Systematik und ökonomische Relevanz traditioneller Performancemaße

Systematik und ökonomische Relevanz traditioneller Performancemaße Vortrag an der Universität Hamburg am 18. Juni 2001 PD Dr. Marco Wilkens IFBG der Georg-August-Universität Göttingen 1

Gliederung 1. Einleitung und Motivation der zweidimensionalen Performancemessung 2. Systematik grundlegender Performancemaße 2.1 Maße auf der Basis des Gesamtrisikos 2.2 Maße auf der Basis des Marktrisikos 3. Ökonomische Rechtfertigung grundlegender Performancemaße 3.1 Zur Relevanz/Irrelevanz von Sharpe- und Treynor-Ratio 3.2 Praktisch relevante Entscheidungssituationen 3.3 Das Investorspezifische Performancemaß ISM 3.4 Ableitung von Effizienzlinien und Rechtfertigung von Sharpe- und Treynor-Ratio 4. Zusammenfassung und Ausblick 2

Traditionelle Performancemessung - Überblick Performancemessung arithmetisches Mittel der Rendite eindimensionale Performancemaße zeitgewichtete Rendite zweidimensionale (risikoadjustierte) Performancemaße geometrisches Mittel der Renditen wertgewichtete Rendite (interne Rendite) nicht risikonormierte Performancemaße Differenzrendite Jensen Alpha... 3 risikonormierte Performancemaße Sharpe-Ratio Treynor-Ratio Risk-Adjusted Performance Market Risk- Adjusted Performance...

Berechnung durchschnittlicher Renditen I ZPt + APt diskrete Rendite einer Teilperiode: rpt = 1 Z r Pt Z Pt Z Pt-1 A Pt (Fiktive) Renditen des DAX: im ersten Jahr +50% und im zweiten Jahr -40%. Wie hoch war die Rendite im Durchschnitt? Pt 1 = diskrete Rendite des Portfolios P in der Teilperiode t = Anteilswert des Portfolios P am Ende der Subperiode = Anteilswert des Portfolios P zu Beginn der Subperiode = Ausschüttungsbetrag je Anteil am Tag der Ausschüttung arithmetisches Mittel der Renditen: µ T 1 1 = = (0,5 + ( 0,4)) = 0,05 = 5% T 1 2 rp r Pt t=? 4

Berechnung durchschnittlicher Renditen II Wieviel hätte ein Anleger verdient, der vor zwei Jahren eine Million DM in den DAX investiert hätte? 1.000.000 (1 + 0,05) 2 = 1.102.250 Stimmt das? Probe: 1.000.000 (1 + 0,5) (1 0,4) = 900.000 5

GM Arithmetisches versus geometrisches Mittel der Renditen I T = T rp r Pt t = 1 Geometrisches Mittel der Renditen: ( 1 + ) 1 = 2 (1 0,5)(1 0,4) 5,13 % Wieviel hätte ein Anleger verdient, der vor zwei Jahren eine Million DM in den DAX investiert hätte? + 1 = 1.000.000 (1 0,0513) 2 = 900.000 Wie hoch ist die erwartete Rendite für einen Finanztitel (DAX, Aktie, Bond) in der Zukunft? Arithmetisches Mittel = µ rp = 5% (wird regelmäßig angenommen!) 6

Arithmetisches versus geometrisches Mittel der Renditen II Risiko Fonds Gleich Fonds Null Fonds Minus Fonds Kurse/Preise 100 50 140 90 180 250 Renditen -50,0% 180,0% -35,7% 100,0% 38,9% (arithm.) Mittel 46,6% geometr. Mittel 20,1% Standardabweichung 85,5% Varianz 73,6% 100 130 170 200 220 250 30,0% 30,8% 17,6% 10,0% 13,6% 20,4% 20,1% 8,5% 0,7% 100 130 170 200 220 100 30,0% 30,8% 17,6% 10,0% -54,5% 6,8% 0,0% 31,6% 10,0% 100 50 140 90 180 80-50,0% 180,0% 35,7% 100,0% -55,6% 27,7% -4,4% 95,3% 90,8% DAFOX 12,37% - 9,89% = 2,48% 7

Problematik der Akzeptanz zweidimensionaler Performancemessung People can`t eat risk-adjusted return. Investors just care whether they made money or not. Quelle: The Wall Street Journal, 10.02.1997, Mikus - Mikus Capital 8

Notwendigkeit der Berücksichtigung des Risikos bei der Bewertung von Portfolios In welches Portfolio hätten Sie lieber investiert? Wert 208 186 100 In welches Portfolio werden Sie investieren? Zeit 9

