendearbeit zum Kurs 41730 Marktversagen, Kurseinheit 4 zur Erlangung der Teilnahmeberechtigung an der Prüfung zum Modul 31731 Marktversagen Hinweise: 1. Die Einsendearbeit umfasst 1 Aufgabe. 2. Insgesamt sind max. 100 Punkte erreichbar. 3. Bei jeder Aufgabe bzw. Teilaufgabe ist die erreichbare Punktzahl vermerkt. 4. Sie benötigen mindestens 50 Prozent der insgesamt erreichbaren Punktzahl, damit diese Einsendearbeit als erfolgreich bearbeitet gelten kann.
Aufgabe (100 Punkte) Eine Versicherung unterscheidet zwischen erfahrenen und unerfahrenen Autofahrern. Dieses Vorgehen ermöglicht es ihr, beiden Typen unterschiedliche Prämien anzubieten, da die Wahrscheinlichkeiten, dass ein möglicher Schaden eintritt, bei unerfahrenen Fahrern größer sind. Die Versicherung bietet grundsätzlich nur Vollversicherungen an. Von allen Autofahrern sei der Anteil α unerfahren, die übrigen verfügen über Erfahrung. Die Mitglieder beider Gruppen haben die gleiche Nutzenfunktion U = v 0,5. Die erwartete Schadenshöhe bei einem größeren Unfall beträgt für alle Typen 20.000 Euro, bei einem kleineren Unfall nur 4000 Euro, wobei alle Fahrzeuge annahmegemäß einen Ausgangswert von 20.000 Euro aufweisen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% hat ein erfahrener Fahrer einen kleinen Unfall, für einen unerfahrenen Fahrer beträgt diese 25%. Die Wahrscheinlichkeit einen großen Unfall zu haben, liegt für einen Erfahrenen bei 5%, bei einem Unerfahrenen ist diese doppelt so groß. Ein Fahrer hat maximal einen Unfall. Grundsätzlich bietet die Versicherung immer eine faire Prämie an. a) Berechnen Sie zunächst die erwarteten Schäden für Autofahrer der beiden Gruppen. Welche Prämie würde die Versicherung einzelnen Fahrern anbieten, wenn sie über deren Gruppenzugehörigkeit informiert wäre? (10 Punkte) b) Wie lauten die Erwartungsnutzen der Fahrer mit und ohne Versicherung? Sollten diese das Angebot der Versicherung aus Teilaufgabe a annehmen? Welche Aussage können Sie über die Risikoeinstellung der Fahrer treffen? (20 Punkte) c) Angenommen, die Versicherung möchte allen Typen das gleiche Angebot machen, welche faire Prämie bietet sie nun an, wenn beide Gruppen die Versicherung nachfragen? (10 Punkte) d) Wird die Versicherung eine einheitliche Prämie für beide Gruppen anbieten, falls 90% der Autofahrer unerfahren sind? (15 Punkte) e) Der Anteil unerfahrener Fahrer sei nun α = 10%. Bietet die Versicherung beiden Gruppen eine einheitliche Prämie an? (15 Punkte) f) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Versicherung beiden Gruppen die gleiche Prämie anbietet? (10 Punkte) g) Erläutern Sie bitte das Problem Adverser Selektion am Beispiel eines Marktes für Automobile. (20 Punkte)
Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Musterlösung zur Einsendearbeit zum Kurs 41730 Marktversagen, Kurseinheit 4
Aufgabe (100 Punkte) Eine Versicherung unterscheidet zwischen erfahrenen und unerfahrenen Autofahrern. Dieses Vorgehen ermöglicht es ihr, beiden Typen unterschiedliche Prämien anzubieten, da die Wahrscheinlichkeiten, dass ein möglicher Schaden eintritt, bei unerfahrenen Fahrern größer sind. Die Versicherung bietet grundsätzlich nur Vollversicherungen an. Von allen Autofahrern sei der Anteil α unerfahren, die übrigen verfügen über Erfahrung. Die Mitglieder beider Gruppen haben die gleiche Nutzenfunktion U = v 0,5. Die erwartete Schadenshöhe bei einem größeren Unfall beträgt für alle Typen 20.000 Euro, bei einem kleineren Unfall nur 4000 Euro, wobei alle Fahrzeuge annahmegemäß einen Ausgangswert von 20.000 Euro aufweisen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% hat ein erfahrener Fahrer einen kleinen Unfall, für einen unerfahrenen Fahrer beträgt diese 25%. Die Wahrscheinlichkeit einen großen Unfall zu haben, liegt für einen Erfahrenen bei 5%, bei einem Unerfahrenen ist diese doppelt so groß. Ein Fahrer hat maximal einen Unfall. Grundsätzlich bietet die Versicherung immer eine faire Prämie an. a) Berechnen Sie zunächst die erwarteten Schäden für Autofahrer der beiden Gruppen? Welche fairen Prämien würde die