Fluktuation der Hintergrundstrahlung

Big-Bang-Seminar Fluktuation der Hintergrundstrahlung Bernhard Lang Wintersemester 2013/14

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Allgemeines zur Hintergrundstrahlung 1 2.1 Geschichte.................................... 1 2.2 Größenordnung der Anisotropien....................... 2 3 Messung der Anisotropien 2 3.1 Korrelationsfunktion.............................. 3 3.2 Leistungsspektrum............................... 3 4 Missionen 4 4.1 BOOMERanG................................. 5 4.1.1 Ergebnisse................................ 6 4.2 WMAP..................................... 9 5 Interpretation des Leistungsspektrums 11 5.1 Sachs-Wolfe-Effekt............................... 11 5.2 Kleinwinkel Anisotropien........................... 12 5.3 Empfindlichkeit................................. 13 2

1 Einleitung Die Hintergrundstrahlung und ihre Fluktuationen sind eine Art Fingerabdruck des Universums. Durch sie lassen sich zahlreiche wichtige Parameter der Kosmologie ermitteln, weshalb immer mehr Aufwand betrieben mit Teleskopen, Ballons, und Satelliten diese genau zu vermessen. Anfangs wurde der Cosmic Microwave Background (CMB) mit einem Schwarzkörperstrahler verglichen, welchem er auch nahezu perfekt ähnelte. Der technische Fortschritt machte es möglich den CMB auf immer kleineren Temperaturskalen zu vermessen, wodurch sehr kleine Fluktuationen erkennbar wurden. Diese enthalten nicht nur Informationen über den Kosmos nach der Rekombinationszeit, sondern liefern Hinweise auf die Beschaffenheit davor und geben Ansätze die erklären sollen wie sich Strukturen, Sterne, Planeten, Galaxien und Galaxienhaufen gebildet haben könnten. Hier soll ein Überblick geben werden über den geschichtlichen verlauf der Forschungen, die Eigenschaften der Hintergrundstrahlung und was diese für die Beschaffenheit unseres Universums bedeuten. 2 Allgemeines zur Hintergrundstrahlung 2.1 Geschichte 1965 wurde erstmals die kosmische Hintergrundstrahlung von Arno Penzias und Robert Woodrow Wilson entdeckt. Was erst aussah wie Fehlfunktionen der Messgeräte entpuppte sich als eine der größten Entdeckungen des 19tes Jahrhunderts. Die Euphorie konnte nicht größer sein als man erkannte, dass die gefundene Strahlung fast perfekt derer eines Schwarzkörperstrahlers von T Schw. = 2.72 K entsprach. Erst 28 Jahre später konnte man erstmals Anisotropien der Temperatur durch den Satelliten COBE (Cosmic Background Explorer) nachweisen. Davor lies sich lediglich die Dipoleigenschaft durch die Bewegung der Erde erfassen. In Abb.1 sieht man ein Bild des CMB, aufgenommen durch die WMAP Sonde. Die Ergebnisse der COBE Mission wurden jedoch anfangs mit großer Skepsis betrachtet. Die Idee der isotropen, homogenen Hintergrundstrahlung würde so nur bei grober Betrachtung stimmen. Das COBE-Team veröffentlichte seine Daten und lieferte eine ausführliche Auswertung, sodass zwar die Euphorie der einen Theorie weichen musste, aber eine weitere noch tiefgründigere Theorie entstand. Die entdeckten Schwankungen waren zu klein um thermodynamische Fluktuationen um ein Gleichgewicht zu sein. Größe und Existenz passten dafür umso besser in die Idee des frühen inflationären Kosmos. Die Entstehung der Ungleichmäßigkeiten in der Strahlung die sich auf Störungen in der Metrik zurückführen lassen ist weiter noch eines der großen Rätsel. Ein Ansatz ist, dass sie durch Quatenfluktuationen entstanden sind, welche zwar sehr klein waren, doch durch die rasche inflationäre Ausdehnung des Raumes sich zu makroskopischer Größe entwickelten. Die Hintergrundstrahlung zeigt ein Bild des Universum von der Zeit in der die Strahlung von der Materie entkoppelte. Vor dieser Rekombinationszeit war das Universum erfüllt von einem Plasma, welches von Photonen dominiert war. Die Wechselwirkung von Strahlung mit Materie (Thomsonstreuung) war die dominierende Größe. Als das 1