Ausgangsdaten für die beispielhafte Betrachtung unterschiedlicher Performancemaße Geometrisches Mittel der Renditen (GMri) Erwartungswert der Renditen (µ ri) Erwartungswert der Überschußrendite (Excess Return) (µ eri) Standardabweichung der Renditen (σ ri) Marktindex Fonds A Fonds B 7,56% 7,60% 13,52% 9,00% 8,00% 16,40% 7,00% 6,00% 14,40% 17,00% 9,00% 24,00% Zins (rf) = 2,00% 10

Sharpe-Ratio 20% 15% SR i = µ ri σ i r f Fonds B 16,40% Rendite 10% Fonds A 8,00% Marktindex 9,00% 5% r f 0% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 24% Standardabweichung 11

Differenzrendite 20% Differenzrendite B = 4,52% Fonds A` 15% Fonds B 16,40% Rendite 10% Fonds A 8,00% Marktindex 11,88% 5% r f 5,71% Differenzrendite A = 2,29% 0% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 24% Standardabweichung 12

20% Risk-Adjusted Performance nach MODIGLIANI/MODIGLIANI (RAP) Rendite 15% RAP (A) RAP (B) 10% RAP (M) 5% 13,33% 12,20% Fonds A 9,00% Marktindex Fonds B r f 0% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 24% Standardabweichung 13

Capital Asset Pricing Model (CAPM) SHARPE (1964), LINTNER (1965), MOSSIN (1966) Wesentliche Prämissen: homogene Erwartungen vollkommener Kapitalmarkt Zentrales Ergebnis des CAPM: SML: µ ri = rf + ( µ rm rf ) β Begründung des Erwartungswertes der Aktienrenditen in Abhängigkeit vom Beta der Aktie ri 14

Treynor-Ratio 20% TR i = µ ri β i r f Fonds B Rendite 10% Fonds A Marktindex r f 0% 0 0,5 1,0 1,5 Beta 15

Schätzung des Jensen Alpha für Fonds B 50% er B y = 0,06 0,06 + 1,2 1,2 x 30% 10% -30% -10% 10% 30% 50% -10% JA B = 6% er M -30% 16

Interpretation des Jensen Alpha 20% JA B = 6% Fonds B 16,40% Rendite 10% JA A = 2,5% Fonds A 8,00% 10,40% Marktindex 5,50% r f 0% 0% 0,5 1,0 1,5 Beta 17

Market Risk-Adjusted Performance (MRAP) 20% Rendite Fonds B MRAP (A) =MRAP (B) 10% MRAP (M) Fonds A 14,00% 9,00% Marktindex r f 0% 0% 0,5 1,0 1,5 Beta 18

Systematik traditioneller zweidimensionaler Performancemaße Vorgehensweise Risiko Bestimmung des Verhältnisses aus Überschußrendite und Risiko Kombination aus Marktindex und r f mit fonds-identischem Risiko als Vergleichsportfolio 1 und Bestimmung der Renditedifferenz zwischen Fonds und Vergleichsportfolio 1 Kombination aus Fonds und r f mit markt-identischem (normiertem) Risiko als Vergleichsportfolio 2 und Renditeermittlung für das Vergleichsportfolio 2 Gesamtrisiko Sharpe-Ratio (1966) (SR) Differenzrendite (1972) (DR) Risk-Adjusted Performance (1997) (RAP) Marktrisiko Treynor-Ratio (1965) (TR) Jensen Alpha (1968/69) (JA) Market Risk-Adjusted Performance (1997/1999) (MRAP) 19

Problem: Auswahl des geeigneten Performancemaßes Oft pauschale Empfehlung: hoher Anteil in einem Fonds und r f geringer Anteil in einem Fonds und r f Gesamtrisikomaß wie die Sharpe-Ratio Marktrisikomaß wie die Treynor-Ratio Wieviele Anleger betrifft das? Eine ökonomische Rechtfertigung traditioneller Performancemaße in praktisch relevanten Entscheidungssituationen fehlt bisher! 20

Ausgangsdaten des Beispiels Vertei- i lungsparameter Arithmetischer Mittelwert der Renditen (µri) Standardabweichung der Renditen (σ ri ) Beta (β i ) Sharpe-Ratio (SRi) Treynor-Ratio (TRi) Marktindex M Fonds A Fonds B Fonds C 9,0% 8,0% 16,4% 13,5% 17% 9% 24% 21% 1 0,5 1,2 0,7 0,412 0,667 0,600 0,548 0,070 0,120 0,120 0,164 Zins (r f ) = 2% 21

