Vokabelliste Logik (bis einschließlich Kapitel 12) Vorbemerkung: Die folgenden Erläuterungen sind nicht sauber formatiert, sollten aber selbsterklärend sein. Blaue Begriffe fallen unter den optionalen Bereich (es sind aber nicht alle optionalen Kapitel enthalten). Begriff Erklärung Logik Lehre vernünftiger Argumentation Aussagenlogik Individuenkonstante Bezeichnet genau ein tatsächlich existierendes Ding auch: Namen ein Ding kann mehr als einen (oder auch gar keinen) Namen tragen Prädikatsymbole Drücken eindeutige Eigenschaften von Dingen (oder Relationen zwischen diesen) aus Jedes Prädikat hat eine eindeutige Stelligkeit (A(x) oder B(x,y) etc.) werden immer groß geschrieben Atomare Sätze Prädikat der Stelligkeit n mit n Individuenkonstanten Reihenfolge der Individuenkonstanten ist entscheidend Funktionssymbol e Bilden aus Individuenkonstanten und singulären Termen neue Terme synonym: komplexe Terme werden genau wie Namen verwendet Beispiel: vatervon(max) werden immer klein geschrieben (kommen in der Klötzchensprache nicht vor) Argument Folge von Aussagen, in welcher eine Aussage (die Konklusion) aus den anderen (den Prämissen) folgen soll Gültigkeit Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion unter allen Umständen wahr sein muss, unter denen die Prämissen wahr sind. Eine gültige Folgerung nennen wir logische Folgerung Korrektheit Ein Argument ist korrekt, wenn es gültig ist und alle seine Prämissen wahr sind
Beweis Schrittweise Herleitung, dass eine Aussage S von den Prämissen P1,...,Pn gültig ableitbar ist informelle und formelle Beweise unterscheiden sich hinsichtlich ihres Stils, nicht aber ihrer Striktheit Gegenbeweis Gegenbeispiel, bei dem die Prämissen wahr und die Konklusion falsch ist Identitätsrelation Entspricht dem Gleichheitszeichen = vier Prinzipien: Ununterscheidbarkeit d. Identischen (x=y bedeutet: was für x gilt, gilt auch für y) Reflexivität (x=x ist immer wahr) Symmetrie (wenn x=y dann y=x) Transitivität (wenn x=y und y=z dann x=z) F Fitch- System Boolesche Junktoren Ein deduktives System zum formalen Beweisen von Argumenten Junktoren sind wahrheitsfunktional: die Wahrheitswerte mittels Junktoren aufgebauter komplexer Sätze hängt allein von den Wahrheitswerten der Sätze ab, aus denen er aufgebaut ist Es gibt Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation (Konditional) und Äquivalenz (Bikonditional) Negationszeichen Verneint die Aussage, vor der er steht atomare und negierte atomare Sätze heißen Literale doppelte Negation bedeutet Bejahung Konjunktion A & B ist genau dann wahr, wenn A und B beide wahr sind übersetzt auch aber, jedoch, hingegen, dennoch, außerdem Disjunktion A v B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B (oder beide) wahr sind Konditional Der Satz P Q ist genau dann falsch, wenn P wahr und Q falsch ist. Lässt sich substituieren durch nicht-p v Q übersetzt wenn P, dann Q; Q, wenn P; P nur dann, wenn Q; gegeben dass P, Q Sofern nicht P, Q und Q, es sei denn P wird mit nicht-p Q übersetzt Q folgt genau dann logisch aus P1,, Pn, wenn (P1 & & Pn) Q eine logische Wahrheit ist Bikonditional Der Satz P Q ist genau dann wahr, wenn P und Q den gleichen Wahrheitswert haben