Abbildung 1: Aufnahme des CMB druch WMAP Universum sich abgekühlt hat und die Photonen sich lösten, entstand für uns eine Art Photo welches Informationen über das Universum zur und vor der Rekombinationszeit enthält. Es folgten zahlreiche weitere Missionen um den CMB zu erkunden, wobei auf ein paar später noch genauer eingegangen wird. 2.2 Größenordnung der Anisotropien Wie schon erwähnt wurde waren diese Fluktuationen lange Zeit nicht nachweisbar. Die gemittelte Temperatur des Hintergrunds wurde auf T0 = (2.725 ± 0.001)K bestimmt. Bis zu einer Messgenauigkeit von 0.01K erscheint der CMB vollkommen homogen und isotrop. Die von COBE gemessenen Schwankungen haben eine relative Größe 3 10 6. Es erfordert einen großen Aufwand um solch kleine Differenvon T T0 10 zen zu messen. Dipolanisotropie hervorgerufen durch die Bewegung der Erde liegen im Vergleich dazu bei 3.3 mk. In Abb.2 sind Illustrationen zum homogenen CMB, den Dipolanteil und eine Aufnahme des COBE Satelliten. Dabei wurde der Anteil unserer Galaxie zur Hintergrundstrahlung noch nicht entfernt. Das Entfernen dieser Teile der Strahlung ist essentiell damit eine genaue Analyse möglich ist. Im folgenden wird jedoch auf diese Filtern des CMB nicht weiter eingegangen. 3 Messung der Anisotropien Bei der Vermessung solch kleiner Differenzen bedient man sich einem speziellen Verfahren. Statt einem Messpunkt werden zwei gemessen die in einem fixen Winkel zueinander 2

stehen. Ausgewertet wird eine sog. Korrelationsfunktion. In diesem Fall werden zwei Messpunkte in diese Funktion aufgenommen daher Zweipunkts-Korrelations-Funktion. 3.1 Korrelationsfunktion Die Korrelationsfunktion ist eine Summation und Mittelung über alle Messungen dieser doppelten Messpunkte T T 0 (ˆn 1 ) und T T 0 (ˆn 2 ) zu dem festen Winkel θ, definiert durch cos(θ) = ˆn 1 ˆn 2. Die entstandene Funktion ist die Zweipunkts-Korrelations-Funktion. Geht man von einem statistisch isotropen Raum aus kann diese als eine Funktion F (θ) betrachtet werden: T (ˆn 1 ) T (ˆn 2 ) T o T o ˆn 1 ˆn 2 =cos(θ) }{{} 3.2 Leistungsspektrum stat.isotropie F (θ) Um nun an eine verwertbare Größe zu gelangen wird sich der Entwicklung in Kugelflächenfunktionen und in Legendrepolynomen bedient. Einerseits lassen sich die T T 0 (ˆn i = f(θ i, φ i ) selbst in Kugelflächenfunktionen entwickeln wodurch man f(θ i, φ i ) = T T 0 (ˆn i ) = l l=0 m= l a lm Y m l (θ i, φ i ) erhält und weiter T (ˆn 1 ) T (ˆn 2 ) = T o T o a l1 m 1 a l 2 m 2 Y m1 l 1 (θ 1, φ 1 )Y m 2 l 2 (θ 2, φ 2 ). (1) l 1,l 2,m 1,m 2 Entwickelt man die Korrelation erhält man F (θ) = T (ˆn 1 ) T (ˆn 2 ) T o T o = = c l2 P l2 (cos(θ)) (2) l 2 =0 c l2 l 2 =0 4π 2l 2 + 1 l 2 m 2 = l 2 Y m2 l 2 (θ 1, φ 1 )Y m 2 l 2 (θ 2, φ 2 ). (3) 3