Ziel: Ableitung eines investorspezifischen Performancemaßes µ-σ-prinzip Praktisch relevante Entscheidungssituation (spezifisches Ausgangsportfolio des Anlegers) Investorspezifisches Performancemaß ISM zugleich ökonomische Rechtfertigung klassischer Performancemaße wie Sharpe- und Treynor-Ratio in praktisch relevanten Entscheidungssituationen 22

Grundlegende Annahmen hinsichtlich der Fonds Annahme 1: Die Erwartungswerte der Renditen aller Fonds sind größer als r f. Annahme 2: Die Standardabweichungen der Renditen aller Fonds und deren Betafaktoren sind größer null. Annahme 3: Ein Leerverkauf von Fonds ist nicht möglich. 23

Praktisch relevante Entscheidungssituationen Anleger verfügt über ein Portfolio sowie eine risikofreie Anlage/Kredit. Er möchte einen zusätzlichen Betrag in einen Fonds und r f investieren. Wie oben, Anleger möchte einen bestimmten Teil des bestehenden Portfolios in einen Fonds umschichten. Verallgemeinerte Entscheidungssituation Anleger möchte sein Portfolio aus drei Teilen zusammensetzen: einen fixierten Betrag in ein Portfolio, eine risikofreie Anlage/ Kredit, einen Fonds 24

Struktur des Gesamtportfolios Gesamtportfolio G i auf Basis des Fonds i Anteil (1 w D ) in Portfolio P (z. B. Marktindex) disponibel Anteil w D in Portfolio D i Anteil (1 w i ) in risikofreier Anlage/Kredit Annahme 4: 0 < w D 1 25 Anteil w i in Fonds

Ableitung des ISM I ISM j > ISM k wobei ISM i = w D µ rd + r f σrp µ ri r f σri 2 + 2 (1 w D ) µ rd + r f µ ri r f 2 σ ri rp / σ rp mit µ rd + = µ rg+ µ rp w D + µ rp 26

Ableitung des ISM II Annahme 5: P = M ISM i = w D µ rd + r f σrm SR i 2 + 2 (1 w D ) µ rd+ r f TR i mit µ rd + = µ rg+ µ rm w D + µ rm Wenn SR j > SR k und TR j TR k dann dominiert Fonds j Fonds k 27

ISM für w d = 0,55 ISM i = 0,55 µ rd + r f σrm SR i 2 + 2 0,45 µ rd+ r f TR i mit µ rd + = µ rg+ µ rm 0,55 + µ rm 28

ISM in Abhängigkeit von µ rg+ (w d = 0,55) 5,15 % 2% 7,35% 6% 9,55% 10,54% 10% 11,79% 11,75% 14% µ rg+ µ rd+ 0 BP C > A A > C 0,5 Fonds C -1,0 S AC2-1,5 Fonds A -2,0 Fonds B ISM i 29

20% Mögliche Gesamtportfolios für Fonds A im µ/σ-diagramm (w d = 0,55) 15% µ rg+ P AM 10% Fonds A Marktindex 5% BP r f 0% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 24% σ rgi 30

Effizienzlinie im µ/σ-diagramm (w d = 0,55) 20% 15% µ rg+ Fonds C 10% Fonds A S AC2 Marktindex 5% BP r f 0% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 24% σ rgi 31

Sharpe-Ratio, Treynor-Ratio und ISM Spezialfall: für µ rg+ >> r f SR j > SR k Spezialfall: ISM j µ rg + µ rg + = min µ rg > ISM k µ rg + µ rg + = min µ rg 2 (1 w D) TR j w D > 2 (1 w D) TR k w D 1 TR j < 1 TR k TR j > TR k Sonst: ISM 32

Weiterentwicklungen Investition des disponiblen Anteils in mehrere Fonds Variabilität des fixierten Anteils in dem Marktindex Annäherung an Entscheidungsprobleme der Portfolio-Selection-Theory 33

Fazit Systematisierung traditioneller Performancemaße und Vorstellung des RAP und MRAP Ableitung einer Kennzahl ISM für konkrete Entscheidungssituationen basiert auf Sharpe- und Treynor-Ratio Abhängigkeit des ISM von a) einem fixierten Anteil eines bestehenden Portfolios (w D ) b) der gewünschten Rendite des Gesamtportfolios (µ rg+ ) Ableitung von Effizienzlinien auf Basis des ISM Rechtfertigung von Sharpe- und Treynor-Ratio und damit traditioneller Performancemaße für praktisch relevante Entscheidungssituationen (z. B.: Wenn SR j > SR k und TR j TR k dann dominiert Fonds j Fonds k) 34