Versicherung einzelnen Fahrern anbieten, wenn sie über deren Gruppenzugehörigkeit informiert wäre? (10 Punkte) Die faire Prämie entspricht jeweils dem erwarteten Schaden: P fair Un = E Un [Schaden] = 0,1 20.000 + 0,25 4000 = 3000 P fair Erf = E Erf [Schaden] = 0,05 20.000 + 0,2 4000 = 1800 b) Wie lauten die Erwartungsnutzen der Fahrer mit und ohne Versicherung? Sollten diese das Angebot der Versicherung aus Teilaufgabe a annehmen? Welche Aussage können Sie über die Risikoeinstellung der Fahrer treffen? (20 Punkte) Vergleiche die Erwartungsnutzen mit und ohne Versicherung. Unerfahrene Fahrer: EU Un [keine Vers. ] = 0,1 (0) 0,5 + 0,25 (16.000) 0,5 + 0,65 (20.000) 0,5 = 123,55 EU Un [Vers. ] = (20.000 3000) 0,5 = 130,38 Unerfahrene Autofahrer sollten das Angebot annehmen, da EA Un [Vers. ] > EA Un [keine Vers. ]. Erfahrene Fahrer: EU Erf [keine Vers. ] = 0,05 0 0,5 + 0,2 (16.000) 0,5 + 0,75 (20.000) 0,5 = 131,36
EU Erf [Vers. ] = (20.000 1.800) 0,5 = 134,91 Auch erfahrene Autofahrer sollten das Angebot der Versicherung annehmen, weil EU Erf [Vers. ] > EU Erf [keine Vers. ]. Die Fahrer sind risikoavers, da ihre Nutzenfunktionen konkav sind: d 2 U dv 2 = d dv d dv (v0,5 ) = d dv 1 2 v 1 2 = 1 4 v 3 2 < 0 c) Angenommen die Versicherung möchte allen Typen das gleiche Angebot machen, welche faire Prämie bietet sie nun an, wenn beide Gruppen die Versicherung nachfragen? (10 Punkte) P fair (α) = α 3.000 + (1 α) 1800 = 1.200 α + 1800 d) Wird die Versicherung eine einheitliche Prämie für beide Gruppen anbieten, falls 90% der Autofahrer unerfahren sind? (15 Punkte) P fair (0,9) = 0,9 1.200 + 1.800 = 2880 Für unerfahrene Fahrer ist eine gemeinsame Versicherung immer besser als eine Differenzierung nach Gruppenzugehörigkeit. Fraglich ist, ob auch erfahrene Fahrer diese Versicherung abschließen. EU Erf [gemeinsame Vers. ] = (20.000 2880) 0,5 = 130,84 Erfahrene Autofahrer werden die Versicherung nicht abschließen, da EU Erf [keine Vers. ] > EU Erf [gemeinsame Vers. ]. Die Versicherung kann das Verhalten der erfahrenen Fahrer antizipieren und wird daher die Versicherung nicht anbieten. e) Der Anteil unerfahrener Fahrer sei nun α = 10%. Bietet die Versicherung beiden Gruppen eine einheitliche Prämie an? (15 Punkte) P fair (0,1) = 0,1 1.200 + 1.800 = 1920 EU Erf [gemeinsame Vers. ] = (20.000 1920) 0,5 = 134,46 In diesem Fall wird die Versicherung mit einheitlicher Prämie angeboten, weil EU Erf [keine Vers. ] < EU Erf [gemeinsame Vers. ]
f) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Versicherung beiden Gruppen die gleiche Prämie anbietet? (10 Punkte) Erfahrenen Fahrer müssen die Versicherung nachfragen: EU Erf [keine Vers. ] EU Erf [gemeinsame Vers. ] 0,2 (16.000) 0,5 + 0,75 (20.000) 0,5 (20.000 1200α 1800) 0,5 α 0,786 g) Erläutern Sie bitte das Problem Adverser Selektion am Beispiel eines Marktes für Gebrauchtwagen. (20 Punkte) Externer Effekt: vgl. KE 4, S. 13-16. [Akerlof, George A. (1970): The Market for Lemons : Quality Uncertainty and the Market Mechanism, The QuaterlyJournal of Economics, Vol. 84 (3), 1970, 488-500.] Auf einem Markt mit Adverser Selektion besteht zunächst das Problem der Informationsasymmetrie. Beim Automobilmarkt ist dabei davon auszugehen, dass der Verkäufer besser über die Qualität seiner Automobile informiert ist als potentielle Käufer. Können Käufer die Qualität nicht unterscheiden, so werden sie für alle Fahrzeuge einen einheitlichen Preis bezahlen. Im Modell nach Akerlof werden sie annehmen, dass die Autos über eine durchschnittliche Qualität verfügen. Dadurch werden die Händler nicht mehr bereit sein, Fahrzeuge mit einer überdurchschnittlichen Qualität anzubieten. Entsprechend werden die Käufer ihre Erwartungen anpassen. Dieser Vorgang wird sich solange wiederholen, bis nur noch die niedrigste Qualität angeboten wird. Im Extremfall kann der Markt vollständig zusammenbrechen. (Adverse Selektion ist auf dem Gebrauchtwagenmarkt wahrscheinlicher, da Automobilhersteller (die Neuwagen anbieten) das Interesse haben, eine Reputation aufzubauen und ein Signal über die Qualität zu senden.)