Vergleicht man (1) mit (2) so erhält man 4π 2l 2 + 1 Y m l 1 2 l 2 (θ 1, φ 1 ) = a l1 m 1 a l 2 m 2 Y m1 l 1 (θ 1, φ 1 ) Y m l m 1 = l 1 c l2 4π c l2 2l 2 + 1 δ ll 2 δ mm2 = Orth. l 1 l 1 =0 l 1 m 1 = l 1 a l1 m 1 a l 2 m 2 δ l1 lδ m1 m dω 1 C T T l δ ll2 δ mm2 = a T lma T l 2 m 2. Mittelung über m: C T T l = a lm 2 = 1 2l + 1 a lm 2 m Jedes Cl T T (in Cl T T wurde c l2 und sonstige const. zusammengefasst) beschreibt die Stärke einer Struktur auf einer festen Winkelskala wobei der Index TT einfach nur für die Temperatur-Korrelation steht. Das Leistungsspektrum definiert man als: T T 0 = l(l + 1) Cl T T (4) 2π Die Winkelskala erhält man über den Zusammenhang Ψ 180 l da die Legendrepolynome ihre Nullstellen etwa bei π l haben, wobei dies je nach Lektüre variiert. In Abb.3 sieht man Messdaten verschiedener Missionen für eben dieses Spektrum. Anschaulich lässt sich dies als eine Fouriertransformation auf einer Kugeloberfläche verstehen. Man entwickelt in die verschiedenen Ordnungen der Multipole. Die Überlagerung dieser Multipole mit der jeweiligen Stärke sollte so die Anisotropien des CMB ergeben. In Abb.4 ist dies bis zu einer sehr kleinen Ordnung in l demonstriert. 4 Missionen Wie schon erwähnt wurden zahlreiche Missionen gestartet um den CMB zu vermessen. In den folgenden Tabellen sind jeweils ein paar der Projekte auf der Erde, mit Ballons und via Satelliten aufgezählt. Davon werden wir uns zwei etwas genauer betrachteten. Satellite Name FWHM Frequency Technology Year GHz COBE/DMR 7 30 90 Diff. Radiometers 1996 WMAP 10 20 90 Diff. Radiometers 2003 Planck LFI 10 30 100 Radiometers 2009 Planck HFI 4 100 800 Bolometers 2009 4

Abbildung 2: Messdaten versch. Missionen 4.1 BOOMERanG Balloon-borne experiments Name FWHM Frequency Area Year arcmin GHz deg 2 BOOMERanG 10 90 410 3000 2003 MAXIMA 10 150 410 120 2002 Archeops LFI 11 143 545 5000 2003 Ground-based experiments Name FWHM Frequenz Area Year arcmin GHz deg 2 ACBAR 4 150 300 24 2003 CBI 5 26 36 40 2003 DASI 20 26 36 400 2002 VSA 12 26 36 120 2002 Die BOOMERanG (Ballon Observations Of Millimetric Extragalactic Radiation and Geophysics) Mission zählt zu einer der bekanntesten im Fachkreis. Es wurden zwei Flüge gestartet einmal am 29. Dezember 1998 und 2003. In 37 km Höhe flog der Ballon 10 1 2 Tage lang 1200 km vom Südpol entfernt im zikumpolaren Windsystem der Antarktis. 5

Abbildung 3: Multipolordnungen im Vergleich Das Messinstrument war 1.4 t schwer und das Teleskop hatte einen Durchmesser von 1.2 m. Kernstück war das Bolometer welches auf 0.27 K gekühlt wurde durch Kryotechnik. 16 Empfänger teilten die betrachtete Fläche in 8x2 Pixel auf. Da man natürlich ein begrenztes Sichtfeld mit einem Ballon auf der Erde hat konnten lediglich 3% des Himmels vermessen werden was 1800 deg 2 entspricht (1 Quadratgrad ˆ=( 2π 360 )2 sr; Kugel: 4πsr).Jedoch hatte man eine Auflösung von 0.17. 4.1.1 Ergebnisse Im folgenden soll angedeutet werden wie der Zusammenhang mit dem sog. akustischen Peaks und der Krümmung des Raumes ist. Die Lage des ak.peaks ist in etwa bei 1 auf der Winkelskala. Man bedient sich der Robertson-Walker-Metrik [ ds 2 = c 2 dt 2 a 2 (t) dr 1 κr 2 + r2 dω Aus der Friedmann-Gleichung (ȧ ) 2 = 8πG a 3c 2 ɛ + c2 Λ 3 c2 k a 2 R 2 0 ]. 6