Lässt sich substituieren durch (P Q) & (Q P) bzw. (P & Q) v (nicht-p & nicht-q) De Morgansche Gesetze nicht-(p & Q) ist äquivalent zu nicht-p v nicht-q nicht-(p v Q) ist äquivalent zu nicht-p & nicht-q Tautologien S ist genau dann eine Tautologie, wenn S in jeder Zeile seiner vollständigen Wahrheitstafel den Wert wahr unter seinem Hauptjunktor hat Beispiel: Tet(a) v nicht-tet(a) Logische Notwendigkeit Wahreitstafel- Möglichkeiten Tautologische Äquivalenz Logische Äquivalenz Tautologische Folgerung Logische Folgerung Konversitionale Implikatur Jede Tautologie ist logisch notwendig Es gibt auch logische Notwendigkeiten, die keine Tautologien sind Beispiel: nicht-(larger(a,b) & Larger(b,a)) diese logischen Notwendigkeiten ergeben sich aus der Bedeutung der verwendeten Ausdrücke S ist WT-möglich, wenn er in mindestens einer Zeile seiner Wahrheitstafel den Wert wahr unter seinem Hauptjunktor hat S und S' sind genau dann tautologisch äquivalent, wenn sie unter ihrem Hauptjunktor in jeder Zeile der gemeinsamen Wahrheitstafel den selben Wert haben Wenn S und S' tautologisch äquivalent sind, sind sie es auch logisch Es gibt auch logische Äquivalenzen, die nicht tautologisch sind diese logische Äquivalenz ergibt sich aus der Bedeutung der verwendeten Ausdrücke Q ist eine tautologische Folgerung aus P1,, Pn genau dann, wenn in jeder Zeile einer gemeinsamen Wahrheitstafel, in der alle P1,, Pn den Wert wahr erhalten, auch Q den Wert wahr erhält Wenn Q eine tautologische Folgerung aus P1,, Pn ist, ist Q auch eine logische Folgerung aus diesen Es gibt auch logische Folgerungen, die nicht tautologisch sind Die Behauptung eines Satzes legt etwas nahe, was durch weitere Ausführungen der Sprecherin ohne Widerspruch aufgehoben werden kann Beispiel: Sie können vorweg Suppe oder Salat wählen. ; denkbar wäre der Nachsatz Natürlich können sie auch beides haben. Beweisregeln der Aussagenlogik Substitution von Äquivalentem Wenn P und Q logisch äquivalent sind, sind die Sätze, die sich ergeben, wenn das eine im Kontext eines größeren Satzes für das andere ersetzt
wird, auch logisch äquivalent. Kurz: Wenn S <=> Q, dann gilt auch S(P) <=> S(Q) Negations- Normalform (NNF) Distributivgesetz e Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) Regeln für informelle Beweise Fallunterscheidun g Beweis durch Widerspruch Inkonsistente Prämissen Ein Satz, in dem alle Vorkommen von nicht direkt auf atomare Sätze bezogen sind jeder Satz, der nur aus Konjunktionen, Disjunktionen und Negationszeichen und atomaren Sätzen besteht, kann in die NNF (mithilfe von demorganschen Gesetzen und der Elimination von doppelter Negation) überführt werden (häufig lassen sich diese Sätze noch weiter vereinfachen) & distribuiert über v: P & (Q v R) <=> (P & Q) v (P & R) v distribuiert über v: P v (Q & R) <=> (P v Q) & (P v R) Disjunktion von einem oder mehreren Konjunkten von einem oder mehrerer Literale Beispiel: (P&Q) v (R&S) lässt sich mittels Distribution von & über v erreichen Konjunktion von einem oder mehreren Disjunkten von einem oder mehreren Literalend Beispiel: (P v Q) & (P v R) lässt sich mittels Distribution von v über & erreichen (manche Sätze sind sowohl in DNF alsauch in KNF, etwa A & nicht-b) Jeder Schritt soll bedeutsam, aber leicht zu verstehen sein folgende Schlussprinzipien dürfen stillschweigend verwendet werden: Schließe von P&Q auf P Schließe von Q und Q auf P&Q Schließe von P auf PvQ Beweis von S aus P1 v v Pn, indem man S aus jedem der Sätze P1,, Pn ableitet Um nicht-s abzuleiten, nimmt man S an und beweist einen daraus folgenden Widerspruch Kann man einen Widerspruch aus den Prämissen P1,, Pn ableiten, sind sie inkonsistent. Ein solches Argument ist immer gültig, aber niemals schlüssig! (Aus einem Widerspruch darf man nämlich alles herleiten) Unterbeweise Zur Rechtfertigung eines Schrittes im Unterbeweis dürfen vorherige Schritte des Hauptbeweises (oder eines noch offenen Unterbeweises) angeführt werden Niemals dürfen aber Schritte aus beendeten Unterbeweisen angeführt