erhält man wenn man den Λ Term vorerst ignoriert und über H = ȧ a normiert Ω 1 = Ω = c 2 k H 2 0 a2 R 2 0 8πG 3c 2 H 2 ɛ = ɛ ; ɛ crit = 3H2 0 c2 ɛ crit 8πG = Ω κ also Ω κ = c2 k a 2 R 2 0 H2 0 wobei k für die Krümmung des Raumes steht k = 1; 0; 1 (in vorherigen Skripten war dies κ). Führt man nun für Λ auch solch einen Dichteparameter ein kann man eine kurze Schreibweise erstellen: Ω = Ω M + Ω Λ = 1 und für den Fall: k 0 ; Ω 1 = Ω κ. Nun kann man den Mitbewegten-Abstand herleiten (Fall für euklidschen Raum): g11 d com = dr = a 2 1 (t) 1 κr 2 dr = 1 a(t) 1 κr 2 wobei für Licht ds 2 = 0 gilt und wegen der Richtungsunabhängigkeit dω = 0 folgt dtc a(t) = dr 1 κr 2 t 0 dt d com (t 0 ) = a(t 0 ) c a(t) und im letzten Schritt der Fall betrachtet wurde, dass man den Mitbewegten-Abstand des Horizonts bis Heute berechnet. Man erhält allgemeiner für Heute zu einem beliebigen a: 1 d com (a bel. ) = D H a bel. da a 2 E(a) mit H(a) = da dt a ; H(a) = H 0 E(a) 0 E(a) = Ω M a 3 + Ω Λ + Ω κ a 2 ; hier: Ω κ = 0 a(t 0 ) = 1 ; D H = c H Noch allgemeiner ergibt sich für die verschiedenen Fälle der Raumkrümmung: ( ) Ωκ D H sin 1 da ; k = +1 Ωκ a a 2 E(a) bel. 1 da d com (a bel. ) = D H a a 2 E(a) ; k = 0 bel. ( ) Ωκ D H sinh 1 ; k = 1 Ωκ a bel. da a 2 E(a) Um nun einen grobe Abschätzung für den Zusammenhang zwischen der Lage des akustischen Peaks und der Raumkrümmung zu erhalten betrachtet man die angular diameter distance d angular = a d com,und damit als Näherung: θ 2r hor d a (a bel. ) 7

Den akustischen Horizont kann man Abschätzen in dem man die Geschwindigkeit einer Druckschwankung (Schallwelle) im Plasma bestimmt durch p γ = c2 3 ɛ γ ; c γ = pγ ɛ γ = 1 3 c und so auf einen akustischen Horizont gelangt von r s = c 3 t rec 66 kpc ; t rec 380000yr. Betrachtet man nun nochmals die Formel für die Winkelausdehnung so erhält man für den Fall des euklidschen Raums θ 2r s k=0 d a (a rec ) 1 Nun kann man das Verhalten der Winkelausdehnung in Hinblick auf die Krümmung leichter veranschaulichen. Im Nenner steht der Mitbewegte-Abstand. Nimmt man an, dass Ω κ << und somit E(a) unabhängig von Ω κ kann man für die Fälle des nicht euklidschen Raumes den d com entwickeln. d com (a rec ) = a 0 D H a rec a 0 D H a rec da a E(a) D H Ω κ da a E(a) + D H Ω κ ( a0 a ( rec a0 a rec da a E(a)) 3 +... ; für k = +1 da a E(a)) 3 +... ; für k = 1 An den Termen kann man erkennen, dass die Krümmung im 2ten auftaucht und der Erste der d com (k = 0) ist. So erkennt man wie die Abweichung zur flachen Geometrie Einfluss nimmt. Der Mitbewegte-Abstand wird kleiner für eine geschlossene Geometrie, wodurch die Winkelausdehnung größer wird, also der akustische Peak zu größeren Winkeln verschoben wird (im Bild also nach links). Für die offene Geometrie wird dieser größer, also die Winkelausdehnung kleiner und der akustische Peak wird zu kleineren Winkeln verschoben (im Bild also nach rechts). In Bild 4 ist zu erkennen, dass die Krümmung des Raumes hier vergleichbar ist mit einem Linseneffekt. Bei geschlossener Geometrie ist es als würde man durch eine Lupe blicken, beim offenem durch eine Zerstreuungslinse. Abb. 5 zeigt die Wirkung auf das Leistungsspektrum. Die BOOMERanG-Mission konnte zeigen, dass k = (0.0072 ± 0.0042) gilt und wir so in einem flachen euklidschen Universum leben. Die Fragen die bleiben sind warum es gerade flach ist, da dies im Grunde kein stabiler zustand ist, was zur nächsten Frage leitet: Wie flach ist denn nun flach? 8

Abbildung 4: Zusammenhang Krümmung und Strukturen Abbildung 5: Zusammenhang Krümmung und Leistungsspektrum 4.2 WMAP Die WMAP-Mission (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) startete im Sommer 2001. Mit einer 14mal größeren Auflösung als COBE war das Ziel die genaue Vermessung des gesamtes Horizonts. WMAP ist kein Satellit denn er ging nicht in eine Umlaufbahn um 9

die Erde, sein Ziel war der 2.Lagrangepunkt im Erd-Sonne-System. Dies ist einer von 5 Punkten im Dreikörperproblem in denen der dritte viel kleinere Körper annähernd kräftefrei ist. L2 ist ein instabiler Lagrangepunkt, der allerdings mit Absicht gewählt wurde gerade weil er nicht stabil ist. Grund hierfür ist, dass deswegen auch keine Fremdkörper sich an diesem Punkt befinden und die Sonde zusätzlich von der Sonnenstrahlung durch die Erde abgeschirmt wird (siehe Abb.6). Der Flug zum L2 betrug 1.5 10 6 km und dauerte 3 Monate. Mit 2 Primärspiegeln mit den den Ausmaßen 1.4x1.6 m wurden wie schon erwähnt immer zwei Messpunkte aufgenommen welche zu 10 Differential-Empfängern weitergeleitet wurden zur Verarbeitung. Die Winkelauflösung betrug 0.3 und es wurden 16 min pro Tag mit einer Geschwindigkeit von 667 kbit/s Daten zur Erde gesendet. Abbildung 6: Lagrangepunkte Abbildung 7: WMAP 10

5 Interpretation des Leistungsspektrums Wie oben schon angedeutet hängt das Leistungsspektrum stark von zahlreichen kosmischen Konstanten ab. Deshalb ist eine genaue Vermessung das große Ziel. Die bisher besten Aufnahmen lieferte die Planck-Sonde. Am 14. August 2013 stellte das Teleskop seinen Dienst ein. Das Alter des Universums wurde durch die Messungen von Planck etwas größer (von 13.7 auf 13.82) und das Leistungspektrum wurde mit einer noch nie dagewesenen Präzession aufgenommen (siehe Abb.8). Abbildung 8: Aufgenommen durch Planck-Sonde 5.1 Sachs-Wolfe-Effekt Im Universum vor der Rekombination herrschte ein Photonen dominiertes Plasma vor welches wie ein undurchsichtiger Nebel wirkte. Jegliche Materieansammlungen wurden durch die starken W.W der Photonen wieder auseinander gebracht. Man geht nun davon aus, dass es trotzdem Gebiete gab in denen durch Fluktuationen in der Gravitation, also in der Metrik Anisotropien entstanden. Diese Schwankungen in der Metrik kann man sich als Potentialschwankungen vorstellen. Photonen die in einen solchen Potentialtopf hinein fliegen nehmen Energie auf, werden also blau verschoben. Anders werden Photonen die bei der Entstehung einer solchen Störung, diese verlassen rot verschoben. Dazu kommt noch, dass sich der Raum fortwährend ausdehnt. Normal würde ein Photon, welches außerhalb eines solchen Topfes entsteht und diesen durchquert keine Energie aufgenommen bzw. abgegeben haben, da beide Effekte sich dann ausgleichen. Die Ausdehnung des Raumes bewirkt jedoch eine Abflachung des Potentials während das Photon hindurchfliegt und so hat es beim durchqueren effektiv Energie aufgenommen. Zusammengefasst bedeutet dies, dass die Rot- bzw. Blauverschiebung direkt mit der Größe der vorherrschenden Potentiale zusammenhängt. In der Hintergrundstrahlung 11