werden, sondern höchstens beendete Unterbeweise als ganze Vorgehen, wenn man ein Argument auf Gültigkeit prüft Beweis ohne Prämissen Schlussregeln der Konditionale Konditionaler Beweis Konversitionale Implikatur Wahrheitsfunktio nale Vollständigkeit Was bedeuten die Sätze? Folgt die Konklusion aus den Prämissen? (Wenn nein:) Gegenbeispiel finden (Wenn ja:) informell beweisen (möglicherweise im Kopf) informellen Beweis als Stütze verwenden, um auf die Struktur des formellen zu schließen Rückwärts arbeiten, wenn man einen Satz aus einem anderen deduzieren möchte (dabei aber das Beweisziel nicht aus den Augen verlieren!) Zeigt, dass die Konklusion eine logische Wahrheit ist (Vorgehen: Unterbeweis starten, in dem aus der Verneinung des Satzes ein Widerspruch abgeleitet wird) Modus Ponens: von P Q und P darf auf Q geschlossen werden Beseitigung d. Bikonditionals: Von P und P Q darf auf Q geschlossen werden Kontraposition: P Q <=> nicht-q nicht-p Um P Q zu beweisen nimmt man P an und beweist in der Folge Q (oft im Unterbeweis) Um ein Bikonditional zu beweisen, beweist man P Q und Q P hat man mehrere Bikonditionale, reicht es aus, einen Kreis von Konditionalen zu beweisen, etwa A B und B C und C A Die Behauptung eines Satzes legt etwas nahe, was durch weitere Ausführungen der Sprecherin ohne Widerspruch aufgehoben werden kann Beispiel: Sie können vorweg Suppe oder Salat wählen. ; denkbar wäre der Nachsatz Natürlich können sie auch beides haben....ist gegeben, wenn sich mit diesen Junktoren jede Wahrheitsfunktion darstellen lässt....gilt etwa für die Booleschen Junktoren Quantoren Variablen Platzhalter anstelle von Individuenkonstanten in PL1: t,u,v,w,x,y,z mit und ohne numerischem Subskribt (t1,t2,..., tn) freie Variablen: Variablen, die nicht quantifiziert sind gebundene Variablen: solche, die durch einen Quantor gebunden sind
Quantoren Existenzquantor (E) und Allquantor (A) Quantoren + Variablen + Wffs (s.unten) = Sätze Ein Quantor Ax oder Ex bindet alle Vorkommnisse von x in der ihm zugeordneten Wff Quantifizierte Sätze (atomare) wohlgeformte Formeln (Wffs) Existenzquantor E Sätze, denen ein Quantor vorausgeht oder in denen Quantoren vorkommen Wffs ergeben in Zusammenhang mit Quantoren Sätze, wenn diese alle vorkommenden Variablen binden, also keine freie Variable vorkommt Aussagen von quantifizierten Sätzen beziehen sich auf einen nichtleeren intendierten Gegenstandsbereich in Übersetzungen komplexer quantifizierter Sätze kommen oft Konjunktionen atomarer Prädikate vor Die Wortstellung eines deutschen Satz weicht möglicherweise von der Anordnung seiner PL1-Übersetzung ab Ausdrücke, die wie atomare Sätze aussehen, aber anstelle von Individuenkonstanten Variablen beinhalten (zb. ZuHause(x) oder Größer(x,max)) Ein Satz der Form Ex(S(x)) ist genau dann wahr, wenn die Wff S(x) von mindestens einem Ding im Gegenstandsbereich erfüllt wird Allquantor A Ein Satz der Form Ax(S(x)) ist genau dann wahr, wenn die Wff S(x) von jedem Ding im Gegenstandsbereich erfüllt wird Aristotelischen Formen Quantoren und konversitionale Implikaturen Algorithmus der wahrheitsfunktio nalen Form Alle P sind Q: Ax (P(x) Q(x)) Manche P sind Q: Ex (P(x) & Q(x)) Kein P ist ein Q: Ax (P(x) nicht-q(x))* Manche P sind keine Q:Ex (P(x) & nicht-q(x)) *alternativ: nicht-ex (P(x) & Q(x)) Aus