sind diese Fluktuationen Flächenmäßig sehr sehr groß und beschreiben im Leistungsspektrum den Teil vor dem akustischen Peak. Im Fachkreis heißt dieser Bereich Sachs- Wolfe-Plateau benannt nach den Entdeckern. Dieser Effekt wurde auch nachgewiesen bei Licht, welches das Potential großer Masseansammlungen wie Galaxienhaufen durchquerte und so mit der Ausdehnung des Universums effektiv Energie aufgenommen hat beim Verlassen. Die Herren Sachs und Wolfe formulierten eine Theorie aus in der die Photonenenergie (Temperatur) direkt mit den Potentialschwankungen δφ zusammenhängen. Dabei tragen zwei Größen zur Gesamtanisotropie der Temperatur bei. Einmal hervorgerufen durch die Gravitatons-Rotverschiebung δt T = δφ c 2 und zusätzlich die Beachtung der Zeitdilatation mit folgt: δt t 3 early univ. = δφ und mit T a t 2 3 δt T = 2 Zusammen δφ 3 δt T = 1 δφ 3 c 2 Dies ist der Sachs-Wolfe-Effekt. 5.2 Kleinwinkel Anisotropien Im Bereich 1 im Leistungsspektrum befindet man sich bei den akustischen Oszillationen. Dabei sind es natürlich keine hörbaren akustischen Schallwellen sondern der Name soll andeuten, dass es sich um Druckschwankungen im Photonen dominierten Plasmasee handelt. Die Baryonen spielen dabei eine große Rolle. Entsteht in einem Gebiet eine Störung m Potential so werden auch Baryonen angezogen. Dabei benötigt man relativistische Fluiddynamik und damit die Euler-Gleichung. Auf eine explizite Herleitung wird hier verzichtet und nur auf die essentiellen Größen eingegangen. Werden die Baryonen mit eingebunden muss die Eulergleichung mit einem Faktor (1 + R) multipliziert werden, wobei R das Verhältnis der Impulsdichten von Baryonen und Photonen ist. Genähert erhält man R 3 Ω B 4 Ω P h a. Damit muss auch die Schallgeschwindigkeit angeglichen werden zu c S = 1 3 c c S = 1 3(1 + R). Nun kann man Schwingungsmoden angeben wobei die Grundschwingung eine Wellenlänge von λ 2 r s. Auffassen lassen diese Schwingungen als stehende Wellen im Baryonen-Plasma-Meer. 12

5.3 Empfindlichkeit Das Leistungspektrum erhält sehr große Einflüsse über die kosmischen Parameter. Hu und Dodelson haben ein Modell entworfen welche die Empfindlichkeit des Spektrums repräsentieren soll. l l 1.1 Ω tot 0.24 Ω mh 2 Ω tot Ω m h 2 + 0.17 Ω Λ 0.11w Λ + 0.07 Ω bh 2 Ω Λ Ω b h 2 Dazu gibt es noch zahlreiche Programme die alle frei zugänglich sind über das Internet. Hier verweise ich auf die Links (Hyperlinks) dieser Programme. CAMB: http : //lambda.gsf c.nasa.gov/toolbox/tb_camb_f orm.cf m Tool, Build a Univers: http : //wmap.gsf c.nasa.gov/resources/camb_tool/index.html Abb.10 zeigt die Variation verschiedener Parameter und ihre Auswirkungen auf das Spektrum. Abbildung 9: Empfindlichkeit des Spektrums 13

Literatur [Matthias Bartelmann ; Cosmology] [Universität Heidelberg ; W_CMB_WS12.pdf] [Andrew Liddle ; Einführung in die moderne Kosmologie] [John W.Manson ; Astrophysics Update] [Jens Niemeyer ; Einführung in die Kosmologie (Vorlesung)] Abbildungsverzeichnis 1 http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/121238/ilc_9yr_moll2048bw.png........... 2 2 http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/w_cmb_ws12.pdf.......... 5 3 Matthias Bartelmann; Cosmology........................... 6 4 Wolfgang Gebhardt. Reste des Feuerballs........................ 9 5 http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/w_cmb_ws12.pdf.......... 9 6 http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/990529/index.html.................. 10 7 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/wmap_spacecraft_diagram.jpg... 10 8 Planck.PowerSpectra.1303.5075.pdf.......................... 11 9 http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/w_cmb_ws12.pdf.......... 13 14