Alle P sind Q folgt nicht, dass es Ps gibt (auch wenn das oft konversitional impliziert wird) Aus Manche P sind Q folgt nicht, dass nicht alle P auch Q sein können Ermittelt die wahrheitsfunktionale Form eines Satzes, in dem ein Quantor vorkommt gibt an, wie dieser Satz aus w'funktionalen Junktoren und aus atomaren oder quantifizierten Sätzen aufgebaut ist Ein quantifizierter Satz ist genau dann eine Tautologie, wenn seine w'funktionale Form eine Tautologie ist Jede solche Tautologie ist eine logische Wahrheit, aber es gibt viele logische Wahrheiten, die keine Tautologien sind (Algorithmus besteht in Unterstreichen von quantifizierten oder
atomaren Formeln, Vergabe von Namen (A,B,C,...) für diese unterstrichenen Pakete und Rekonstruktion mittels der vorkommenden Junktoren) PL1-Wahrheit Ein Satz ist PL1-wahr, wenn er auch dann eine logische Wahrheit ist, wenn man die Bedeutung der Namen, Funktionssymbole und Prädikate (mit Ausnahme der Identität!) ignoriert Tautologien sind immer PL1-Wahrheiten PL1-Folgerung Ein Satz ist eine PL1-Folgerung aus den Prämissen P1,, Pn, wenn er aus diesen Prämissen auch dann logisch folgt, wenn man die Bedeutung der Namen, Funktionssymbole und Prädikate (mit Ausnahme der Identität!) ignoriert Tautologien sind immer gültige PL1-Folgerungen Ersetzungsmetho de und Gegenbeispiele Mehrfache Quantifikation (gleichen Typs) Gemischte Quantoren Übersetzungsmet hode Mit der Ersetzungsmethode lassen sich Gegenbeispiele konstruieren, um nachzuweisen, dass es sich nicht um eine logische Folgerung handelt (Methode: Ersetzen der Prädikate durch alternative Bedeutungen und Suche nach einer Situation, in der Prämissen wahr und Konklusion falsch sind) Achtung: Werden mehrfache Quantoren eingeführt, müssen die verschiedenen Variablen nicht zwingend auf verschiedene Objekte beziehen! Beispiel: Ax Ay P(x,y) impliziert auch Ax P(x,x) Bei gemischten Quantoren ist die Reihenfolge der Quantoren entscheidend! Beispiel: Ax Ey R(x,y) ist nicht logisch äquivalent zu Ey Ax R(x,y) Tipp: Beim Übersetzen eines deutschen Satzes Schritt für Schritt arbeiten (ein Quantor nach dem anderen) manchmal ist es nötig, die Oberflächenstruktur des Satzes zu verändern. Mehrdeutigkeit Der Kontext, in dem ein (mehrdeutiger) Satz geäußert wurde, kann für dessen beste PL1-Übersetzung hilfreich sein, da er die logische Struktur und so die Reihenfolge der Quantoren festlegen kann. Beweismethoden und Umformung von Quantoren Allbeseitugung Ausgehend von AxS(x)kann auf S(c) geschlossen werden, wenn c einen Gegenstand des Gegenstandsbereichs bezeichnet Existenzeinführu ng Ausgehend von S(c) kann auf ExS(x) geschlossen werden, sofern c einen Gegenstand des Gegenstandsbereichs bezeichnet DeMorgan für Nicht-Ax P(x) <=> Ex nicht-p(x)
Quantoren nicht-ex P(x) <=> Ax nicht-p(x) Existenzbeseitigu ng/ existentielle Instantiierung Allgemeine konditionale Beweise Universelle Generalisierung Hat man ExS(x) bewiesen, kann man ein neues Konstantenzeichen c wählen, das für einen beliebigen Gegenstand steht, der S(x) erfüllt. Also gilt S(c) Ax(P(x) Q(x)) soll bewiesen werden. Man kann ein neues Konstantenzeichen c wählen, P(c) annehmen und Q(c) beweisen Q darf dabei keine Namen enthalten, die nach Annahme von P(c) durch existentielle Instantiierung eingeführt wurden Ax(Sx) soll bewiesen werden. Man kann ein neues Konstantenzeichen c wählen und S(c) beweisen S(c) darf dabei keine Namen enthalten, die nach Annahme von P(c) durch existentielle Instantiierung eingeführt wurden